5.2. Денежные лотереи и отношение к риску

5.2.1. Денежные лотереи и отношение к риску: дискретный случай

Рассмотрим простые денежные лотереи, множество исходов которых А составляют различные неотрицательные значения денежного богатства (или дохода): \( А = \boldsymbol{R}_+\).

Пусть каждая простая лотерея \(g\) имеет вид \((\alpha_{1}\circ x_{1},\ldots,\alpha_{n}\circ x_{n})\), где \(\alpha_{i}\geq 0\) – вероятности исходов, \({\sum\limits_{i = 1}^{n}\alpha_{i}} = 1\), \(x_{i}\geq 0\) - денежные суммы богатства (или дохода), \(n \gt 0\) – целое число. Пусть также \(u(x)\) – непрерывная и возрастающая индивидуальная функция полезности, которая дифференцируема и \(u^{'}{(x) \gt 0}\) для всех \(x\).

Функцию полезности \(u(\bullet)\), определенную на значениях денежного богатства (или дохода), принято называть элементарной функцией полезности или функцией полезности Бернулли¹, в отличие от функции полезности фон Неймана-Моргенштерна \(U(\bullet)\), определенной на множестве лотерей.

По аксиоме сведения к простым лотереям, функция полезности фон Неймана-Моргенштерна на множестве простых лотерей даст полное описание предпочтений потребителя.

Тогда, если в результате лотереи \(g\) сумму денег \(x_i\) потребитель может получить с вероятностью \(\alpha_i\), его ожидаемый выигрыш (случайное богатство (или доход)) равен:

\( E(g) = \sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_i x_i . \)

Если у потребителя также есть возможность гарантированно получить ожидаемый выигрыш, то оценки полезностей двух имеющиеся у него альтернатив будут следующими:

\(U{\left( \text{g} \right) = {\sum\limits_{i = 1}^{n}{\alpha_{i}u\left( x_{i} \right),}}}\)

\(u(E(g)) = u\left(\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i\right),\)

где \(U(g)\) – ожидаемая полезность в случае участия в лотерее, \(u(Е(g))\) – полезность ожидаемого выигрыша в случае его гарантированного получения.

Индивида называют:

• Склонным к риску относительно лотереи \(g\), если \(u(E(g)) \lt U(g)\);
• Не склонным к риску относительно лотереи \(g\), если \(u(E(g)) \gt U(g)\);
• Нейтральным к риску относительно лотереи \(g\), если \(u(E(g)) = U(g)\).

Если приведенные условия выполняются для любой невырожденной (приписывающей положительные вероятности хотя бы двум различным уровням богатства) простой лотереи \(g\), то индивида называют склонным, не склонным или нейтральным к риску на всем пространстве лотерей \(G\).

Теорию отношения к риску разработали в 1948 г. совместно американский экономист Милтон Фридмен (Нобелевский лауреат 1976 г.) и математик Леонард Сэвидж². Согласно их теории, отношение потребителя к риску отражают конкретные свойства функции полезности.

Исходя из линейного вида функции ожидаемой полезности, все возможные ее значения будут расположены на отрезке АВ, где точка А соответствует полезности, получаемой индивидом от богатства \(x_1\), а точка \(В\) – от богатства \(x_2\) (рис. 5.2, 5.3, 5.4).

Отметим на горизонтальной оси величину случайного богатства индивида \(E(g)\). При помощи вертикальной (до пересечения с функцией) и горизонтальной проекции (до пересечения с вертикальной осью) покажем: во-первых, значение функции ожидаемой полезности \(U(g)\), соответствующее точке \(С\)³, и, во-вторых, величину полезности \(u(E(g))\), которую приносит потребителю эквивалент его случайного богатства.

Гарантированный эквивалент любой простой денежной лотереи \(g\) – это такая сумма денег \(CE\), полученная с определенностью, которая приносит индивиду такую же полезность, как и данная лотерея, т.е.: \(U(g) \equiv u(CE)\).

Очевидно, что для склонного к риску индивида значение функции ожидаемой полезности будет больше, чем величина полезности эквивалента его случайного богатства. Именно по этой причине склонный к риску индивид предпочтет ситуацию риска возможности получения гарантированного богатства.

Если индивид склонен к риску, то его функция полезности является строго выпуклой (рис. 5.2). Предельная полезность богатства для такого индивида возрастает с ростом \(x\), т.е. \(u^{''}{(x) \gt 0}\).

Неравенство \({\mathit{CE} \gt E}(g)\) эквивалентно характеристике индивида как рискофила. Действительно, в силу того что функция полезности \(U(\bullet)\) является неубывающей, из данного неравенства следует, что \(U{\left( \mathit{CE} \right) \gt U}(E(g))\), откуда, по определению гарантированного эквивалента, получается неравенство Йенсена, которое характеризует экономического агента как рискофила:

\(U(g) \gt u(E(g))\)

или

\(\alpha u(x_1) + (1 - \alpha)u(x_2) \gt u(\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2).\)

При этом денежный эквивалент меры предпочтения неопределенности можно определить как разность \(CE - E(g)\), где \(СЕ\) – гарантированный эквивалент лотереи.

Рисунок 5.2. Функция полезности индивида, склонного к риску

Функция полезности не склонного к риску индивида имеет вид строго вогнутой кривой (рис. 5.3). Предельная полезность богатства для такого индивида убывает с ростом \(x\), т.е. \(u^{''}{(x) \lt 0}\).

Неравенство \({\mathit{CE} \lt E}(g)\) эквивалентно характеристике индивида как уклоняющегося от риска. Действительно, в силу того что функция полезности \(U(\bullet)\) является неубывающей, из данного неравенства следует, что \(U{\left( \mathit{CE} \right) \lt U}(E(g))\), откуда, по определению гарантированного эквивалента, получается неравенство Йенсена, которое характеризует экономического агента как рискофоба (знак неравенства меняется на противоположный по сравнению с тем неравенством, которое характеризует рискофила):

\(U(g) \lt u(E(g))\)

или

\(\alpha u(x_1) + (1 - \alpha)u(x_2) \lt u(\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2).\)

Как и в предыдущем случае, отметим на горизонтальной оси величину случайного богатства индивида \(E(g)\) и покажем значение функции ожидаемой полезности \(U(g)\), соответствующее точке \(С\). Продолжив вертикальную проекцию до пересечения с функцией полезности, получим величину полезности \(u(E(g))\), которую приносит индивиду гарантированный эквивалент его случайного богатства. Очевидно, что гарантированный эквивалент случайного богатства приносит индивиду величину полезности, большую, чем величина ожидаемой полезности. Именно поэтому не склонный к риску индивид предпочтет возможность получения гарантированного богатства ситуации риска.

Рисунок 5.3. Функция полезности индивида, не склонного к риску

Однако за гарантию отсутствия риска не склонный к риску индивид будет готов лишиться суммы \(Е(g)-CE\) при условии, что, по определению, гарантированный эквивалент лотереи приносит ему уровень полезности, равный ожидаемому. В этом случае сумма, равная разности \(Е(g)-CE\), выступает как своего рода «плата за избежание риска» или «премия за риск».

Таким образом, премия за риск – это такая сумма денег \(RP\), что: \(U(g)=u(Е(g)-RP)\), т.е.:

\(RP=E(g)-CE.\)

Ее не склонный к риску индивид готов «заплатить», чтобы избежать связанного с лотереей риска.

Функция полезности нейтрального к риску индивида - линейная (выпуклая и вогнутая одновременно) функция с положительным наклоном (рис. 5.4). Предельная полезность богатства не изменяется с ростом \(x\), т.е. \(u^{''}{(x) = 0}\). Неравенство Йенсена обращается в равенство:

\(U(g)=u(E(g))\)

или

\(\alpha u(x_1)+(1-\alpha)u(x_2)=u(\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2).\)

Для такого индивида значения функции ожидаемой полезности в каждой точке (в том числе и в точке \(С\) совпадают со значениями функции полезности для каждого возможного значения случайного богатства и гарантированного эквивалента лотереи. Поэтому безразличный к риску индивид не отдает предпочтения ни ситуации риска, ни возможности получения гарантированного богатства, не видя между ними разницы.

Рисунок 5.4. Функция полезности индивида, нейтрального к риску

5.2.2. Денежные лотереи и отношение к риску: непрерывный случай

Пусть \(х\) – непрерывная переменная, обозначающая исходы рассматриваемых денежных лотерей, а \(F{(x) = \mathit{Prob}}(\overset{\sim}{x}\leq x)\) – функция распределения – вероятность того, что реализовавшийся выигрыш \(\overset{\sim}{x}\) не превышает величины \(х\). При этом функция распределения \(F(x)\) связана с функцией плотности вероятности \(f(\bullet)\) следующим образом: \(F{(x) = {\int\limits_{- \infty}^{x}{f(t)\mathit{dt}}}}.\)

Тогда итоговое распределение денег, порожденное сложной лотереей \((\text{g}_{\text{1}},\ldots{,\text{g}}_{k};a_{1},\ldots,a_{k})\), представляет собой взвешенное среднее распределений, порожденных каждой из лотерей, входящих в данную сложную лотерею:

\(F{(x) = {\sum\limits_{k}{a_{k}F_{k}(x)}}}\),

где \(F_{k}(\bullet)\) – распределение выигрышей в лотерее \(g_k\).

Поэтому под множеством лотерей G будет пониматься множество всех функций распределения на неотрицательных суммах денег.

Отсюда функция ожидаемой полезности примет вид:

\(U(F) = \int u(x) dF(x)\)

или

\(U(F) = \int u(x) f(x) dx\)

и будет представлять собой распространение формы ожидаемой полезности на непрерывный случай.

Таким образом, функция полезности фон Неймана-Моргенштерна \(U(\bullet)\), определенная на лотереях, представляет собой математическое ожидание возрастающей и непрерывной элементарной функции полезности \(u(\bullet)\), или функции полезности Бернулли, определенной на конкретных суммах денег.

Следовательно, индивид не склонен к риску, если для него для любой лотереи \(F(\bullet)\) вырожденная лотерея, дающая сумму денег \(\int{\mathit{xdF}(x)}\) c определенностью, предпочтительнее, чем сама лотерея, и неравенство Йенсена имеет вид:

\( u\left(\int x dF(x)\right) \gt U(F) = \int u(x) dF(x) \).

Строгая несклонность к риску эквивалентна строгой вогнутости элементарной функции полезности.

Индивид склонен к риску, если для него неравенство Йенсена имеет вид:

\( u \left( \int x dF(x) \right) \lt U(F) = \int u(x) dF(x) \).

Строгая склонность к риску эквивалентна строгой выпуклости элементарной функции полезности.

Индивид нейтрален к риску, если для него неравенство Йенсена превращается в равенство:

\( u \left( \int x dF(x) \right) = U(F) = \int u(x) dF(x) \).

Нейтральность к риску эквивалентна линейности элементарной функции полезности.

Гарантированный эквивалент лотереи F(∙) представляет собой такую сумму денег c(F), полученную с определенностью, которая приносит индивиду такую же полезность, как и данная лотерея, т.е.:

\(u{\left( {c(F)} \right) = {\int{u(x)\mathit{dF}(x)}}}\).

Премия за риск \(\rho(F)\) – это разница между ожидаемым выигрышем лотереи F(∙) и ее гарантированным эквивалентом, т.е.:

\(\rho{(F) = {\int{\mathit{xdF}{(x) - c}(F)}}}.\)

 

5.2.3. Социально-экономическая интерпретация отношения к риску

Приобретение страховок как типичное действие индивида не склонного к риску и участие в различного рода азартных играх как типичный поступок индивида склонного к риску могут сочетаться в одном человеке, отражая тот факт, что различное отношение людей к риску является не просто врожденной чертой характера, а проявляется у одних и тех же людей при разных обстоятельствах.

Поэтому индивидуальная функция полезности может иметь вид кривой, несколько раз меняющей вогнутость на выпуклость, как показано на рис. 5.5.

Рисунок 5.5. Социально-экономическая интерпретация отношения к риску

Возможному наличию у функции полезности денежного дохода трех участков - вогнутого, выпуклого и вновь вогнутого - авторы теории отношения к риску М.Фридмен и Л.Сэвидж придали социально-экономическую интерпретацию, утверждая, что функция полезности вогнута на участках, соответствующих интервалам доходов представителей отдельных социально-экономических классов (\(I_0 - I_1\) – «низший» класс, \(I_2 - I_3\) – «высший» класс) и выпукла на переходном участке (\(I_1 - I_3\)). Действительно, неквалифицированный рабочий из «низшего» класса скорее всего предпочтет гарантированный доход, приблизительно такой же, как и у большинства его коллег, по сравнению с выигрышем в азартной игре, которая в лучшем случае сделает его одним из наиболее состоятельных неквалифицированных рабочих, а в худшем случае - одним из наименее состоятельных. Однако гарантированному доходу он может предпочесть азартную игру, которая представляет малую вероятность перехода в «высший» класс. Как отмечают авторы, «люди идут и будут идти на большой риск, чтобы отличиться, даже если они знают, каков этот риск»⁴.

5.2.4. Прикладные аспекты теории отношения к риску

5.2.4.1. Спрос на страхование

Страхование - способ избежать риска, к которому часто прибегают не склонные к риску индивиды.

Пусть для не склонного к риску индивида выполняются следующие условия:

• w – богатство индивида;
• u(w) – индивидуальная функция полезности;
• L – возможные потери богатства, например, в результате урагана;
• α – вероятность потерь;
• р – цена единицы страхового покрытия;
• Z – число единиц страхового покрытия, покупаемых индивидом.

Тогда:

• w_L=w-L+Z-p∙Z – богатство индивида в случае урагана;
• w_NL=w-p∙Z – богатство индивида в отсутствие урагана.

Индивид решает вопрос: каков для него оптимальный объем страхового покрытия?

Очевидно, что оптимальным для него объемом страхового покрытия является такая величина Z*, которая максимизирует функцию ожидаемой полезности:

U(w)=αu(w_L)+(1-α)u(w_NL).

Или:

U(w)=αu(w-L+Z-p∙Z)+(1-α)u(w-p∙Z).

Поскольку функция ожидаемой полезности не склонного к риску индивида строго вогнута и Z*>0, условие первого порядка является необходимым и достаточным условием глобального максимума:

U'(w)=αu’(w-L+Z*-p∙Z*)(1-p)+(1-α)u’(w-p∙Z*)(-p)=0.

Предположим, что у страховой компании нет административных издержек и она предлагает актуарно справедливые страховые полисы⁵ по цене за единицу страхового покрытия α=р, которая приносит ей нулевую ожидаемую прибыль (ЕPR=p∙Z-αZ=0 при α=р). Тогда:

α(1-α)u’(w-L+Z*-p∙Z*) - α(1-α)u’(w-p∙Z*)=0,
u’(w-L+Z*-p∙Z*) - u’(w-p∙Z*)=0,
w-L+Z*-p∙Z* - w-p∙Z*=0,
Z*=L.

Таким образом, в случае актуарно справедливой страховки не склонный к риску индивид покупает полную страховку и его богатство равно w-αL вне зависимости от исхода.

Пусть справедливая страховая сумма равна разности w₂-w₁ (покрытие потерь L в результате наступления неблагоприятного исхода), а справедливая цена страхового полиса (Р):

\(Р=\alpha(w_2-w_1)=w_2-Ew\).

При покупке справедливой страховки не склонному к риску индивиду гарантирован одинаковый уровень богатства, независимо от того, наступит страховой случай или нет. Однако получаемая им полезность при наличии страховки u(Еw) будет выше, чем ожидаемая полезность без страховки. Следует заметить также, что не склонный к риску индивид будет готов заплатить за страховку сумму, превышающую справедливую цену на величину премии за риск, т.е. вплоть до величины разности w₂-CE, при условии, что страховкой ему будет гарантировано богатство Еw (рис. 5.6).

Таким образом, максимальная цена, которую может назначить страховая компания за страховой полис, составляет:

\(P_{max}  = P + RP\).

Интерактивный рисунок из 3-х частей (Информация для технического специалиста: в качестве образца для оформления рисунка используйте Figure 7.4a, 7.4b по ссылке: https://www.core-econ.org/the-economy/microeconomics/07-firm-and-customers-02-breakfast-cereal.html#figure-7-4ad)

Рисунок 5.6. Страхование

Понятие премии за риск допускает альтернативную трактовку в терминах страховки от потенциального ущерба. Пусть в игре с двумя исходами \(x_{1}\) и \(x_{2}\), где \(x_{2} \gt x_{1} = {x_{2} - D}\), которые могут произойти с вероятностями соответственно \(p_{1}\) и \(p_{2} = {1 - p_{1}}\), индивид желает гарантировать себе получение максимального из выигрышей, т.е. \(x_{2}\). При наступлении неблагоприятного исхода \(x_{1}\), который представляет собой сокращение дохода на величину \(D\) по отношению к максимально возможному выигрышу \(x_{2}\), страховая компания обещает данному индивиду в обмен на приобретение страхового полиса стоимостью \(I\) полностью компенсировать убыток в размере \(D\). Таким образом, при оплате страховой премии \(I\) индивид гарантированно получит доход в размере \(x_{2} - I\) независимо от фактического выигрыша в данной игре. Очевидно, что максимальная стоимость страхового полиса, которую согласится заплатить индивид для получения гарантированного дохода \(x_{2} - I\), удовлетворяет соотношению:

\({\mathit{EU} = p_{1}}U{\left( {x_{2} - D} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U{\left( x_{2} \right) = p_{1}}U{\left( {x_{2} - D - I + D} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U{\left( {x_{2} - I} \right) = U}\left( {x_{2} - I} \right).\)

Следовательно, доход в размере \({x_{2} - I} = \mathit{CE}\) представляет собой гарантированный эквивалент игры с исходами \(x_{1} = {x_{2} - D}\) и \(x_{2}\). При этом премия за риск страховой компании будет равна разнице между стоимостью страхового полиса \(I\) и ожидаемыми платежами по убыткам \(p_{1}D\):

\({{\mathit{Ex} - \mathit{CE}} = p_{1}}{x_{1} + p_{2}}{{x_{2} - \left( {x_{2} - I} \right)} = p_{1}}{\left( {x_{2} - D} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}{{x_{2} - \left( {x_{2} - I} \right)} = {I - p_{1}}}D.\)

Числовой пример

Рассмотрим числовой пример, иллюстрирующий нахождение максимальной платы за страховку, которую может назначить страховая компания. Пусть индивид с элементарной функцией полезности \(U{(x) = \ln}x\) располагает богатством в размере 100 денежных единиц, но с вероятностью \({p_{1} = 0},25\) в результате стихийного бедствия может потерять часть этого богатства на сумму \({D = 2}0\) (ден. ед.). Очевидно, что справедливая плата за страховку, позволяющая страховой компании осуществлять безубыточную деятельность, будет равна ожидаемому платежу, связанному с потенциальными убытками страхователя: \({I_{\mathit{спр}} = 0,25}\bullet{20 = 5}\) (ден. ед.). Определим максимальную сумму, на которую страховая компания может рассчитывать для покрытия операционных издержек и получения прибыли при заключении страхового контракта.

Индивид не склонен к риску. Его ожидаемая полезность равна:

\({\mathit{EU} = 0,75}\bullet\ln{100 + 0,25}\bullet\ln{80 = 4,5494 = U}\left( \mathit{CE} \right).\)

Максимальная плата за страховку \(I\), которую может назначить страховая компания, должна удовлетворять равенству: \(\ln{\left( {100 - I} \right) = \ln}{\mathit{CE} = 4,5494.}\)

Решая полученное уравнение относительно гарантированного эквивалента игры \(\mathit{CE} = {100 - I} = e^{4,5494}\), найдем максимальную цену страхового полиса: \({I = {100 - 94,58} = 5,4}2.\)

5.2.4.2 Совместное несение рисков

Предположим, что существуют два несклонных к риску индивида с одинаковыми функциями полезности \(U = (w)\). Пусть каждый из них располагает богатством \(w_{1}\), стоимость которого сохранится с вероятностью \(p_{1}\), но с вероятностью \(p_{2} = {1 - p_{1}}\) возможно снижение стоимости активов до уровня \(w_{2}\). Наступление этих событий является независимым для данных индивидов. С вероятностью \(p_{1}^{2}\) у обоих индивидов богатство сохранит стоимость, с вероятностью \(p_{1}\left( {1 - p_{1}} \right)\) у первого индивида активы сохранятся, в второй – понесет ущерб; наоборот, с вероятностью \(\left( {1 - p_{1}} \right)p_{1}\) первый из них пострадает в финансовом плане, а второй – избежит потерь; наконец, с вероятностью \(\left( {1 - p_{1}} \right)^{2}\) понесут убытки оба индивида. При этом у них есть возможность договориться о компенсации убытков друг другу. Иными словами, индивиды могут усреднять свои доходы при каждом из указанных возможных сочетаний событий. Фактически речь здесь идет об организации страхового кооператива.

Ожидаемая полезность каждого из них при совместном несении рисков составит:

\({\mathit{EU}_{\mathit{rp}} = p_{1}^{2}}U{\left( w_{1} \right) + 2}p_{1}\left( {1 - p_{1}} \right)U{\left( \frac{w_{1} + w_{2}}{2} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)^{2}}U\left( w_{2} \right).\)

Поскольку каждый из индивидов не приемлет риск, постольку для него справедливо неравенство Йенсена, характеризующее строго вогнутую элементарную функцию полезности, в котором, в частности, можно положить равновероятными наступление благоприятного и неблагоприятного исходов:

\(U{\left( \frac{w_{1} + w_{2}}{2} \right) \gt \frac{U{\left( w_{1} \right) + U}\left( w_{2} \right)}{2}}.\)

Домножим обе части неравенства на \(2p_{1}\left( {1 - p_{1}} \right)\):

\(2p_{1}\left( {1 - p_{1}} \right)U\left( \frac{w_{1} + w_{2}}{2} \right)\geq p_{1}\left( {1 - p_{1}} \right)U{\left( w_{1} \right) + p_{1}}\left( {1 - p_{1}} \right)U{\left( w_{2} \right) = p_{1}}U{\left( w_{1} \right) - p_{1}^{2}}U{\left( w_{1} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U{\left( w_{2} \right) - \left( {1 - p_{1}} \right)^{2}}U\left( w_{2} \right).\)

Преобразуя неравенство, получаем:

\({\mathit{EU}_{\mathit{rp}} = p_{1}^{2}}U{\left( w_{1} \right) + 2}p_{1}\left( {1 - p_{1}} \right)U{\left( \frac{w_{1} + w_{2}}{2} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)^{2}}U\left( w_{2} \right)\geq p_{1}U{\left( w_{1} \right) + \left( {1 - p_{1}} \right)}U{\left( w_{2} \right) = \mathit{EU}_{\mathit{no}\mathit{rp}}}.\)

Таким образом, индивиду выгодно совместное несение рисков (рис. 5.7).

Рисунок 5.7. Выгоды от совместного несения рисков для рискофоба

Очевидно, что с точки зрения рискофила, для которого свойственно неравенство Йенсена, характеризующее строго выпуклую элементарную функцию полезности

\(U{\left( \frac{w_{1} + w_{2}}{2} \right) \lt \frac{U{\left( w_{1} \right) + U}\left( w_{2} \right)}{2}},\)

соглашение о совместном несении рисков будет невыгодным.

Рискофил будет предпочитать ту из игр с одинаковым ожидаемым доходом, которая соответствует большей вариации возможных выигрышей, или, что эквивалентно, игру с более высокими вероятностями «крайних» значений дохода и без дополнительного промежуточного исхода, который близок к ожидаемому доходу (рис. 5.8).

Рисунок 5.8. Невыгодность совместного несения риска для рискофила

Числовой пример

Приведем пример, иллюстрирующий выгоды от совместного несения рисков для индивида, не склонного рисковать. Пусть его функция полезности по отношению к располагаемому богатству имеет вид: \(U = \sqrt{w}\). Допустим, далее, что данный индивид располагает некоторым активом стоимостью 100 (ден.ед.), которая с вероятностью \(\frac{2}{5}\) может сократиться до 25 (ден.ед.). Ожидаемая стоимость этой игры при отсутствии совместного несения рисков составит: \({\mathit{Ew} = \frac{3}{5}}\bullet{100 + \frac{2}{5}}\bullet{25 = 70.}\)

Рассчитаем ожидаемую полезность данного индивида при совместном несении рисков и сравним ее с ожидаемой полезностью без соглашения о компенсации убытков:

\({\mathit{EU}_{\mathit{rp}} = \frac{9}{25}}{\sqrt{100} + \frac{12}{25}}{\sqrt{61,5} + \frac{4}{25}}{\sqrt{25} = \frac{{22 + 6}\sqrt{10}}{5} \gt \frac{3}{5}}{\sqrt{100} + \frac{2}{5}}{\sqrt{25} = 8 = \mathit{EU}_{\mathit{no}\mathit{rp}}}.\)

Следовательно, соглашение о совместном несении рисков будет выгодным для данного индивида.

Выгоды от совместного несения рисков для рискофоба: пример

5.2.4.3. Спрос на рисковый актив

Активы – это объекты, которые дают индивиду право на получение финансового дохода. По форме они могут быть материальными, нематериальными или финансовыми.

Пусть у индивида есть возможность распределить свое первоначальное богатство w, приобретая безрисковый актив, гарантирующий полный возврат инвестированных денежных средств, и рисковый актив с доходностью, равной случайной величине z на каждую вложенную денежную единицу. Ожидаемый доход \(z\) имеет распределение вероятностей \(P{(z) = {\int\limits_{z_{0}}^{z_{1}}{p(z)\mathit{dz}}}}\), где \(p(z)\) – функция плотности вероятности получения соответствующего дохода. Пусть также при этом вложения в актив – актуарно выгодная (привлекательная) игра:

\({{\int\limits_{z_{0}}^{z_{1}}{\mathit{zp}(z)\mathit{dz}}} \gt 1},(5.2.1)\)

т.е. математическое ожидание дохода рискового актива превышает отдачу от безрискового.

Если \(\alpha\) и \(\beta\) – количества средств, направленных соответственно на рискованные и безрисковые вложения (т.е. \({\alpha + \beta} = w\)), то отдача от инвестиций составит: \(\mathit{\alpha z} + \beta\).

Рациональный инвестор, максимизируя ожидаемую полезность, будет стремиться оптимальным образом выбрать размер вложений в рисковый актив:

\(\begin{matrix} {\underset{\alpha}{\mathit{\max}}{\int\limits_{z_{0}}^{z_{1}}{U\left( {{w + \alpha}({z - 1})} \right)p(z)\mathit{dz}}}:} \\ {{{\alpha + \beta} = w},\alpha\geq 0,\beta\geq 0;} \\ \end{matrix}\)

или, что эквивалентно,

\(\begin{matrix} {\underset{\alpha}{\mathit{\min}}{\int\limits_{z_{1}}^{z_{0}}{U\left( {{w + \alpha}({z - 1})} \right)p(z)\mathit{dz}}}:} \\ {{- \alpha}\leq 0,{\alpha - w}\leq 0.} \\ \end{matrix}\)

Выпишем функцию Лагранжа:

\({L = {{\int\limits_{z_{1}}^{z_{0}}{\lambda_{0}U\left( {{w + \alpha}({z - 1})} \right)p(z)\mathit{dz}}} - \lambda_{1}}}{\alpha + \lambda_{2}}\left( {\alpha - w} \right),\)

где \(\lambda_{i}\), \({i = \{}0,1,2\}\) – множители Лагранжа.

Необходимые условия минимума представляют собой уравнение Эйлера \(\left( {\frac{- d}{\mathit{dt}}{{\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{\alpha}} + \frac{\partial L}{\partial\alpha}} = 0}} \right)\), которое сводится к равенству нулю производной лагранжиана:

\({\frac{\partial L}{\partial\alpha} = {{\int\limits_{z_{1}}^{z_{0}}{\lambda_{0}U'\left( {{w + \alpha}\left( {z - 1} \right)} \right)\left( {z - 1} \right)p(z)\mathit{dz}}} - \lambda_{1} + \lambda_{2}} = 0},(5.2.2)\)

с учетом условий дополняющей нежесткости:

\(\lambda_{1}{\alpha = 0}\mathit{ при }\alpha\geq 0,\lambda_{1}\geq 0;(5.2.3)\)

\(\lambda_{2}{\left( {\alpha - w} \right) = 0}\mathit{ при }\lambda_{2}\geq 0,\alpha\leq w.(5.2.4)\)

В соответствии с (5.2.3) возможны два случая.

Во-первых, если \(\lambda_{1}\geq 0\), то \(\alpha = 0\). При этом в условии (5.2.4) первый случай, когда \(\alpha = w\), \(\lambda_{2}\geq 0\), отпадает; поэтому возможна лишь альтернативная ситуация \(\alpha \lt w\), \(\lambda_{2} = 0\). Следовательно, (5.2.2) принимает вид:

\({{\int\limits_{z_{0}}^{z_{1}}{\lambda_{0}U^{'}\left( {{w + \alpha}\left( {z - 1} \right)} \right)({z - 1})p(z)\mathit{dz}}} = {- \lambda_{1}}}\leq 0.(5.2.5)\)

Если в условии (5.2.4) все–таки верна альтернатива, когда \(\alpha = w\) и \(\lambda_{2}\geq 0\), то при этом обязательно будет \(\alpha \gt 0\), значит, \(\lambda_{1} = 0\), т.е. должна реализоваться вторая возможность в условии (5.2.3). Тогда (5.2.2) будет выглядеть так:

\({{\int\limits_{z_{0}}^{z_{1}}{\lambda_{0}U^{'}\left( {{w + \alpha}\left( {z - 1} \right)} \right)({z - 1})p(z)\mathit{dz}}} = \lambda_{2}}\geq 0.(5.2.6)\)

Если \(\lambda_{0} = 0\), то в каждой из альтернатив (5.2.5) и (5.2.6) получается, что \(\lambda_{1} = \lambda_{2} = 0\), чего не может быть, поскольку вектор множителей Лагранжа должен быть ненулевым. Следовательно, \(\lambda_{0} \gt 0\), и без ограничения общности можно положить его равным единице, пронормировав относительно него остальные множители Лагранжа. Тогда условия (5.2.5) и (5.2.6) соответственно можно записать в более простом виде:

\({{\int\limits_{z_{0}}^{z_{1}}{U^{'}\left( {{w + \alpha}\left( {z - 1} \right)} \right)({z - 1})p(z)\mathit{dz}}} = {- \lambda_{1}}}\leq 0,(5.2.7)\)

\({{\int\limits_{z_{0}}^{z_{1}}{U^{'}\left( {{w + \alpha}\left( {z - 1} \right)} \right)({z - 1})p(z)\mathit{dz}}} = \lambda_{2}}\geq 0.(5.2.8)\)

Обозначим через \(\varphi\left( \alpha \right)\) левые части в (5.2.7) и (5.2.8):

\(\varphi\left( \alpha \right)\equiv{\int\limits_{z_{0}}^{z_{1}}{U^{'}\left( {{w + \alpha}\left( {z - 1} \right)} \right)({z - 1})p(z)\mathit{dz}}}.\)

Отметим, что в силу предположения (5.2.1) и строго возрастания U(∙) имеет место неравенство:

\(\varphi{(0) = {\int\limits_{z_{0}}^{z_{1}}{U^{'}(w)({z - 1})p(z)\mathit{dz}}} = U^{'}}(w){{\int\limits_{z_{0}}^{z_{1}}{({z - 1})p(z)\mathit{dz}}} = U^{'}}(w){{\int\limits_{z_{0}}^{z_{1}}{\mathit{zp}(z)\mathit{dz}}} - U^{'}}(w){{\int\limits_{z_{0}}^{z_{1}}{p(z)\mathit{dz}}} = U^{'}}(w){\left( {{\int\limits_{z_{0}}^{z_{1}}{\mathit{zp}(z)\mathit{dz}}} - 1} \right) \gt 0.}\)

Следовательно, (5.2.7) неверно, первый случай в условии (5.2.3) \(\left( {\alpha = 0} \right)\) отпадает, а значит, возможна только ситуация \(\alpha \gt 0\).

Таким образом, если рискованный актив имеет ожидаемую доходность, превышающую отдачу от безрискового актива, то рациональный инвестор обязательно будет вкладывать в него некоторую часть своих средств.

5.2.4.4. Микроэкономическая теория оптимального инвестиционного портфеля

Задачи поведения инвестора, выбирающего оптимальный портфель активов, по своей постановке и свойствам решений во многом аналогичны задачам потребительского выбора (2.6) и (2.47).

Для упрощения анализа будем рассматривать инвестиционные портфели, состоящие из трех активов. Выпишем условие для долей активов \((x_{i},{i = 1,2,3})\) в портфеле:

\({{x_{1} + x_{2} + x_{3}} = 1},{x_{3} = {1 - x_{1} - x_{2}}}\geq 0.\)

Пока абстрагируемся от возможности коротких продаж и будем рассматривать только приобретение активов за собственные средства. Итак, будем считать, что все доли активов в инвестиционном портфеле неотрицательны \((x_{i}\geq 0,{i = 1,2,3})\). Другими словами, множество \(X\) долей активов \(x = \left\{ x_{i} \right\}_{i = 1}^{3}\) является подмножеством \(R_{3}^{+ :}\) \({X = \left\{ {{x = \left\{ x_{i} \right\}_{i = 1}^{3}}|{x_{i}\geq 0}} \right\}}.\)

С учетом данной предпосылки \((x_{3}\geq 0)\) ограничение по долям активов можно переписать в следующем виде: \({x_{1} + x_{2}}\leq 1\).

Первая из двух задач выбора, стоящих перед инвестором⁶, представляет собой минимизацию риска портфеля активов

\({V = x_{1}^{2}}{\left( {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}} \right) + x_{2}^{2}}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) + 2}x_{1}x_{2}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + 2}x_{1}{\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right) + 2}x_{2}{\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right) + \sigma_{33}}\)

в условиях ограничения по уровню его доходности

\({E = {\mu_{3} + x_{1}}}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right)\geq\overline{E}:\)

\(\left\{ \begin{matrix} {x_{1}^{2}{\left( {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}} \right) + x_{2}^{2}}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) +}\begin{matrix} {{+ 2}x_{1}x_{2}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + 2}x_{1}{\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right) + 2}x_{2}{\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right) + \sigma_{33}}\rightarrow\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\min}}} \\ \end{matrix}} \\ {{\mu_{3} + x_{1}}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right)\geq\overline{E},x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0,{x_{1} + x_{2}}\leq 1.} \\ \end{matrix} \right.(5.2.9)\)

Докажем, что в силу непрерывности вариации доходности портфеля и компактности допустимого для инвестора множества \(S\equiv{}\) решение данной задачи связанной максимизации полезности – оптимальный инвестиционный портфель x – существует. Допустимое множество S в данной задаче инвестиционного выбора – компакт. Поэтому по теореме Вейерштрасса⁷ непрерывная (по предположению) функция вариации доходности портфеля \(V:x\longmapsto V(x)\), \(x\in S\) достигает минимума на допустимом множестве S. Таким образом, задача связанной минимизации риска имеет решение, т.е. оптимальный портфель активов x существует.

На рис. 5.9 приводится пространственная иллюстрация решения задачи выбора инвестиционного портфеля.

Рисунок 5.9. Минимизация риска при ограничении по доходности (ограничение по долям активов нежесткое)

Поскольку вариация является строго выпуклой функцией, постольку решение задачи условной минимизации риска, т.е. оптимальный инвестиционный портфель \(x\), является единственным. Будем доказывать единственность оптимального портфеля активов от противного. Пусть найдется другой, не равный полученной нами комбинации активов x портфель \(x'\), который также является решением данной задачи. Допустимое множество S является выпуклым. Поэтому весь интервал, соединяющий точки \(x\) и \(x'\) и состоящий из точек вида \({\mathit{\alpha x} + (}{1 - \alpha})x'\), \(\alpha\in(0,1)\), содержится в S. Поскольку вариация является строго выпуклой функцией, постольку \(V{\left( {{\mathit{\alpha x} + \left( {1 - \alpha} \right)}x^{'}} \right) \lt \mathit{\alpha V}}{(x) + \left( {1 - \alpha} \right)}V{\left( x^{'} \right) = V}{(x) = V}(x^{'})\). Но данное неравенство противоречит условию, гласящему, что \(x\) и \(x'\) – решения задачи связанной минимизации риска, т.е. оптимальные комбинации активов. Полученное противоречие показывает, что гипотеза о неединственности оптимального инвестиционного портфеля является ложной. Следовательно, оптимальный портфель x является единственным решением данной задачи.

Итак, доказав единственность оптимального инвестиционного портфеля, мы показали, что локальный максимум в задаче связанной минимизации риска совпадает с глобальным.

Решение задачи связанной минимизации риска – оптимальный инвестиционный портфель \(x\) – обладает таким свойством, что ограничение по уровню доходности на нем выполняется в виде равенства:

\({{\sum\limits_{i = 1}^{3}{\mu_{i}x_{i}}} = \overline{E}}.\)

Покажем это, пользуясь методом доказательства от противного. Предположим, что данное утверждение неверно: \({\sum\limits_{i = 1}^{3}{\mu_{i}x_{i}}} \gt \overline{E}\). Поскольку \(x\neq 0\), постольку найдется инвестиционный портфель \(\overset{\sim}{x} = \left\{ {\overset{\sim}{x}}_{i} \right\}_{i = 1}^{3}\), такой, что \({{\overset{\sim}{x}}_{i} = x_{i}},{i = \left\{ 1,2,3 \right\}},i\neq k;{{\overset{\sim}{x}}_{k} = {x_{k} - \varepsilon}},{\varepsilon \gt 0},k\in\left\{ 1,2,3 \right\}\) и \({\sum\limits_{i = 1}^{3}{\mu_{i}x_{i}}}\geq\overline{E}\), поскольку линейная функция, в данном случае \(\sum\limits_{i = 1}^{3}{\mu_{i}x_{i}}\), является непрерывной⁸. Поскольку, по предположению, абсолютный минимум вариации \(\breve{x}\) располагается вне допустимого множества S, постольку внутри S вариация будет убывающей функцией по доле вложений в каждый из активов. Следовательно, вектор \(\overset{\sim}{x}\), содержащий каждого актива не меньше, а k-го – больше, чем портфель \(x\), должен быть менее рискованным: \(V{\left( \overset{\sim}{x} \right) \lt V}\left( x \right)\). Значит, инвестиционный портфель \(x\), лежащий во внутренности ограничения по доходности, не является оптимальным. Полученное противоречие показывает, что выдвинутая гипотеза неверна, и ограничение по доходности при решении задачи связанной минимизации риска выполняется как равенство.

С учетом жесткого ограничения по доходности, предполагая, что оптимум является внутренним, т.е. доли каждого из активов положительны \(\left( {{x_{1} \gt 0},{x_{2} \gt 0},{x_{3} \gt 0}} \right)\), задачу связанной минимизации риска можно поставить в более простом виде:

\(\left\{ \begin{matrix} {x_{1}^{2}{\left( {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}} \right) + x_{2}^{2}}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) +}\begin{matrix} {{+ 2}x_{1}x_{2}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + 2}x_{1}{\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right) + 2}x_{2}{\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right) + \sigma_{33}}\rightarrow\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\min}}} \\ \end{matrix}} \\ {x_{1}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}{{\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right) + \mu_{3}} = \overline{E}}.} \\ \end{matrix} \right.\)

В силу того, что выражения доходности и вариации являются дифференцируемыми, для решения данной задачи следует составить функцию Лагранжа:

\({L = x_{1}^{2}}{\left( {{\sigma_{11} - 2}{\sigma_{13} + \sigma_{33}}} \right) + x_{2}^{2}}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) + 2}x_{1}x_{2}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + 2}x_{1}{\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right) + 2}x_{2}{\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right) + \sigma_{33} - \lambda}\left( {x_{1}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}{\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right) + \mu_{3} - \overline{E}}} \right).\)

где \(\lambda\) – множитель Лагранжа⁹.

Необходимым условием экстремума является равенство нулю ее дифференциала:

\(d{L = \mathit{dV}}{\left( {x_{1},x_{2}} \right) - d}{\left( {\lambda\left( {x_{1}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}{\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right) + \mu_{3} - \overline{E}}} \right)} \right) = \frac{\partial V}{\partial x_{1}}}d{x_{1} + \frac{\partial V}{\partial x_{2}}}d{x_{2} - \lambda}{\left( {\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right)d{x_{1} + \left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right)}dx_{2}} \right) - \left( {x_{1}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}{\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right) + \mu_{3} - \overline{E}}} \right)}{\mathit{d\lambda} = \mathit{MV}_{1}}d{x_{1} + \mathit{MV}_{2}}d{x_{2} - \lambda}{\left( {\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right)d{x_{1} + \left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right)}dx_{2}} \right) - \left( {x_{1}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}{\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right) + \mu_{3} - \overline{E}}} \right)}{\mathit{d\lambda} = \left( {x_{1}{\left( {{\sigma_{11} - 2}{\sigma_{13} + \sigma_{33}}} \right) + x_{2}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \sigma_{13} - \sigma_{33} - \lambda}\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right)} \right)}d{x_{1} + \left( {x_{2}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) + x_{1}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \sigma_{23} - \sigma_{33} - \lambda}\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right)} \right)}d{x_{2} - \left( {x_{1}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}{\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right) + \mu_{3} - \overline{E}}} \right)}{\mathit{d\lambda} = \frac{\partial L}{\partial x_{1}}}d{x_{1} + \frac{\partial L}{\partial x_{2}}}d{x_{2} + \frac{\partial L}{\partial\lambda}}{\mathit{d\lambda} = 0.}\)

Здесь мы предполагаем доходности активов \(\mu_{1}\), \(\mu_{2}\), \(\mu_{3}\) и портфеля в целом \(\overline{E}\) постоянными величинами.

Дифференциал функции Лагранжа может быть нулевым при любых значениях дифференциалов независимых переменных, только если множители при данных дифференциалах являются нулевыми:

\(\left\{ \begin{matrix} {{\mathit{MV}_{1} = \lambda}\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right),} \\ {{\mathit{MV}_{2} = \lambda}\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right),} \\ {x_{1}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}{{\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right) + \mu_{3}} = \overline{E}}.} \\ \end{matrix} \right.\left( {5.2.10} \right)\)

Поделив первое равенство в системе (5.2.10) на второе, получаем, что инвестор оптимизирует свой портфель, когда отношение предельного риска по каждому из двух активов равняется отношению его маржи доходности по отношению к третьему активу. По-другому условие (5.2.10) можно оформить в виде второго закона Госсена в том смысле, что прирост риска в расчете на единицу маржинальной доходности для каждого из двух активов, должен быть одинаков:

\({\frac{\mathit{MV}_{1}}{\mu_{1} - \mu_{3}} = \frac{\mathit{MV}_{2}}{\mu_{2} - \mu_{3}} = \lambda}.\)

Таким образом, с учетом выражения для предельной нормы замещения активов можно выписать обобщающее условие оптимального инвестиционного портфеля:

\(\mathit{MRS}_{12}\equiv{\left. \frac{- {dx_{2}}}{dx_{1}} \right|_{V = \mathit{const}} = \frac{{\partial V}/{\partial x_{1}}}{{\partial V}/{\partial x_{2}}} = \frac{\mathit{MV}_{1}}{\mathit{MV}_{2}} =}\)

\({}{\frac{x_{1}{\left( {{\sigma_{11} - 2}{\sigma_{13} + \sigma_{33}}} \right) + x_{2}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \sigma_{13} - \sigma_{33}}}{x_{2}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) + x_{1}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \sigma_{23} - \sigma_{33}}} = \frac{\mu_{1} - \mu_{3}}{\mu_{2} - \mu_{3}}}.(5.2.11)\)

Итак, в точке оптимума изомина (линия равной доходности)

\({x_{2} = {\frac{\overline{E} - \mu_{3}}{\mu_{2} - \mu_{3}} - \frac{\mu_{1} - \mu_{3}}{\mu_{2} - \mu_{3}}}}x_{1}\)

является касательной к изовариации (линии равного риска) (рис. 2.32).

Вариациями решения задачи (5.2.9) формирования инвестиционного портфеля по доходностям отдельных активов и портфеля в целом являются функции спроса на активы (по Маршаллу):

\({x_{i}^{m} = x_{i}}\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},E} \right),{i = 1},2,3.\)

Для того, чтобы получить данные функции, воспользуемся траекторией роста доходности портфеля, которая представляет собой множество оптимальных пропорций между активами, соответствующих различным ограничениям по уровню доходности портфеля в целом, и выводится на основе сформулированного выше эквимаржинального принципа:

\({x_{1} = a}{x_{2} + b}\), где

\({a = \frac{\mu_{1}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) - \mu_{2}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{3}}\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{22} + \sigma_{23}} \right)}{{- \mu_{1}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{2}}{\left( {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{3}}\left( {{{- \sigma_{11}} + 2}{\sigma_{13} + \sigma_{12} - \sigma_{23}}} \right)}},\)

\({b = \frac{\mu_{1}{\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right) - \mu_{2}}{\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right) + \mu_{3}}\left( {\sigma_{13} - \sigma_{23}} \right)}{{- \mu_{1}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{2}}{\left( {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{3}}\left( {{{- \sigma_{11}} + 2}{\sigma_{13} + \sigma_{12} - \sigma_{23}}} \right)}}.\)

Используя данное соотношение в ограничении по доходности портфеля, можно получить искомые функции спроса на активы (ср. рис. 2.6-2.7):

\({\overline{E} = x_{1}}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}{{\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right) + \mu_{3}} = \left( {a{x_{2} + b}} \right)}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}{{\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right) + \mu_{3}} = x_{2}}{\left( {a{\mu_{1} + \mu_{2} - \left( {1 + a} \right)}\mu_{3}} \right) + b}{\mu_{1} + \left( {1 - b} \right)}\mu_{3},\)

или

\({x_{2} = \frac{{\overline{E} - b}{\mu_{1} + \left( {b - 1} \right)}\mu_{3}}{a{\mu_{1} + \mu_{2} - \left( {1 + a} \right)}\mu_{3}}},\)

\({x_{1} = a}{{x_{2} + b} = {\frac{a\left( {{\overline{E} - b}{\mu_{1} + \left( {b - 1} \right)}\mu_{3}} \right)}{a{\mu_{1} + \mu_{2} - \left( {1 + a} \right)}\mu_{3}} + b} = \frac{a{\overline{E} + b}{\mu_{2} - \left( {a + b} \right)}\mu_{3}}{a{\mu_{1} + \mu_{2} - \left( {1 + a} \right)}\mu_{3}}}.\)

Построим теперь косвенную функцию вариации:

\(V{\left( {x_{1},x_{2}} \right) = V}\left( {x_{1}\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},E} \right),x_{2}\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},E} \right)} \right).(5.2.12)\)

\({V = x_{1}^{2}}{\left( {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}} \right) + x_{2}^{2}}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) + 2}x_{1}x_{2}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + 2}x_{1}{\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right) + 2}x_{2}{{\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right) + \sigma_{33}} = c}{x_{1}^{2} + d}{x_{2}^{2} + e}x_{1}{x_{2} + f}{x_{1} + g}{{x_{2} + \sigma_{33}} = c}{\left( \frac{a{\overline{E} + b}{\mu_{2} - \left( {a + b} \right)}\mu_{3}}{a{\mu_{1} + \mu_{2} - \left( {1 + a} \right)}\mu_{3}} \right)^{2} + d}{\left( \frac{{\overline{E} - b}{\mu_{1} + \left( {b - 1} \right)}\mu_{3}}{a{\mu_{1} + \mu_{2} - \left( {1 + a} \right)}\mu_{3}} \right)^{2} + e}\left( \frac{a{\overline{E} + b}{\mu_{2} - \left( {a + b} \right)}\mu_{3}}{a{\mu_{1} + \mu_{2} - \left( {1 + a} \right)}\mu_{3}} \right){\left( \frac{{\overline{E} - b}{\mu_{1} + \left( {b - 1} \right)}\mu_{3}}{a{\mu_{1} + \mu_{2} - \left( {1 + a} \right)}\mu_{3}} \right) + f}{\frac{\left( {a{\overline{E} + b}{\mu_{2} - \left( {a + b} \right)}\mu_{3}} \right)}{\left( {a{\mu_{1} + \mu_{2} - \left( {1 + a} \right)}\mu_{3}} \right)} + g}{\frac{\left( {{\overline{E} - b}{\mu_{1} + \left( {b - 1} \right)}\mu_{3}} \right)}{\left( {a{\mu_{1} + \mu_{2} - \left( {1 + a} \right)}\mu_{3}} \right)} + \sigma_{33}},\)

где

\({c = {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}}},{d = {\sigma_{22} - 2}}{\sigma_{23} + \sigma_{33}},{e = {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}}},\)

\({f = 2}\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right),{g = 2}\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right).\)

Опираясь на теорему об огибающей (xii) применительно к задаче связанной минимизации риска (5.2.9) и соответствующей функции Лагранжа, можно доказать, что по экономическому смыслу множитель Лагранжа в задаче оптимизации инвестиционного портфеля (5.2.9) представляет собой предельный риск увеличения доходности, или угловой коэффициент касательной к линии инвестиционных альтернатив:

\({\lambda = \frac{\mathit{dV}}{\mathit{dE}}}.(5.2.13)\)

Рассмотрим теперь теорему об огибающей (xii) применительно к изменению доходности одного из активов:

\({\frac{\mathit{dV}}{d\mu_{i}} = {- \lambda}}x_{i}\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},E} \right),{i = 1,2,3.}\)

Учитывая в данном соотношении экономический смысл множителя Лагранжа (5.2.13), можно получить тождество Роя:

\(x_{i}{\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},E} \right) = \frac{- \frac{\mathit{dV}}{d\mu_{i}}}{\frac{\mathit{dV}}{\mathit{dE}}}},{i = 1,2,3.}\)

Симметричным по отношению к задаче минимизации риска при условии обеспечения заданного уровня доходности портфеля активов (5.2.9) является поведение инвестора, ориентирующегося на максимизацию ожидаемой доходности портфеля

\({E = x_{1}}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}{\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right) + \mu_{3}}\)

при ограничении по риску

\({V = x_{1}^{2}}{\left( {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}} \right) + x_{2}^{2}}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) + 2}x_{1}x_{2}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + 2}x_{1}{\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right) + 2}x_{2}{\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right) + \sigma_{33}}\leq\overline{V}:\)

\(\left\{ \begin{matrix} {x_{1}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}{\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right) + \mu_{3}}\rightarrow\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}} \\ {{\begin{matrix} {x_{1}^{2}{\left( {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}} \right) + x_{2}^{2}}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) +}} \\ \\ \end{matrix} + 2}x_{1}x_{2}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + 2}x_{1}{\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right) + 2}x_{2}{\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right) + \sigma_{33}}\leq\overline{V},} \\ {x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0,{x_{1} + x_{2}}\leq 1.} \\ \end{matrix} \right.(5.2.14)\)

Аналогично задаче связанной минимизации риска (5.2.9) оптимум портфеля в задаче условной максимизации доходности (5.2.14) достигается на ограничении по заданному уровню риска, что позволяет упростить постановку последней задачи (рис. 5.10):

\(\left\{ \begin{matrix} {x_{1}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}{\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right) + \mu_{3}}\rightarrow\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}} \\ {{\begin{matrix} {x_{1}^{2}{\left( {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}} \right) + x_{2}^{2}}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) +}} \\ \\ \end{matrix} + 2}x_{1}x_{2}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + 2}x_{1}{\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right) + 2}x_{2}{{\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right) + \sigma_{33}} = \overline{V}}.} \\ \end{matrix} \right.\)

Здесь, как и ранее, предполагается, что оптимум в задаче является внутренним: \(x_{1} \gt 0\), \(x_{2} \gt 0\), \(x_{3} \gt 0\).

Двойственность между задачами связанной минимизации риска (5.2.9) и максимизации доходности (5.2.14) портфеля при условии неизменности доходностей активов и их волатильности состоит в следующем. Если рассчитать, используя решение \(\left( {x_{1},x_{2}} \right)\), минимальный уровень риска \(V\) в задаче (5.2.9) и рассматривать его в качестве ограничения \(\overline{V}\), то решение задачи (5.2.14) \(\left( {x_{1},x_{2}} \right)\) совпадет с ответом в (5.2.9). При этом величина доходности портфеля в (5.2.14) совпадет с данным ограничением в (5.2.9).

Другими словами, если \(\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\min}}{{V\left( {x_{1},x_{2}} \right)} = \overline{V}}\) при условии \(x_{1}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}{\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right) + \mu_{3}}\geq\overline{E}\), \(x_{1}\geq 0\), \(x_{2}\geq 0\), \({x_{1} + x_{2}}\leq 1\), то \(\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}{\left( {\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right){x_{1} + \left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right)}{x_{2} + \mu_{3}}} \right) = \overline{E}}\) при выполнении ограничения: \(V\left( {x_{1},x_{2}} \right)\geq\overline{V}\), \(x_{1}\geq 0\), \(x_{2}\geq 0\), \({x_{1} + x_{2}}\leq 1\).

Решение задачи максимизации доходности при условии достижения заданного уровня риска (5.2.14) аналогично задаче минимизации риска при ограничении по доходности портфеля (5.2.9) можно свести к исследованию на безусловный экстремум функции Лагранжа:

\({L = x_{1}}{\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right) + x_{2}}{\left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right) + \mu_{3} - \lambda}\left( {x_{1}^{2}{\left( {{\sigma_{11} - 2}{\sigma_{13} + \sigma_{33}}} \right) + x_{2}^{2}}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) + 2}x_{1}x_{2}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + 2}x_{1}{\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right) + 2}x_{2}{\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right) + \sigma_{33} - \overline{V}}} \right).\)

Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее дифференциала:

\(d{L = {\mathit{dE} - d}}{\left( {\lambda\left( {V{\left( {x_{1},x_{2}} \right) - \overline{V}}} \right)} \right) = {\mathit{dE} - \left( {V{\left( {x_{1},x_{2}} \right) - \overline{V}}} \right)}}{\mathit{d\lambda} - \mathit{\lambda dV}}\left( {x_{1},x_{2}} \right)\)

\({}\left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right)d{x_{1} + \left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right)}d{x_{2} - \left( {V{\left( {x_{1},x_{2}} \right) - \overline{V}}} \right)}{\mathit{d\lambda} - \lambda}\left( {\frac{\partial V}{\partial x_{1}}d{x_{1} + \frac{\partial V}{\partial x_{2}}}dx_{2}} \right)\)

\({}\left( {{\mu_{1} - \mu_{3} - \lambda}\frac{\partial V}{\partial x_{1}}} \right)d{x_{1} + \left( {{\mu_{2} - \mu_{3} - \lambda}\frac{\partial V}{\partial x_{2}}} \right)}d{x_{2} - \left( {V{\left( {x_{1},x_{2}} \right) - \overline{V}}} \right)}{\mathit{d\lambda} = \frac{\partial L}{\partial x_{1}}}d{x_{1} + \frac{\partial L}{\partial x_{2}}}d{x_{2} + \frac{\partial L}{\partial\lambda}}{\mathit{d\lambda} = 0}.\)

Дифференциал функции Лагранжа может быть нулевым при любых значениях дифференциалов независимых переменных, только если множители при данных дифференциалах являются нулевыми:

\(\left\{ \begin{matrix} {{{\mu_{1} - \mu_{3}} = \lambda}{\mathit{MV}_{1} = 2}\lambda\left( {x_{1}{\left( {{\sigma_{11} - 2}{\sigma_{13} + \sigma_{33}}} \right) + x_{2}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \sigma_{13} - \sigma_{33}}} \right),} \\ {{{\mu_{2} - \mu_{3}} = \lambda}{\mathit{MV}_{2} = 2}\lambda\left( {x_{2}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) + x_{1}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \sigma_{23} - \sigma_{33}}} \right),} \\ \begin{matrix} {x_{1}^{2}{\left( {{\sigma_{11} - 2}{\sigma_{13} + \sigma_{33}}} \right) + x_{2}^{2}}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) + 2}x_{1}x_{2}\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right)} \\ {{+ 2}x_{1}{\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right) + 2}x_{2}{{\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right) + \sigma_{33}} = \overline{V}};} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\)

из чего аналогично задаче условной минимизации риска (5.2.9) вытекает эквимаржинальный принцип (5.2.11).

Рисунок 5.10. Максимизация доходности при ограничении по риску (ограничение по долям активов нежесткое)

Эквимаржинальное условие оптимальности инвестиционного портфеля будет совпадать с тем, которое было сформулировано при решении задачи (5.2.9):

\({x_{1} = a}{x_{2} + b}\), где

\({a = \frac{\mu_{1}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) - \mu_{2}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{3}}\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{22} + \sigma_{23}} \right)}{{- \mu_{1}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{2}}{\left( {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{3}}\left( {{{- \sigma_{11}} + 2}{\sigma_{13} + \sigma_{12} - \sigma_{23}}} \right)}},\)

\(b = \frac{\mu_{1}{\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right) - \mu_{2}}{\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right) + \mu_{3}}\left( {\sigma_{13} - \sigma_{23}} \right)}{{- \mu_{1}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{2}}{\left( {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{3}}\left( {{{- \sigma_{11}} + 2}{\sigma_{13} + \sigma_{12} - \sigma_{23}}} \right)}\)

Решая задачу (5.2.14), можно получить зависимости между оптимальными долями активов и их доходностями, а также уровнем риска \(\overline{V}\), выступающим в качестве ограничения:

\({x_{i}^{h} = x_{i}}\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\overline{V}} \right),{i = 1},2,3;(5.2.15)\)

которые называются функциями условного спроса на активы (по Хиксу), или компенсированного спроса.

Выведем их в явном виде для анализируемого случая, когда портфель состоит из трех активов:

\(x_{1}^{2}{\left( {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}} \right) + x_{2}^{2}}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) + 2}x_{1}x_{2}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + 2}x_{1}{\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right) + 2}x_{2}{{\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right) + \sigma_{33}} = c}{x_{1}^{2} + d}{x_{2}^{2} + e}x_{1}{x_{2} + f}{x_{1} + g}{{x_{2} + \sigma_{33}} = \overline{V}},\)

где

\({c = {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}}},{d = {\sigma_{22} - 2}}{\sigma_{23} + \sigma_{33}},{e = {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}}},\)

\({f = 2}\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right),{g = 2}\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right).\)

После очевидных преобразований

\(c{\left( {a{x_{2} + b}} \right)^{2} + d}{x_{2}^{2} + e}\left( {a{x_{2} + b}} \right){x_{2} + f}{\left( {a{x_{2} + b}} \right) + g}{{x_{2} + \sigma_{33}} = \overline{V}},\)

\(\left( {\mathit{ca} + d + \mathit{ea}} \right){x_{2}^{2} + \left( {2{\mathit{abc} + \mathit{eb} + \mathit{af} + g}} \right)}{x_{2} + c}{{b^{2} + \mathit{bf} + \sigma_{33} - \overline{V}} = 0}\)

приходим к выражению:

\(h{x_{2}^{2} + i}{{x_{2} + j - \overline{V}} = 0},\)

где

\({h = \left( {c + e} \right)}{a + d},{i = 2}{\mathit{abc} + \mathit{eb} + \mathit{af} + g},{j = c}{b^{2} + \mathit{bf} + \sigma_{33}}.\)

Получаем:

\({x_{2} = \frac{{- i}\pm\sqrt{{i^{2} - 4}h({j - \overline{V}})}}{2h}},{x_{1} = \frac{{- i}\pm\sqrt{{i^{2} - 4}h({j - \overline{V}})}}{2h}}{a + b}.\)

Очевидно, что при отсутствии коротких продаж следует выбрать положительные значения \(x_{1}\) и \(x_{2}\).

Построим функцию доходности портфеля подстановкой функций компенсированного спроса (5.2.15) в выражение отдачи от инвестиционного портфеля:

\(E{\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\overline{V}} \right) = \left( {\mu_{1} - \mu_{3}} \right)}x_{1}{\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\overline{V}} \right) + \left( {\mu_{2} - \mu_{3}} \right)}x_{2}{\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\overline{V}} \right) + \mu_{3}}.\)

Линия E–V имеет вид:

\({E = b}{\mu_{1} + \left( {1 - b} \right)}{\mu_{3} + \frac{{- i}\pm\sqrt{{i^{2} - 4}h\left( {j - \overline{V}} \right)}}{2h}}\left( {a{\mu_{1} + \mu_{2} - \left( {1 + a} \right)}\mu_{3}} \right),\)

где

\({a = \frac{\mu_{1}{\left( {{\sigma_{22} - 2}{\sigma_{23} + \sigma_{33}}} \right) - \mu_{2}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{3}}\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{22} + \sigma_{23}} \right)}{{- \mu_{1}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{2}}{\left( {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{3}}\left( {{{- \sigma_{11}} + 2}{\sigma_{13} + \sigma_{12} - \sigma_{23}}} \right)}},\)

\(b = \frac{\mu_{1}{\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right) - \mu_{2}}{\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right) + \mu_{3}}\left( {\sigma_{13} - \sigma_{23}} \right)}{{- \mu_{1}}{\left( {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{2}}{\left( {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}} \right) + \mu_{3}}\left( {{{- \sigma_{11}} + 2}{\sigma_{13} + \sigma_{12} - \sigma_{23}}} \right)}\)

\({h = \left( {c + e} \right)}{a + d},{i = 2}{\mathit{abc} + \mathit{eb} + \mathit{af} + g},{j = c}{b^{2} + \mathit{bf} + \sigma_{33}},{c = {\sigma_{11} - {2\sigma}_{13} + \sigma_{33}}},\)

\({d = {\sigma_{22} - 2}}{\sigma_{23} + \sigma_{33}},{e = {\sigma_{12} - \sigma_{13} - \sigma_{23} + \sigma_{33}}},{f = 2}\left( {\sigma_{13} - \sigma_{33}} \right),{g = 2}\left( {\sigma_{23} - \sigma_{33}} \right).\)

Функции компенсированного спроса могут быть получены с использованием леммы Шепарда, в соответствии с которой полная производная функции доходности портфеля в целом по доходности каждого из активов представляет собой компенсированный спрос на данный актив:

\({\frac{\mathit{dE}}{d\mu_{i}} = x_{i}^{h}}\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\overline{V}} \right),{i = 1},2.(5.2.16)\)

Лемму Шепарда можно доказать, применив теорему об огибающей к задаче связанной максимизации доходности портфеля (5.2.14) и соответствующей функции Лагранжа.

Множитель Лагранжа \(\lambda\) в задаче максимизации доходности (5.2.14) представляет собой предельную величину отдачи от вложений в данный портфель, связанную с изменением его уровня риска. Для того чтобы обосновать этот факт, вновь применим теорему об огибающей к задаче условной максимизации доходности (5.2.14) и соответствующей функции Лагранжа:

\({\frac{\mathit{dE}}{d\overline{V}} = \lambda}.\)

Вернемся к вопросу о влиянии изменения доходности, скажем, снижения отдачи от вложений в первый актив от \(\mu_{1}^{1}\) до \(\mu_{1}^{2}\) (рис. 5.11), на риск инвестирования средств в данный портфель.

Рисунок 5.11. Компенсирующая и эквивалентная вариации дохода применительно к выбору инвестиционного портфеля

Компенсирующая вариация доходности (CV) показывает, на какую величину должна измениться (в нашем случае – снизиться) отдача от вложения средств в данный портфель, чтобы при новых значениях доходности отдельных активов риск остался бы на неизменном уровне. Эквивалентная вариация дохода (EV) показывает, на какую величину нужно скорректировать (в нашем случае – повысить) доходность портфеля, чтобы (при фиксированных на исходном уровне доходностях активов) его риск изменился на ту же величину, что и при данном снижении (или росте) доходности отдельных активов.

Компенсирующую и эквивалентную вариации доходности портфеля можно подсчитать, опираясь на лемму Шепарда. Очевидно, что, подставив в функцию доходности портфеля косвенную функцию вариации (5.2.12), получаем значение доходности, тождественно совпадающее с ее величиной, обеспечивающей инвестору заданный уровень риска:

\(E\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},V\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\overline{E}} \right)} \right)\equiv\overline{E}.\)

Выражение, стоящее в левой части данного тождества, можно назвать функцией доходности риска.

Обозначим через \({V_{0} = V}\left( {\mu_{1}^{1},\mu_{2},\mu_{3},{\overline{E}}_{0}} \right)\) исходный уровень риска, соответствующий первоначальной доходности первого актива \(\mu_{1}^{1}\) и доходности портфеля \({\overline{E}}_{0}\), а через \({V_{1} = V}\left( {\mu_{1}^{2},\mu_{2},\mu_{3},{\overline{E}}_{0}} \right)\) – новый уровень риска, соответствующий изменившейся доходности актива \(\mu_{1}^{2}\) при той же величине доходности портфеля в целом. Интегрируя функцию компенсированного спроса на первый актив, соответствующую первоначальному уровню риска, по отрезку от \(\mu_{1}^{1}\) до \(\mu_{1}^{2}\), получаем разность между величиной доходности портфеля, обеспечивающей исходный риск при новой доходности первого актива, и данной (в постановке оптимизационной задачи (5.2.9)) величиной доходности портфеля, т.е. компенсирующую вариацию доходности (CV):

\({\int\limits_{\mu_{1}^{1}}^{\mu_{1}^{2}}{x_{1}^{h}\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},V_{0}} \right)d\mu_{1}}} = {\int\limits_{\mu_{1}^{1}}^{\mu_{1}^{2}}{{\frac{\mathit{dE}\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},V_{0}} \right)d\mu_{1}}{d\mu_{1}} =}E{\left( {\mu_{1}^{2},\mu_{2},\mu_{3},U\left( {\mu_{1}^{1},\mu_{2},\mu_{3},{\overline{E}}_{0}} \right)} \right) - E}{\left( {\mu_{1}^{1},\mu_{2},\mu_{3},U\left( {\mu_{1}^{1},\mu_{2},\mu_{3},{\overline{E}}_{0}} \right)} \right) = E}{{\left( {\mu_{1}^{2},\mu_{2},\mu_{3},V_{0}} \right) - {\overline{E}}_{0}} = \mathit{CV}}.}}\)

Таким образом, компенсирующая вариация доходности представляет собой площадь под графиком функции компенсированного спроса, соответствующей изначальному уровню риска, от первого до второго значения доходности актива (\(\mathit{CV} = S_{\mu_{1}^{1}\mu_{1}^{2}AE_{1}}\) на рис. 5.11).

Аналогично, интегрируя функцию компенсированного спроса на первый актив, соответствующую конечному уровню риска, по отрезку от \(\mu_{1}^{1}\) до \(\mu_{1}^{2}\), получаем разность между заданной доходностью и ее значением, обеспечивающим новый уровень риска при исходной доходности первого актива, т.е. эквивалентную вариацию доходности (EV):

\({\int\limits_{\mu_{1}^{1}}^{\mu_{1}^{2}}{x_{1}^{h}\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},V_{1}} \right)d\mu_{1}}} = {\int\limits_{\mu_{1}^{1}}^{\mu_{1}^{2}}\frac{\mathit{dE}\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},V_{1}} \right)d\mu_{1}}{d\mu_{1}}} = {}\)

\({}E{\left( {\mu_{1}^{2},\mu_{2},\mu_{3},V\left( {\mu_{1}^{2},\mu_{2},\mu_{3},{\overline{E}}_{0}} \right)} \right) - E}{\left( {\mu_{1}^{1},\mu_{2},\mu_{3},V\left( {\mu_{1}^{2},\mu_{2},\mu_{3},{\overline{E}}_{0}} \right)} \right) =}\)

\({}{{\overline{E}}_{0} - E}{\left( {\mu_{1}^{1},\mu_{2},\mu_{3},V_{1}} \right) = \mathit{EV}}.\)

Таким образом, эквивалентная вариация доходности представляет собой площадь под графиком функции компенсированного спроса, соответствующей конечному уровню риска, от первого до второго значения доходности актива (\(E{V = S_{\mu_{1}^{1}\mu_{1}^{2}E_{1}B}}\) на рис. 5.11).

Очевидно, что CV при снижении цены равна EV при ее повышении, и наоборот.

Одним из важнейших следствий леммы Шепарда (5.2.16) является уравнение Слуцкого:

\({\frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial\mu_{i}} = {\frac{dx_{i}^{h}}{d\mu_{i}} - x_{i}}}\frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial E},(5.2.17)\)

где \(\frac{dx_{i}^{h}}{d\mu_{i}}\) – эффект замещения, \({- x_{i}}\frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial E}\) – эффект дохода, \(\frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial\mu_{i}}\) – общий эффект изменения доходности актива, \({i = 1},2,3\).

Эффект замещения отражает рост спроса на относительно подешевевшие и уменьшение спроса на относительно более доходные активы. Эффект дохода заключается в том, что, в частности, при снижении доходности какого-либо из активов инвестор получает возможность купить больше данного актива, не сокращая объема вложений в другие активы.

Ключевую роль при получении уравнения Слуцкого играет следующее тождественное соотношение между функциями спроса по Хиксу и Маршаллу. В силу рассмотренной выше двойственности между задачами (5.2.9) и (5.2.14) принятия инвестиционных решений, если в функции спроса по Маршаллу в качестве аргумента доходности портфеля \(E\) взять такой ее уровень, который соответствует заданному уровню риска \(\overline{V}\), выступающему в роли переменной в функции спроса по Хиксу, \(E\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\overline{V}} \right)\), то значениями функций маршаллианского и хиксианского спроса будет являться одна и та же доля средств, инвестированных в данный актив x_i:

\(x_{i}^{h}\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\overline{V}} \right)\equiv x_{i}^{m}\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},E\left( {\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\overline{V}} \right)} \right),{i = 1},2,3.(5.2.18)\)

Уравнение Слуцкого (5.2.17) получается дифференцированием тождества (5.2.18) по доходности i-го актива:

\({\frac{dx_{i}^{h}}{d\mu_{i}} = {\frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial\mu_{i}} + \frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial E}}}\frac{\mathit{dE}}{d\mu_{i}},{i = 1},2,3,(5.2.19)\)

с последующим применением леммы Шепарда (5.2.16).

Присутствие знака «минус» перед вторым слагаемым в уравнении Слуцкого (5.2.17) можно объяснить, вернувшись к лемме Шепарда (5.2.16) и учитывая, что \(\frac{\mathit{dE}}{d\mu_{i}} \gt 0\). Например, при снижении доходности i-го актива доходность E портфеля уменьшатся, что означает для нормального актива сокращение спроса на него. При этом знак «минус» обеспечивает положительность эффекта дохода, что предполагает случай нормального актива. Напротив, для худших активов при снижении доходности \(\mu_{i}\), а значит, и доходности портфеля E спрос на данный, i-й актив возрастет. В данном случае знак «минус» позволяет добиться отрицательного значения эффекта дохода, свойственного инфериорным активам.

Выведем уравнение Слуцкого для перекрестных эффектов изменения доходности актива. Для этого продифференцируем тождество (5.2.18) для i-го актива по доходности j-го:

\({\frac{dx_{i}^{h}}{d\mu_{j}} = {\frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial\mu_{j}} + \frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial E}}}\frac{\mathit{dE}}{d\mu_{j}},i,{j = \left\{ {1,2,3} \right\}}.\)

Применяя затем лемму Шепарда (5.2.16), получаем обобщенное уравнение Слуцкого:

\({\frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial\mu_{j}} = {\frac{dx_{i}^{h}}{d\mu_{j}} - x_{j}}}\frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial E};i,{j = \{}1,2,3\}.\)

5.2.4.5. Уклонение от уплаты налогов

В качестве примера применения теории отношения к риску и ожидаемой полезности рассмотрим модель индивидуального уклонения от уплаты налогов¹⁰. Предположим, что некоторый индивид с функцией полезности \(U = \sqrt{c}\), где \(c\) – это располагаемый доход, направляемый на потребление, имеет валовой доход до уплаты налогов в размере \(Y = 160\). Доход облагается налогом по ставке \(t = \frac{1}{4}\). Если обнаруживается уклонение от уплаты налога, то налоговая ставка на незадекларированный доход возрастает до уровня \(t + f\), где \(f = \frac{1}{2}\). Вероятность обнаружения налогового преступления равна \(p\). Выведем зависимость величины декларируемого дохода \(x\) от вероятности обнаружения уклонения от уплаты налога.

Если фактическая величина дохода индивида станет известной налоговым органам, то в его распоряжении останется доход

\({c_{1} = \left( {1 - t} \right)}{x + \left( {Y - x} \right)}{\left( {1 - t - f} \right) = \left( {1 - t - f} \right)}{{Y + \mathit{xf}} = {40 + \frac{x}{2}}}.\)

Если обман не будет разоблачен, то у индивида останется доход в размере

\({c_{2} = \left( {1 - t} \right)}{{x + \left( {Y - x} \right)} = {Y - \mathit{tx}} = {160 - \frac{x}{4}}}.\)

Предположим, что вероятность обнаружения уклонения от уплаты налогов равна \(p\).

Целеполагание экономического агента предполагает максимизацию ожидаемой индивидуальной полезности:

\({\mathit{EU} = p}{\sqrt{c_{1}} + (}{1 - p}){\sqrt{c_{2}} = p}{\sqrt{40 + \frac{x}{2}} + \left( {1 - p} \right)}\sqrt{160 - \frac{x}{4}}\rightarrow\underset{x}{\mathit{\max}},\)

что, в свою очередь, подразумевает нулевую производную:

\(\frac{\mathit{dEU}}{\mathit{dx}} = {\frac{p}{2\bullet 2\sqrt{40 + \frac{x}{2}}} - \frac{1 - p}{2\bullet 4\sqrt{160 - \frac{x}{4}}}} = \frac{2p{\sqrt{160 - \frac{x}{4}} - \left( {1 - p} \right)}\sqrt{40 + \frac{x}{2}}}{2\sqrt{40 + \frac{x}{2}}\sqrt{160 - \frac{x}{4}}} = 0.\)

Дробь будет нулевой, если ее числитель равен нулю:

\(2p{\sqrt{160 - \frac{x}{4}} = \left( {1 - p} \right)}\sqrt{40 + \frac{x}{2}}.\)

Избавляясь от радикалов, после очевидных преобразований

\(4p^{2}{\left( {160 - \frac{x}{4}} \right) = p^{2}}{640 - p^{2}}{x = \left( {1 - p} \right)^{2}}{\left( {40 + \frac{x}{2}} \right) = \left( {{1 - 2}{p + p^{2}}} \right)}{\left( {40 + \frac{x}{2}} \right) = {40 + \frac{x}{2} - 80}}{p - \mathit{px} + 40}{p^{2} + \frac{x}{2}}p^{2}\)

приходим к равенству \(600{p^{2} + 80}{{p - 40} = x}\left( {{\frac{1}{2} - p + \frac{3}{2}}p^{2}} \right)\), из которого вытекает зависимость между величиной декларируемого дохода и вероятностью обнаружения уклонения от уплаты налога:

\({x = \frac{600{p^{2} + 80}{p - 40}}{{\frac{1}{2} - p + \frac{3}{2}}p^{2}}}.\)

По экономическому смыслу очевидно, что \(x\leq 160,\) т.е. максимально индивид может задекларировать весь свой доход. Используя в данном условии полученную выше дробь, характеризующую зависимость между величиной уклонения от налогов и вероятностью его обнаружения, после очевидных преобразований получаем квадратное неравенство \(3{p^{2} + 2}{p - 1}\leq 0\), решением которого является следующий диапазон вероятности: \(0\leq p\leq\frac{1}{3}\).

Посмотрим, при какой минимальной вероятности обнаружения уклонения у индивида возникает стимул декларировать доход:

\(x = \frac{600{p^{2} + 80}{p - 40}}{{\frac{1}{2} - p + \frac{3}{2}}p^{2}} = \frac{40\left( {15{p^{2} + 2}{p - 1}} \right)}{\left( {\sqrt{3}{p - \frac{1}{\sqrt{3}}}} \right)^{2} + \frac{2}{3}} \gt 0.\)

Данное условие приводит к квадратному неравенству \(15{p^{2} + 2}{{p - 1} \gt 0}\), из которого следует, что \({p \gt \frac{1}{5}}.\)

Таким образом, индивид будет склонен не декларировать никаких доходов, если вероятность обнаружения обмана достаточно низка, будет частично декларировать свой доход при определенном диапазоне вероятностей обнаружения уклонения от уплаты налогов и предпочтет задекларировать весь свой доход, если вероятность обнаружения налогового правонарушения становится достаточно высокой:

\({x = \left\lbrack \begin{matrix} {0\mathit{при}p\leq\frac{1}{5},} \\ \frac{600{p^{2} + 80}{p - 40}}{{\frac{1}{2} - p + \frac{3}{2}}p^{2}} \\ {160\mathit{при}p\geq\frac{1}{3}.} \\ \end{matrix} \right.}\mathit{при}{\frac{1}{5} \lt p \lt \frac{1}{3}},\)

Предположим, что данный индивид решается пойти на уклонение от уплаты налога. Покажем, как повлияет увеличение вероятности обнаружения данного факта на величину декларируемого дохода.

Рассчитаем производную декларируемого дохода по вероятности обнаружения уклонения от уплаты налога:

\(\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dp}} = \frac{(1200{p + 80}){\left( {{\frac{1}{2} - p + \frac{3}{2}}p^{2}} \right) - (}3{p - 1})\left( {600{p^{2} + 80}{p - 40}} \right)}{\left( {{\frac{1}{2} - p + \frac{3}{2}}p^{2}} \right)^{2}} = \frac{720p\left( {1 - p} \right)}{\left( {{\frac{1}{2} - p + \frac{3}{2}}p^{2}} \right)^{2}} \gt 0.\)

Следовательно, увеличение вероятности обнаружения налогового преступления приведет к увеличению декларируемого дохода.

Предположим, что конкретный вид функции полезности индивида, который решается пойти на уклонение от уплаты налога, не известен, но имеется лишь информация, что данный индивид стремится избегать риска и его функция полезности дифференцируема. Покажем, как повлияет увеличение вероятности обнаружения налогового преступления на величину декларируемого дохода.

Выпишем оптимизационную задачу индивида, уклоняющегося от уплаты налога, при произвольной дифференцируемой и строго вогнутой функции полезности:

\({\mathit{EU} = \mathit{pU}}{\left( {40 + \frac{x}{2}} \right) + \left( {1 - p} \right)}U\left( {160 - \frac{x}{4}} \right)\rightarrow\underset{x}{\mathit{\max}}.\)

Необходимым условием максимума ожидаемой полезности является равенство нулю ее производной, которую будем рассматривать как неявную функцию переменных декларируемого дохода и вероятности обнаружения уклонения от уплаты налога:

\(F{\left( {x,p} \right) = \frac{p}{2}}U^{'}{\left( {40 + \frac{x}{2}} \right) - \frac{\left( {1 - p} \right)}{4}}U^{'}{\left( {160 - \frac{x}{4}} \right) = 0.}\)

Воспользуемся теоремой о неявной функции принимая во внимание несклонность индивида к риску, а значит, строгую вогнутость его элементарной функции полезности \(\left( {U^{''}{(\bullet) \lt 0}} \right)\):

\(\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dp}} = \frac{- \frac{\partial F}{\partial p}}{\frac{\partial F}{\partial x}} = \frac{- {\frac{1}{2}U^{'}{\left( {40 + \frac{x}{2}} \right) + \frac{1}{4}}U^{'}\left( {160 - \frac{x}{4}} \right)}}{\frac{p}{4}U^{''}{\left( {40 + \frac{x}{2}} \right) + \frac{\left( {1 - p} \right)}{16}}U^{''}\left( {160 - \frac{x}{4}} \right)} \gt 0.\)

Следовательно, в данном, более общем случае так же, как и в предыдущем, можно сделать вывод о том, что увеличение вероятности обнаружения налогового преступления будет приводить к увеличению декларируемого дохода.

---

1. Функция названа в честь швейцарского ученого Даниила Бернулли (1700-1782).↩︎

2. Friedman M., Savage L.J. The Utility Analysis of Choices Involving Risk // Journal of Political Economy. – 1948. - Vol. LVI, №4. - Р. 279-304 [На русском языке: Фридмен М., Сэвидж Л.Дж. Анализ полезности при выборе среди альтернатив, предполагающих риск. – Вехи экономической мысли. Теория потребительского поведения и спроса. Т.1. – СПб.: Экономическая школа, 2000. С. 208-249].↩︎

3. При этом отношение длин отрезков на графике функции ожидаемой полезности АВ и отношение отрезков, на которые разбивает горизонтальную ось значение случайного богатства индивида E(g), будут пропорциональны отношению вероятностей исходов: \(\frac{\mathit{AC}}{\mathit{CB}} = \frac{E{\left( \text{g} \right) - x_{1}}}{{x_{2} - E}\left( \text{g} \right)} = \frac{1 - \alpha}{\alpha}\).↩︎

4. Фридмен М., Сэвидж Л.Дж. Анализ полезности при выборе среди альтернатив, предполагающих риск. – Вехи экономической мысли. Теория потребительского поведения и спроса. Т.1. – СПб.: Экономическая школа, 2000. С. 240.↩︎

5. Это предположение базируется на том, что страховые компании оперируют в достаточно крупных масштабах и исходят из равенства общего количества внесенных страховых взносов общему количеству страховых выплат согласно закону больших чисел, который утверждает, что хотя единичные события могут быть случайными и в основном непредсказуемы, средний результат многих похожих событий можно предсказать.↩︎

6. Markowitz H. Portfolio selection // Journal of finance. 1952. Vol.7. №1; Markowitz H. Portfolio selection. – N.Y.: Wiley, L.: Chapman & Hall, 1959.↩︎

7. Зорич В.А. Математический анализ. – 2-е изд. – М.: ФАЗИС, 1997, ч.1.↩︎

8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 6-е изд. – М.: Наука, 1989.↩︎

9. В задачах оптимизации инвестиционного портфеля (в частности, в задаче связанной минимизации риска (5.2.9)) градиенты целевой функции (вариации – вектор предельного риска) и ограничения (в данном случае – вектор доходностей) являются линейно зависимыми. Множитель Лагранжа \(\lambda\) при этом выступает коэффициентом пропрциональности.↩︎

10. См. также: Кац М., Роузен Х. Микроэкономика. – Мн.: Новое знание, 2004, с. 217-220.↩︎