5.1.1. Предпосылки теории ожидаемой полезности
Теория ожидаемой полезности опирается на следующие предпосылки:
- Выбор потребителя может привести к одному из множества исходов, но к какому именно, заранее определить невозможно.
- Исходы могут иметь вид наборов благ или денежных сумм.
- Множество исходов конечно.
- Вероятности всех исходов известны.
- Вместо наборов благ объектом выбора потребителя являются [[лотереи:00001dd1]].
- Потребитель имеет предпочтения на множестве лотерей.
5.1.2. Аксиомы потребительского выбора в условиях неопределенности
Пусть G - множество всех лотерей (простых и сложных) и для упрощения бесконечно вложенные сложные лотереи исключены:
\(G\equiv\left\{ {\alpha_{1}\circ x_{1},\ldots,\alpha_{n}\circ{x_{n} \vee \alpha_{i}}\geq 0,{\sum\limits_{i = 1}^{n}{\alpha_{i} = 1}}} \right\}\).
Тогда аксиомы потребительского выбора в условиях неопределенности будут следующими:
- Полнота: для любых двух лотерей \(g\) и \(g^{\prime}\) из множества \(G\) либо \(g \succsim g^{\prime}\), либо \(g^{\prime} \succsim g\) (знаки ~ и \(\succ\) могут использоваться для обозначения отношений безразличия и строгого предпочтения).
- Транзитивность: для любых трех лотерей \(g\), \(g^{\prime}\) и \(g^{\prime\prime}\) из \(G\), если \(g \succsim g^{\prime}\) и \(g^{\prime} \succsim g^{\prime\prime}\), то \(g \succsim g^{\prime\prime}\).
Аксиомы полноты и транзитивности позволяют упорядочить элементы множества \(Х\) так, что \( x_1 \succsim x_2 \succsim \ldots \succsim x_n\).
- Непрерывность: если для любой лотереи \(g\) из \(G\) отношение безразличия не имеет места при крайних значениях \(\alpha\) (т.е. при \(\alpha = 0\) или \(\alpha = 1\)), то оно должно выполняться для некоторого промежуточного значения \(\alpha \in [0,1]\), т.е. \( g \sim (\alpha x_1, (1-\alpha)x_n).\).
- Монотонность: если каждая из простых лотерей потенциально приводит только к наилучшему (\((x_1)\) и наихудшему (\((x_n)\) исходам, то предпочтительной является та из них, которая приводит к наилучшему исходу с большей вероятностью. То есть, для всех вероятностей \(\alpha, \beta \in [0, 1] \quad (\alpha x_1, (1-\alpha)x_n) \geq (\beta x_1, (1-\beta)x_n)\) тогда и только тогда, когда \(\alpha \gt \beta\).
- Замещение: две лотереи эквивалентны для потребителя, если для него эквивалентны их исходы и эти исходы реализуются с одинаковыми вероятностями. Или: если \(g = (\alpha_1 g_1, \dots, \alpha_n g_n)\) и \(h = (\alpha_1 h_1, \dots, \alpha_n h_n)\) принадлежат \(G\) и \(h_i \sim g_i\) для каждого \(i\), то \(h \sim g\).
- Сведение к простым лотереям: сложная лотерея и порождаемая ею простая лотерея эквивалентны. Иными словами, сложная лотерея, которая с вероятностью α приводит к исходу \(x_1\), а с вероятностью \((1-\alpha)\) дает лотерейный билет, который является простой лотереей и приводит к исходу \(x_1\) с вероятностью \(\beta\) и к исходу \(x_2\) с вероятностью \((1-\beta)\) , эквивалентна простой лотерее \(((\alpha + (1-\alpha)\beta)x_1, (1-\alpha)(1-\beta)x_2).\)
- Независимость: при любых \(g\), \(g^{\prime}\) и \(g^{\prime\prime}\) из \(G\) и любых \(\alpha \in [0,1]\) отношение предпочтения \(g \succsim g^{\prime}\) имеет место тогда и только тогда, когда \(ag + (1-a)g^{\prime} \approx ag^{\prime} + (1-a)g^{\prime\prime}\). Или: если каждую из двух лотерей смешать с третьей, то порядок предпочтения этих смешанных лотерей будет таким же, как и для исходных (рис. 5.1).
Аксиома независимости занимает центральное место в теории выбора в условиях неопределенности, поскольку отражает фундаментальный смысл неопределенности. Потребитель не потребляет лотерею \(g\) или \(g^{\prime}\) вместе с лотереей \(g^{\prime\prime}\), как это могло бы происходить в условиях определенности в случае, если бы вместо лотерей потребитель совершал выбор между наборами благ. В отличие от теории выбора в условиях определенности, потребителю достанется лотерея \(g\) или \(g^{\prime}\) вместо лотереи \(g^{\prime\prime}\). Следовательно, его предпочтения в отношении лотерей \(g\) и \(g^{\prime}\) не зависят от его отношения к лотерее \(g^{\prime\prime}\).
тогда и только тогда, когда \(g \succsim g^{\prime}\)
Рисунок 5.1. Аксиома независимости
Аксиомы позволяют представить предпочтения потребителя с помощью линейной по вероятностям функции полезности, которая называется функцией ожидаемой полезности.
5.1.3. Функция ожидаемой полезности
Функция полезности \(U: G \rightarrow \boldsymbol{R}\) обладает свойством ожидаемой полезности, если любой лотерее gϵG соответствует:
\(U(g) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i u(x_i),\)
где \((\alpha_{i}\circ x_{i},\ldots,\alpha_{n}\circ x_{n})\) – простая лотерея, порожденная \(g, u(x_i)\) – полезность исхода \(x_i\), которой приписывается \(\alpha_{i}\) - эффективная вероятность ее получения.
Таким образом, функция ожидаемой полезности сопоставляет каждой лотерее ожидаемое значение полезности, которое она может дать.
Функция полезности, обладающая свойством ожидаемой полезности, называется функцией полезности фон Неймана-Моргенштерна в честь Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна – авторов опубликованной 1944 году книги «Теория игр и экономическое поведение»1, в которой была предложена эта функция.
Теорема о существовании функции полезности фон Неймана-Моргенштерна: если предпочтения \(\text{≿}\) на лотереях из G удовлетворяют аксиомам, то существует функция полезности \(U: G \rightarrow \boldsymbol{R}\), которая представляет эти предпочтения и обладает свойством ожидаемой полезности.
Доказательство теоремы о существовании функции полезности фон Неймана-Моргенштерна 2
Пусть на множестве G существуют наилучшая \(\overline{\text{g}}\) и наихудшая \(\underline{\text{g}}\) лотереи, так что для любой лотереи \(\text{g}\in\text{G}\): \(\overline{\text{g}}\succsim\text{g}\succsim\underline{\text{g}}\).
\({g = {\mathit{\alpha g} + \left( {1 - \alpha} \right)}}g\succ{\mathit{\alpha g} + \left( {1 - \alpha} \right)}g^{'}\succ\alpha{g^{'} + \left( {1 - \alpha} \right)}{g^{'} = g}'\).
При этом выполняется следующее соотношение:
\(\beta{\overline{g} + \left( {1 - \beta} \right)}{\underline{g} = \gamma}{\overline{g} + \left( {1 - \gamma} \right)}{\lbrack{\alpha{\overline{g} + \left( {1 - \alpha} \right)}\underline{g}}\rbrack}\),
где \({\gamma = \frac{\beta - \alpha}{1 - \alpha}}\in(0,1\rbrack.\)
Согласно утверждению \(g\succ g^{'}\), имеем: \(\overline{g}\succ\alpha{\overline{g} + \left( {1 - \alpha} \right)}\underline{g}\).
Предположим, что \(\beta \gt \alpha\), тогда:
\(\gamma{\overline{g} + \left( {1 - \gamma} \right)}\left\lbrack {\alpha{\overline{g} + \left( {1 - \alpha} \right)}\underline{g}} \right\rbrack\succ\alpha{\overline{g} + \left( {1 - \alpha} \right)}\underline{g}\).
Откуда: \(\beta{\overline{g} + \left( {1 - \beta} \right)}\underline{g}\succ\alpha{\overline{g} + \left( {1 - \alpha} \right)}\underline{g}\).
Для доказательства обратного предположим, что \(\beta\leq\alpha\). Тогда, если \(\beta = \alpha\), то:
\(\beta{\overline{g} + \left( {1 - \beta} \right)}\underline{g}\qquad\alpha{\overline{g} + \left( {1 - \alpha} \right)}\underline{g}\).
Если \(\beta \lt \alpha\) и если поменять местами \(\alpha\) и \(\beta\), то:
\(\alpha{\overline{g} + \left( {1 - \alpha} \right)}\underline{g}\succ\beta{\overline{g} + \left( {1 - \beta} \right)}\underline{g}\).
\({{\lbrack{\alpha{g{\overline{g} + \left( {1 - \alpha_{g}} \right)}\underline{g}}}\rbrack}\qquad g}{}\).
Существование такого числа \(\alpha_{g}\) следует из аксиомы непрерывности и того, что \(\overline{g}\) и \(\underline{g}\) - наилучшая и наихудшая лотереи. Единственность \(\alpha_{g}\) можно доказать, воспользовавшись подходом, изложенным в п.2.
Согласно утверждению п.3, для любых двух лотерей g, g’\(\in G\) имеем: \(\text{g}\succcurlyeq\text{g}'\) тогда и только тогда, когда:
\(\alpha_{g}{\overline{g} + \left( {1 - \alpha_{g}} \right)}\underline{g}\succcurlyeq\alpha_{g'}{\overline{g} + \left( {1 - \alpha_{g'}} \right)}\underline{g}\).
Таким образом, из п.2 следует, что \(g\succcurlyeq g'\) тогда и только тогда, когда \(\alpha_{g}\geq\alpha_{g'}\).
Мы хотим показать, что для любых двух лотерей g, g’\(\in G\) и \(\beta\in{\lbrack 0,1\rbrack}\) выполнено:
\(U({\mathit{\beta g} + \left( {1 - \beta} \right)}g^{'}{) = \mathit{\beta U}}(g{) + \left( {1 - \beta} \right)}U(g^{'})\).
По определению:
\(g\qquad U(g){\overline{g} + \left( {{1 - U}(g)} \right)}\underline{g}\)
и
\(g'\qquad U(g'){\overline{g} + \left( {{1 - U}(g')} \right)}\underline{g}\).
Тогда, дважды применив аксиому независимости, имеем:
\({\mathit{\beta g} + \left( {1 - \beta} \right)}g^{'}\qquad\beta{\left\lbrack {U(g){\overline{g} + \left( {{1 - U}(g)} \right)}\underline{g}} \right\rbrack + \left( {1 - \beta} \right)}g^{'}\)
\(\qquad\beta{\left\lbrack {U(g){\overline{g} + \left( {{1 - U}(g)} \right)}\underline{g}} \right\rbrack + \left( {1 - \beta} \right)}{\lbrack{U(g'){\overline{g} + \left( {{1 - U}\left( g^{'} \right)} \right)}\underline{g}}\rbrack}\).
Преобразуем последнюю лотерею:
\(\mathit{\beta U}(g){\overline{g} + \beta}\left( {{1 - U}(g)} \right){\underline{g} + \left( {1 - \beta} \right)}U\left( g^{'} \right){\overline{g} + \left( {1 - \beta} \right)}\left( {{1 - U}\left( g^{'} \right)} \right){\underline{g} =}\)
\({}\left\lbrack {\mathit{\beta U}{(g) + \left( {1 - \beta} \right)}U\left( g^{'} \right)} \right\rbrack{\overline{g} + \left\lbrack {\beta{\left( {{1 - U}(g)} \right) + \left( {1 - \beta} \right)}\left( {{1 - U}\left( g^{'} \right)} \right)} \right\rbrack}{\underline{g} =}\)
\({}\left\lbrack {\mathit{\beta U}{(g) + \left( {1 - \beta} \right)}U\left( g^{'} \right)} \right\rbrack{\overline{g} + {\lbrack{{1 - \mathit{\beta U}}{(g) - \left( {1 - \beta} \right)}U\left( g^{'} \right)}\rbrack}}\underline{g}\).
Таким образом:
\({\mathit{\beta g} + \left( {1 - \beta} \right)}g^{'}\qquad\left\lbrack {\mathit{\beta U}{(g) + \left( {1 - \beta} \right)}U\left( g^{'} \right)} \right\rbrack{\overline{g} + {\lbrack{{1 - \mathit{\beta U}}{(g) - \left( {1 - \beta} \right)}U\left( g^{'} \right)}\rbrack}}\underline{g}\).
Отсюда по построению функции \(U(\bullet)\) в п.4 имеем:
\(U({\mathit{\beta g} + \left( {1 - \beta} \right)}g^{'}{) = \mathit{\beta U}}(g{) + \left( {1 - \beta} \right)}U(g^{'})\).
Следовательно, функция полезности, представляющая предпочтения \(\succsim\) и имеющая форму ожидаемой полезности, существует. \(\blacksquare\)
Свойство ожидаемой полезности придает функции фон Неймана-Моргенштерна существенное отличие от функции полезности, с помощью которой поведение потребителей исследуется в условиях определенности. Если функция полезности, отражающая предпочтения потребителей в отношении товарных наборов, может быть подвергнута любому строго монотонному преобразованию без нарушения порядка предпочтений, то в отношении функции фон Неймана-Моргенштерна этого утверждать нельзя. Дело в том, что вероятности, использующиеся при построении функции полезности на множестве лотерей, имеют самостоятельный смысл. Они отражают предпочтения потребителя и определяются ими.
Пусть Х={a,b,c} – множество исходов произвольной лотереи, где a\(\succ\)b\(\succ\)c, предпочтения \(\succsim\) удовлетворяют аксиомам выбора в условиях неопределенности, а u представляет их в виде функции ожидаемой полезности. Тогда существует такое αє[0,1], что:
\(u(b) = \alpha u(a) + (1 - \alpha) u(c)\).
Или:
\(\frac{u(a) - u(b)}{u(b) - u(c)} = \frac{1 - \alpha}{\alpha}.\)
Так как вероятность α единственным образом определяется предпочтениями потребителя, то это верно и для отношения разностей между значениями полезности, которое также однозначно определяется α. Это означает, что отношение разностей значений полезности должно принимать одно и то же значение для каждой функции фон Неймана-Моргенштерна, представляющей предпочтения \(\succsim\).
Следовательно, в отличие от функции полезности в условиях определенности, функция фон Неймана-Моргенштерна содержит информацию не только о порядке предпочтений, но и об отношении разностей полезностей, которое также должно сохраняться в ходе монотонных преобразований.
Теорема о единственности функции фон Неймана-Моргенштерна: функция ожидаемой полезности \(v(\cdot)\) представляет те же самые предпочтения, что и \(u(\cdot)\), тогда и только тогда, когда для некоторого числа \(\mu\) и некоторого числа \(\beta \gt 0\)
\(v(g) = \mu + {\beta}u(g)\)
для всех лотерей \(g\).
Или: функция ожидаемой полезности единственна с точностью до положительных [[аффинных преобразований:00001dd3]].
Доказательство теоремы о единственности функции фон Неймана-Моргенштерна
Пусть \(g =( \alpha x_1, (1 - \alpha)x_2), g \in G\), а функция полезности \(u(\cdot)\) обладает свойством ожидаемой полезности. Тогда:
\(v{\left( {\alpha{x_{1} + \left( {1 - \alpha} \right)}x_{2}} \right) = {\mu + \mathit{\beta u}}}{\left( {\alpha{x_{1} + \left( {1 - \alpha} \right)}x_{2}} \right) = {\mu + \beta}}{\left( {\mathit{\alpha u}{\left( x_{1} \right) + \left( {1 - \alpha} \right)}u\left( x_{2} \right)} \right) = {\mu + \mathit{\beta\alpha u}}}{\left( x_{1} \right) + \mathit{\beta u}}{\left( x_{2} \right) - \mathit{\beta\alpha u}}{{\left( x_{2} \right) + \mathit{\alpha\mu} - \mathit{\alpha\mu}} = \alpha}{\left( {\mathit{\beta u}{\left( x_{1} \right) + \mu}} \right) + \left( {1 - \alpha} \right)}{\left( {\mathit{\beta u}{\left( x_{2} \right) + \mu}} \right) = \mathit{\alpha v}}{\left( x_{1} \right) + \left( {1 - \alpha} \right)}v\left( x_{2} \right).\)
Таким образом, функция ожидаемой полезности единственна с точностью до положительных аффинных преобразований.\(\blacksquare\)
Отсюда, возможным монотонным преобразованием функции ожидаемой полезности может быть только положительное линейное преобразование: умножение на положительное число и/или прибавление константы.
Теоремы о существовании и единственности функции полезности фон Неймана-Моргенштерна позволяют сделать нормативный вывод: если предпочтения индивида представимы функцией полезности, обладающей свойством ожидаемой полезности, и если этот индивид всегда выбирает наиболее предпочитаемую из имеющихся альтернатив, то он отдаст предпочтение одной лотерее перед другой тогда и только тогда, когда ожидаемая полезность одной превосходит ожидаемую полезность другой.
Следовательно, осуществляя выбор среди лотерей, рациональный экономический субъект максимизирует функцию ожидаемой полезности.
Конкретный вид функции ожидаемой полезности зависит от отношения экономического субъекта к риску.