График функции предложения конкурентной фирмы в долгосрочном аспекте будет определяться возрастающим участком графика предельных издержек (2.134)-(2.135), расположенным выше минимальной точки графика средних издержек (6.7).
Рассмотрим теперь вопросы, относящиеся к устойчивости конкурентного равновесия в динамике. Рассчитаем вначале параметры рыночного равновесия в статике. Они будут служить в качестве ориентира при анализе устойчивости динамического равновесия. Допустим, что спрос и предложение можно приблизить линейными функциями:
\(p_{d}\text{=}a\text{-}\mathit{bq},\)
\(p_{s}\text{=}c\text{+}\mathit{dq},\)
или
\(q_{d}\text{=}\frac{a}{b}\text{-}\frac{p}{b},q_{s}\text{=}\frac{p}{d}\text{-}\frac{c}{d},\)
где \(a,b,c,d\in R_{\text{+}}\), \(a \gt c\), т.е. при нулевой цене спрос превышает предложение.
Найдем равновесные значения цены и объема продаж:
\(p^{\text{*}}\text{=}\frac{\mathit{ad}\text{+}\mathit{cb}}{b\text{+}d},(6.8)\)
\(q^{\text{*}}\text{=}\frac{a\text{-}c}{b\text{+}d}.(6.9)\)
Рассмотрим динамическое рыночное равновесие в паутинообразной модели сначала в дискретном времени. Предпосылкой ее традиционной версии является то, что объем предложения запаздывает на один период по отношению к ценам: \(q_{t}^{s}\text{=}f(p_{t\text{-}1})\). Объем спроса зависит от цены текущего периода: \(q_{t}^{d}\text{=}g(p_{t})\).
Система уравнений, описывающих рынок, будет выглядеть так:
\(\left\{ \begin{matrix} {q_{t}^{s}\text{=}f\left( p_{t\text{-}1} \right),} \\ {q_{t}^{d}\text{=}g\left( p_{t} \right),} \\ {q_{t}^{s}\text{=}q_{t}^{d};} \\ \end{matrix} \right.\) или \(q_{t}\text{=}f\left( p_{t\text{-}1} \right)\text{=}g\left( p_{t} \right)\).
Итеративное действие модели можно схематично представить следующим образом:
\(q_{0}\rightarrow p_{0}\text{=}g^{\text{-}1}\left( q_{0} \right)\rightarrow q_{1}\text{=}f\left( p_{0} \right)\rightarrow p_{1}\text{=}g^{\text{-}1}\left( q_{1} \right)\rightarrow q_{2}\text{=}f\left( p_{1} \right)\rightarrow\cdots\)
Рассмотрим паутинообразную модель, в которой функции спроса и предложения линейны. Предположим, что спрос описывается зависимостью:
\(q_{t}\text{=}\frac{a}{b}\text{-}\frac{p_{t}}{b},\mathit{или}p_{t}\text{=}a\text{-}bq_{t};\)
а предложение таково:
\(q_{t}\text{=}\frac{p_{t\text{-}1}}{d}\text{-}\frac{c}{d},\mathit{или}p_{t\text{-}1}\text{=}c\text{+}dq_{t};\)
где \(a,b,c,d\in R_{\text{+}}\), \(a \gt c\).
Проанализируем устойчивость динамики модели. Выразим \(p_{t}\) через \(p_{t\text{-}1}\):
\(p_{t}\text{=}\frac{\mathit{ad}\text{+}\mathit{cb}}{d}\text{-}\frac{b}{d}p_{t\text{-}1}.(6.10)\)
Расписывая данные выражения последовательно для двух соседних периодов, используя в каждом из последующих – предшествующее соотношение, индуктивно получаем соотношение между ценами произвольного, t-го и первоначального, нулевого периодов:
\(p_{t}\text{=}\frac{\mathit{ad}\text{+}\mathit{cb}}{d}\text{-}\frac{b(\mathit{ad}\text{+}\mathit{cb})}{d^{2}}\text{+}\frac{b^{2}(\mathit{ad}\text{+}\mathit{cb})}{d^{3}}\text{-}\ldots\text{+}{(\text{-}1)}^{t\text{-}1}\frac{b^{t\text{-}1}(\mathit{ad}\text{+}\mathit{cb})}{d^{t}}\text{+}{(\text{-}1)}^{t}\left( \frac{b}{d} \right)^{t}p_{0}.\)
Слагаемые, присутствующие в правой части данного выражения, за исключением последнего представляют собой \(t\) членов геометрической прогрессии. Просуммируем их:
\(p_{t}\text{=}\left( \frac{\mathit{ad}\text{+}\mathit{cb}}{b\text{+}d} \right)\left( {1\text{-}\left( {\text{-}\frac{b}{d}} \right)^{t}} \right)\text{+}\left( {\text{-}\frac{b}{d}} \right)^{t}p_{0}\text{=}p^{\text{*}}\text{+}\left( {p_{0}\text{-}p^{\text{*}}} \right)\left( {\text{-}\frac{b}{d}} \right)^{t},(6.11)\)
или
\(p_{t}\text{-}p^{\text{*}}\text{=}\left( {p_{0}\text{-}p^{\text{*}}} \right)\left( {\text{-}\frac{b}{d}} \right)^{t},(6.12)\)
где \(p^{\text{*}}\) – это равновесный уровень цены в статике (6.8).
Рассогласование спроса и предложения означает при этом накопление и расходование запасов продукции1.
Если \(\frac{b}{d} \lt 1\), то \(\left( \frac{b}{d} \right)^{t}\rightarrow 0\) при \(t\rightarrow\infty\), а значит, \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}p_{t}}\text{=}\frac{\mathit{ad}\text{+}\mathit{cb}}{b\text{+}d}\text{=}p^{\text{*}}\), т.е. при большем по модулю угловом коэффициенте линии предложения по сравнению с линией спроса равновесие является устойчивым (рис. 6.5). При этом с течением времени отклонения рыночной цены от равновесного уровня стремятся к нулю (рис. 6.8).
Если \(\frac{b}{d} \gt 1\), то \(\left( \frac{b}{d} \right)^{t}\rightarrow\infty\) при \(t\rightarrow\infty\), и с течением времени отклонения рыночных параметров от равновесных будут неограниченно возрастать. Т.е. при большем по абсолютной величине тангенсе угла наклона линии спроса по сравнению с линией предложения равновесие неустойчиво (рис. 6.6).
Если \(\frac{b}{d}\text{=}1\), то \(p_{t}\text{=}\left( \frac{\mathit{ad}\text{+}\mathit{cb}}{b\text{+}d} \right)\left( {1\text{-}\left( {\text{-}1} \right)^{t}} \right)\text{+}\left( {\text{-}1} \right)^{t}p_{0}\). Следовательно, при \(t\text{=}2k\), \(k\in N\), \(p_{t}\text{=}p_{0}\), а при \(t\text{=}2k\text{+}1\), \(k\in N\), \(p_{t}\text{=}\frac{2(\mathit{ad}\text{+}\mathit{cb})}{b\text{+}d}\text{-}p_{0}\). Итак, при равном (по абсолютной величине) угловом коэффициенте линейных функций спроса и предложения равновесие является квазистабильным, т.е. существуют только два чередующиеся во времени значения рыночной цены (рис. 6.7).
Рисунок 6.5. Устойчивое равновесие
Рисунок 6.6. Нестабильное равновесие
Рисунок 6.7. Квазистабильное равновесие
Перейдем теперь к исследованию паутинообразной модели в непрерывном времени. Рассчитаем отклонение рыночной цены текущего, \(t\)-го – от предыдущего периода под номером \((t\text{-}\Delta t)\). Для этого вычтем \(p_{t\text{-}1}\) из левой и правой частей соотношения (6.10) и перейдем от дискретного временнóго шага в один период к интервалу \(\Delta t\), рассчитав тем самым приращение цены за произвольный единичный период времени \(\Delta t\):
\(\frac{p(t)\text{-}p(t\text{-}\Delta t)}{\Delta t}\text{=}\frac{\mathit{ad}\text{+}\mathit{cb}}{d}\text{-}\frac{\left( {d\text{+}b} \right)}{d}p\left( {t\text{-}\Delta t} \right).(6.13)\)
Устремляя временной шаг \(\Delta t\) к нулю, в пределе
\({\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{p(t)\text{-}p\left( {t\text{-}\Delta t} \right)}{\Delta t}}\text{=}{\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\left( {\frac{\mathit{ad}\text{+}\mathit{cb}}{d}\text{-}\frac{\left( {d\text{+}b} \right)}{d}p\left( {t\text{-}\Delta t} \right)} \right)}\)
получаем дифференциальное уравнение:
\(\frac{\mathit{dp}}{\mathit{dt}}\text{=}\frac{\mathit{ad}\text{+}bc}{d}\text{-}\frac{\left( {d\text{+}b} \right)}{d}p(t),(6.14)\)
которое является аналогом соответствующего разностного уравнения (6.13).
Действительно, дифференциальное уравнение (6.14) можно аппроксимировать разностной схемой2:
\(p\left( {t\text{+}h} \right)\text{-}p(t)\text{=}h\left( {\frac{\mathit{ad}\text{+}bc}{d}\text{-}\frac{\left( {d\text{+}b} \right)}{d}p(t)} \right).(6.15)\)
Если установить в ней временной шаг \(h\) равным единице, то уравнение (6.15) принимает вид (6.13).
Решаем уравнение (6.14), разделяя переменные:
\(\frac{\mathit{dp}}{p\text{-}\frac{\mathit{ad}\text{+}\mathit{bc}}{d\text{+}b}}\text{=}\text{-}\frac{\left( {d\text{+}b} \right)}{d}\mathit{dt}.\)
Интегрируя: \({\int{d\ln\left| {p\text{-}\frac{\mathit{ad}\text{+}\mathit{bc}}{d\text{+}b}} \right|}}\text{=}\text{-}{\int{\frac{\left( {d\text{+}b} \right)}{d}\mathit{dt}}}\text{+}\ln c_{1}\), а затем потенцируя данное уравнение получаем: \(p(t)\text{=}\frac{\mathit{ad}\text{+}\mathit{bc}}{d\text{+}b}\text{+}c_{1}e^{\text{-}\frac{({d\text{+}b})}{d}t}\). Используя начальное условие, определяем константу: \(c_{1}\text{=}p(0)\text{-}\frac{\mathit{ad}\text{+}\mathit{bc}}{d\text{+}b}\).
Окончательно имеем уравнение динамики цен:
\(p(t)\text{=}p^{\text{*}}\text{+}\left( {p(0)\text{-}p^{\text{*}}} \right)e^{\text{-}\frac{({d\text{+}b})}{d}t},(6.16)\)
где \(p^{\text{*}}\) – это равновесный уровень цены в статике (6.8).
С течением времени цена стремится к равновесному уровню: \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{p(t)}}\text{=}p^{\text{*}}\), ведь \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{\text{-}\frac{({d\text{+}b})}{d}t}}\text{=}0\), поскольку \(\frac{d\text{+}b}{d} \gt 0\) (рис. 6.8).
Рисунок 6.8. Устойчивая рыночная динамика
Траектория динамики рыночной цены в дискретном времени (6.11)-(6.12) служит аппроксимацией непрерывного случая (6.16), ведь \(e^{\text{-}\frac{({d\text{+}b})}{d}t}\approx\left( {1\text{-}\frac{d\text{+}b}{d}} \right)^{t}\text{=}\left( {\text{-}\frac{b}{d}} \right)^{t}\).
Устойчивую динамику рыночной цены в непрерывном времени можно проиллюстрировать и по-другому. Если преобразовать уравнение (6.14):
\(\overset{˙}{p}\text{=}\frac{d\text{+}b}{d}\left( {\frac{\mathit{ad}\text{+}\mathit{bc}}{d\text{+}b}\text{-}p} \right),\)
то поскольку \(\frac{d\text{+}b}{d} \gt 0\), постольку очевидно, что в случае \(p(t) \gt \frac{\mathit{ad}\text{+}bc}{d\text{+}b}\) цена с течением времени снижается \(\left( {\overset{˙}{p} \lt 0} \right)\) в направлении равновесного уровня (6.8). Если же \(p(t) \lt \frac{\mathit{ad}\text{+}bc}{d\text{+}b}\), то цена увеличивается \(\left( {\overset{˙}{p} \gt 0} \right)\) до равновесного значения (6.8).
Таким образом, равновесие в модели устойчиво (рис. 6.9) при любых значениях коэффициентов спроса и предложения.
Проанализированная выше паутинообразная модель иллюстрирует тот факт, что при отрицательном наклоне кривой спроса и положительном наклоне кривой предложения рыночное равновесие будет устойчивым по Вальрасу, когда цена \(p\) рассматривается в качестве независимой переменной, а объем сделок \(q\) – зависимой.
Действительно, пусть \(p_{1} \gt p^{\text{*}}\). Тогда \(q_{1}^{s} \gt q_{1}^{d}\). Следовательно, \(p\) снижается, приближаясь к уровню \(p^{\text{*}}\). Допустим, что \(p_{2} \lt p^{\text{*}}\). Тогда \(q_{2}^{s} \gt q_{2}^{d}\). Следовательно, \(p\) повышается, возвращаясь к уровню \(p^{\text{*}}\). Итак, равновесие устойчиво (рис. 6.9).
Рисунок 6.9. Устойчивость рыночного равновесия по Вальрасу
В рамках паутинообразной модели, итерационное взаимодействие между спросом и предложением можно представить альтернативным образом. Спрос запишем в таком же виде, как и ранее \(\left( {p_{t}\text{=}a\text{-}bq_{t}} \right)\), а запаздывание в предложении представим следующим образом:
\(q_{t\text{+}1}\text{=}\frac{p_{t}}{d}\text{-}\frac{c}{d}\)
или
\(p_{t}\text{=}c\text{+}dq_{t\text{+}1}.\)
Условие рыночного равновесия представим как равенство цен спроса и предложения для каждого периода: \(p_{t}^{s}\text{=}p_{t}^{d}\), т.е.
\(q_{t\text{+}1}\text{=}\frac{a\text{-}c}{d}\text{-}\frac{b}{d}q_{t}.\)
Тогда отклонение величины предложения в будущем от текущего объема спроса составит:
\(q_{t\text{+}1}\text{-}q_{t}\text{=}\frac{a\text{-}c}{d}\text{-}\frac{(d\text{+}b)}{d}q_{t},\)
или при произвольном временнóм интервале:
\(\frac{q(t\text{+}\Delta t)\text{-}q(t)}{\Delta t}\text{=}\frac{a\text{-}c}{d}\text{-}\frac{\left( {d\text{+}b} \right)}{d}q(t).\)
Устремляя шаг времени к нулю:
\({\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{q(t\text{+}\Delta t)\text{-}q(t)}{\Delta t}}\text{=}{\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\left( {\frac{a\text{-}c}{d}\text{-}\frac{\left( {d\text{+}b} \right)}{d}q(t)} \right)},\)
получаем уравнение в дифференциалах
\(\mathit{dq}\text{+}\frac{\left( {d\text{+}b} \right)}{d}\mathit{qdt}\text{=}\frac{(a\text{-}c)}{d}\mathit{dt}.\)
Выделим в левой части последнего равенства полный дифференциал. Для этого домножим его левую и правую части на интегрирующий множитель \(e^{\int{\frac{({d\text{+}b})}{d}\mathit{dt}}}\text{=}e^{\frac{({d\text{+}b})}{d}t}\neq 0\):
\(e^{\frac{({d\text{+}b})}{d}t}\mathit{dq}\text{+}\mathit{qd}e^{\frac{({d\text{+}b})}{d}t}\text{=}\left( \frac{a\text{-}c}{b\text{+}d} \right)de^{\frac{({d\text{+}b})}{d}t}.\)
Интегрируя \({\int{d\left( {qe^{\frac{({d\text{+}b})}{d}t}} \right)}}\text{=}\frac{a\text{-}c}{b\text{+}d}{\int{de^{\frac{({d\text{+}b})}{d}t}}}\text{+}C,\) получаем:
\(qe^{\frac{({d\text{+}b})}{d}t}\text{=}\left( \frac{a\text{-}c}{b\text{+}d} \right)e^{\frac{({d\text{+}b})}{d}t}\text{+}C,\) т.е. \(q(t)\text{=}\frac{a\text{-}c}{b\text{+}d}\text{+}Ce^{\text{-}\frac{({d\text{+}b})}{d}t}.\)
Используя начальное условие: \(q(0)\text{=}\frac{a\text{-}c}{b\text{+}d}\text{+}C\), определяем константу \(C\text{=}q(0)\text{-}q^{\text{*}}\). Окончательно имеем:
\(q(t)\text{=}q^{\text{*}}\text{+}\left( {q(0)\text{-}q^{\text{*}}} \right)e^{\text{-}\frac{(d\text{+}b)}{b}t},\)
где \(q^{\text{*}}\) – это равновесный объем продаж (6.9), к которому будет стремиться объем сделок с течением времени:
\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{q(t)}}\text{=}\frac{a\text{-}c}{b\text{+}d}.\)
Таким образом, при стандартной форме графиков спроса и предложения равновесие будет устойчивым по Маршаллу, когда \(q\) предполагается независимой переменной, а p – зависимой, так же, как и равновесие по Вальрасу.
Действительно, пусть, \(q_{1} \lt q^{\text{*}}\). Тогда \(p_{1}^{d} \gt p_{1}^{s}\). Следовательно, \(q\) возрастает, стремясь к \(q^{\text{*}}\). Допустим, что \(q_{2} \gt q^{\text{*}}\). В этом случае \(p_{2}^{s} \gt p_{2}^{d}\). Поэтому \(q\) снижается до уровня \(q^{\text{*}}\). Итак, равновесие устойчиво (рис. 6.10).
Рисунок 6.10. Устойчивость рыночного равновесия по Маршаллу