5.3. Меры Эрроу-Пратта и теорема Эрроу-Пратта

5.3.1. Меры Эрроу-Пратта¹

Для полноты анализа важно знать не только отношение экономического субъекта к риску, но и иметь возможность сравнивать экономических субъектов по этому признаку.

С целью измерения индивидуального отношения к риску в середине 1960-х гг. американским экономистом Кеннетом Эрроу (Нобелевский лауреат 1972 г.) и американским математиком и статистиком Джоном Праттом были предложены два показателя, получившие названия - абсолютная мера Эрроу-Пратта и относительная мера Эрроу-Пратта².

Абсолютная мера Эрроу-Пратта равна взятому с отрицательным знаком отношению второй производной функции полезности к ее первой производной, или взятому с обратным знаком отношению скорости убывания предельной полезности дохода (x) к самой предельной полезности:

\({\mathit{AP}_{A} = r}{(x) = \frac{- {u^{''}(x)}}{u^{'}(x)}}.\) (5.3.1)

Она может принимать следующие значения:

• АР_А>0 – для не склонных к риску;
• АР_А<0 – для склонных к риску;
• АР_А=0 – для нейтральных к риску.

Для не склонных к риску экономических субъектов абсолютная мера Эрроу-Пратта принимает положительные значения, поскольку вторая производная функции полезности будет отрицательной вследствие вогнутости функции полезности. Фактически в этом случае она служит мерой вогнутости функции полезности u(x) при доходе х.

Абсолютная мера Эрроу-Пратта служит локальной мерой неприятия риска или локальной склонности к страхованию при доходе x и функции полезности u(x). Она может быть разной при разных значениях дохода.

В этой связи, согласно Эрроу, показатель r(x) может быть использован для интерпретации изменения степени отношения индивидов к риску вслед за изменением дохода:

• АР_А=const - u(х) демонстрирует постоянную степень абсолютной несклонности к риску: с ростом дохода потребитель не будет чаще соглашаться на небольшие лотереи;
• АР_А убывает - u(х) демонстрирует убывающую степень абсолютной несклонности к риску: с ростом дохода потребитель будет менее не склонен соглашаться на небольшие лотереи;
• АР_А возрастает - u(х) демонстрирует возрастающую степень абсолютной несклонности к риску: с ростом дохода потребитель будет более не склонен соглашаться на небольшие лотереи.

Эрроу также предложил использовать показатель r(x) для определения оптимальной величины инвестиций, когда часть суммы х должна храниться в виде наличных денег, а остальное инвестируется с определенным актуарно благоприятным риском.

Пусть:

\(\tau\) – доход на единицу вложенных средств;

a – инвестируемая сумма;

(x+a\(\tau\)) – актив, к получению которого приведет инвестирование суммы a.

Предположим, что a(x,\(\tau\)) является оптимальной суммой для инвестиций, то есть при a(x,\(\tau\)) максимизируется ожидаемая полезность U(x+a\(\tau\)). Тогда, «если r (x) [строго] убывает, возрастает или постоянна для всех x, то a(x,\(\tau\)), соответственно, [строго] возрастает, убывает или постоянна за исключением случая, когда a(x,\(\tau\))=х», – так Дж. Пратт обобщил идею К. Эрроу³.

Коэффициент абсолютного неприятия риска Эрроу–Пратта представляет собой скорость изменения гарантированного эквивалента по отношению к малому увеличению риска в условиях, близких к определенности. Покажем это, предположив, что исходами в игре являются величины дохода, представляющие собой отклонения в положительную и отрицательную стороны на произвольную величину ε от некоторой денежной суммы x. Используя определение гарантированного эквивалента (с), можно записать: \(U{\left( {c(\varepsilon)} \right) = p_{1}}U{\left( {x + \varepsilon} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U\left( {x - \varepsilon} \right).\) Дифференцируя это равенство дважды по ε \(\left( {U'(c)\bullet c''{(\varepsilon) = p_{1}}U''{\left( {x + \varepsilon} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U''\left( {x - \varepsilon} \right)} \right)\) и переходя к пределу при \(\varepsilon\rightarrow 0\), получаем:

\({\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}{U'\left( {c(\varepsilon)} \right)}}\bullet{{\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}{c''(\varepsilon)}} = p_{1}}{{\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}{U''\left( {x + \varepsilon} \right)}} + \left( {1 - p_{1}} \right)}{\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}{U''\left( {x - \varepsilon} \right)}}.\)

Поскольку \(c(\varepsilon)\rightarrow x\) при \(\varepsilon\rightarrow 0\), отсюда вытекает равенство: \(U'(x)\bullet c''{(0) = U}''(x)\). Следовательно,

\(c^{''}{(0) = \frac{U^{''}(x)}{U^{'}(x)} = {- r_{A}}}(x).\)

Недостатком абсолютной меры Эрроу-Пратта является ее размерность. Действительно, если предположить, что полезность условно измеряется в ютилях, а богатство в рублях, то, к примеру, для функции полезности u(x)=ln(w), абсолютная мера Эрроу-Пратта имеет размерность⁴ 1/рубль. Тогда, если, к примеру, перейти от измерения богатства в рублях к его измерению в копейках, то абсолютная мера Эрроу-Пратта уменьшится в 100 раз. Подобных трудностей позволяет избежать относительная мера Эрроу-Пратта.

Относительная мера Эрроу-Пратта равна:

\({\mathit{AP}_{R} = r}{(x) = \frac{- {u^{''}(x)}}{u^{'}(x)}}x.\) (5.3.2)

Функция (5.3.2) также интерпретируется как локальная мера неприятия риска относительно дохода х, и ее монотонность эквивалентна монотонности премии за риск и платы за страховку относительно дохода х.

Обозначив через \(\lambda\) соответствующий коэффициент пропорциональности, можно представить элементарную индивидуальную функцию полезности (по Бернулли) как зависимость от изменения текущего уровня дохода (богатства): \(\widehat{U}{(\lambda) = U}(\mathit{\lambda x})\). Тогда коэффициент относительного неприятия риска Эрроу-Пратта (5.3.2) моежт быть представлен как коэффициент абсолютного неприятия риска (5.3.1), рассчитанный относительно текущего уровня дохода, нормированного к единице \(({\lambda = 1})\):

\(r_{r}{(x) = r_{a}}{(1) = \frac{- {{\widehat{U}}^{''}(1)}}{{\widehat{U}}^{'}(1)} = \frac{- {U^{''}(x)x^{2}}}{U^{'}(x)x} = \frac{- {U^{''}(x)}}{U^{'}(x)}}x.\)

Преимуществом относительной меры Эрроу-Пратта является отсутствие размерности.

Если экономический субъект не склонен к риску, то относительная мера Эрроу-Пратта для него положительна, если склонен к риску - отрицательна, а если нейтрален - равна нулю.

Таким образом, абсолютная и относительная меры Эрроу-Пратта отражают предпочтения индивида.

Показатель r*(х) Эрроу использовал для доказательства теоремы об эластичности спроса на наличные по инвестиционным активам, которая утверждает следующее: «Если r*(х) [строго] убывает, возрастает или постоянна для всех x, то оптимальная доля для инвестиций a*(x,\(\tau\))=a(x,\(\tau\))/x, соответственно, является [строго] возрастающей, убывающей или постоянной, за исключением случая, когда a*(x,\(\tau\))=1»⁵.

Относительная мера Эрроу-Пратта – более общая характеристика отношения индивида к риску, поэтому, к примеру, «функции полезности, характеризующейся убывающей абсолютной несклонностью к риску, может соответствовать возрастающая или убывающая относительная несклонность к риску или ни та и ни другая»⁶. Однако если предпочтения индивида характеризуются убывающей относительной несклонностью к риску, имеет место и убывающая абсолютная несклонность к риску.

5.3.2. Теорема Эрроу-Пратта

Для целей микроэкономического анализа может потребоваться глобальная мера неприятия риска, которая бы могла для всех уровней богатства (w), к примеру, охарактеризовать индивида А с функцией полезности A(w) как более не склонного к риску по сравнению с индивидом В с функцией полезности B(w).

Единственной простой глобальной меры неприятия риска не существует, но ее поиск возможен по трем направлениям.

Во-первых, индивид А будет сильнее не склонен к риску, если для всех уровней богатства w рассчитанная для его функции полезности абсолютная мера Эрроу-Пратта будет больше по сравнению с аналогичным показателем для индивида В:

\(-\frac{A''(w)}{A'(w)} > -\frac{B''(w)}{B'(w)}\).

Во-вторых, индивид А будет сильнее не склонен к риску, чем индивид В, если его функция полезности представляет собой вогнутую трансформацию функции полезности индивида В, т.е. если существует такая возрастающая строго вогнутая функция \(\varphi(\bullet)\), что:

\(A{(w) = \varphi}(B(w))\).

Иными словами, чем сильнее неприятие риска экономическим субъектом, тем более вогнута будет его функция полезности.

В-третьих, индивид А будет сильнее не склонен к риску, чем индивид В, если для любого уровня богатства w и для любой лотереи g его премия за риск больше и, соответственно, достоверный эквивалент лотереи меньше.

Нетрудно сделать вывод о том, что все три обстоятельства эквивалентно характеризуют глобально более сильное неприятие риска индивидом А по сравнению с индивидом В. Этот вывод обобщает теорема Эрроу-Пратта.

Теорема Эрроу-Пратта: если предпочтения индивидов А и В представлены возрастающими, дважды непрерывно дифференцируемыми и строго вогнутыми элементарными функциями полезности A(w) и B(w), где w – денежные величины богатства индивида, то следующие утверждения эквивалентны:

1. AP_A^В(w)_A^А(w) для всех w;

A(\(\bullet\)) – вогнутая трансформация B(\(\bullet\)): A(w)=φ(B(w)), где φ – возрастающая строго вогнутая функция;CE^АВ для любой лотереи g(\(\bullet\)).

Доказательство теоремы Эрроу-Пратта⁷ (гиперссылка)

(1) подразумевает (2). Пусть функция φ(B) имплицитно задана как \(A{(w) = \varphi}(B(w))\). Исходя из аксиомы монотонности, для каждого значения В существует единственное значение φ(B). Тогда первая и вторая производные функций по w имеют вид:

\(A'{(w) = \varphi}'(B)B'(w),\)

\(A''{(w) = \varphi}''(B)(B'{{(w))}^{2} + \varphi}'(B)B''(w).\)

Поскольку \(A^{'}{(w) \gt 0},B^{'}{(w) \gt 0}\), также и \(\varphi^{'}{(B) \gt 0}\). Разделив вторую производную на первую, получаем:

\({\frac{A''(w)}{A'(w)} = \frac{\varphi''(B)}{\varphi'(B)}}B^{'}{(w) + \frac{B''(w)}{B'(w)}}.\)

Или:

\(\frac{\varphi''(B)}{\varphi'(B)}B^{'}{(w) = {\frac{A''(w)}{A'(w)} - \frac{B^{''}(w)}{B^{'}(w)}} \lt 0.}\)

Следовательно, \(\varphi^{''}{(B) \lt 0}\), т.е. φ(B) – возрастающая строго вогнутая функция.

(2) подразумевает (3). Пусть \(\overset{\sim}{\varepsilon}\) - случайная переменная, причем \(E\overset{\sim}{\varepsilon}\)=0, а \(\mathit{RP}(\overset{\sim}{\varepsilon})\) – сумма денег, от которой потребитель готов отказаться, чтобы избежать риска, связанного с \(\overset{\sim}{\varepsilon}\).

Тогда для А и В будут выполняться равенства:

\(A{\left( {{w - \mathit{RP}_{A}}\left( \overset{\sim}{\varepsilon} \right)} \right) = \mathit{EA}}\left( {w + \overset{\sim}{\varepsilon}} \right),\)

\(B{\left( {{w - \mathit{RP}_{B}}\left( \overset{\sim}{\varepsilon} \right)} \right) = \mathit{EB}}\left( {w + \overset{\sim}{\varepsilon}} \right).\)

Для следующего шага доказательства воспользуемся неравенством Йенсена: если x – невырожденная случайная переменная и f(x) – строго вогнутая функция, то \(\mathit{Ef}{(x) \lt f}(\mathit{Ex})\).

Основываясь на неравенстве Йенсена, получаем:

\(A{\left( {{w - \mathit{RP}_{A}}\left( \overset{\sim}{\varepsilon} \right)} \right) = \mathit{EA}}{\left( {w + \overset{\sim}{\varepsilon}} \right) =}\)

\({}\mathit{E\varphi}(B\left( {w + \overset{\sim}{\varepsilon}} \right){) \lt \varphi}{\left( {\mathit{EB}\left( {w + \overset{\sim}{\varepsilon}} \right)} \right) =}\)

\({}\varphi(B{\left( {{w - \mathit{RP}_{B}}\left( \overset{\sim}{\varepsilon} \right)} \right) = A}({w - \mathit{RP}_{B}}\left( \overset{\sim}{\varepsilon} \right))\).

Отсюда: \(\mathit{RP}_{A}{\left( \overset{\sim}{\varepsilon} \right) \gt \mathit{RP}_{B}}\left( \overset{\sim}{\varepsilon} \right)\) для любого w и любой случайной переменной при \(E\overset{\sim}{\varepsilon}\)=0. Следовательно, для достоверного эквивалента любой лотереи справедливо: \(\mathit{CE}_{A} \lt \mathit{CE}_{B}\).

(3) подразумевает (1). Рассмотрим семейство случайных переменных, определенных как \(t\overset{\sim}{\varepsilon}\), где \(t\in\lbrack 0,1\rbrack\) и \(E\overset{\sim}{\varepsilon}\)=0.

Пусть \(\pi(t)\) – премия за риск как функция от t. Разложим ее по формуле Тейлора второго порядка в окрестностях точки t=0:

\(\pi(t)\approx\pi{(0) + \pi^{'}}(0){t + \frac{1}{2}}\pi^{''}(0)t^{2}\)

Из определения премии за риск: \(A{\left( {{w - \pi}(t)} \right) = \mathit{EA}}\left( {{w + t}\overset{\sim}{\varepsilon}} \right)\).

Дважды дифференцируя это выражение по t, получаем:

\({- A^{'}}\left( {{w - \pi}(t)} \right)\pi^{'}{(t) = E}{\lbrack{A'({w + t}\overset{\sim}{\varepsilon})\overset{\sim}{\varepsilon}}\rbrack}\)

\({A'}^{'}\left( {{w - \pi}(t)} \right){{\pi^{'}(t)}^{2} - A}'\left( {{w - \pi}(t)} \right)\pi^{'}'{(t) = E}{\lbrack{A''({w + t}\overset{\sim}{\varepsilon}){\overset{\sim}{\varepsilon}}^{2}}\rbrack}\)

Если t=0, то \(\pi'{(0) = 0}\) и из второго уравнения получаем:

\(\pi^{''}{(0) = \frac{- {EA^{''}(w){\overset{\sim}{\varepsilon}}^{2}}}{A^{'}(w)} = \frac{- {A^{''}(w){E\overset{\sim}{\varepsilon}}^{2}}}{A^{'}(w)} = \frac{- {A^{''}(w)}}{A^{'}(w)}}\sigma^{2}\),

где \({\sigma^{2} = E}{{({\overset{\sim}{\varepsilon} - E}\overset{\sim}{\varepsilon})}^{2} = E}{\overset{\sim}{\varepsilon}}^{2}\) - дисперсия \(\overset{\sim}{\varepsilon}\).

Отсюда из \(\pi(t)\approx{0 + 0 - \frac{A^{''}(w)\sigma^{2}}{A^{'}(w)2}}t^{2}\) следует, что при сколь угодно малых значениях t премия за риск (а значит и гарантированный эквивалент лотереи) монотонно зависит от степени неприятия риска.

Иллюстрация теоремы Эрроу-Пратта приведена на рис. 5.12, где U(g)_A=α₁U_A(w₁)+α₂U_A(w₂) и U(g)_B=α₁U_B(w₁)+α₂U_B(w₂).

Рисунок 5.12. Иллюстрация теоремы Эрроу-Пратта

5.3.3. Функции полезности с постоянными абсолютной или относительной мерами Эрроу-Пратта

5.3.3.1. Функция полезности с постоянной абсолютной мерой

В различных областях экономической науки часто используются функции полезности, характеризующиеся постоянством абсолютной либо относительной меры Эрроу-Пратта.

Функция полезности, для которой абсолютная мера Эрроу-Пратта остается постоянной величиной независимо от величины дохода индивида (constant absolute risk aversion, CARA), определяется следующим дифференциальным уравнением:

\({\frac{- {U^{''}(x)}}{U^{'}(x)} = \rho = \mathit{const}}.(5.3.3)\)

Понизим его степень, вводя вспомогательную функцию \(U^{'}{(x) = y}(x)\): \({\frac{- \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}{y} = \rho}.\) Разделяя переменные \(\frac{\mathit{dy}}{y} = {- \mathit{\rho dx}}\), интегрируем полученное уравнение: \({{\int{d\ln|y|}} = {- \rho}}{{\int\mathit{dx}} + \ln}c_{1}\), т.е. \(\ln{|y| = {{- \mathit{\rho x}} + \ln}}c_{1}\), где \(\ln c_{1}\) – константа интегрирования; а затем потенцируем полученное решение: \({y = c_{1}}e^{- \mathit{\rho x}}\). Возвращаясь к исходной функции полезности \({\frac{\mathit{dU}}{\mathit{dx}} = c_{1}}e^{- \mathit{\rho x}}\), решаем соответствующее дифференциальное уравнение: \({\mathit{dU} = \frac{- c_{1}}{\rho}}de^{- \mathit{\rho x}}\). Интегрируя его, получаем общий вид функции CARA:

\(U{(x) = \frac{- c_{1}}{\rho}}{e^{- \mathit{\rho x}} + c_{2}}.\) (5.3.4)

Применяя предпосылку об отсутствии «рога изобилия» к функции полезности (5.3.4), получаем соотношение между константами: \(\frac{c_{1}}{\rho} = c_{2}\). Без ограничения общности можно положить \(c_{2} = 1\), тогда функция CARA принимает вид (рис. 5.13):

\(U{(x) = {1 - e^{- \mathit{\rho x}}}}.(5.3.5)\)

Рисунок 5.13. Функция с постоянным абсолютным неприятием риска

5.3.3.2. Функция полезности с постоянной относительной мерой

Функция полезности с постоянным относительным неприятием риска (constant relative risk aversion, CRRA) характеризуется постоянством соответствующей меры Эрроу–Пратта:

\(\frac{- {u^{''}(x)}}{u^{'}(x)}{x = \theta = \mathit{const}},\)

или

\(u^{''}(x){x = {- \theta}}u^{'}(x).(5.3.6)\)

Вводя обозначение \(u^{'}(x)\equiv y\), понижаем степень уравнения:

\({\frac{\mathit{dy}}{y} = {- \theta}}\frac{\mathit{dx}}{x}.\) \((5.3.7)\)

Применяя формулу логарифмической производной \(d\ln{|y| = {- \theta}}d\ln|x|\), интегрируя и возвращаясь к исходной переменной, получаем линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка:

\({\frac{\mathit{du}}{\mathit{dx}} = c_{1}}x^{- \theta}.(5.3.8)\)

Будем рассматривать случай \(\theta\neq 1\). В этой ситуации уравнение \((5.3.8)\) можно переписать так:

\({\mathit{du} = c_{1}}x^{- \theta}{\mathit{dx} = \frac{c_{1}}{\left( {1 - \theta} \right)}}dx^{1 - \theta},\theta\neq 1.(5.3.9).\)

Интегрируя, получаем:

\(u{(x) = {\frac{c_{1}x^{1 - \theta}}{1 - \theta} + c_{2}}},\theta\neq 1.(5.3.10)\)

Константы интегрирования можно положить такими: \({c_{1} = 1},\) \(c_{2} = \frac{- 1}{1 - \theta}\).

Таким образом, получаем элементарную функцию полезности (Бернулли) с постоянным относительным неприятием риска \((\theta\neq 1\)):

\(u{(x) = \frac{x^{1 - \theta} - 1}{1 - \theta}}.(5.3.11)\)

Графики элементарной функции полезности с постоянным относительным неприятием риска при \(\theta\neq 1\) приводятся на рис. 5.14-5.15.

При \(\theta = 1\) в уравнении (5.3.8) наблюдается особенность: оно принимает вид \(\left( {c_{1} = 1} \right)\):

\({\frac{\mathit{du}}{\mathit{dx}} = \frac{1}{x}},\mathit{или}{\mathit{du} = \frac{\mathit{dx}}{x} = d}\ln x.\) \((5.3.12)\)

Его решением является логарифмическая функция полезности: \({u = \ln}{x + c_{2}}\). Константу \(c_{2}\) без ограничения общности можно положить нулевой: \({u = \ln}x.\) Данный случай является предельным для предыдущего при \(\theta\rightarrow 1.\) Действительно, полагая \(\sigma = {1 - \theta}\) и применяя правило Лопиталя, получаем (рис. 5.16):

\({{\lim\limits_{\theta\rightarrow 1}\frac{x^{1 - \theta} - 1}{1 - \theta}} = {\lim\limits_{\sigma\rightarrow 0}\frac{x^{\sigma} - 1}{\sigma}} = {\lim\limits_{\sigma\rightarrow 0}\frac{x^{\sigma}\ln x}{1}} = \ln}x.\) \((5.3.13)\)

Рисунок 5.16. Функция с постоянным абсолютным неприятием риска, θ = 1

Рассмотрим аддитивную межвременную функцию полезности, построенную на базе динамической функции CRRA \(U_{t} = \frac{x_{t}^{1 - \theta} - 1}{1 - \theta}\) :

\({u = {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}\frac{u_{t}}{\left( {1 + \rho} \right)^{t}}} = {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}\frac{\left( {x_{t}^{1 - \theta} - 1} \right)}{\left( {1 - \theta} \right)\left( {1 + \rho} \right)^{t}}}},(5.3.14)\)

где \(0 \lt \rho \lt 1\) – норма межвременных предпочтений.

Рассчитаем предельную норму межвременного замещения для данной функции:

\({\mathit{MRS}_{t,{t + 1}} = \frac{- {dx_{t + 1}}}{dx_{t}} = \frac{\mathit{MU}_{t}}{\mathit{MU}_{t + 1}} = \left( {1 + \rho} \right)}{\left( \frac{x_{t}}{x_{t + 1}} \right)^{- \theta} = \left( {1 + \rho} \right)}\left( \frac{x_{t + 1}}{x_{t}} \right)^{\theta}.(5.3.15)\)

Очевидно, что

\({\frac{x_{t + 1}}{x_{t}} = \frac{\mathit{MRS}_{t,{t + 1}}^{\frac{1}{\theta}}}{\left( {1 + \rho} \right)^{\frac{1}{\theta}}}}.\)

Аддитивная межвременная функция полезности, построенная на базе динамической функции CRRA, характеризуется постоянной межвременной эластичностью замещения:

\({\delta = \frac{d\left( \frac{x_{t + 1}}{x_{t}} \right)}{d\mathit{MRS}_{t,{t + 1}}}}{\frac{\mathit{MRS}_{t,{t + 1}}}{\left( \frac{x_{t + 1}}{x_{t}} \right)} = \frac{1}{\left( {1 + \rho} \right)^{\frac{1}{\theta}}}}\frac{d\mathit{MRS}_{t,{t + 1}}^{\frac{1}{\theta}}}{d\mathit{MRS}_{t,{t + 1}}}{\frac{\mathit{MRS}_{t,{t + 1}}\left( {1 + \rho} \right)^{\frac{1}{\theta}}}{\mathit{MRS}_{t,{t + 1}}^{\frac{1}{\theta}}} = \frac{1}{\theta}}.(5.3.16)\)

Заглянем в Большую российскую энциклопедию: Меры Эрроу-Пратта

---

1. См.: Антипина О. Н., Вереникин А. О. Меры Эрроу – Пратта // Большая российская энциклопедия: научно-образовательный портал – URL: https://bigenc.ru/c/mery-errou-pratta-82ca74/?v=9426948. – Дата публикации: 20.09.2023. – Дата обновления: 09.01.2024.↩︎

2. Arrow K.J. Aspects of the Theory of Risk-Bearing. – Helsinki: Yrjö Jahnssonin Säätiö, 1965. Arrow K.J. Essays in the Theory of Risk-Bearing. – Chicago: Markham Publishing Company, 1971. Pratt J.W. Risk Aversion in the Small and in the Large // Econometrica. – 1964. – Vol. 32 (1-2). – P. 122-136.↩︎

3. Pratt J.W. Risk Aversion in the Small and in the Large // Econometrica. – 1964. – Vol. 32 (1-2). – P. 135.↩︎

4. \(\mathit{AP}_{A} = \frac{- \frac{- 1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x}\).↩︎

5. Там же.↩︎

6. Там же.↩︎

7. Использована стратегия доказательства, приведенная в учебнике: Varian H.R. Microeconomic Analysis. - 3^rd ed. – N.Y., L.: W.W. Norton & Company, 1992. Р. 182-184.↩︎