Пусть \(q(t)\) – объем выпуска продукции предприятием в момент времени t. Предприятие работает в условиях совершенной конкуренции, причем динамика цены на продукт задана функцией \(p_{0}(t)\). Предположим, что в каждый, данный момент времени инвестируется определенная доля \(u(t)\) выручки предприятия \(\mathit{TR}(t{) = p}(t)\bullet q(t)\): \(I{(t) = u}(t)\bullet\mathit{TR}(t)\). Допустим, что в соответствии с механизмом акселератора выручка растет пропорционально инвестициям \(I(t)\) с постоянным коэффициентом акселерации \(\alpha\). Итак, \({\frac{\mathit{dTR}(t)}{\mathit{dt}} = \mathit{\alpha I}}{(t) = \mathit{\alpha u}}(t)\mathit{TR}(t)\). Пусть эксплуатационные (операционные) расходы фирмы \(C(t)\) так же пропорциональны выручке, и стационарный во времени коэффициент пропорциональности равен \(\beta\): \(C{(t) = \mathit{\beta TR}}(t)\). Изначально (при \(t = 0\)) в распоряжении предприятия находятся денежные средства в размере \(\mathit{TR}{(0) = \mathit{TR}_{0}}\).
Прибыль в момент времени \(t\) составит: \(\mathit{PR}{(t) = \mathit{TR}}{(t) - I}{(t) - C}{(t) = \mathit{TR}}(t)({1 - \beta - u}(t))\). Задача заключается в том, чтобы выбрать такую стратегию инвестиций, т.е. так распределить их коэффициент \(u(t)\) во времени, чтобы к моменту \(T\) совокупная прибыль, полученная предприятием, была максимальной1:
\(\begin{matrix} {{\int\limits_{0}^{T}{\mathit{TR}(t)\left( {{1 - \beta - u}(t)} \right)e^{-}\mathit{dt}}}\rightarrow\mathit{\max}:} \\ {{\overset{˙}{\mathit{TR}} = \mathit{\alpha uTR}};0\leq u\leq{1 - \beta};\mathit{TR}{(0) = \mathit{TR}_{0}};} \\ \end{matrix}\)
или, что эквивалентно,
\(\begin{matrix} {{\int\limits_{0}^{T}{\mathit{TR}(t)\left( {u{(t) - 1 + \beta}} \right)e^{-}\mathit{dt}}}\rightarrow\mathit{\min}:} \\ {{\overset{˙}{\mathit{TR}} = \mathit{\alpha uTR}};0\leq u\leq{1 - \beta};\mathit{TR}{(0) = \mathit{TR}_{0}}.} \\ \end{matrix}\)
Составим функцию Лагранжа:
\({L = {{\int\limits_{0}^{T}{(\lambda_{0}\mathit{TR}(t)\left( {u{(t) - 1 + \beta}} \right){e^{-} + p}(t)(\overset{˙}{\mathit{TR}}{(t) - \mathit{\alpha u}}(t)\mathit{TR}(t)))\mathit{dt}}} + \lambda_{1}}}\left( {\mathit{TR}{(0) - \mathit{TR}_{0}}} \right).\)
По необходимым условиям оптимальности будет существовать ненулевой вектор множителей Лагранжа \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1},p(\bullet)} \right)\), для которого выполнены условия:
а) стационарности по \(\mathit{TR}\) – уравнение Эйлера для лагранжиана
\({L = \lambda_{0}}\mathit{TR}(t)(u{(t) - 1 + \beta}){e^{- \mathit{rt}} + p}(t)(\overset{˙}{\mathit{TR}}{(t) - \mathit{\alpha u}}(t)\mathit{TR}(t))\):
\({{- \overset{˙}{p}} + \lambda_{0}}\left( {u{(t) - 1 + \beta}} \right){e^{-} - \mathit{\alpha u}}(t)p{(t) = 0};\)
б) оптимальности по \(u\):
\(\underset{0\leq u\leq{1 - \beta}}{\mathit{\min}}{{(\lambda_{0}u(t)\mathit{TR}(t){e^{-} - \mathit{\alpha u}}(t)p(t)\mathit{TR}(t))} = \underset{0\leq u\leq{1 - \beta}}{\mathit{\min}}}{u(t)\mathit{TR}(t)\left( {\lambda_{0}{e^{-} - \alpha}p(t)} \right);}\)
в) трансверсальности по \(\mathit{TR}\) для терминанта \({l = \lambda_{1}}\left( {\mathit{TR}{(0) - \mathit{TR}_{0}}} \right)\):
\(\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{\mathit{TR}}}{(0) = p}{(0) = \frac{\partial l}{\partial\mathit{TR}(0)} = \lambda_{1}}\), \(\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{\mathit{TR}}}{(T) = p}{(T) = \frac{- {\partial l}}{\partial\mathit{TR}(T)} = 0}\);
г) неотрицательности множителя Лагранжа: \(\lambda_{0}\geq 0.\)
Покажем, что множитель Лагранжа \(\lambda_{0}\) не может быть нулевым, рассуждая от противного. Предположим, что \(\lambda_{0} = 0\). Тогда в соответствии с уравнением Эйлера \({\overset{˙}{\psi} = {- \mathit{\alpha u}}}(t)p(t)\). Рассмотрим возможные значения \(p(t)\). При \(p{(t) \lt 0}\) из условия оптимальности по \(u\) следует, что \(u = 0\), а значит, \(\overset{˙}{p} = 0\), т.е. \({p = \mathit{const} = p}{(T) = 0}\), что противоречит предыдущему неравенству. При \(p{(t) \gt 0}\) оптимальность по \(u\) дает \(u = {1 - \beta}\), а значит, уравнение Эйлера принимает вид \({\overset{˙}{p} = \alpha}({\beta - 1})p\). Следовательно, \(p{(t) = c_{1}}{e^{\alpha({\beta - 1})t} = p}(0){e^{\alpha({\beta - 1})t} = \lambda_{1}}e^{\alpha({\beta - 1})t}\), в частности, \(p{(T) = \lambda_{1}}{e^{\alpha({\beta - 1})T} = 0}\), т.е. \(\lambda_{1} = 0\), и \(p{(t) = 0}\), что идет в разрез с предположением о положительности данного коэффициента. Наконец, допуская \(p{(t) = 0}\), получаем \(\lambda_{1} = 0\), а значит, нулевой вектор множителей Лагранжа, что исключается необходимым условием оптимальности.
Итак, \(\lambda_{0}\neq 0\), и без ограничения общности можно положить \(\lambda_{0} = 1\). Тогда уравнение Эйлера принимает вид:
\({\overset{˙}{p} = \left( {u{(t) - 1 + \beta}} \right)}{e^{-} - \mathit{\alpha u}}(t)p{(t) = u}(t){\left( {{e^{-} - \alpha}p(t)} \right) + \left( {\beta - 1} \right)}e^{-}.\)
Условие оптимальности по \(u\) будет выглядеть так:
\(\underset{0\leq u\leq{1 - \beta}}{\mathit{\min}}{u(t)\mathit{TR}(t)\left( {{e^{-} - \alpha}p(t)} \right)}.\)
Из данного условия вытекает, что \(u = {1 - \beta}\) при \({e^{-} - \alpha}p{(t) \lt 0}\) и \(u = 0\) при \({e^{-} - \alpha}p{(t) \gt 0}\), следовательно, оптимальной является стратегия либо инвестирования всей прибыли, либо ее «фиксации» при полном отказе от инвестиций. Найдем точку переключения между данными стратегиями \(t = \tau\), когда:
\({e^{-} - \alpha}p{(t) = 0.}(4.54)\)
До момента переключения нужно инвестировать всю прибыль, а после него – ее фиксировать; ведь при обратном порядке стратегий было бы выгодно не инвестировать вовсе, поскольку инвестиции, аннулирующие прибыль, никогда не смогут окупиться.
Существуют две возможности: \(\tau = 0\) либо \(\tau \gt 0\). Рассмотрим наиболее интересный второй случай. В точке переключения (4.54) уравнение Эйлера принимает вид: \({\frac{\mathit{dp}}{\mathit{dt}} = (}{\beta - 1})e^{-}\). Решаем его, интегрируем его, разделяя переменные: \(p{(t) = {\int\mathit{dp}} = {{\int{({\beta - 1})e^{{- i}t}dt}} + c_{1}} = \frac{({1 - \beta})}{i}}{{{\int{de^{-}}} + c_{1}} = \frac{({1 - \beta})}{i}}{e^{-} + c_{1}}\). Используя здесь условие трансверсальности \(p{(T) = \frac{({1 - \beta})}{i}}{{e^{-} + c_{1}} = 0}\), находим значение константы \({c_{1} = \frac{({\beta - 1})}{i}}e^{-}\). Таким образом,
\(p{(\tau) = \frac{\left( {1 - \beta} \right)}{i}}e^{- \mathit{i\tau}}\left( {1 - e^{i{({\tau - T})}}} \right),\)
откуда с учетом условия (4.54), т.е. при
\(p{(\tau) = \frac{e^{- \mathit{i\tau}}}{\alpha}},\)
находим сам момент переключения стратегий:
\({\tau = {T + \frac{1}{i}}}\ln\left( {1 - \frac{i}{\alpha\left( {1 - \beta} \right)}} \right).(4.55)\)
Итак, если \({T \gt \frac{1}{i}}\ln\frac{\alpha({1 - \beta})}{\alpha({1 - \beta}{) - i}}\), то до момента переключения \(\tau\), определяемого формулой (4.55), следует инвестировать всю прибыль, а потом – всю прибыль сберегать (рис. 5). Очевидно, что, поскольку в данном случае \({1 - \frac{i}{\alpha({1 - \beta})}} \gt e^{-} \gt 0\), постольку момент переключения стратегии \(\tau\) будет существовать.
Если же \({T \lt \frac{1}{i}}\ln\frac{\alpha({1 - \beta})}{\alpha({1 - \beta}{) - i}}\), то момент переключения стратегий будет отсутствовать, и сразу нужно сберегать всю получаемую прибыль.
Рисунок 5. Оптимальная стратегия инвестиций
Пример 7.
Пусть, предприятие работает в условиях совершенной конкуренции, причем цена на продукт \(p_{0} = \mathit{const} = 10\) не меняется во времени, а значит, функция выручки имеет вид: \(\mathit{TR}(t{) = 10}q(t)\), где q(t) – объем выпуска продукции предприятием в момент времени t.
Предположим, что в каждый, данный момент времени инвестируется определенная доля \(u(t)\) выручки предприятия: \(I(t{) = u}(t)\bullet\mathit{TR}(t{) = 10}u(t)q(t)\). Пусть эксплуатационные (операционные) расходы фирмы \(C(t)\) пропорциональны выручке: \(C{(t) = 0,6}\bullet\mathit{TR}(t{) = 6}q(t)\). Таким образом, функция прибыли фирмы имеет вид:
\(\mathit{PR}{(t) = \mathit{TR}}{(t) - I}{(t) - C}{(t) = 10}q{(t) - 10}u(t)q{(t) - 6}q{(t) = 10}q(t)\left( {{0,4 - u}(t)} \right).\)
Предприятие облагается налогом на прибыль по ставке \(\gamma = 0,1\), а значит, располагаемая прибыль (после уплаты налога) будет описываться следующей зависимостью: \(\mathit{PR}_{\mathit{at}}{(t) = \left( {1 - \gamma} \right)}\mathit{PR}{(t) = 9}q(t)\left( {{0,4 - u}(t)} \right).\)
Допустим, что в соответствии с механизмом акселератора выручка растет пропорционально инвестициям с постоянным коэффициентом акселерации \(\alpha = 1,25\), т.е.
\({\frac{\mathit{dTR}(t)}{\mathit{dt}} = 10}{\frac{\mathit{dq}(t)}{\mathit{dt}} = 1,25}I{(t) = 1,25}u(t)\mathit{TR}{(t) = 12,5}u(t)q(t),\) или \({\overset{˙}{q} = 1,25}u(t)q(t).\)
Процентная ставка не меняется с течением времени и составляет 20%. Изначально (при t=0) в распоряжении предприятия находятся запасы продукции в размере \(q{(0) = 5}\) (ед.).
Выберем такую стратегию инвестиций, то есть так распределим их коэффициент \(u(t)\) во времени, чтобы к моменту T=5 (лет) чистая приведенная стоимость данного бизнес-проекта была максимальной:
\(\begin{matrix} {\mathit{\max}{\int\limits_{0}^{5}{9q(t)\left( {{0,4 - u}(t)} \right)e^{{- 0,2}t}\mathit{dt}}}:} \\ {{\overset{˙}{q} = 1,25}\mathit{uq};0\leq u\leq 0,4;q{(0) = 5};} \\ \end{matrix}\)
или
\(\begin{matrix} {\mathit{\min}{\int\limits_{0}^{5}{9q(t)\left( {u{(t) - 0,4}} \right)e^{{- 0,2}t}\mathit{dt}}}:} \\ {{\overset{˙}{q} = 1,25}\mathit{uq};0\leq u\leq 0,4;q{(0) = 5}.} \\ \end{matrix}\)
Решая данную задачу максимизации чистой приведенной стоимости бизнес-проекта, составляем функцию Лагранжа:
\({L = {{\int\limits_{0}^{5}{(\lambda_{0}9q(t)\left( {u{(t) - 0,4}} \right){e^{{- 0,2}t} + p}(t)(\overset{˙}{q}{(t) - 1,25}u(t)q(t)))\mathit{dt}}} + \lambda_{1}}}\left( {q{(0) - 5}} \right).\)
Уравнение Эйлера (1.7) для лагранжиана
\({L = 9}\lambda_{0}q(t)(u{(t) - 0,4}){e^{{- 0,2}t} + p}(t)(\overset{˙}{q}{(t) - 1,25}u(t)q(t))\)
в данной задаче имеет вид:
\({{- \overset{˙}{p}} + 9}\lambda_{0}\left( {u{(t) - 0,4}} \right){e^{{- 0,2}t} - 1,25}u(t)p{(t) = 0.}\)
Далее выписываем условие оптимальности лагранжиана по управлению:
\(\underset{0\leq u\leq 0,4}{\mathit{\min}}{{(9\lambda_{0}u(t)q(t){e^{{- 0,2}t} - 1,25}u(t)p(t)q(t))} = \underset{0\leq u\leq 0,4}{\mathit{\min}}}{u(t)q(t)\left( {9\lambda_{0}{e^{{- 0,2}t} - 1,25}p(t)} \right).}\)
Наконец, необходимыми для решения рассматриваемой задачи являются условия трансверсальности по \(q\) для терминанта \({l = \lambda_{1}}\left( {q{(0) - 5}} \right)\):
\(\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{q}}{(0) = p}{(0) = \frac{\partial l}{\partial q(0)} = \lambda_{1}}\), \(\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{q}}{(5) = p}{(5) = \frac{- {\partial l}}{\partial q(5)} = 0}\).
Покажем, что множитель Лагранжа \(\lambda_{0}\) не может быть нулевым, рассуждая от противного. Предположим, что \(\lambda_{0} = 0\). Тогда уравнение Эйлера принимает вид: \({\overset{˙}{p} = {- 1,25}}u(t)p(t)\).
Рассмотрим возможные значения \(p(t)\).
а) При \(p{(t) \lt 0}\) из условия оптимальности по \(u\) следует, что \(u = 0\), а значит, \(\overset{˙}{p} = 0\), т.е. \({p = \mathit{const} = p}{(5) = 0}\), что противоречит предыдущему неравенству.
б) При \(p{(t) \gt 0}\) оптимальность по \(u\) дает \(u = 0,4\), а значит, уравнение Эйлера-Лагранжа принимает вид \({\overset{˙}{p} = {- 0,5}}p\). Решаем его: \(p{(t) = c_{1}}{e^{{- 0,5}t} = p}(0){e^{{- 0,5}t} = \lambda_{1}}e^{{- 0,5}t}\), в частности, \(p{(5) = \lambda_{1}}{e^{- 2,5} = 0}\), т.е. \(\lambda_{1} = 0\), и \(p{(t) = 0}\), что идет в разрез с предположением о положительности данного коэффициента.
в) Наконец, допуская \(p{(t) = 0}\), получаем \(\lambda_{1} = 0\), а значит, нулевой вектор множителей Лагранжа, что исключается необходимым условием оптимальности.
Итак, \(\lambda_{0}\neq 0\), и без ограничения общности можно положить \(\lambda_{0} = 1\).
Переписываем уравнение Эйлера-Лагранжа:
\({\overset{˙}{p} = 9}\left( {u{(t) - 0,4}} \right){e^{{- 0,2}t} - 1,25}u(t)p{(t) = u}(t){\left( {9{e^{{- 0,2}t} - 1,25}p(t)} \right) - 3,6}e^{{- 0,2}t}.\)
Условие оптимальности по \(u\) будет выглядеть так:
\(\underset{0\leq u\leq 0,4}{\mathit{\min}}{u(t)q(t)\left( {9{e^{{- 0,2}t} - 1,25}p(t)} \right)}.\)
Оптимальной стратегией инвестиций будет:
\(\left\lbrack \begin{matrix} {{u = 0,4}\mathit{при}9{e^{{- 0,2}t} - 1,25}p{(t) \lt 0},} \\ {{u = 0}\mathit{при}9{e^{{- 0,2}t} - 1,25}p{(t) \gt 0};} \\ \end{matrix} \right.\)
т.е. либо инвестирование всей прибыли, либо ее «фиксация» при полном отказе от инвестиций.
Найдем точку переключения между данными стратегиями \(t = \tau\), когда:
\(9{e^{{- 0,2}t} - 1,25}p{(t) = 0.}\)
В точке переключения уравнение Эйлера принимает вид:
\({\frac{\mathit{dp}}{\mathit{dt}} = {- 3,6}}e^{{- 0,2}t}.\)
Интегрируем его, разделив переменные: \(p{(t) = {\int\mathit{dp}} = {- 3,6}}{{{\int{e^{{- 0,2}t}dt}} + c_{1}} = 18}{{{\int{de^{{- 0,2}t}}} + c_{1}} = 18}{e^{{- 0,2}t} + c_{1}}\). Используя здесь условие трансверсальности \(p{(5) = 18}{{e^{- 1} + c_{1}} = 0}\), находим значение константы \({c_{1} = {- 18}}e^{- 1}\). Таким образом, \(p{(\tau) = 18}{e^{{- 0,2}\tau} - 18}e^{- 1},\) откуда с учетом условия \(p{(\tau) = 7,2}e^{{- 0,2}\tau}\) находим момент переключения: \(18{e^{{- 0,2}\tau} - 18}{e^{- 1} = 7,2}e^{{- 0,2}\tau}\); \(0,6{e^{{- 0,2}\tau} = e^{- 1}}\), т.е.
\({\tau = {5 + 5}}\ln 0,6\approx 2,446.\)
Итак, до момента \(\tau\approx 2,446\) следует инвестировать всю прибыль, а потом – всю прибыль сберегать (рис. 6).
Рисунок 6. «Релейное» управление инвестициями
Ср.: Арутюнов А.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимума Понтрягина. – М.: Факториал, 2006.↩︎