5.4. Модель выбора в пространстве обусловленных благ

Проходит апробацию

5.4.1. Функция полезности, зависящая от состояния

Выбор потребителя в условиях неопределенности может быть представлен с помощью инструментария, используемого для его моделирования в условиях определенности.

Для этого, прежде всего, понятие «товар» заменяется на «обусловленное благо».

Пусть для N возможных исходов (состояний природы), определяемых экзогенными параметрами, с индексами n=1, … , N и с учетом того, что объективная вероятность наступления n-го состояния равна α_n и \(\sum\limits_{n = 1}^{N}{a_{n} = 1}\), имеется набор обусловленных благ (х₁, …, х_n) и набор начальных запасов (w₁, …, w_n), который, по сути, также является набором обусловленных благ.

Исходя из того, что получаемая потребителем полезность зависит от состояния природы, в котором ему становится доступным потребление блага (например, удовольствие от прогулки зависит от погодных условий), предпочтения потребителя в пространстве обусловленных благ могут быть представлены функцией полезности, зависящей от состояния природы.

Тогда один набор обусловленных благ \({x^{A} = (}x_{1}^{A},\ldots,x_{n}^{A}\)) будет не хуже другого набора обусловленных благ \(x^{B} = {}\) (\({x^{B} = x}_{1}^{B},\ldots,x_{n}^{B}\)), т.е. \(x^{A}\succsim x^{B}\), только если для любого состояния природы \(n\in N\) существует функция полезности u(x) такая, что:

\({\sum\limits_{n}{\mathit{\alpha u}(x_{n}^{A})\geq}}{\sum\limits_{n}{\mathit{\alpha u}\left( x_{n}^{B} \right).}}\)

Подход к анализу выбора с помощью функции полезности, зависящей от состояния природы, был разработан К. Эрроу в середине 1960-х гг. и с тех пор активно применяется в научных исследованиях1.

Докажем, что кривые безразличия индивида, не приемлющего риск, будут строго выпуклы к началу координат. Будем рассматривать функцию ожидаемой полезности Неймана–Моргенштерна как функцию векторного аргумента \(x = \left( {x_{1},x_{2}} \right)\). Покажем, что для не склонного рисковать индивида она будет строго вогнутой. Для этого рассмотрим две пары возможных исходов \(\check{x} = \left( {{\check{x}}_{1},{\check{x}}_{2}} \right)\) и \(\widehat{x} = \left( {{\widehat{x}}_{1},{\widehat{x}}_{2}} \right)\). В силу отрицания индивидом риска при каждом из них должно выполняться строгое неравенство Йенсена:

\(U{\left( {p_{1}{{\check{x}}_{1} + \left( {1 - p_{1}} \right)}{\check{x}}_{2}} \right) \gt p_{1}}U{\left( {\check{x}}_{1} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U\left( {\check{x}}_{2} \right),\)

\(U{\left( {p_{1}{{\widehat{x}}_{1} + \left( {1 - p_{1}} \right)}{\widehat{x}}_{2}} \right) \gt p_{1}}U{\left( {\widehat{x}}_{1} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U\left( {\widehat{x}}_{2} \right).\)

Рассмотрим теперь третью, смешанную пару исходов, представляющую собой линейную комбинацию первых двух: \({\overset{\sim}{x} = p_{1}}{\check{x} + (}{1 - p_{1}})\widehat{x}\). В качестве весов здесь будем использовать те же вероятности, которые соответствуют возможным исходам в первых двух парах. Выпишем выражение ожидаемой полезности для \(\overset{\sim}{x}\), учитывая строгие неравенства Йенсена для \(\check{x}\) и \(\widehat{x}\):

\(\mathit{EU}{\left( \overset{\sim}{x} \right) = \mathit{EU}}{\left( {p_{1}{\check{x} + \left( {1 - p_{1}} \right)}\widehat{x}} \right) = \mathit{EU}}{\left( {p_{1}{{\check{x}}_{1} + \left( {1 - p_{1}} \right)}{\widehat{x}}_{1},p_{1}{{\check{x}}_{2} + \left( {1 - p_{1}} \right)}{\widehat{x}}_{2}} \right) = p_{1}}U{\left( {p_{1}{{\check{x}}_{1} + \left( {1 - p_{1}} \right)}{\widehat{x}}_{1}} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U{\left( {p_{1}{{\check{x}}_{2} + \left( {1 - p_{1}} \right)}{\widehat{x}}_{2}} \right) \gt p_{1}}{\left( {p_{1}U{\left( {\check{x}}_{1} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U\left( {\widehat{x}}_{1} \right)} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}{\left( {p_{1}U{\left( {\check{x}}_{2} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U\left( {\widehat{x}}_{2} \right)} \right) = p_{1}}{\left( {p_{1}U{\left( {\check{x}}_{1} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U\left( {\check{x}}_{2} \right)} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}{\left( {p_{1}U{\left( {\widehat{x}}_{1} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U\left( {\widehat{x}}_{2} \right)} \right) = p_{1}}\mathit{EU}{\left( \check{x} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}\mathit{EU}\left( \widehat{x} \right).\)

Поскольку величины вероятности \(p_{1}\), \(({1 - p_{1}})\), фигурирующие в качестве весов, могут быть произвольными, приходим к выводу, что функция ожидаемой полезности фон Неймана–Моргенштерна удовлетворяет строгому неравенству Йенсена, следовательно, является строго вогнутой, а значит, и строго квазивогнутой, т.е. ее кривые безразличия строго выпуклы к началу координат.

К данному выводу можно прийти также, продифференцировав зависимость между величинами доходов, отраженную кривой безразличия с учетом предельной нормы замещения между ними:

\(\left. {\frac{d}{dx_{1}}\left( \frac{dx_{2}}{dx_{1}} \right)} \right|_{\mathit{EU} = \mathit{const}} = \left. {\frac{d}{dx_{1}}\left( \frac{- {p_{1}U^{'}\left( x_{1} \right)}}{\left( {1 - p_{1}} \right)U^{'}\left( x_{2} \right)} \right)} \right|_{\mathit{EU} = \mathit{const}}\)

\({- \frac{p_{1}}{\left( {1 - p_{1}} \right)}}\bullet\frac{U^{''}\left( x_{1} \right)U^{'}{\left( x_{2} \right) - U^{''}}\left( x_{2} \right)\frac{dx_{2}}{dx_{1}}U^{'}\left( x_{1} \right)}{\left( {U^{'}\left( x_{2} \right)} \right)^{2}}\)

\({- \frac{p_{1}}{{({1 - p_{1}})}^{2}}}\bullet{\frac{\left( {1 - p_{1}} \right)U^{''}\left( x_{1} \right){\left( {U^{'}\left( x_{2} \right)} \right)^{2} + p_{1}}U^{''}\left( x_{2} \right)\left( {U^{'}\left( x_{1} \right)} \right)^{2}}{\left( {U^{'}\left( x_{2} \right)} \right)^{3}} \gt 0.}\)

Положительность второй производной здесь следует из того, что для индивида, (строго) уклоняющегося от риска, \(U^{''}(\bullet{) \lt 0}\).

5.4.2. Модель выбора с обусловленными благами и спросом на страхование

Для построения модели выбора в условиях неопределенности в пространстве обусловленных благ, продолжим пример, приведенный в п. 5.2.4, в котором представлены два состояния природы: отсутствие урагана (индекс NL) и ураган (индекс L), приводящий к потерям с вероятностью \(a\).

Начальный запас обусловленных благ обозначим \(E_{0}{\left( {{w - L},w} \right) = E_{0}}(w_{L},w_{\mathit{NL}})\).

Поскольку wNL=w \(- {}\) \(a\)∙Z – богатство индивида в отсутствие урагана, а wL=w\(- {}\)L+Z \(- {}\) \(a\)∙Z – богатство индивида в случае урагана, набор обусловленных благ имеет вид: \(E\left( {{w - L + Z - a}\bullet Z,{w - a}\bullet Z} \right).\)

Выразив Z из wNL и подставив в wL, получаем уравнение бюджетного ограничения:

\({w_{L} + \frac{1 - a}{a}}{w_{\mathit{NL}} = {w - L + \frac{1 - a}{a}}}w.\)

Бюджетное ограничение в модели выбора в пространстве обусловленных благ носит название «линии ясных (справедливых) шансов» или «линии ожидаемой стоимости», поскольку оно объединяет все возможные наборы обусловленных благ, ожидаемая стоимость которых равна ожидаемой стоимости начального запаса. Построение его в виде прямой линии (рис. 5.14-5.15) предполагает наличие возможностей «торговли» влево-вверх и вправо-вниз от начального запаса. Если возможности «торговли» влево-вверх нет, тогда бюджетное ограничение примет вид линии, ломанной относительно точки начального запаса.

Ожидаемая стоимость всех наборов обусловленных благ, принадлежащих бюджетному ограничению, постоянна, а угол наклона бюджетного ограничения равен:

\({\pi = \frac{- {dw_{\mathit{NL}}}}{dw_{L}} = \frac{a}{1 - a}}.\)

Величина \(\pi = \frac{- {dw_{\mathit{NL}}}}{dw_{L}} = \frac{a}{1 - a}\) может быть интерпретирована как актуарно справедливая цена единицы страхового покрытия или актуарно справедливая пропорция обмена \(\frac{a}{1 - a}\) единиц богатства в состоянии мира NL на дополнительную единицу богатства в состоянии мира L.

Поскольку функция полезности не склонного к риску потребителя является возрастающей и вогнутой, множество предпочитаемых наборов будет выпуклым. Это означает, что графически функция полезности будет представлена семейством кривых безразличия, выпуклых к началу координат.

Если \(U{(w) = \mathit{\alpha u}}{\left( w_{L} \right) + \left( {1 - \alpha} \right)}u\left( w_{\mathit{NL}} \right),\)

то предельная норма замещения блага w_NL благом w_L равна:

\({\mathit{MRS}_{w_{L}w_{\mathit{NL}}} = \frac{\mathit{\alpha U}'(w_{L})}{\left( {1 - \alpha} \right)U'(w_{\mathit{NL}})}}.\)

Предельная норма замещения показывает пропорцию, в которой индивид готов заместить благо w_NL, количество которого отложено по вертикальной оси, благом w_L, количество которого отложено по горизонтальной оси.

Равновесие потребителя складывается при равенстве угла наклона бюджетного ограничения и предельной нормы замещения, характеризующей угол наклона кривой безразличия:

\({\pi = \frac{\mathit{\alpha U}'(w_{L})}{\left( {1 - \alpha} \right)U'(w_{\mathit{NL}})}}.\)

Если в точке начального запаса угол наклона кривой безразличия превышает угол наклона бюджетного ограничения, т.е.

\({\pi \lt \frac{\mathit{\alpha U}'(w_{L})}{\left( {1 - \alpha} \right)U'(w_{\mathit{NL}})}},\)

у потребителя возникает спрос на страхование, чтобы обменять некоторую часть блага wNL на некоторую часть блага wL. Тогда, если предпочтения потребителя не зависят от состояния природы, например, в случае актуарно справедливого страхования он будет полностью застрахован от потерь, а его оптимальный набор E* будет находиться в точке касания бюджетного ограничения и кривой безразличия, которая расположена на линии определенности, исходящей из начала координат под углом 45° (рис. 5.17). Потребителю будет безразлично, какое состояние природы наступит, ибо его благосостояние будет одинаковым при любом исходе: wL*=wNL*.

Рисунок 5.17. Покупка страховки в случае функции полезности, не зависящей от состояния

Если предпочтения индивида зависят от состояния, то его оптимум E* не совпадет с гарантированным исходом, что обусловлено, к примеру, желанием иметь больший выигрыш в состоянии мира NL при меньшем выигрыше в состоянии мира L по сравнению с предыдущим случаем (рис. 5.18).

При обратном соотношении углов наклона кривой безразличия и бюджетного ограничения у потребителя, напротив, возникает спрос на азартную игру. Относительно этого случая И. Эрлих и Г. Беккер отмечают: «Следует обратить внимание, что азартные игры могут иметь место без увеличения предельной полезности дохода, если имеющиеся возможности достаточно благоприятны. Следовательно, выводы об отношении к риску не могут быть сделаны независимо от существующих рыночных возможностей: человек может казаться «избегающим риска» при одном сочетании цен и потенциальных убытков и «идущим на риск» - при другом. Действительно, столкнувшись с несколькими независимыми опасностями, человек может «играть» и «страховать» одновременно при условии, что разные опасности связаны с разными возможностями. Например, при справедливой цене страхования от кражи он может полностью застраховать свою семью от кражи и в то же время заниматься рискованной деятельностью, если его ожидаемый заработок там больше, чем его заработок в альтернативных «безопасных» видах деятельности»².

Рисунок 5.18. Покупка страховки в случае функции полезности, зависящей от состояния

Покажем теперь, как прийти к тем же выводам более формально, опираясь на аппарат условной оптимизации. Как и выше, будем рассматривать поведение индивида, строго не приемлющего риск, предпочтения которого удовлетворяют строгому неравенству Йенсена. Допустим, что индивид располагает первоначальным богатством w, однако для него существует риск потери суммы D с вероятностью p. При этом возможна покупка страховки, единица которой стоит q.

По объективной логике бизнеса, денежные выплаты по каждой страховке с учетом вероятности наступления страхового случая не могут превышать собранной премии:

\(q\geq p.(5.4.1)\)

В частности, страховку можно считать полностью справедливой, если ее цена будет равной сумме страховых выплат:

\({q = p}.(5.4.2)\)

Рациональный индивид будет стараться выбрать оптимальную величину \(\alpha\) с таким расчетом, чтобы она максимизировала его ожидаемую полезность³:

\(\begin{matrix} {\underset{\alpha}{\mathit{\max}}\left( {\left( {1 - p} \right)U{\left( {w - \mathit{\alpha q}} \right) + \mathit{pU}}\left( {w - \mathit{\alpha q} - D + \alpha} \right)} \right):} \\ {\alpha\geq 0,q\geq p.} \\ \end{matrix}\)

Условия в данной задаче можно трактовать как бюджетное ограничение страховщика:

\(p{\left( {w - \mathit{\alpha q} - D + \alpha} \right) + \left( {1 - p} \right)}\left( {w - \mathit{\alpha q}} \right)\leq p{\left( {w - D} \right) + \left( {1 - p} \right)}w.\)

Действительно, после преобразований получаем неравенство \(\alpha\left( {q - p} \right)\geq 0\), которое является следствием условий \(\alpha\geq 0\), \(q\geq p\) в задаче страхователя.

Будем решать эту задачу, используя метод неопределенных множителей Лагранжа. Выпишем лагранжиан:

\({L = \lambda_{0}}{\left( {\left( {p - 1} \right)U({w - \mathit{\alpha q}}{) - \mathit{pU}}\left( {w - \mathit{\alpha q} - D + \alpha} \right)} \right) - \lambda_{1}}{\alpha + \lambda_{2}}\left( {p - q} \right).\)

Необходимым условием (Куна–Таккера) экстремума в данной задаче является равенство нулю производной функции Лагранжа по \(\alpha\):

\({\frac{\partial L}{\partial\alpha} = \lambda_{0}}{{\left( {\left( {1 - p} \right)qU^{'}{\left( {w - \mathit{\alpha q}} \right) - p}\left( {1 - q} \right)U'\left( {w - \mathit{\alpha q} - D + \alpha} \right)} \right) - \lambda_{1}} = 0}(5.4.3)\)

при выполнении условий дополняющей нежесткости:

\(\alpha\geq 0,\lambda_{1}\geq 0,(5.4.4)\)

\(\lambda_{1}{\alpha = 0},(5.4.5)\)

\(q\geq p,\lambda_{2}\geq 0,(5.4.6)\)

\(\lambda_{2}{\left( {q - p} \right) = 0.}(5.4.7)\)

Будем рассматривать случай⁴ \(\lambda_{0}\neq 0\). В частности, без ограничения общности можно положить \(\lambda_{0} = 1\). Из (5.4.3) – (5.4.4) вытекает соотношение:

\(\left( {1 - p} \right)qU^{'}{\left( {w - \mathit{\alpha q}} \right) - p}\left( {1 - q} \right)U^{'}{\left( {{w - D + \left( {1 - q} \right)}\alpha} \right) = \lambda_{1}}\geq 0.(5.4.8)\)

В силу условия дополняющей нежесткости (5.4.5) при \(\alpha \gt 0\) \(\lambda_{1} = 0\), а значит, неравенство (5.4.8) перейдет в равенство. Строгое решение данной задачи оптимального поведения индивида возможно лишь для случая абсолютно справедливого страхования (5.4.2).

Для не склонного рисковать индивида, для которого \(U{'' \lt 0}\), \(U'\) является строго монотонной. Поэтому равенство ее значений \(U^{'}{\left( {{w - \alpha}p_{2}} \right) = U}'\left( {{w - D + \left( {1 - p_{2}} \right)}\alpha} \right)\) эквивалентно совпадению аргументов \({w - \alpha}{p_{2} = {w - D + \left( {1 - p_{2}} \right)}}\alpha\), откуда вытекает полное страховое покрытие \(\alpha = D\).

Чтобы показать, что индивид, уклоняющийся от риска, будет страховаться, т.е. им будет куплено положительное количество полисов, проанализируем оставшуюся возможность, предусмотренную условием дополняющей нежесткости (5.4.4) – (5.4.5), когда \(\alpha = 0\), \(\lambda_{1} \gt 0\). В этом случае ожидаемая величина полезности будет равна \(\left( {1 - p} \right)U{(w) + \mathit{pU}}\left( {w - D} \right)\). В отличие от этого, при страховании \(\left( {\alpha = D \gt 0} \right)\) индивид получит гарантированную полезность:

\(\left( {1 - p} \right)U{\left( {w - \mathit{\alpha q}} \right) + \mathit{pU}}{\left( {w - \mathit{\alpha q} - D + \alpha} \right) = U}\left( {w - \mathit{pD}} \right)\).

В силу строгой вогнутости \(U\) должно выполняться строгое неравенство Йенсена:

\(U{\left( {w - \mathit{pD}} \right) = U}{\left( {p{\left( {w - D} \right) + \left( {1 - p} \right)}w} \right) \gt \left( {1 - p} \right)}U{(w) + \mathit{pU}}\left( {w - D} \right).\)

Следовательно, решение, связанное с отказом от страхования \(\left( {\alpha = 0} \right)\), для индивида, не склонного рисковать, не является оптимальным. Таким образом, если страхование осуществляется честно, то такой индивид будет полностью страховаться, гарантированно обеспечивая себе конечное богатство \(w - \mathit{pD}\) независимо от наступления страхового случая.

Конечное богатство \(w - \mathit{pD}\) будет таковым для любого \(\alpha\) при наступлении страхового случая. Оптимальная стратегия индивида, уклоняющегося от риска, при абсолютно справедливом страховании состоит в том, чтобы выбрать такой размер страховки \(\alpha\), чтобы гарантированно обеспечить себе данное богатство независимо от наступления страхового случая. Экономический агент за счет страхования ликвидирует стохастический характер потока доходов, превращая его в получение гарантированной суммы в размере \(w - \mathit{pD}\).

Если ослабить требование абсолютно справедливого страхования (5.4.2) и допустить возможность превышения страховых премий над выплатами (5.4.1) при \(\lambda_{2} = 0\) в условии дополняющей нежесткости (5.4.7), то:

\(U^{'}{\left( {w - \mathit{\alpha q}} \right) = \left( \frac{{p - p}q}{{q - p}q} \right)}U^{'}\left( {{w - D + \alpha}\left( {1 - q} \right)} \right)\)

\(\leq\left( \frac{{p - p}q}{{p - p}q} \right)U^{'}{\left( {{w - D + \alpha}\left( {1 - q} \right)} \right) = U^{'}}\left( {{w - D + \alpha}\left( {1 - q} \right)} \right).\)

Для индивида, старающегося избегать риска в силу строгой вогнутости \(U\), а значит, строго убывания \(U'\) из данного неравенства будет вытекать противоположное неравенство относительно аргументов производной функции полезности:

\({w - \alpha}p\geq{w - D + \alpha}\left( {1 - p} \right).\)

Следовательно, в данном случае (5.4.1) можно лишь утверждать, что для индивида, предпочитающего уклоняться от риска, оптимальная величина страхования, а значит, и выплат при наступлении страхового случая не может быть больше ущерба с учетом его вероятности: \(\alpha\leq D\).

В отличие от абсолютно справедливого страхования (5.4.2) в более общей ситуации (5.4.1) для не приемлющего риск человека возможен даже отказ от страховки, если вероятность наступления страхового случая будет достаточно низкой. В пределе при покупке страховки, когда \(\alpha \gt 0\), ожидаемая полезность индивида будет:

\({{\lim\limits_{p\rightarrow 0}{\left( {1 - p} \right)U{\left( {w - \mathit{\alpha q}} \right) + \mathit{pU}}\left( {w - \mathit{\alpha q} - D + \alpha} \right)}} = U}\left( {w - \mathit{\alpha q}} \right);\)

тогда как при отказе от страхования – окажется равной:

\({{\lim\limits_{p\rightarrow 0}{\left( {1 - p} \right)U{(w) + \mathit{pU}}\left( {w - D} \right)}} = U}{(w) \gt U}\left( {w - \alpha} \right).\)

А значит, по теореме о неравенстве пределов функций⁵, найдется такая проколотая окрестность нуля, что для любой попадающей в нее величины вероятности \(p\) полезность при страховании будет ниже, чем без него.

Числовой пример

Проиллюстрируем модель справедливого страхования на числовом примере. Предположим, что предприниматель на каждой единице своего производственного оборудования в течение квартала может выпускать два типа продукции – A и B. При благоприятной рыночной конъюнктуре использование одного станка для изготовления единицы продукции типа A принесет чистый доход в размере 3,5 (ден. ед.), а тот же станок, задействованный в производстве продукта B – 1,5 (ден. ед.). При неблагоприятной конъюнктуре отдача от единицы оборудования, использованной в изготовлении товара A, снизится до 1 (ден. ед.), а чистый доход от производства товара B останется без изменений. Вероятность хорошей и плохой конъюнктуры одинакова. Предприниматель с функцией полезности \(U = \sqrt{w}\), где \(w\) – это доход от реализации продуктов обоих типов, располагает производственными мощностями, равными 8 единиц оборудования.

Определим оптимальное распределение мощностей между производством A и B. Для этого обозначим через \(\alpha\) долю производственных мощностей, задействованных в выпуске продукта A.

Доход предпринимателя при плохой рыночной конъюнктуре составит \({w_{1} = 8}\alpha\bullet{3,5 + 8}\left( {1 - \alpha} \right)\bullet{1,5 = {12 - 8}}\alpha\), а при хорошей – он достигнет \({w_{2} = 8}\alpha\bullet{3,5 + 8}\left( {1 - \alpha} \right)\bullet{1,5 = 16}{\alpha + 12}\).

Построим бюджетное ограничение предпринимателя, домножая на 2 выражение \(w_{1}\) и складывая полученное равенство с \({w_{2} = {36 - 2}}w_{1}\).

Целеполагание экономического агента предполагает максимизацию ожидаемой индивидуальной полезности:

\({\mathit{EU} = \frac{1}{2}}{\sqrt{w_{1}} + \frac{1}{2}}{\sqrt{w_{2}} = \frac{1}{2}}{\sqrt{{12 - 8}\alpha} + \frac{1}{2}}\sqrt{16{\alpha + 12}}\rightarrow\underset{\alpha}{\mathit{\max}},\)

что, в свою очередь, подразумевает нулевую производную:

\(\frac{\mathit{dEU}}{\mathit{d\alpha}} = {\frac{- 8}{4\sqrt{{12 - 8}\alpha}} + \frac{16}{4\sqrt{16{\alpha + 12}}}} = 0.\)

Решая соответствующее уравнение \(2{\sqrt{{12 - 8}\alpha} = \sqrt{16{\alpha + 12}}}\), получаем, что предприниматель отведет под производство A \(\alpha = \frac{3}{4}\) своих мощностей.

При этом величины дохода предпринимателя при плохой и хорошей конъюнктуре составят соответственно:

\({w_{1} = {12 - 8}}{\alpha = {12 - 8}}\bullet{\frac{3}{4} = 6},{w_{2} = 16}{{\alpha + 12} = 16}\bullet{{\frac{3}{4} + 12} = 24.}\)

Ожидаемая величина дохода будет равна: \({\mathit{Ew} = \frac{1}{2}}{w_{1} + \frac{1}{2}}{w_{2} = 15.}\)

Выгоды от страхования: пример

Предположим, что от крупного сетевого ритейлера предпринимателю поступило предложение перепрофилировать производство и перейти на выпуск продукта собственной торговой марки торговой сети за некоторую фиксированную плату в течение квартала. Определим, за какую минимальную плату предприниматель согласится принять данное предложение.

Минимальная оплата предлагаемого субподрядного контракта должна гарантировать предпринимателю полезность, равную математическому ожиданию полезности дохода от производства на открытый рынок. Рассчитаем гарантированный эквивалент рискованного предприятия, работающего на открытый рынок:

\({\mathit{EU} = \frac{1}{2}}{\sqrt{w_{1}} + \frac{1}{2}}{\sqrt{w_{2}} = \frac{1}{2}}{\sqrt{6} + \frac{1}{2}}{\sqrt{24} = \frac{3}{2}}{\sqrt{6} = \sqrt{c}}.\)

Следовательно, гарантированный эквивалент данной игры с природой составит \(c = 13,5\). За данную (или бóльшую) плату предприниматель согласится отказаться от рискованного бизнес-проекта и перепрофилировать свои производственные мощности для работы в рамках субподряда. Данное вознаграждение будет меньше ожидаемого дохода от предпринимательской деятельности на открытом рынке, но, с точки зрения производителя, предпочитающего избегать риска, снижение дохода компенсируется его гарантированным характером.

Рассчитаем величину ожидаемого дохода, соответствующую каждому значению \(\alpha\):

\({\mathit{Ew} = \frac{1}{2}}{w_{1} + \frac{1}{2}}{w_{2} = \frac{1}{2}}{\left( {{12 - 8}\alpha} \right) + \frac{1}{2}}{\left( {16{\alpha + 12}} \right) = {12 + 4}}\alpha.\)

Ожидаемый доход линейно возрастает по \(\alpha\), поэтому его максимальное значение \(\mathit{Ew} = 16\) будет достигаться, если все мощности будут отведены под производство A: \(\alpha = 1\).

Обратим внимание на то, что максимуму ожидаемой полезности соответствует величина ожидаемого дохода \(\mathit{Ew} = 15\), которая меньше его наибольшего значения. Не склонный рисковать индивид жертвует частью ожидаемого дохода, чтобы понизить вероятный разброс его значений, а значит, и уровень риска.

Зафиксируем величину ожидаемого дохода, соответствующую произвольному значению \(\alpha\), чтобы получить линию ясных шансов: \({w_{2} = 2}{{\overline{\mathit{Ew}} - w_{1}} = {24 + 8}}{\alpha - w_{1}}\).

Предположим, что у предпринимателя появляется возможность купить страховку от неблагоприятных рыночных условий в размере \(\beta\) единичных страховых полисов, каждый из которых, будучи доступным по цене в 0,5 (ден.ед.), приносит 1 (ден. ед.) страховых выплат в случае конъюнктурного спада. Определим оптимальную величину страхового покрытия и соответствующее соотношение выпуска продукции A и B.

Задача максимизации ожидаемой полезности предпринимателя при наличии страхования принимает вид:

\({\mathit{EU} = \frac{1}{2}}{\sqrt{w_{1}} + \frac{1}{2}}{\sqrt{w_{2}} = \frac{1}{2}}{\sqrt{{12 - 8}{\alpha + 0,5}\beta} + \frac{1}{2}}\sqrt{16{\alpha + 12 - 0,5}\beta}\rightarrow\underset{\beta}{\mathit{\max}},\)

что, в свою очередь, подразумевает нулевую производную:

\(\frac{\mathit{dEU}}{d\beta} = {\frac{0,5}{4\sqrt{{12 - 8}{\alpha + 0,5}\beta}} - \frac{0,5}{4\sqrt{16{\alpha + 12 - 0,5}\beta}}} = 0.\)

Решая соответствующее уравнение \(\sqrt{{12 - 8}{\alpha + 0,5}\beta} = \sqrt{16{\alpha + 12 - 0,5}\beta}\), получаем зависимость между величиной страховки и долей мощностей, отведенных под производство A: \({\beta = 24}\alpha\).

Очевидно, что в условиях справедливого страхования не склонный к риску индивид будет страховать весь риск:

\({w_{1} = {12 - 8}}{\alpha + 0,5}{\beta = {12 + 4}}{\alpha = 16}{\alpha + 12 - 0,5}{\beta = w_{2}}.\)

При этом ожидаемая полезность будет гарантированно равна полезности при любом стечении обстоятельств:

\({\mathit{EU} = \frac{1}{2}}{\sqrt{{w_{1} + 0,5}\beta} + \frac{1}{2}}{\sqrt{{w_{2} - 0,5}\beta} = \sqrt{{12 + 4}\alpha}}.\)

Она монотонно возрастает по \(\alpha\), поэтому ее максимум будет наблюдаться при наибольшем из возможных значений данного параметра, когда все оборудование будет задействовано в производстве A: \(\alpha = 1\). Поскольку весь риск был связан с отдачей от использования оборудования в изготовлении продукта A, постольку, когда он полностью застрахован, на него можно перенаправить все производственные мощности, ведь A является наиболее доходным продуктом. Величина страховки при этом составит \(\beta = 24\). Доход при любой рыночной ситуации будет одинаковым и, что очевидно, превышающим его ожидаемую величину при отсутствии страхования: \(w_{1} = 16 = w_{2}\). Графическая иллюстрация оптимального справедливого страхового контракта приведена на рисунке.

5.4.3. Диверсификация вложений в активы

Диверсификация – это распределение риска. Пусть речь идет о фирме, оказывающей услуги по аренде спортивного инвентаря в доме отдыха. Перед началом летнего сезона хозяин фирмы задумался о том, какой инвентарь ему следует закупить – шахматы или принадлежности для игры в бадминтон? Очевидно, что если летом будет преобладать хорошая погода, то желающих поиграть в бадминтон на свежем воздухе окажется больше, чем склонных посидеть в комнате за шахматной доской. В случае, если лето окажется дождливым, то количественное преимущество окажется за любителями шахмат. Конечно, хозяин фирмы не может с уверенностью утверждать, какая погода будет преобладать предстоящим летом. Для того, чтобы гарантировать стабильный доход, предприниматель будет заинтересован в диверсификации своих вложений, т.е. распределении имеющиеся у него средства на закупку и шахмат, и бадминтона.

Пусть ожидаемый доход от аренды принадлежностей для бадминтона в случае солнечной погоды составляет 10000 руб., а в случае преобладания дождливых дней равен 2000 руб. Аренда шахмат, напротив, может принести при солнечной погоде 2000 руб., а при дождливой – 10000 руб. Если хозяин фирмы, исходя из вероятности того, что доля солнечных и дождливых дней предстоящим летом составит 50% на 50%, приобретет и шахматы, и бадминтон, то его ожидаемый доход составит в случае солнечной погоды: 0,5\(\bullet\)10000+0,5\(\bullet\)2000=6000 руб., а в случае преобладания дождливых дней: 0,5\(\bullet\)2000+0,5\(\bullet\)10000=6000 руб. При любой погоде благодаря диверсификации ему будет гарантирован стабильный доход.

В общем случае получаемый в результате диверсификации доход будет зависеть от вероятности возможных вариантов событий и от того, как они связаны между собой, т.е. являются ли они альтернативой друг другу или могут наступать одновременно. От этого и будет зависеть доля риска, которую можно избежать.

Рассмотрим на модельном уровне диверсификацию вложений в финансовые активы. Пусть существуют два актива – безрисковый, гарантирующий полный возврат инвестированных денежных средств, и рисковый с вероятным доходом, равным \(z\) рублей на каждый вложенный рубль. Ожидаемая доходность \(z\) может оказаться низкой (в том числе, отрицательной) на уровне \(z_{1}\) с вероятностью \(p_{1}\) и высокой положительной на уровне \(z_{2}\) с вероятностью \(p_{2} = {1 - p_{1}}\).

Пусть индивид обладает первоначальным богатством w, инвестируемым в два данных актива: \(\alpha\) и \(\beta\) – количества средств, направленных, соответственно, на рискованные и безрисковые вложения. Тогда отдача от инвестиций составит \(\mathit{\alpha z} + \beta\). Очевидно, что должно выполняться соотношение \({\alpha + \beta} = w\).

Предполагается, что вложение в актив – актуарно выгодная (привлекательная) игра: \(p_{1}{z_{1} + p_{2}}{z_{2} \gt 1}\), т.е. математическое ожидание доходности рискового актива превышает отдачу от безрискового, а ожидаемый доход при участии в данной игре превысит \(w\).

Богатство индивида при низкой доходности актива составит \({x_{1} = {w - \alpha + \alpha}}{z_{1} = {w + \alpha}}\left( {z_{1} - 1} \right)\). Эквивалентным образом эту ситуацию можно представить, выразив величину вложений в рисковый актив: \(\alpha = \frac{w - x_{1}}{1 - z_{1}}\). При высокой положительной доходности актива богатство инвестора будет равняться \({x_{2} = {w - \alpha + \alpha}}{z_{2} = {w + \alpha}}\left( {z_{2} - 1} \right)\). Объединение данных двух возможностей позволяет вывести бюджетное ограничение инвестора в пространстве обусловленных благ: \({x_{2} = {w + \frac{\left( {z_{2} - 1} \right)}{\left( {1 - z_{1}} \right)}}}{\left( {w - x_{1}} \right) = \frac{\left( {z_{2} - z_{1}} \right)}{\left( {1 - z_{1}} \right)}}{w - \frac{\left( {z_{2} - 1} \right)}{\left( {1 - z_{1}} \right)}}x_{1}\) (рис. 5.19).

Ожидаемая полезность индивида, инвестирующего средства в рисковый актив, составит:

\({\mathit{EU} = p_{1}}U{\left( {{w + \alpha}\left( {z_{1} - 1} \right)} \right) + p_{2}}U\left( {{w + \alpha}\left( {z_{2} - 1} \right)} \right).\)

Рациональный индивид будет стремиться, при очевидных ограничениях, выбрать оптимальную (с точки зрения максимизации ожидаемой полезности) величину вложений в рисковый актив:

\(\begin{matrix} {\underset{\alpha}{\mathit{\max}}\left( {p_{1}U{\left( {{w + \alpha}\left( {z_{1} - 1} \right)} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U\left( {{w + \alpha}\left( {z_{2} - 1} \right)} \right)} \right):} \\ {{{\alpha + \beta} = w},\alpha\geq 0,\beta\geq 0;} \\ \end{matrix}\)

или, что эквивалентно,

\(\begin{matrix} {\underset{\alpha}{\mathit{\min}}\left( {\left( {p_{1} - 1} \right)U{\left( {{w + \alpha}\left( {z_{2} - 1} \right)} \right) - p_{1}}U\left( {{w + \alpha}\left( {z_{1} - 1} \right)} \right)} \right):} \\ {{- \alpha}\leq 0,{\alpha - w}\leq 0.} \\ \end{matrix}\)

Решая данную задачу на условной экстремум, выпишем функцию Лагранжа:

\({L = \lambda_{0}}{\left( {\left( {p_{1} - 1} \right)U{\left( {{w + \alpha}\left( {z_{2} - 1} \right)} \right) - p_{1}}U\left( {{w + \alpha}\left( {z_{1} - 1} \right)} \right)} \right) - \lambda_{1}}{\alpha + \lambda_{2}}\left( {\alpha - w} \right),\)

где \(\lambda_{i}\), \({i = \{}0,1,2\}\) – множители Лагранжа.

Необходимые условия минимума (Куна–Таккера) состоят в равенстве нулю производной функции Лагранжа:

\({\frac{\partial L}{\partial\alpha} = \lambda_{0}}{{\left( {\left( {p_{1} - 1} \right)\left( {z_{2} - 1} \right)U^{'}{\left( {{w + \alpha}\left( {z_{2} - 1} \right)} \right) - p_{1}}\left( {z_{1} - 1} \right)U^{'}\left( {{w + \alpha}\left( {z_{1} - 1} \right)} \right)} \right) - \lambda_{1} + \lambda_{2}} = 0},\)

\((5.4.9)\)

с учетом условий дополняющей нежесткости:

\(\lambda_{1}{\alpha = 0}\mathit{при}\alpha\geq 0,\lambda_{1}\geq 0;(5.4.10)\)

\(\lambda_{2}{\left( {\alpha - w} \right) = 0}\mathit{при}\lambda_{2}\geq 0,\alpha\leq w.(5.4.11)\)

В соответствии с условием дополняющей нежесткости (\(5.4.10\)) возможны два случая. Во-первых, если \(\lambda_{1}\geq 0\), то \(\alpha = 0\). При этом в условии (\(5.4.11\)) первый случай, когда \(\alpha = w\), \(\lambda_{2}\geq 0\), отпадает; поэтому возможна лишь альтернативная ситуация \(\alpha \lt w\), \(\lambda_{2} = 0\). Следовательно, (\(5.4.9\)) принимает вид:

\(\lambda_{0}{\left( {p_{1}\left( {z_{1} - 1} \right)U^{'}{\left( {{w + \alpha}\left( {z_{1} - 1} \right)} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}\left( {z_{2} - 1} \right)U^{'}\left( {{w + \alpha}\left( {z_{2} - 1} \right)} \right)} \right) = {- \lambda_{1}}}\leq 0.(5.4.12)\)

Если в (\(5.4.11\)) все-таки верна альтернатива, когда \(\alpha = w\) и \(\lambda_{2}\geq 0\), то при этом обязательно будет \(\alpha \gt 0\), значит, \(\lambda_{1} = 0\), т.е. должна реализоваться вторая возможность в условии (\(5.4.10\)). Тогда (\(5.4.9\)) будет выглядеть так:

Если \(\lambda_{0} = 0\), то в каждой из альтернатив (\(5.4.12\)), (\(5.4.13\)) получается, что \(\lambda_{1} = \lambda_{2} = 0\), чего не может быть, поскольку вектор множителей Лагранжа должен быть ненулевым. Следовательно, \(\lambda_{0} \gt 0\), и без ограничения общности можно положить его равным единице, пронормировав относительно него остальные множители Лагранжа. Тогда условия (\(5.4.12\)) и (\(5.4.13\)), соответственно, можно записать в более простом виде:

\(p_{1}\left( {z_{1} - 1} \right)U^{'}{\left( {{w + \alpha}\left( {z_{1} - 1} \right)} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}\left( {z_{2} - 1} \right)U^{'}{\left( {{w + \alpha}\left( {z_{2} - 1} \right)} \right) = {- \lambda_{1}}}\leq 0,(5.4.14)\)

Обозначим через \(\varphi\left( \alpha \right)\) левые части в (\(5.4.14\)) и (\(5.4.15\)):

\(\varphi\left( \alpha \right)\equiv p_{1}\left( {z_{1} - 1} \right)U^{'}{\left( {{w + \alpha}\left( {z_{1} - 1} \right)} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}\left( {z_{2} - 1} \right)U^{'}\left( {{w + \alpha}\left( {z_{2} - 1} \right)} \right).\)

Отметим, что в силу предположения об актуарной привлекательности вложений в рисковый актив и строго возрастания \(U(\bullet)\):

\(\varphi{(0) = p_{1}}\left( {z_{1} - 1} \right)U^{'}{(w) + \left( {1 - p_{1}} \right)}\left( {z_{2} - 1} \right)U^{'}{(w) = U^{'}}(w){\left( {p_{1}{z_{1} + \left( {1 - p_{1}} \right)}{z_{2} - 1}} \right) \gt 0.}\)

Это противоречит соотношению (\(5.4.14\)), которое, тем самым, неверно. Первый случай в условии (\(5.4.10\)) \(\left( {\alpha = 0} \right)\) отпадает, а значит, возможна только ситуация \(\alpha \gt 0\).

При этом \(\lambda_{1} = 0\), и условие (\(5.4.14\)) принимает вид:

\({\mathit{MRS}_{12} = {- \left. \frac{dx_{2}}{dx_{1}} \right|_{\mathit{dEU} = 0}} = \frac{p_{1}U^{'}\left( x_{1} \right)}{\left( {1 - p_{1}} \right)U^{'}\left( x_{2} \right)} = \frac{z_{2} - 1}{1 - z_{1}} \gt \frac{p_{1}}{1 - p_{1}}},\)

что означает касание кривой безразличия и бюджетного ограничения в точке, расположенной над линией равных доходов (рис. 5.17).

Из условия (\(5.4.9\)) в такой ситуации следует, что и \(\lambda_{2} = 0\).

Рисунок 5.19. Выбор инвестора в пространстве обусловленных благ

Достаточное условие максимизации ожидаемой полезности

\({\frac{d^{2}L}{d\alpha^{2}} = \frac{- {d^{2}\mathit{EU}}}{d\alpha^{2}} = \left( {p_{1} - 1} \right)}\left( {z_{2} - 1} \right)^{2}U^{''}{\left( {{w + \alpha}\left( {z_{2} - 1} \right)} \right) - {p_{1}\left( {z_{1} - 1} \right)}^{2}}p_{1}U^{''}{\left( {{w + \alpha}\left( {z_{1} - 1} \right)} \right) \gt 0}\)

при этом будет выполнено в силу строгой вогнутости (элементарной) функции полезности \((U^{''}(\bullet{) \lt 0})\).

Таким образом, \(0 \lt \alpha \lt w\), т.е. если рисковый актив имеет ожидаемую доходность, превышающую отдачу от безрискового актива, то рациональный инвестор обязательно будет вкладывать в него определенную часть своих средств, при этом оставляя некоторую их долю в виде безрисковых вложений.

5.4.4. Разделение рисков посредством инвестиционной кооперации

Покажем механизм реализации практики разделения рисков между экономическими агентами посредством инвестиционной кооперации с помощью модели выбора в пространстве обусловленных благ. Допустим, что существует некоторый инвестиционный проект, требующий вложения денежных средств в размере \(I\) и способный с вероятностью \(p_{1}\) принести чистый доход, равный \(R\), который, однако, с вероятностью \(p_{2} = {1 - p_{1}}\) может не окупиться и принести нулевую прибыль. Не склонный к риску индивид, обладающий денежными ресурсами в размере \(w\), имеет возможность инициировать данный проект самостоятельно, за счет только лишь своих собственных средств, и тогда его ожидаемая полезность составит:

\({\mathit{EU} = p_{1}}U{\left( {w - I + R} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U\left( {w - I} \right),\)

либо может заключить с другими физическими лицами, обладающими идентичными функциями полезности, соглашение о долевом инвестировании денег в проект, когда ожидаемая полезность каждого из \(n\) участников данного финансового партнерства принимает вид:

\({\mathit{EU} = p_{1}}U{\left( {w - \frac{I}{n} + \frac{R}{n}} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U\left( {w - \frac{I}{n}} \right).\)

Выражая из величины дохода при благоприятном исходе \(x_{1} = {w + \frac{R - I}{n}}\) число участников инвестиционного партнерства \(n = \frac{I - R}{w - x_{1}}\) и используя его при расчете дохода при неблагоприятном стечении обстоятельств, получаем бюджетное ограничение инвестора:

\({x_{2} = {w - \frac{I}{n}} = {w + \frac{I\left( {w - x_{1}} \right)}{R - I}} = {\frac{\mathit{Rw}}{R - I} - \frac{Ix_{1}}{R - I}}}.\)

Максимизируя индивидуальную ожидаемую полезность по количеству участников данного проекта

\({\frac{\mathit{dEU}}{dn} = p_{1}}U^{'}\left( {w - \frac{I}{n} + \frac{R}{n}} \right)\bullet{\left( {\frac{I}{n^{2}} - \frac{R}{n^{2}}} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U^{'}\left( {w - \frac{I}{n}} \right)\bullet{\frac{I}{n^{2}} = 0},\)

с учетом выражения предельной нормы замещения в пространстве обусловленных благ получаем условие оптимума каждого инвестора:

\({\mathit{MRS}_{12} = {- \left. \frac{dx_{2}}{dx_{1}} \right|_{\mathit{dEU} = 0}} = \frac{p_{1}U^{'}\left( {w - \frac{I}{n} + \frac{R}{n}} \right)}{\left( {1 - p_{1}} \right)U^{'}\left( {w - \frac{I}{n}} \right)} = \frac{I}{R - I}}.\)

Графически оно означает касание бюджетного ограничения и кривой безразличия при оптимальной численности инвестиционного партнерства (рис. 5.20).

Рисунок 5.20. Оптимальное инвестиционное партнерство

Числовой пример

Рассмотрим числовой пример, иллюстрирующий механизм распределения рисков. Пусть функция полезности индивида по отношению к располагаемому богатству имеет вид \(U = \sqrt{w}\). Индивидуальное богатство, изначально составляющее \(w = 100\), может быть использовано для покупки актива, который способен принести прибыль в размере 10000 с вероятностью ¹/₂₀. Однако с вероятностью ¹⁹/₂₀ вложенные в актив средства будут потеряны.

Покажем, что данный индивид будет заинтересован в создании инвестиционного партнерства с такими же, как и он сам, экономическими агентами с целью вложения средств в данный актив.

Для этого рассчитаем ожидаемую полезность и ожидаемый доход каждого из n участников инвестиционного партнерства:

\({\mathit{EU} = \frac{19}{20}}{\sqrt{100 - \frac{100}{n}} + \frac{1}{20}}{\sqrt{100 - \frac{100}{n} + \frac{10000}{n}} = \frac{19}{2}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + \frac{1}{2}}\sqrt{1 + \frac{99}{n}},\)

\({\mathit{Ex} = \frac{19}{20}}{\left( {100 - \frac{100}{n}} \right) + \frac{1}{20}}{\left( {100 - \frac{100}{n} + \frac{10000}{n}} \right) = 95}{\left( {1 - \frac{1}{n}} \right) + 5}\left( {1 + \frac{99}{n}} \right).\)

Для того чтобы индивид принял участие в игре, должно выполняться соотношение:

\({\mathit{EU} = \frac{19}{2}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + \frac{1}{2}}\sqrt{1 + \frac{99}{n}}\geq U{(w) = \sqrt{100} = 10.}\)

Для \(n = 1\) оно не выполняется, значит, индивид не рискнет в одиночку инвестировать в данный актив. При этом ожидаемый доход будет равен 500, а гарантированный эквивалент игры, определяемый соотношением \({\mathit{EU} = \frac{1}{2}}\bullet{10 = 5 = \sqrt{c}}\), составит \(c = 25\), что меньше первоначального богатства (рис. 1).

Рисунок 1. Неприятие риска и отказ от инвестиционного проекта: пример

Для \(n = 2\) неравенство выше уже выполняется, т.е. индивид пойдет на риск в составе инвестиционного партнерства. При \(n = 2\) ожидаемый доход сокращается: \(\mathit{Ex} = 300\), но при этом падает и разброс величин дохода, что играет ключевую роль для рискофоба. Ожидаемая полезность игры составит:

\({\mathit{EU} = \frac{19}{2}}{\sqrt{1 - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2}}\sqrt{1 + \frac{99}{2}}\approx 10,27\geq U{(w) = \sqrt{100} = 10.}\)

Гарантированный эквивалент игры, определяемый соотношением \(\sqrt{c} = 10,27\), при этом превышает первоначальное богатство: \(c\approx{105,5 \gt 100}\) (рис. 2).

Рисунок 2. Согласие на рискованный проект в рамках инвестиционного партнерства: пример

Определим оптимальную численность инвестиционного партнерства с точки зрения данного индивида, максимизируя его ожидаемую полезность по \(n\):

\({\mathit{EU} = \frac{19}{2}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + \frac{1}{2}}\sqrt{1 + \frac{99}{n}}\rightarrow\underset{n}{\mathit{\max}}.\)

Приравнивая производную ожидаемой полезности по n нулю, получаем равенство: \(19{\sqrt{1 + \frac{99}{n}} = 99}\sqrt{1 - \frac{1}{n}}\), из которого следует \((361{\left( {n + 99} \right) = 9801}\left( {n - 1} \right))\), что оптимальное количество участников инвестиционного партнерства лежит в диапазоне \(4 \lt n = \frac{4491}{944} \lt 5\).

Сравним соответствующие значения ожидаемой полезности: \(\mathit{EU}\approx 13,158\) при \(n = 4\) и \(\mathit{EU}\approx 10,774\) при \(n = 5\). Следовательно, \(n = 4\), т.е. индивиду наиболее выгодно привлечь 3 компаньонов.

См.: Arrow K.J. Uncertainty and the Welfare Economics of Medical Care // American Economic Review. – 1963. - Vol. 53. - Р. 941-973. Arrow K.J. The Role of Securities in the Optimal Allocation of Risk Bearing // Review of Economic Studies. – 1964. – Vol. 31, No. 2. - P. 91-96. Развитие этого подхода представлено, в частности, в работе: Ehrlich I., Becker G.S. Market Insurance, Self-Insurance, and Self-Protection // Journal of Political Economy. – 1972. - Vol. 80, No. 4. - P. 623-648.↩︎
Ehrlich I., Becker G.S. Market Insurance, Self-Insurance, and Self-Protection // Journal of Political Economy. – 1972. - Vol. 80, No. 4. - P. 627.↩︎
Каноническая постановка данной задачи такова:

\(\begin{matrix} {\underset{\alpha}{\mathit{\min}}\left( {\left( {p - 1} \right)U{\left( {w - \mathit{\alpha q}} \right) - \mathit{pU}}\left( {w - \mathit{\alpha q} - D + \alpha} \right)} \right):} \\ {{- \alpha}\leq 0,{p - q}\leq 0.} \\ \end{matrix}\)↩︎
При \(\lambda_{0} = 0\) из (5.4.3) будет следовать \(\lambda_{1} = 0\), а значит, поскольку вектор множителей Лагранжа \(\left( {\lambda_{1},\lambda_{2}} \right)\) не может быть нулевым, из условия дополняющей нежесткости (5.4.7) будет следовать справедливое страхование (5.4.2).↩︎
Зорич В.А. Математический анализ. – 2-е изд. – М.: ФАЗИС, 1997, ч. 1.↩︎