5.5.1. Понятия: ценность, полезность и цена информации
«Где существует неопределенность, имеется и возможность ее уменьшить, называемая информацией. Информация – понятие, прямо противоположное термину “неопределенность”»1, - так подошел к решению проблемы выбора в условиях неопределенности Нобелевский лауреат по экономике 1972 г. К. Эрроу на лекции, прочитанной им в Федерации шведских отраслей промышленности 30 мая 1973 г. Однако поскольку «информация (или сигнал) является товаром, имеющим стоимость»2, она не может распространяться бесплатно. Следовательно, актуальным является вопрос о цене информации или ее источника, если, к примеру, информация содержится на носителе или может быть получена через платный доступ к Интернету.
Стоимость, а точнее ценность3 информации, индивид может ощутить через прирост полезности, на который он рассчитывает в результате оптимальной реакции на полученную информацию. Следовательно, полезность информации определяется как разность между ожидаемой полезностью, которую индивид может получить в результате оптимальных действий при наличии информации, и ожидаемой полезностью, которую индивид сможет извлечь в результате наилучших действий, предпринятых в отсутствии информации. Тогда максимальная цена информации будет равна той сумме денег, которая сделает индивида безразличным в выборе между решением при наличии информации и при ее отсутствии.
Таким образом, для определения полезности и цены информации необходимо выполнить следующие действия:
- определить оптимальные варианты действий при наличии информации и при ее отсутствии;
- вычислить ожидаемую полезность (или ее денежный эквивалент), которую можно получить в результате оптимальных действий при наличии информации;
- вычислить ожидаемую полезность (или ее денежный эквивалент), которую можно получить в результате оптимальных действий при отсутствии информации;
- найти разность между результатами, полученными в п. 2) и 3).
Рассмотрим эти действия на примере определения цены информации как сигнала в простой игре.
5.5.2. Определение цены информации4
Пусть индивид может либо выиграть Х рублей с вероятностью ρ, либо проиграть 1 рубль с вероятностью (1-ρ). До начала игры у индивида есть возможность получить сигнал о ее исходе: включение зеленой лампочки (g - зеленый сигнал) с вероятностью φ будет означать, что выпадет выигрышный вариант, а включение красной лампочки (r - красный сигнал) с той же вероятностью будет означать, что выпадет проигрышный вариант. Иными словами, φ отражает вероятность (Pr) получения точного сигнала:
\(\mathit{\Pr}{\left\lbrack {\text{g} \vee X} \right\rbrack = \mathit{\Pr}}{\left\lbrack {r \vee {- 1}} \right\rbrack = \varphi}\).
Данная простая игра под условным названием «Зеленый-Красный» может быть проиллюстрирована с помощью дерева решений (рис. 5.21), которое построено, исходя из того, что природа определяет, выиграет индивид или нет, а ему остается лишь принять верное решение: «играть», если включится зеленая лампочка, и «не играть», если включится красная лампочка. Таким образом, для индивида два узла, соединенные пунктирной линией, принадлежат одному информационному множеству5.
Рисунок 5.21. Дерево решений для игры «Зеленый-красный»
5.5.2.1. Цена совершенного сигнала
Совершенный сигнал с вероятностью φ=1 будет давать индивиду достоверную информацию о том, выиграет он или нет.
Тогда для нейтрального к риску индивида при совпадении значений ожидаемой полезности и ее денежного эквивалента определение цены сигнала будет выглядеть следующим образом:
- оптимальный вариант действия после включения зеленой лампочки – «играть», после включения красной лампочки – «не играть»;
- ожидаемая полезность, которую можно получить в результате оптимальных действий при наличии информации:
\({{E(X)}_{i} = \rho}\bullet{X + (}{1 - \rho})\bullet{0 = \mathit{\rho X}}\);
- ожидаемая полезность, которую можно получить в результате оптимальных действий при отсутствии информации:
\({{E(X)}_{0} = \rho}\bullet{X + \left( {1 - \rho} \right)}\bullet{\left( {- 1} \right) = {\mathit{\rho X} - (}}{1 - \rho})\);
- разность между значениями ожидаемой полезности при наличии и при отсутствии информации составляет:
\({{E(X)}_{i} - {E(X)}_{0}} = {1 - \rho}\).
Следовательно, максимальная цена, которую рациональный индивид согласится заплатить за совершенный сигнал о предстоящем исходе, будет равна:
\(P_{i} = {1 - \rho}\).
5.5.2.2. Цена несовершенного сигнала
Пусть нейтральный к риску индивид по-прежнему может либо выиграть Х рублей с вероятностью ρ, либо проиграть 1 рубль с вероятностью (1-ρ), т.е.:
\(\mathit{\Pr}{\lbrack X\rbrack = \rho}\),
\(\mathit{\Pr}{\left\lbrack {- 1} \right\rbrack = {1 - \rho}}\).
До принятия решения – «играть» или «не играть» - у индивида есть возможность получить бинарный сигнал, предсказывающий исход игры: включение зеленой лампочки (g - зеленый сигнал) с вероятностью φ будет означать, что выпадет выигрышный вариант, а включение красной лампочки (r - красный сигнал) с той же вероятностью будет означать, что выпадет проигрышный вариант. Таким образом, по-прежнему вероятность получения точного сигнала о выигрыше/проигрыше равна \(\mathit{\Pr}{\left\lbrack {\text{g} \vee X} \right\rbrack = \mathit{\Pr}}{\left\lbrack {r \vee {- 1}} \right\rbrack = \varphi}\), однако \(\varphi\neq 1\).
По теореме Байеса, выразим вероятности выигрыша и проигрыша при истинности сигналов g и r:
\(\mathit{\Pr}{\left\lbrack {X|\text{g}} \right\rbrack = \frac{\mathit{\Pr}{\lbrack X\rbrack}\bullet\mathit{\Pr}{\lbrack{\text{g} \vee X}\rbrack}}{\mathit{\Pr}{\lbrack\text{g}\rbrack}}}\), (5.5.1)
\(\mathit{\Pr}{\left\lbrack {{- 1}|r} \right\rbrack = \frac{\mathit{\Pr}{\lbrack{- 1}\rbrack}\bullet\mathit{\Pr}{\lbrack{r \vee {- 1}}\rbrack}}{\mathit{\Pr}{\lbrack r\rbrack}}}\). (5.5.2)
Фактически, они отражают вероятности точности прогноза сигнала и являются зеркальными отражениями соответствующих вероятностей получения точного сигнала.
В выражениях (5.5.1) и (5.5.2) нам известны сомножители в числителях, а знаменатели можно найти, следуя простым логическим рассуждениям. Зеленый сигнал g появится в одном из двух случаев: если в состоянии природы «выигрыш» сигнал верен и если в состоянии природы «проигрыш» сигнал ошибочен; красный сигнал r также появится в одном из двух случаев: если в состоянии природы «проигрыш» сигнал верен и если в состоянии природы «выигрыш» сигнал ошибочен. Следовательно:
\(\mathit{\Pr}{\lbrack g\rbrack = {\mathit{\rho\varphi} + (}}{1 - \rho})({1 - \varphi})\), (5.5.3)
\(\mathit{\Pr}{\lbrack r\rbrack = \rho}{\left( {1 - \varphi} \right) + (}{1 - \rho})\varphi\). (5.5.4)
Подставив (5.5.3) и (5.5.4) в (5.5.1) и (5.5.2), получаем:
\(\mathit{\Pr}{\left\lbrack {X|g} \right\rbrack = \frac{\mathit{\rho\varphi}}{{\mathit{\rho\varphi} + (}{1 - \rho})({1 - \varphi})}}\), (5.5.5)
\(\mathit{\Pr}{\left\lbrack {{- 1}|r} \right\rbrack = \frac{({1 - \rho})\varphi}{\rho{\left( {1 - \varphi} \right) + (}{1 - \rho})\varphi}}\). (5.5.6)
Нетрудно заметить, что если \(\rho = \left( {1 - \rho} \right) = 0,5\), то \(\mathit{\Pr}{\left\lbrack {X|g} \right\rbrack = \mathit{\Pr}}\left\lbrack {g \vee X} \right\rbrack\) и \(\mathit{\Pr}{\left\lbrack {{- 1}|r} \right\rbrack = \mathit{\Pr}}\left\lbrack {r \vee {- 1}} \right\rbrack\).
Если же \(\rho \gt 0,5 \gt \left( {1 - \rho} \right)\), то:
\(\mathit{\Pr}{\left\lbrack {X|g} \right\rbrack = \frac{\mathit{\rho\varphi}}{{\mathit{\rho\varphi} + (}{1 - \rho})({1 - \varphi})} \gt \varphi = \frac{\mathit{\rho\varphi}}{{\mathit{\rho\varphi} + \rho}({1 - \varphi})}}\), (5.5.7)
\(\mathit{\Pr}{\left\lbrack {{- 1}|r} \right\rbrack = \frac{({1 - \rho})\varphi}{\rho{\left( {1 - \varphi} \right) + (}{1 - \rho})\varphi} \lt \varphi = \frac{({1 - \rho})\varphi}{({1 - \rho}){\left( {1 - \varphi} \right) + (}{1 - \rho})\varphi}}\). (5.5.8)
Неравенства (5.5.7) и (5.5.8) означают, что если вероятность события больше (меньше) 0,5, то вероятность точности прогноза сигнала выше (ниже) вероятности получения точного сигнала.
Оптимальные действия индивида будут зависеть от того объема информации, которым он владеет, поскольку именно это обстоятельство будет определять величину денежного эквивалента ожидаемой полезности, получаемой индивидом. Возможны три варианта.
- При получении зеленого сигнала – «играть», если:
\(E^{g}(X{) = {\mathit{\rho\varphi X} + (}}{1 - \rho})({1 - \varphi}){( - 1})\geq 0\) или \(X\geq\frac{({1 - \rho})({1 - \varphi})}{\mathit{\rho\varphi}}\).
- При отсутствии сигнала – «играть», если:
\(E^{n}(X{) = {\mathit{\rho X} + (}}{1 - \rho}){( - 1})\geq 0\) или \(X\geq\frac{({1 - \rho})}{\rho}\).
- При получении красного сигнала – «играть», если:
\(E^{r}(X{) = \rho}({1 - \varphi}){X + (}{1 - \rho})\varphi{( - 1})\geq 0\) или \(X\geq\frac{({1 - \rho})\varphi}{\rho({1 - \varphi})}\).
Исходя из этих трех вариантов, можно выделить четыре случая для области значений Х и характерных вариантов выбора соответствующих оптимальных действий.
Случай 1:
Если \(X \lt \frac{({1 - \rho})({1 - \varphi})}{\mathit{\rho\varphi}}\) – «не играть» вне зависимости от сигнала.
Случай 2:
Если \(\frac{({1 - \rho})({1 - \varphi})}{\mathit{\rho\varphi}}\leq{X \lt \frac{({1 - \rho})}{\rho}}\) – «играть» только при получении зеленого сигнала (при отсутствии сигнала или при получении красного сигнала - «не играть»).
Случай 3:
Если \(\frac{({1 - \rho})}{\rho}\leq{X \lt \frac{({1 - \rho})\varphi}{\rho({1 - \varphi})}}\) – «играть» при получении зеленого сигнала или при отсутствии сигнала (при получении красного сигнала - «не играть»).
Случай 4:
Если \(X\geq\frac{({1 - \rho})\varphi}{\rho({1 - \varphi})}\) - «играть» вне зависимости от сигнала.
Случаи 1 и 4 довольно тривиальны, поскольку в них для принятия решения не требуется сигнал. Интерес представляют случаи 2 и 3, которые, по сути, выводят на две стратегии поведения.
Стратегия 1: при отсутствии сигнала максимизировать функцию ожидаемой полезности \(E{(X) = \mathit{\max}}\left\{ {0,E^{n}(X)} \right\}\), где \(E^{n}{(X) = {\mathit{\rho X} - (}}{1 - \rho})\).
Возможные результаты этой стратегии:
- \(E{(X) = 0}\), если неинформированному индивиду игра приносит отрицательный денежный эквивалент ожидаемой полезности, и он не вступает в нее;
- \(E{(X) = E^{n}}{(X) \gt 0}\), если неинформированному индивиду игра приносит положительный денежный эквивалент ожидаемой полезности, и он вступает в нее.
Стратегия 2: при получении зеленого сигнала максимизировать функцию ожидаемой полезности \(E{(X) = \mathit{\max}}\left\{ {0,E^{g}(X)} \right\}\), где \(E^{g}{(X) = {\mathit{\rho\varphi X} - (}}{1 - \rho})({1 - \varphi})\).
Возможные результаты этой стратегии:
- \(E{(X) = 0}\), если информированному индивиду даже при получении зеленого сигнала игра приносит отрицательный денежный эквивалент ожидаемой полезности, и он не вступает в нее;
- \(E{(X) = E^{g}}{(X) \gt 0}\), если информированному индивиду игра приносит положительный денежный эквивалент ожидаемой полезности, и он вступает в нее.
Обобщив эти стратегии, можно следующим образом определить ценность сигнала для индивида как функцию от Х:
\(V_{i}{(X) = \mathit{\max}}\left\{ {0,\mathit{\max}{\left\{ {0,E^{g}(X)} \right\} - \mathit{\max}}\left\{ {0,E^{n}(X)} \right\}} \right\}\). (5.5.9)
Интерпретировать функцию (5.5.9) можно следующим образом:
- \(V_{i}{(X) = 0}\), если денежный эквивалент ожидаемой полезности положителен даже после получения красного сигнала, что означает нулевую ценность сигнала для индивида;
- \(V_{i}{(X) = \mathit{\max}}{\left\{ {0,E^{g}(X)} \right\} - \mathit{\max}}\left\{ {0,E^{n}(X)} \right\}\), если разность между значениями ожидаемой полезности при получении зеленого сигнала и при отсутствии сигнала положительна.
Таким образом, индивид будет платить за информацию в виде сигнала в двух случаях.
Во-первых, если индивид вступает в игру только после зеленого сигнала, он будет готов заплатить за информацию о состоянии природы «выигрыш» следующую максимальную сумму:
\({P_{i}^{g} = E^{g}}{(X) = {\mathit{\rho\varphi X} - (}}{1 - \rho})({1 - \varphi})\).
Во-вторых, если индивид вступает в игру только при отсутствии красного сигнала, то за отсутствие информации о состоянии природы «проигрыш» он будет готов заплатить следующую максимальную сумму:
\({P_{i}^{\mathit{gn}} = E^{g}}{(X) - E^{n}}{(X) = {\mathit{\rho\varphi X} - \left( {1 - \rho} \right)}}{{\left( {1 - \varphi} \right) - \mathit{\rho X} + \left( {1 - \rho} \right)} = \left( {1 - \rho} \right)}{\varphi - \mathit{\rho X}}({1 - \varphi})\).
Второй случай можно представить и с помощью интуиции, позволяющей определить максимальную сумму, которую индивид готов заплатить за красный сигнал, то есть за информацию о состоянии природы «проигрыш», ибо красный сигнал также является релевантным для принятия оптимального решения. Поскольку при получении красного сигнала индивид принимает решение «не играть», он с вероятностью \(\mathit{\Pr}{\lbrack{X \vee b}\rbrack}\) теряет шанс выиграть Х руб., но с вероятностью \(({1 - \mathit{\Pr}}\left\lbrack {X|b} \right\rbrack)\) приобретает шанс не проиграть 1 руб. В таком случае за информацию, которую несет красный сигнал, он будет готов заплатить максимальную сумму, равную:
\({P_{i}^{r} = \mathit{\Pr}}\lbrack b\rbrack{\left\{ {{- \mathit{\Pr}}\left\lbrack {X|b} \right\rbrack{X + \left( {{1 - \mathit{\Pr}}\left\lbrack {X|b} \right\rbrack} \right)}} \right\} = \left( {1 - \rho} \right)}{\varphi - \mathit{\rho X}}({1 - \varphi})\).
Очевидно, что индивид готов заплатить одну и ту же сумму денег за решение «играть» при отсутствии информации о состоянии природы «проигрыш» и за решение «не играть» при получении информации об этом состоянии природы.
Может ли информация иметь отрицательную ценность?
Да, в ряде случаев, когда для индивида оказывается предпочтительнее ситуация неопределенности. К примеру, во-первых, это может быть связано с нежелательностью опережения событий и стремления заглянуть вперед: заранее полученная информация о финале сериала может снизить полезность от его просмотра. Во-вторых, превращение информации из индивидуальной в общедоступную может нанести ущерб индивиду: отдельный дачник может быть заинтересован в получении точной информации о возможном ущербе его хозяйству от распространения лесного пожара и покупке соответствующей страховки, но если эта информация станет доступной всем дачникам, то рынок страхования может быть разрушен. В-третьих, сознательное игнорирование последствий наносит ущерб тогда, когда индивид предпочитает сегодня не знать о трудностях, которые его ожидают завтра, чтобы спокойно провести время, а не заниматься подготовкой к встрече с проблемами и благодаря этому избежать ряда потерь.
Ни в одном из этих случаев вопрос об определении цены информации не будет актуален. Однако подобные ситуации представляют интерес для исследования выбора с учетом поведенческих аспектов и ограниченной рациональности индивидов, некоторые из которых будут рассмотрены в следующем разделе.
Эрроу К. Информация и экономическое поведение // Вопросы экономики. – 1995. - №5. – С. 98.↩︎
Там же. С. 100.↩︎
Термин «стоимость» имеет строгий смысл в политической экономии. В микроэкономике используется его близкий аналог – «ценность» (value).↩︎
В разделе использованы материалы книги: Birchler U., Bütler M. Information Economics. – Routledge: L. & N.Y., 2007. P. 31-59.↩︎
В теории игр под информационным множеством понимается множество узлов, в отношении которых индивиду известно, что он находится в одном из них, но не известно, в каком именно.↩︎