Рассмотрим процедуру динамической максимизации прибыли отдельного хозяйствующего субъекта1 сначала в дискретном времени. При предположении, что каждый год изнашивается определенная доля \((\delta)\) существующих основных фондов, выражение валовых инвестиций фирмы как сумма чистых инвестиций, т.е. чистого прироста запаса капитала, и его амортизации будет таким:
\({I_{t}^{g} = {K_{t + 1} - K_{t} + \delta}}K_{t}.\)
Динамическая функция прибыли предприятия при дискретном ходе времени с учетом технологии производства \({q_{t} = f}\left( {K_{t},L_{t}} \right)\) будет иметь вид:
\(\mathit{PR}_{t}{\left( {K_{t},L_{t}} \right) = p_{t}}f{\left( {K_{t},L_{t}} \right) - p_{}}{L_{t} - p_{\mathit{Kt}}}\left( {{K_{t + 1} - (}{1 - \delta})K_{t}} \right).\)
Целью деятельности фирмы является максимизация суммарных дисконтированных чистых доходов (NPV) – приведенного к начальному моменту времени потока прибыли. При предположении о том, что предприятие будет функционировать бесконечно долго, его оптимизационная задача будет выглядеть так2:
\({{\sum\limits_{t = 0}^{\infty}\frac{\mathit{PR}_{t}\left( {K_{t},L_{t}} \right)}{\left( {1 + i} \right)^{t}}} = {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}\frac{\left( {p_{t}f{\left( {K_{t},L_{t}} \right) - p_{}}{L_{t} - p_{\mathit{Kt}}}\left( {{K_{t + 1} - \left( {1 - \delta} \right)}K_{t}} \right)} \right)}{\left( {1 + i} \right)^{t}}}}\rightarrow\mathit{\max}\)
Необходимые условия максимума прибыли в дискретном времени будут иметь вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {{{\frac{p_{t}{\frac{\partial f\left( {K_{t},L_{t}} \right)}{\partial K_{t}} + p_{\mathit{Kt}}}({1 - \delta})}{\left( {1 + i} \right)^{t}} - \frac{p_{K,{t - 1}}}{\left( {1 + i} \right)^{t - 1}}} = 0},{t = 1,2},\ldots} \\ {p_{t}{{\frac{\partial f\left( {K_{t},L_{t}} \right)}{\partial L_{t}} - p_{}} = 0},{t = 0,1},\ldots;} \\ \end{matrix} \right.\)
или:
\(\left\{ {\begin{matrix} {p_{t}{\mathit{MP}_{\mathit{Kt}} + p_{Kt}}{\left( {1 - \delta} \right) = \left( {1 + i} \right)}p_{K,{t - 1}},{t = 1},2,\ldots} \\ {p_{t}{\mathit{MP}_{} = p_{}},{t = 0},1,\ldots} \\ \end{matrix}\begin{matrix} {(4.36)} \\ {(4.37)} \\ \end{matrix}} \right.\)
Если цена актива будет расти темпом, равным уровню инфляции \(\left( {\frac{p_{Kt} - p_{K,{t - 1}}}{p_{K,{t - 1}}} = \pi} \right)\), \(\mathit{то}\) в соотношении (4.36) можно перейти от номинальной к реальной ставке процента:
\(p_{t}{\mathit{MP}_{\mathit{Kt}} - p_{Kt}}{\delta = p_{K,{t - 1}}}{i - \left( \frac{p_{Kt} - p_{K,{t - 1}}}{p_{K,{t - 1}}} \right)}{p_{K,{t - 1}} = p_{K,{t - 1}}}{\left( {i - \pi} \right) = p_{K,{t - 1}}}r.\)
Цена материальных активов через год прирастает на величину предельной доходности капитала \(R_{t}\equiv p_{t}\mathit{MP}_{\mathit{Kt}}\), но уменьшается по мере износа основных фондов \(p_{Kt}\delta\). Стоимость вложений в финансовые активы за год увеличивается за счет процентных начислений \(p_{K,{t - 1}}r\). Условие максимизации прибыли по капиталу утверждает, что вложения в финансовые и материальные активы должны обладать одинаковой доходностью: \(p_{t}{\mathit{MP}_{\mathit{Kt}} - p_{Kt}}{\delta = p_{K,{t - 1}}}r.\) При этом доход от размещения денежной суммы на финансовом рынке выступает в качестве альтернативных издержек производственному применению данного капитала.
В стационарном состоянии, когда \(p_{Kt} = p_{K,{t - 1}} = p_{K} = \mathit{const}\), \({p_{Lt} = p_{L} = \mathit{const}},\) \(p_{t} = p = \mathit{const}\), необходимое условие максимизации прибыли (4.36) задает выражение рентной цены капитала3:
\({p_{K} = \frac{p\bullet\mathit{MP}_{k}}{r + \delta}},(4.38)\)
поскольку номинальная \((i)\) и реальная \((r)\) ставки процента будут совпадать, а система (4.36) – (4.37) принимает вид:
\(\left\{ {\begin{matrix} {{\mathit{MP}_{K} = \frac{p_{K}}{p}}\left( {r + \delta} \right),} \\ {{\mathit{MP}_{L} = \frac{p_{L}}{p}}.} \\ \end{matrix}\begin{matrix} {(4.39)} \\ {(4.40)} \\ \end{matrix}} \right.\)
Данная система задает спрос фирмы на труд и капитал. В частности, если величина трудозатрат зафиксирована на оптимальном уровне, то, поскольку в таком случае выражение \(\frac{P}{P_{K}}{{\mathit{MP}_{K} - \delta} = r}\) будет определять оптимальный запас капитала при каждом заданном значении реальной процентной ставки, постольку разница между стоимостью предельного продукта капитала в реальном выражении (по отношению к цене капитального актива) и нормой амортизации \(\frac{P}{P_{K}}{\mathit{MP}_{K} - \delta}\) будет задавать спрос предприятия на капитал на рынке заемных средств (рис. 6).
Соотношения (4.39)-(4.40) можно рассматривать в качестве обобщения статичных условий максимизации прибыли на рынках факторов производства в условиях совершенной конкуренции:
\(\left\{ \begin{matrix} {{{MVP}_{K} = p}\bullet{\mathit{MP}_{K} = p_{K}},} \\ {{{MVP}_{L} = p}\bullet{\mathit{MP}_{L} = p_{L}}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Рисунок 3. Спрос фирмы на капитал при оптимальной величине трудозатрат
Перепишем неоклассическую формулу оптимального запаса капитала (4.39) в следующем виде: \(\frac{p\bullet{\mathit{MP}_{K} - p_{K}}\delta}{p_{K}r} = 1\). Дж. Тобин предложил использовать в качестве индикатора инвестиционной привлекательности предприятия левую часть данного равенства:
\({q_{T} = \frac{p\bullet{\mathit{MP}_{K} - p_{K}}\delta}{p_{K}r}}.\)
Коэффициент Тобина представляет собой оценку предельной прибыльности предприятия с точки зрения инвестирования в него средств4.
Действительно, если \(q_{T} \gt 1\), то \(p\bullet{\mathit{MP}_{K} - p_{K}}{\delta \gt p_{K}}r\), и \(\frac{\partial\mathit{PR}}{\partial K} \gt 0\), а значит, при увеличении запаса капитала прибыль будет повышаться. Следовательно, имеющаяся величина основного капитала ниже оптимального \(\left( {K \lt K} \right)\), и требуются инвестиции в развитие данной компании.
Если \(q_{T} \lt 1\), то, наоборот, \(p\bullet{\mathit{MP}_{K} - p_{K}}{\delta \lt p_{K}}r\), \(\frac{\partial\mathit{PR}}{\partial K} \lt 0\), и при снижении запаса капитала прибыль будет расти. Следовательно, фактический запас капитала превышает оптимальный \(\left( {K \gt K} \right)\). В данной ситуации индикатор свидетельствует о необходимости перехода к более низкому уровню капитала. Следует сократить инвестиции – в перспективе будет ожидаться суженное воспроизводство капитала предприятия.
В случае \(q_{T} = 1\), \(p\bullet{\mathit{MP}_{K} - p_{K}}{\delta = p_{K}}r\), т.е. \(\frac{\partial\mathit{PR}}{\partial K} = 0\), и достигается оптимум \(\left( {K = K} \right)\); другими словами, ситуация на предприятии не нуждается в корректировке.
Величина \({(p\bullet{\mathit{MP}_{K} - p_{K}}\delta)}/r\) с учетом формулы пожизненного аннуитета (vi) может рассматриваться как оценка капитализированной предельной прибыльности компании (до выплаты процентов), т.е. капитализированной доходности дополнительных денежных средств, инвестированных в предприятие5.
Задача максимизации чистой приведенной стоисости инвестиционного проекта может ставиться как с точки зрения поиска оптимальной динамики комбинации факторов производства, так и в контексте нахождения оптимальной траектории динамики объема реализуемой продукции. В качестве примера второй трактовки динамической максимизации прибыли приведем задачу оптимальной эксплуатации невозобновляемого ресурса, запасы которого представляют собой некоторую экзогенно заданную величину \(\overline{q}\):
\(\begin{matrix} {{{\sum\limits_{t = 0}^{T}\frac{\mathit{PR}_{t}\left( q_{t} \right)}{\left( {1 + i} \right)^{t}}} = {\sum\limits_{t = 0}^{T}\frac{\left( {\mathit{TR}_{t}{\left( q_{t} \right) - \mathit{TC}_{t}}\left( q_{t} \right)} \right)}{\left( {1 + i} \right)^{t}}}}\rightarrow\mathit{\max}:} \\ {{{\sum\limits_{t = 0}^{T}q_{t}} = \overline{q}}.} \\ \end{matrix}\)
Решая данную задачу, выписываем функцию Лагранжа:
\({L = {{\sum\limits_{t = 0}^{T}\left( {{\frac{\lambda_{0}\left( {{- \mathit{TR}_{t}}{\left( q_{t} \right) + \mathit{TC}_{t}}\left( q_{t} \right)} \right)}{\left( {1 + i} \right)^{t}} + \lambda_{1}}q_{t}} \right)} - \lambda_{1}}}\overline{q}.\)
Необходимым условием оптимальности является ее стационарность по объему используемого ресурса:
\(\frac{\partial L}{\partial q_{t}} = {\frac{\lambda_{0}\left( {{- \mathit{MR}_{t}} + \mathit{MC}_{t}} \right)}{\left( {1 + i} \right)^{t}} + \lambda_{1}} = 0.\)
Если \(\lambda_{0} = 0\), то \(\lambda_{1} = 0\), чего не может быть, ведь вектор множителей Лагранжа должен быть нулевым. Таким образом, \(\lambda_{0} = 1\), и условие стационарности функции Лагранжа по объему утилизируемого ресурса принимает вид:
\({\frac{\mathit{MR}_{t} - \mathit{MC}_{t}}{\left( {1 + i} \right)^{t}} = \lambda_{1}},\mathit{или}{{\mathit{MR}_{t} - \mathit{MC}_{t}} = \lambda_{1}}\left( {1 + i} \right)^{t}.\)
Аналогичное соотношение будет справедливо для любого момента времени, в частности для \(t - 1\):
\({\frac{\mathit{MR}_{t - 1} - \mathit{MC}_{t - 1}}{\left( {1 + i} \right)^{t - 1}} = \lambda_{1}},\mathit{или}{{\mathit{MR}_{t - 1} - \mathit{MC}_{t - 1}} = \lambda_{1}}\left( {1 + i} \right)^{t - 1}.\)
Поделив условия стационарности функции Лагранжа по \(q\) для соседних периодов времени \(t\) и \(t - 1\) одно на другое, избавляемся от множителя Лагранжа
\(\frac{\mathit{MR}_{t} - \mathit{MC}_{t}}{\mathit{MR}_{t - 1} - \mathit{MC}_{t - 1}} = {1 + i}\)
и приходим к условию оптимальности в темповой записи:
\({\frac{\left( {\mathit{MR}_{t} - \mathit{MC}_{t}} \right) - \left( {\mathit{MR}_{t - 1} - \mathit{MC}_{t - 1}} \right)}{\mathit{MR}_{t - 1} - \mathit{MC}_{t - 1}} = i},\)
которое утверждает, что эксплуатация невозобновляемого ресурса должна осуществляться таким образом, чтобы темп прироста предельной прибыли был равен рыночной ставке процента.
В частности, в условиях совершенной конкуренции, когда \(\mathit{MR}_{t} = p_{t}\), данное условие упрощается:
\({\frac{\left( {p_{t} - \mathit{MC}_{t}} \right) - \left( {p_{t - 1} - \mathit{MC}_{t - 1}} \right)}{p_{t - 1} - \mathit{MC}_{t - 1}} = i}.\)
Следствием данного правила является т.н. условие Викселя, характеризующее оптимальный момент реализации актива, не обремененного никакими эксплуатационными расходами \(\left( {\mathit{MC}_{t} = 0} \right)\), которое утверждает, что актив нужно реализовывать целиком тогда, когда темп прироста его цены уравнивается с рыночной ставкой процента:
\({\frac{p_{t} - p_{t - 1}}{p_{t - 1}} = i}.\)
Перейдем к анализу накопления капитала в непрерывном времени. При этом функцию прибыли можно записать в следующем виде:
\(\mathit{PR}{(t) = p}(t)q{(t) - p_{L}}(t)L{(t) - p_{K}}(t)I_{g}(t),\)
где объем производства характеризуется производственной функцией \(q{(t) = f}(K(t),L(t))\), а валовые инвестиции представляют собой чистый прирост запаса капитала (4.32) и возмещение его выбытия:
\(I_{g}{(t) = \overset{˙}{K}}{(t) + \mathit{\delta K}}(t).(4.41)\)
Максимизация дисконтированного потока прибыли, т.е. чистой приведенной стоимости предприятия как бизнес-проекта в непрерывном времени при переменной ставке процента \(\mathit{NPV} = {\int\limits_{0}^{\infty}{\mathit{PR}(K(t),L(t))e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}}\), будет выглядеть так:
\({\int\limits_{0}^{\infty}{\left( {p(t)f(K(t),L(t){) - p_{L}}(t)L(t{) - p_{K}}(t)\left( {\overset{˙}{K}{(t) + \mathit{\delta K}}(t)} \right)} \right)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}}\rightarrow\mathit{\max}\)
Уравнения Эйлера по затратам капитала \(K(t)\) и труда \(L(t)\) для интегранта
\({L = \left( {p(t)f{\left( {K(t),L(t)} \right) - p_{L}}(t)L{(t) - p_{K}}(t)\left( {\overset{˙}{K}{(t) + \mathit{\delta K}}(t)} \right)} \right)}e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}(4.42)\)
в данной задаче вариационного исчисления будут иметь вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{d}{\mathit{dt}}{\left( {p_{K}(t)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}} \right) + p}(t)\mathit{MP}_{K}(t){e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} - p_{K}}(t)\delta{e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} =}{\overset{˙}{p}}_{K}(t){e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} - i}(t)p_{K}(t){e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} + p}(t)\mathit{MP}_{K}(t){e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} - p_{K}}(t)\delta{e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} = 0},} \\ {p(t)\mathit{MP}_{L}(t){e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} - p_{L}}(t){e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} = 0};} \\ \end{matrix} \right.\)
или
\(\left\{ \begin{matrix} {p(t)\mathit{MP}_{K}{(t) + {\overset{˙}{p}}_{K}}(t{) = p_{K}}(t)(i(t{) + \delta}),} \\ {p(t)\mathit{MP}_{L}{(t) = p_{L}}(t).} \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} {(4.43)} \\ {(4.44)} \\ \end{matrix}\)
Следует отметить, что достаточным условием максимума в данной задаче вариационного исчисления6 является отрицательная определенность на экстремалях (4.43)-(4.44) гессиана \(p(t)\begin{bmatrix} {\frac{\partial^{2}f}{\partial K^{2}}(t)} & {\frac{\partial^{2}f}{\partial K\partial L}(t)} \\ {\frac{\partial^{2}f}{\partial L\partial K}(t)} & {\frac{\partial^{2}f}{\partial L^{2}}(t)} \\ \end{bmatrix}\) – матрицы вторых частных производных интегранта (4.42):
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial^{2}f}{\partial K^{2}}(t{) \lt 0},} \\ {\frac{\partial^{2}f}{\partial K^{2}}(t)\bullet\frac{\partial^{2}f}{\partial L^{2}}(t{{) - \left( {\frac{\partial^{2}f}{\partial K\partial L}(t)} \right)^{2}} \gt 0.}} \\ \end{matrix} \right.\)
Таким образом, функция выручки \(\mathit{TR}{(t) = p}(t)q{(t) = p}(t)f\left( {K(t),L(t)} \right)\), а значит, в силу положительности цены \((p{(t) \gt 0})\) и производственная функция \(q(t{) = f}\left( {K(t),L(t)} \right)\) должны быть строго вогнутыми. Это предполагает действие закона убывающей производительности факторов и (при традиционной предпосылке \(f{(0) = 0}\)) убывающую отдачу от масштаба производства7.
Если цена капитальных активов изменяется темпом равным уровню инфляции \(\left( {\frac{{\overset{˙}{p}}_{K}}{p_{K}} = \pi} \right)\), то в силу уравнения Фишера \(({r = {i - \pi}})\) условие оптимальности по капиталу (4.43) дает выражение рентной цены капитала (4.38) в непрерывном времени, а сама система (4.43)-(4.44) приобретает вид, аналогичный (4.39)-(4.40):
\(\left\{ \begin{matrix} {\mathit{MP}_{K}(t{) = \frac{p_{K}(t)}{p(t)}}\left( {r + \delta} \right),} \\ {\mathit{MP}_{L}(t{) = \frac{p_{L}(t)}{p(t)}}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Пример 5.
Предположим, что производственная функция фирмы, существующей бесконечно долго и действующей в условиях совершенной конкуренции на рынках ресурсов и продукции, имеет вид: \(Q{(t) = 3}{K(t)}^{\frac{1}{3}}{L(t)}^{\frac{1}{2}}.\)
В начальный момент на предприятии имеется 27 единиц основных фондов со сроком службы 10 лет и 16 рабочих. Каждая единица оборудования изнашивается равномерными долями на протяжении всего срока своей эксплуатации.
Цена на готовую продукцию равна 2, цена основных фондов так же равна 2, ставка заработной платы равна 3, банковская ставка составляет 10 процентов годовых. Все данные стоимостные величины стационарны (не меняются во времени).
Оценим перспективность дополнительных инвестиций в предприятие, опираясь на значение коэффициента Тобина.
Каждый год изнашивается 10 процентов установленного капитала: \(\delta = 0,1\). Поскольку \(\mathit{MP}_{K} = \frac{\sqrt{L}}{K^{⅔}}\), постольку (предельный) коэффициент Тобина при первоначальных величинах запаса капитала и занятости равен \(q_{T} = \frac{\frac{P}{P_{K}}{\mathit{MP}_{K} - \delta}}{r} = \frac{\frac{4}{9} - 0,1}{0,1} = \frac{31}{9} \gt 1\), что свидетельствует о необходимости дополнительных инвестиций в предприятие.
Определим оптимальную величину капитала и занятости на данном предприятии. В состоянии оптимума должна выполняться система равенств:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\mathit{MP}_{K} = \frac{\sqrt{L}}{{K^{⅔}}^{⅔}} = \frac{p_{K}}{p}}{\left( {r + \delta} \right) = 0,2};} \\ {{\mathit{MP}_{L} = \frac{3\sqrt[3]{K}}{2\sqrt{L}} = \frac{w}{p} = 1,5};} \\ \end{matrix} \right.\mathit{или}\)
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{3p}{2wK^{\frac{1}{3}}} = \frac{p_{K}}{p}}{\left( {r + \delta} \right) = 0,2};} \\ {{\sqrt{L} = \frac{3p}{2w}}{K^{\frac{1}{3}} = K^{\frac{1}{3}}};} \\ \end{matrix} \right.\)
которая позволяет определить оптимальную величину капитала и занятости на каждом предприятии: K*=125, L*=25.
Поскольку все стоимостные величины, характеризующие систему, являются стационарными – не меняются во времени – данное решение будет справедливым как в случае, когда время меняется дискретными шагами, так и когда оно течет непрерывно.
Очевидно, что (предельный) коэффициент Тобина при оптимальных величинах запаса капитала и занятости равен единице: \(q_{T} = \frac{\frac{P}{P_{K}}{\mathit{MP}_{K} - \delta}}{r} = \frac{\frac{5}{25^{⅔}} - 0,1}{0,1} = 1\).
Из последней системы условий вытекает, что функции спроса предприятия на капитал и труд от рыночной ставки процента и реальных цен на факторы производства при стационарной цене на продукцию соответственно имеют вид:
\({K = \frac{27}{8\left( \frac{w}{p} \right)^{3}\left( \frac{p_{K}}{p} \right)^{3}\left( {r + \delta} \right)^{3}}},{L = \frac{9K^{\frac{2}{3}}}{4\left( \frac{w}{p} \right)^{2}} = \frac{81}{16\left( \frac{p_{K}}{p} \right)^{2}\left( \frac{w}{p} \right)^{4}\left( {r + \delta} \right)^{2}}}.\)
Решение дифференциального уравнения (4.43) позволяет получить выражение стоимости капитального актива, являющееся обобщением формулы приведенной к начальному моменту времени стоимости актива как суммы его дисконтированного потока чистых доходов. Для того чтобы показать это, решим вначале соответствующее однородное уравнение:
\({\frac{dp_{K}(t)}{\mathit{dt}} - p_{K}}(t){\left( {i{(t) + \delta}} \right) = 0.}\)
Разделяя переменные
\({\frac{dp_{K}}{p_{K}} = d}\ln{\left| p_{K} \right| = \left( {i + \delta} \right)}\mathit{dt},\)
интегрируя
\({{\int{d\ln\left| p_{K} \right|}} = {{\int{\left( {i{(t) + \delta}} \right)\mathit{dt}}} + \ln}}c\)
и затем потенцируя полученное равенство, получаем общее решение данного однородного уравнения:
\(p_{K}{(t) = c}e^{\int\limits_{0}^{t}{{({i{{(\tau)} + \delta}})}\mathit{d\tau}}}.\)
Варьируя постоянную \(p_{K}{(t) = c}(t)e^{\int\limits_{0}^{t}{{({i{{(\tau)} + \delta}})}\mathit{d\tau}}}\) и используя это равенство в неоднородном уравнении (4.43):
\(\left( {i{(t) + \delta}} \right)c(t){e^{\int\limits_{0}^{t}{{({i{{(\tau)} + \delta}})}\mathit{d\tau}}} - \frac{dc(t)}{\mathit{dt}}}{e^{\int\limits_{0}^{t}{{({i{{(\tau)} + \delta}})}\mathit{d\tau}}} - \left( {i{(t) + \delta}} \right)}c(t){e^{\int\limits_{0}^{t}{{({i{{(\tau)} + \delta}})}\mathit{d\tau}}} =}\)
\({}p(t)\mathit{MP}_{K}(t)\equiv R(t),\)
получаем дифференциальное уравнение относительно \(c(t)\):
\(\mathit{dc}{(t) = R}(t)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{{({i{{(\tau)} + \delta}})}\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}.\)
Интегрируя его, затем подставляя искомый множитель
\(c{(t) = {{- {\int\limits_{0}^{t}{R(\tau)e^{- {\int\limits_{0}^{\tau}{{({i{{(\xi)} + \delta}})}\mathit{d\xi}}}}d\tau}}} + c_{0}}}\)
в общее решение однородного уравнения
\(p_{K}{(t) = c_{0}}{e^{\int\limits_{0}^{t}{{({i{{(\tau)} + \delta}})}\mathit{d\tau}}} - e^{\int\limits_{0}^{t}{{({i{{(\tau)} + \delta}})}\mathit{d\tau}}}}{\int\limits_{0}^{t}{R(\tau)e^{- {\int\limits_{0}^{\tau}{{({i{{(\xi)} + \delta}})}\mathit{d\xi}}}}d\tau}}\)
и принимая во внимание начальное условие \(p_{K}{(0) = c_{0}}\), получаем обобщение формулы приведенной к начальному моменту времени стоимости актива как суммы его дисконтированной цены в момент \(t\) и дисконтированного потока чистых доходов с учетом положительной нормы амортизации (износа) данного актива:
\(p_{K}{(0) = p_{K}}(t){e^{- {\int\limits_{0}^{t}{{({i{{(\tau)} + \delta}})}\mathit{d\tau}}}} + {\int\limits_{0}^{t}{R(\tau)e^{- {\int\limits_{0}^{\tau}{{({i{{(\xi)} + \delta}})}\mathit{d\xi}}}}d\tau}}}.(4.45)\)
В качестве следствия условия оптимума по капиталу (4.43) может рассматриваться условие К. Викселя эффективных инвестиций в актив, не приносящий рентный доход (\(R(t)\equiv p(t)\mathit{MP}_{K}{(t) = 0}\)) и не подверженный износу \(({\delta = 0})\). Реализация актива становится выгодной, когда темп прироста его стоимости8, оказывается равным рыночной ставке процента:
\({\frac{{\overset{˙}{p}}_{K}}{p_{K}} = i}.\)
Действительно, в таком случае \(I_{g}{(t) = \overset{˙}{K}}(t)\), и задача максимизации дисконтированных капитализированных инвестиций в непрерывном времени при переменной ставке процента имеет вид:
\({- {\int\limits_{0}^{\infty}{p_{K}(t)\overset{˙}{K}(t)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}}}\rightarrow\mathit{\max}\)
Уравнение Эйлера для данной задачи вариационного исчисления имеет вид:
\(\frac{d}{\mathit{dt}}{\left( {p_{K}(t)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}} \right) = {\overset{˙}{p}}_{K}}(t){e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} - i}(t)p_{K}(t){e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} = e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}}{\left( {{\frac{dp_{K}(t)}{\mathit{dt}} - i}p_{K}(t)} \right) = 0.}\)
Отсюда вытекает условие Викселя, которое по-другому можно сформулировать так: выгодный момент реализации актива наступает тогда, когда предельные альтернативные издержки вложения средств в проект, представляющие собой ставку процента, сравниваются с предельной доходностью инвестирования в виде темпа прироста стоимости актива.
Фактически здесь речь идет о максимизации дисконтированной стоимости актива, которая на исходный момент принятия решения о его перспективах \(t_{0}\) составит \(p_{K}{\left( t_{0} \right) = p_{K}}(t)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}\) (рис. 7).
Рисунок 4. Условие Викселя
Достаточным условием оптимальности условия Викселя является строгая вогнутость траектории динамики стоимости актива \(\left( {{\overset{¨}{p}}_{K}(t{) \lt 0}} \right)\). Действительно, в таком случае в момент времени, удовлетворяющий условию Викселя, вторая производная дисконтированной стоимости актива по времени будет отрицательной:
\({\frac{d^{2}p_{K}\left( t_{0} \right)}{dt^{2}} = p_{K}}(t)e^{{- r}{({t - t_{0}})}}{\left( {\frac{{\overset{¨}{p}}_{K}(t)}{p_{K}(t)} - r^{2}} \right) \lt 0.}\)
Следовательно, в данный момент достигается максимальное значение дисконтированной стоимости актива (рис. 7).
Пример 6.
Допустим, что бутылка элитного вина стоит 100 (денежных единиц), и динамика ее стоимости после выдержки в t периодов времени описывается траекторией: \(p_{K}{(t) = 100}\sqrt{t}\) (время течет непрерывно). Ставка процента не меняется во времени и равна 10%. Рассчитаем, сколько следует выждать, прежде чем продать бутылку вина.
Задача состоит в максимизации стоимости актива, приведенной к исходному, первому периоду: \(p_{K}{(1) = 100}\sqrt{t}e^{{- r}({t - 1})}\). Для ее решения продифференцируем дисконтированную стоимость актива по времени и приравняем производную нулю:
\({\frac{dp_{K}(1)}{\mathit{dt}} = {\frac{50e^{{- r}({t - 1})}}{\sqrt{t}} - r}}100\sqrt{t}{e^{{- r}({t - 1})} = 50}e^{{- r}({t - 1})}{\left( {{\frac{1}{\sqrt{t}} - 2}r\sqrt{t}} \right) = 0.}\)
Очевидно, что оптимальный момент реализации актива наступит, когда темп прироста его стоимости сравняется с рыночной ставкой процента:
\(\frac{{\overset{˙}{p}}_{K}}{p_{K}} = \frac{1}{2t} = r = 0,1.\)
Условие Викселя выполняется при \(t = 5\). Поскольку траектория динамики стоимости актива является строго вогнутой \(\left( {{\overset{¨}{p}}_{K}(t{) \lt 0}} \right)\), постольку данный момент времени – это точка максимума \(p_{K}(1)\):
\({\frac{d^{2}p_{K}(1)}{dt^{2}} = {\frac{- {r50e^{{- r}{({t - 1})}}}}{\sqrt{t}} - \frac{25e^{{- r}{({t - 1})}}}{t^{\frac{3}{2}}} - \frac{r50e^{{- r}{({t - 1})}}}{\sqrt{t}} + r^{2}}}100\sqrt{t}{e^{{- r}{({t - 1})}} = 25}e^{{- r}{({t - 1})}}{\left( {{\frac{- {4r}}{\sqrt{t}} - \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} + 4}r^{2}\sqrt{t}} \right) = \frac{25e^{{- r}{({t - 1})}}\left( {4r^{2}{t^{2} - 4}{\mathit{rt} - 1}} \right)}{t^{\frac{3}{2}}} = \frac{25e^{{- r}{({t - 1})}}\left( {\left( {2{\mathit{rt} - 1}} \right)^{2} - 2} \right)}{t^{\frac{3}{2}}} \lt 0}\)
\(\mathit{при}{t = 5},{r = 0,1.}\)
Аналогично задаче в дискретном времени максимизация прибыли в непрерывном времени может осуществляться как по объемам используемых факторов производства, так и по количеству реализуемой продукции. Проиллюстрируем второй из данных подходов задачей оптимальной эксплуатации невозобновляемого ресурса в непрерывном времении:
\(\begin{matrix} {{{\int\limits_{0}^{T}{\mathit{PR}(t)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}} = {\int\limits_{0}^{T}{\left( {\mathit{TR}{\left( {q(t)} \right) - \mathit{TC}}\left( {q(t)} \right)} \right)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}}}\rightarrow\mathit{\max}:} \\ {{{\int\limits_{0}^{T}{q(t)\mathit{dt}}} = \overline{q}}.} \\ \end{matrix}\)
Выпишем соответствующую функцию Лагранжа:
\({L = {{\int\limits_{0}^{T}{\left( {\lambda_{0}\left( {\mathit{TC}{\left( {q(t)} \right) - \mathit{TR}}\left( {q(t)} \right)} \right){e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} + \lambda_{1}}q(t)} \right)\mathit{dt}}} - \lambda_{1}}}\overline{q}.\)
Уравнение Эйлера (1.7) применительно к данной задаче имеет вид:
\(\lambda_{0}\left( {\mathit{MC}{\left( {q(t)} \right) - \mathit{MR}}\left( {q(t)} \right)} \right){{e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} + \lambda_{1}} = 0.}\)
Пусть \(\lambda_{0} = 0\), тогда \(\lambda_{1} = 0\), и вектор множителей Лагранжа оказывается нулевым, чего не может быть, следовательно, без ограничения общности можно положить \(\lambda_{0} = 1\), и уравнение Эйлера принимает вид:
\(\left( {\mathit{MR}{\left( {q(t)} \right) - \mathit{MC}}\left( {q(t)} \right)} \right){e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} = \lambda_{1}}.\)
Продифференцируем его по времени
\(\left( {\overset{˙}{\mathit{MR}}{\left( {q(t)} \right) - \overset{˙}{\mathit{MC}}}\left( {q(t)} \right)} \right){e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} - i}e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}{\left( {\mathit{MR}{\left( {q(t)} \right) - \mathit{MC}}\left( {q(t)} \right)} \right) = 0}\)
и поделим данную производную на уравнение Эйлера:
\(\frac{\left( {\overset{˙}{\mathit{MR}}{\left( {q(t)} \right) - \overset{˙}{\mathit{MC}}}\left( {q(t)} \right)} \right){e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} - i}e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}\left( {\mathit{MR}{\left( {q(t)} \right) - \mathit{MC}}\left( {q(t)} \right)} \right)}{\left( {\mathit{MR}{\left( {q(t)} \right) - \mathit{MC}}\left( {q(t)} \right)} \right)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{i{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}} = 0.\)
Таким образом, оптимальная траектория динамики утилизации невозобновляемого ресурса определяется правилом равенства темпа прироста предельной прибыли рыночной ставке процента:
\({\frac{\overset{˙}{\mathit{MR}}{\left( {q(t)} \right) - \overset{˙}{\mathit{MC}}}\left( {q(t)} \right)}{\mathit{MR}{\left( {q(t)} \right) - \mathit{MC}}\left( {q(t)} \right)} = i}.\)
В условиях совершенной конкуренции, когда \(\mathit{MR}{\left( {q(t)} \right) = p}(t)\), данное условие оптимальности принимает вид:
\({\frac{\overset{˙}{p}{(t) - \overset{˙}{\mathit{MC}}}\left( {q(t)} \right)}{p{(t) - \mathit{MC}}\left( {q(t)} \right)} = i}.\)
В частности, при \(\mathit{MC}{\left( {q(t)} \right) = 0}\) из данного правила вытекает условие Викселя.
Sandmo A. Investment and the rate of interest // Journal of political economy. 1971. Vol. 79. № 6.↩︎
В данной постановке задачи предполагается, что номинальная ставка процента i на финансовом рынке постоянна на протяжении всего срока службы капитала.↩︎
При \(\delta = 0\) выражение для рентной цены капитала (3.38) дает стоимость пожизненного аннуитета, или перпетуитета, т.е. актива, пожизнено приносящего ежегодную ренту, величина которой составляет \(R\equiv p\bullet\mathit{MP}_{K}\):
\({P_{\mathit{перп}} = {\frac{R}{1 + r} + \frac{R}{{({1 + r})}^{2}} + \ldots + \frac{R}{{({1 + r})}^{t}} + \ldots} = \frac{R}{r}}.(\mathit{viii})\)↩︎
Тобин Дж. Денежная политика и экономический рост. – М.: Либроком, 2010.↩︎
Если предположить, что предельная прибыльность (до выплаты процентов) \({\frac{\partial({\mathit{PR} + r}p_{K}K)}{\partial K} = p}\bullet{\mathit{MP}_{K} - p_{K}}\delta\) совпадает с аналогичной средней величиной \({({\mathit{PR} + r}p_{K}K)}/K\), то, считая дисконтированную сумму потока доходов реальных активов предприятия его капитализированным дивидендом, коэффициент Тобина можно трактовать как отношение рыночной стоимости компании, (Pф), к восстановительной стоимости капитала предприятия \((p_{K}K)\): \(q_{T} = \frac{P_{ф}}{p_{K}K}\). Одновременно данный показатель может рассматриваться как курс акций компании на фондовом рынке, т.е. рыночная цена акции (Pрын), отнесенная к ее номиналу (Pном): \(q_{T} = \frac{P_{\mathit{рын}}}{P_{\mathit{ном}}}\).↩︎
В соответствии с достаточным условием максимума для некоторого функционала (1.1) должно выполняться неравенство, противоположное (i). В нашем случае для интегранта (3.42) второе и третье слагаемое под знаком интеграла в неравенстве, противоположном (i), аннулируются, поэтому для максимизации прибыли достаточно, чтобы был отрицательно определен гессиан
\({\frac{\partial^{2}L}{\partial x^{2}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial^{2}L}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{2}} \\ \frac{\partial^{2}L}{\partial x_{2}\partial x_{1}} & \frac{\partial^{2}L}{\partial x_{2}^{2}} \\ \end{bmatrix}}.\)
По критерию Сильвестра, это условие будет выполняться тогда и только тогда, когда ее главные миноры по мере нарастания их порядка будут менять знак с отрицательного на положительный: \(\frac{\partial^{2}L}{\partial x_{1}^{2}} \lt 0\), \(\frac{\partial^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}\bullet{{\frac{\partial^{2}L}{\partial x_{2}^{2}} - \left( \frac{\partial^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{2}} \right)^{2}} \gt 0}\).↩︎
Отметим, что строгая вогнутость технологии предполагает ее строгую квазивогнутость в данный момент времени, т.е. строгую вогнутость на изокванте \(\left\{ {\left( {K(t),L(t)} \right)|{f{\left( {K(t),L(t)} \right) = \overline{q}},\overline{q}\in R}} \right\}\). Достаточным условием для строгой квазивогнутости дважды непрерывно дифференцируемой производственной функции \(q(t{) = f}\left( {K(t),L(t)} \right)\in C^{2}\) при убывании предельной производительности факторов \(\left( {\frac{\partial^{2}f}{\partial K^{2}}{(t) \lt 0},\frac{\partial^{2}f}{\partial L^{2}}(t{) \lt 0}} \right)\) будет выполнение предпосылки о комплементарности факторов производства в том смысле, что предельный продукт каждого из них является возрастающей функцией от объема другого:
\(\frac{\partial^{2}f}{\partial K\partial L}{(t) = \frac{\partial^{2}f}{\partial L\partial K}}{(t) \gt 0.}\)↩︎
Который Дж.Р. Хикс трактует как относительную предельную отдачу от (оправдавшихся) ожиданий [Хикс Дж.Р. Стоимость и капитал. – М.: Прогресс-Универс, 1993].↩︎