Рассмотрим вначале вопрос о начислении сложных процентов и дисконтировании денежных потоков в непрерывном времени. При непрерывном начислении процентов приращение денежной суммы на банковском счете за бесконечно малую единицу времени составляет, как и в дискретном случае, произведение предшествующего количества денег на ставку процента:
\(M{\left( {{t + \mathrm{\Delta}}t} \right) = M}(t){\left( {{1 + r}\mathrm{\Delta}t} \right) = M}(t{) + M}(t)r\mathrm{\Delta}t\), или
\(M{\left( {{t + \mathrm{\Delta}}t} \right) - M}{(t) = M}(t)r\mathrm{\Delta}t\),
где \(r\) – процентный доход за единицу времени \(\mathrm{\Delta}t\).
Устремляя шаг времени к нулю
\({{\lim\limits_{\mathrm{\Delta}t\rightarrow 0}\frac{M{\left( {{t + \mathrm{\Delta}}t} \right) - M}(t)}{\mathrm{\Delta}t}} = {\lim\limits_{\mathrm{\Delta}t\rightarrow 0}{\mathit{rM}(t)}}},\)
в пределе получаем дифференциальное уравнение
\({\frac{\mathit{dM}(t)}{\mathit{dt}} = \mathit{rM}}(t).\)
Его решением будет \(M(t{) = c}e^{\mathit{rt}}\), где \(c\) – некоторая константа. Пусть в первоначальный момент времени на счет было положено количество денег в размере \(M{\left( t_{0} \right) = M_{0}}\). Тогда \({c = M_{0}}e^{{- r}t_{0}}\), и зависимость денежной суммы от времени имеет следующий вид1:
\(M{(t) = M_{0}}e^{r{({t - t_{0}})}}.\)
Процедура дисконтирования обратна механизму начисления сложных процентов:
\({M_{0} = M}(t)e^{{- r}{({t - t_{0}})}}.\)
Допустим, что инвестиционный проект приносит непрерывный во времени поток чистых доходов \(R(t)\) начиная с некоторого момента \(\tau = t_{0}\) вплоть до периода \(t\). Тогда капитализированная стоимость проекта, т.е. его дисконтированный кумулятивный поток чистых доходов в момент времени \(t_{0}\) составит:
\(P_{0}{(t) = {\int\limits_{t_{0}}^{t}{R(\tau)e^{{- r}{({\tau - t_{0}})}}d\tau}}},(4.4)\)
где \(r\) – непрерывно начисляемая ставка процента, \(\tau\) – переменная интегрирования2.
В частности, стоимость проекта, приведенная к моменту \(t_{0} = 0\) будет равна3
\(P_{0}{(t) = {\int\limits_{0}^{t}{R(\tau)e^{{- r}\tau}d\tau}}}.\)
Допустим далее, что непрерывная ставка процента меняется во времени \((r(t)\neq\mathit{const})\). Тогда решение дифференциального уравнения, описывающего динамику денежной суммы принимает вид:
\(M{(t) = M_{0}}e^{\int\limits_{t_{0}}^{t}{r{(\tau)}\mathit{d\tau}}}.\)
Выражение в показателе степени экспоненты представляет собой среднюю ставку процента \(\overline{r}{(t) = \frac{\int\limits_{t_{0}}^{t}{r(\tau)\mathit{d\tau}}}{t - t_{0}}},\) начисленную за период от \(t_{0}\) до \(t\). Итак, при переменной ставке процента первоначальная сумма денег \(M_{0}\) в момент времени \(t\) возрастет до величины \(M{(t) = M_{0}}e^{\overline{r}{({t - t_{0}})}}.\)
Обратная по отношению к начислению непрерывных сложных процентов процедура дисконтирования даст:
\({M_{0} = M}(t)e^{- {\int\limits_{t_{0}}^{t}{r{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}.\)
С учетом переменной во времени ставки процента процедура капитализации потока доходов \(R(t)\) во временнóм интервале \(t_{0}\leq\tau\leq t\) усложняется4:
\(P_{0}{(t) = {\int\limits_{t_{0}}^{t}{R(\tau)e^{- {\int\limits_{t_{0}}^{\tau}{r{(\zeta)}\mathit{d\zeta}}}}d\tau}}}.\)
Проанализируем теперь бюджетное ограничение потребителя в непрерывном времени. Оно вытекает из балансового соотношения, описывающего динамику активов домашнего хозяйства:
\(A{(t) = A}{\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right) + I}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}{t + R}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}{t - C}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}t,\)
где \(A(t)\) и \(A({t - \mathrm{\Delta}}t)\) – объем активов на начало периодов соответственно \(t\) и \({t - \mathrm{\Delta}}t\), \(C({t - \mathrm{\Delta}}t)\) – величина потребления, а \(I({t - \mathrm{\Delta}}t)\equiv w({t - \mathrm{\Delta}}t)L({t - \mathrm{\Delta}}t)\) и \(R({t - \mathrm{\Delta}}t)\equiv r({t - \mathrm{\Delta}}t)A({t - \mathrm{\Delta}}t)\) – соответственно трудовой и рентный доходы на протяжении периода \({t - \mathrm{\Delta}}t\). Здесь \(w({t - \mathrm{\Delta}}t)\) и \(r({t - \mathrm{\Delta}}t)\) – ставки соответственно заработной и арендной платы (при совершенном рынке капитала значение последней приближается к величине ставки процента), \(L({t - \mathrm{\Delta}}t)\) – величина использованных трудовых ресурсов в период \({t - \mathrm{\Delta}}t\).
Распишем балансовое соотношение с учетом этих обозначений в следующем виде:
\(A{(t) = A}{\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right) + w}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)L\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}{t + r}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)A\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}{t - C}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}t.\)
Разделим его левую и правую части на численность домохозяйства в период \(t\), а правую часть поделим и домножим на количество его членов в момент \({t - \mathrm{\Delta}}t\):
\(a{(t) = \frac{\left( {A{\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right) + w}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)L\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}{t + r}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)A\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}{t - C}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}t} \right)}{L(t)}}\times{\frac{L\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)}{L\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)} = \left( {a{\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right) + w}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}{t + r}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)a\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}{t - c}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}t} \right)}\times\frac{L({t - \mathrm{\Delta}}t)}{L(t)}.\)
где \(a(t)\equiv\frac{A(t)}{L(t)}\) и \(a({t - \mathrm{\Delta}}t)\equiv\frac{A({t - \mathrm{\Delta}}t)}{L({t - \mathrm{\Delta}}t)}\) – чистые активы, приходящиеся на одного индивидуума на начало периодов соответственно \(t\) и \({t - \mathrm{\Delta}}t\), \(c\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\equiv\frac{C\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)}{L\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)}\) – «мгновенное» потребление в расчете на одного члена домохозяйства в период \({t - \mathrm{\Delta}}t\).
Преобразуем последнее соотношение:
\(\frac{\left( {L{(t) - L}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)} \right)}{L\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)}a{(t) = a}{\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right) - a}{(t) + w}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}{t + r}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)a\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}{t - c}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)\mathrm{\Delta}t,\mathit{или}\)
\({\frac{a(t{) - a}({t - \mathrm{\Delta}}t)}{\mathrm{\Delta}t} = w}{\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right) + r}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)a{\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right) - c}{\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right) - a}(t)\frac{\frac{\left( {L{(t) - L}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)} \right)}{\mathrm{\Delta}t}}{L\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)}.\)
Устремляя шаг времени к нулю и предполагая существование соответствующих пределов:
\({{\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{a{(t) - a}\left( {{t - \Delta}t} \right)}{\mathrm{\Delta}t}} = {\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\left( {w{\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right) + r}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)a{\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right) - c}{\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right) - a}(t)\frac{\frac{\left( {L{(t) - L}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)} \right)}{\mathrm{\Delta}t}}{L\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)}} \right)} = {{\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{w({t - \mathrm{\Delta}}t)}} + {\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{r({t - \mathrm{\Delta}}t)}}}}{{\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{a({t - \mathrm{\Delta}}t)}} - {\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{c({t - \mathrm{\Delta}}t)}} - a}(t)\frac{\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\left( {L{(t) - L}\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)} \right)}{\mathrm{\Delta}t}}{\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{L\left( {{t - \mathrm{\Delta}}t} \right)}},\)
получаем динамическое бюджетное ограничение потребителя в дифференциальной форме:
\(\overset{˙}{a}{(t) = w}{(t) - c}{(t) + \left( {r{(t) - n}(t)} \right)}a(t),(4.5)\)
которое показывает, что скорость изменения чистых активов, приходящихся на одного индивидуума \(\overset{˙}{a}(t)\), определяется увеличением активов на ставку процента и их уменьшением с учетом темпа прироста численности домохозяйства \(n(t)\equiv\frac{\overset{˙}{L}(t)}{L(t)}\), а также разностью ставки заработной платы \(w(t)\) и подушевого потребления \(c(t)\).
Решив данное линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка (4.5), можно записать бюджетное ограничение потребителя при непрерывном ходе времени в интегральной форме. Для этого нужно сначала решить соответствующее однородное уравнение: \(\overset{˙}{a}{(t) - \left( {r{(t) - n}(t)} \right)}a{(t) = 0}\). Разделяя переменные \({\frac{\mathit{da}}{a} = (}r{(t) - n}(t))\mathit{dt}\) и интегрируя \({\int{d\ln|a|}} = {\int{(r{(t) - n}(t))\mathit{dt}}}\), получаем, что \(\ln{|a| = {{\int\limits_{0}^{t}{(r{(\tau) - n}(\tau))\mathit{d\tau}}} + \ln}}c_{1}\), а значит, общее решение однородного уравнения таково:
\(a{(t) = c_{1}}e^{\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - n}{(\tau)})\mathit{d\tau}}}.\)
Теперь решим неоднородное уравнение, используя метод вариации постоянной:
\(a{(t) = c_{1}}(t)e^{\int\limits_{0}^{t}{{({r{{(\tau)} - n}{(\tau)}})}\mathit{d\tau}}}.\)
Подставляя это выражение для \(a(t)\) в исходное неоднородное уравнение и приводя подобные, получаем линейное однородное дифференциальное уравнение первой степени относительно \(c_{1}(t)\):
\({\frac{dc_{1}(t)}{\mathit{dt}} = \left( {w{(t) - c}(t)} \right)}e^{- {\int\limits_{0}^{t}{{({r{{(\tau)} - n}{(\tau)}})}\mathit{d\tau}}}}.\)
Разделяя переменные, интегрируем:
\(c_{1}{(t) = {{\int\limits_{0}^{t}{\left( {w{(\tau) - c}(\tau)} \right)e^{- {\int\limits_{0}^{\tau}{{({r{{(\zeta)} - n}{(\zeta)}})}\mathit{d\zeta}}}}\mathit{d\tau}}} + c_{2}}}.\)
Подставляем данное выражение в полученное выше общее решение однородного уравнения:
\(a{(t) = e^{\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - n}{(\tau)})\mathit{d\tau}}}}{{\int\limits_{0}^{t}{(w{(\tau) - c}(\tau))e^{- {\int\limits_{0}^{\tau}{(r{{(\zeta)} - n}{(\zeta)})\mathit{d\zeta}}}}\mathit{d\tau}}} + c_{2}}e^{\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - n}{(\tau)})\mathit{d\tau}}}.\)
Используя начальное условие, находим константу \(a{(0) = a_{0} = c_{2}}\). Таким образом, можно выписать бюджетное ограничение потребителя в интегральной форме:
\(a{(t) = e^{\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - n}{(\tau)})\mathit{d\tau}}}}{{\int\limits_{0}^{t}{(w{(\tau) - c}(\tau))e^{- {\int\limits_{0}^{\tau}{(r{{(\zeta)} - n}{(\zeta)})\mathit{d\zeta}}}}\mathit{d\tau}}} + a_{0}}e^{\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - n}{(\tau)})\mathit{d\tau}}}.\)
В терминах текущей стоимости оно будет выглядеть так:
\(a(t){e^{- {\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - n}{(\tau)})\mathit{d\tau}}}} = {a_{0} + {\int\limits_{0}^{t}{(w{(\tau) - c}(\tau))e^{- {\int\limits_{0}^{\tau}{(r{{(\zeta)} - n}{(\zeta)})\mathit{d\zeta}}}}\mathit{d\tau}}}}}.\)
Отметим, что, поскольку здесь речь идет об активах в расчете на каждого члена домохозяйства, коэффициент дисконтирования учитывает темп роста его численности – он должен быть уменьшен на соответствующую величину.
Отсюда можно сформулировать терминальное условие по неотрицательности чистой приведенной стоимости активов потребителя при стремлении времени к бесконечности:
\({{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left( {a(t)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{{({r{{(\tau)} - n}{(\tau)}})}\mathit{d\tau}}}}} \right)} = {a_{0} + {\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}{\left( {w{(\tau) - c}(\tau)} \right)e^{- {\int\limits_{0}^{\tau}{(r{{(\zeta)} - n}{(\zeta)})\mathit{d\zeta}}}}\mathit{d\tau}}}}}}\geq 0.(4.6)\)
Это так называемое условие отсутствия игры Понци, состоящей в финансировании долга за счет новой эмиссии долговых обязательств. Данное условие утверждает, что приведенная к настоящему времени стоимость активов неограниченно долго живущего домохозяйства в пределе, когда время стремится к бесконечности, не должна быть отрицательной – все долги должны быть выплачены. В частности, оно будет выполняться, если заработная плата в каждый момент времени будет превышать удельное потребление: \(w(t)\geq c(t)\), т.е. сбережения, понимаемые как непотребленный трудовой доход в каждый момент времени, будут положительными в каждый момент времени; либо дисконтированная стоимость положительных сбережений должна компенсировать их отрицательные значения, которые могут иметь место в определенные промежутки времени.
С учетом динамического бюджетного ограничения и граничного условия, накладываемого на хозяйственную жизнедеятельность человека, – невозможности использования схемы Понци – оптимизационная задача потребителя имеет следующий вид:
\(\begin{matrix} {{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}{u(c(\tau))e^{{- \rho}\tau}\mathit{d\tau}}}}\rightarrow\mathit{\max}:} \\ {{a_{0} + {\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}{\left( {w{(\tau) - c}(\tau)} \right)e^{- {\int\limits_{0}^{\tau}{(r{{(\zeta)} - n}{(\zeta)})\mathit{d\zeta}}}}\mathit{d\tau}}}}}\geq 0,} \\ \end{matrix}\)
т.е.
\(\begin{matrix} {{\int\limits_{0}^{\infty}{u\left( {c(t)} \right)e^{{- \rho}t}\mathit{dt}}}\rightarrow\mathit{\max}:} \\ {{a_{0} + {\int\limits_{0}^{\infty}{\left( {w{(t) - c}(t)} \right)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{{({r{{(\tau)} - n}{(\tau)}})}\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}}}\geq 0.} \\ \end{matrix}\begin{matrix} {(4.7)} \\ \\ {(4.8)} \\ \end{matrix}\)
Функция Лагранжа для данной задачи связанной максимизации полезности потребителя в непрерывном времени будет иметь вид5:
\({L = {{\int\limits_{0}^{\infty}{\left( {\lambda_{0}u\left( {c(t)} \right){e^{{- \rho}t} + \lambda_{1}}\left( {w{(t) - c}(t)} \right)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{{({r{{(\tau)} - n}{(\tau)}})}\mathit{d\tau}}}}} \right)\mathit{d\tau}}} + \lambda_{1}}}a_{0}.\)
Выпишем лагранжиан:
\({L = \lambda_{0}}u\left( {c(t)} \right){e^{{- \rho}t} + \lambda_{1}}\left( {w{(t) - c}(t)} \right)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{{({r{{(\tau)} - n}{(\tau)}})}\mathit{d\tau}}}}.\)
Необходимым условием максимизации полезности является прежде всего уравнение Эйлера:
\(\lambda_{0}u^{'}(c){e^{- \mathit{\rho t}} = \lambda_{1}}e^{- {\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - n}{(\tau)})\mathit{d\tau}}}}.\)
В число необходимых условий экстремума задачи условной максимизации полезности в непрерывном времени также входит условие дополняющей нежесткости:
\(\lambda_{1}{\left( {{a_{0} + {\int\limits_{0}^{\infty}{\left( {w{(t) - c}(t)} \right)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{{({r{{(\tau)} - n}{(\tau)}})}\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}}}\geq 0} \right) = 0.}\)
Если \(\lambda_{1} = 0\), то из уравнения Эйлера будет следовать, что и \(\lambda_{0} = 0\), ведь в силу ненасыщаемости потребления \(u^{'}(c)e^{- \mathit{\rho t}}\neq 0\). Но, по необходимому условию экстремума, вектор множителей Лагранжа \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1}} \right)\) не может быть нулевым. Следовательно, условие дополняющей нежесткости утверждает, что условие отсутствия игры Понци (4.6) должно выполняться в виде равенства:
\({{a_{0} + {\int\limits_{0}^{\infty}{\left( {w{(t) - c}(t)} \right)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{{({r{{(\tau)} - n}{(\tau)}})}\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}}} = 0.}(4.9)\)
По тем же соображениям и множитель Лагранжа \(\lambda_{0}\) не может быть нулевым, поэтому без ограничения общности в уравнении Эйлера можно положить его равным единице:
\(u^{'}(c){e^{- \mathit{\rho t}} = \lambda_{1}}e^{- {\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - n}{(\tau)})\mathit{d\tau}}}}.\)
Продифференцируем по времени уравнение Эйлера:
\(\frac{d}{\mathit{dt}}{\left( {u^{'}(c)e^{- \mathit{\rho t}}} \right) = u^{''}}(c)\overset{˙}{c}{e^{- \mathit{\rho t}} - u^{'}}(c)e^{- \mathit{\rho t}}{\rho = {- \lambda_{1}}}\left( {r{(t) - n}(t)} \right)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{{({r{{(\tau)} - n}{(\tau)}})}\mathit{d\tau}}}}.\)
Поделим полученное соотношение на уравнение Эйлера:
\({\frac{u^{''}(c)\overset{˙}{c}{e^{- \mathit{\rho t}} - \rho}u^{'}(c)e^{- \mathit{\rho t}}}{u^{'}(c)e^{- \mathit{\rho t}}} = \frac{u^{''}(c){\overset{˙}{c} - \rho}u^{'}(c)}{u^{'}(c)} = \frac{\lambda_{1}(n{(t) - r}(t))e^{- {\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - n}{(\tau)})\mathit{d\tau}}}}}{\lambda_{1}e^{- {\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - n}{(\tau)})\mathit{d\tau}}}}} = {n - r}}.\)
Получаем условие Рамсея оптимальности траектории потребления:
\({{r - n} = {\rho - \left( {\frac{u^{''}(c)}{u^{'}(c)}c} \right)}}\frac{\overset{˙}{c}}{c}.(4.10)\)
Поскольку \(\frac{u^{''}(c)}{u^{'}(c)}{c \lt 0}\), потребление растет во времени \(\left( {\frac{\overset{˙}{c}}{c} \gt 0} \right)\), если отдача от активов в расчете на одного члена домохозяйства превышает норму межвременных предпочтений, и падает – в противоположном случае. Другими словами, потребители станут переносить потребление из настоящего в будущее, если доходность активов каждого из них будет выше степени предпочтительности, с их точки зрения, текущего потребления по отношению к будущему.
Для того чтобы существовало стационарное состояние \(r = \mathit{const}\), \(n = \mathit{const}\), \(\frac{\overset{˙}{c}}{c} = \mathit{const}\), необходимо постоянство множителя перед \(\frac{\overset{˙}{c}}{c}\) в соотношении (4.10):
\(\frac{- {u^{''}(c)}}{u^{'}(c)}{c = \theta = \mathit{const}}.\)
Перед нами соотношение (iv), которое задает функцию полезности с постоянным относительным неприятием риска (v), где в качестве независимой переменной рассматривается не доход \(x\), а потребительские расходы \(c\):
\(u{(c) = \frac{c^{1 - \theta} - 1}{1 - \theta}}.(4.11)\)
Для «мгновенной» функции полезности (4.11) интегральная полезность будет иметь вид:
\({\int\limits_{0}^{\infty}{\left( \frac{c^{1 - \theta}{(t) - 1}}{1 - \theta} \right)e^{{- \rho}t}\mathit{dt}}}.\)
Используя функцию полезности (4.11) в соотношении (4.10), приходим к следующему условию оптимального темпа прироста потребления:
\({\frac{\overset{˙}{c}}{c} = \frac{r - n - \rho}{\theta}}.\)
Решая данное дифференциальное уравнение, с учетом начального условия по объему потребления можно получить оптимальную траекторию его динамики:
\(c{(t) = c_{0}}e^{\frac{({r - n - \rho})}{\theta}t},\)
где \({c_{0} = c}(0)\) – удельное потребление в начальный момент времени.
К тем же результатам, что были получены с помощью аппарата вариационного исчисления, можно прийти с использованием теории оптимального управления. В нашем случае управляемым параметром, который представляет собой менее гладкую по сравнению с дифференцируемыми фазовыми переменными – кусочно-непрерывную функцию, являются объемы удельного потребления \(c\). Уравнение Эйлера является следствием принципа максимума Понтрягина – оптимальности по \(c\) лагранжиана.
Подставляя полученную траекторию динамики удельного потребления в бюджетное ограничение (4.9) с учетом стационарности ставки процента и темпа прироста численности домашнего хозяйства
\({{a_{0} + {\int\limits_{0}^{\infty}{\left( {w(t{) - c}(0)e^{\frac{({r - \rho - n})}{\theta}t}} \right)e^{{- (}{r - n})t}\mathit{dt}}}} = 0},\)
после очевидных преобразований
\({{a_{0} + {\int\limits_{0}^{\infty}{w(t)e^{{- (}{r - n})t}\mathit{dt}}}} = c}(0){\int\limits_{0}^{\infty}{e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}t}\mathit{dt}}}\)
можно определить величину потребления в начальный момент времени:
\(c{(0) = \frac{a_{0} + {\int\limits_{0}^{\infty}{w(t)e^{{- {({r - n})}}t}\mathit{dt}}}}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}t}\mathit{dt}}} = \frac{a_{0} + {\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}{w(\tau)e^{{- (}{r - n})\tau}\mathit{d\tau}}}}}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}{e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}\tau}\mathit{d\tau}}}}}.(4.12)\)
Проанализируем вначале ситуацию стационарного во времени подушевого трудового дохода \(w{(t) = w = \mathit{const}}\). Тогда выражение (4.12) упрощается:
\(c{(0) = \frac{{a_{0} + w}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{{- {({r - n})}}t}\mathit{dt}}}}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}t}\mathit{dt}}} = \frac{{a_{0} + w}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}{e^{{- (}{r - n})\tau}\mathit{d\tau}}}}}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}{e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}\tau}\mathit{d\tau}}}}}.(4.13)\)
Очевидно, что данное выражение имеет смысл при конечных, ненулевых значениях числителя и знаменателя последней дроби. Покажем, что это возможно лишь при \(n \lt r \lt {n + \frac{\rho}{1 - \theta}}\).
Если \(n \lt r \lt {n + \frac{\rho}{1 - \theta}}\), то потребление в первоначальный момент (4.13) можно записать в следующем виде:
\(c{(0) = \frac{{a_{0} - \frac{w}{\left( {r - n} \right)}}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}{de^{{- {({r - n})}}\tau}}}}}{\frac{\theta}{\left( {\left( {r - n} \right){\left( {1 - \theta} \right) - \rho}} \right)}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}{de^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}\tau}}}}} = \frac{{a_{0} - \frac{w}{\left( {r - n} \right)}}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left. e^{{- (}{r - n})\tau} \right|_{0}^{t}}}{\frac{\theta}{\left( {\left( {r - n} \right){\left( {1 - \theta} \right) - \rho}} \right)}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left. e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}\tau} \right|_{0}^{t}}} = \frac{{a_{0} + \frac{w}{r - n} - \frac{w}{\left( {r - n} \right)}}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{{- (}{r - n})t}}}{\frac{\theta}{\left( {\left( {r - n} \right){\left( {1 - \theta} \right) - \rho}} \right)}{{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}t}} - \frac{\theta}{\left( {\left( {r - n} \right){\left( {1 - \theta} \right) - \rho}} \right)}}}}.(4.14)\)
В данном случае \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{{- (}{r - n})t}} = {\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}t}} = 0\), а значит,
\(c{(0) = \frac{a_{0} + \frac{w}{r - n}}{\frac{\theta}{\left( {\left( {r - n} \right){\left( {1 - \theta} \right) - \rho}} \right)}} = \left( {a_{0} + w} \right)}\left( {\frac{1 - \theta}{\theta} - \frac{\rho}{\theta\left( {r - n} \right)}} \right).\)
Получаем индивидуальную траекторию потребления как зависимость от ставки процента:
\(c{\left( {t,r} \right) = c}(0){e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}t} = \left( {a_{0} + w} \right)}\left( {\frac{1 - \theta}{\theta} - \frac{\rho}{\theta\left( {r - n} \right)}} \right)e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}t}.(4.15)\)
При \(r \gt {n + \frac{\rho}{1 - \theta}}\) первоначальное потребление имеет вид (4.14), и поскольку при этом \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}t}} = {+ \infty}\), постольку знаменатель данной дроби стремится к бесконечности.
При \(r = {n + \frac{\rho}{1 - \theta}}\)
\(c{(0) = \frac{{a_{0} + w}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{{- (}{r - n})t}\mathit{dt}}}}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}t}\mathit{dt}}} = \frac{{a_{0} + w}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}{e^{{- (}{r - n})\tau}\mathit{d\tau}}}}}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}\mathit{d\tau}}} = \frac{{a_{0} - \frac{w}{\left( {r - n} \right)}}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left. e^{{- (}{r - n})\tau} \right|_{0}^{t}}}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left. \tau \right|_{0}^{t}}},\)
а значит, знаменатель так же равен \(+ \infty\).
Итак, при \(r\geq{n + \frac{\rho}{1 - \theta}}\) знаменатель (4.13) уходит в бесконечность, следовательно, данный диапазон ставок процента исключается.
Обратим внимание на то, что рост потребления будет наблюдаться при \(r \gt {\rho + n}\), когда ставка процента превышает сумму темпа прироста численности домашнего хозяйства и нормы межвременных предпочтений.
При \(r = {\rho + n}\) потребление будет постоянным во времени на уровне \(c(0)\), а значит, межвременное бюджетное ограничение выглядит так:
\({{a_{0} + {\int\limits_{0}^{\infty}{\left( {{w - c}(t)} \right)e^{{- \rho}t}\mathit{dt}}}} = {a_{0} + {\int\limits_{0}^{\infty}{\left( {{w - c}(0)} \right)e^{{- \rho}t}\mathit{dt}}}} = {a_{0} + {\left( {{w - c}(0)} \right){\int\limits_{0}^{\infty}{e^{{- \rho}t}\mathit{dt}}}}} = {a_{0} - \frac{\left( {{w - c}(0)} \right)}{\rho}}}{{\int\limits_{0}^{\infty}{de^{{- \rho}t}}} = {a_{0} - \left. {\frac{\left( {{w - c}(0)} \right)}{\rho}e^{{- \rho}t}} \right|_{0}^{\infty}} = {a_{0} + \frac{\left( {{w - c}(0)} \right)}{\rho}} = 0},\)
откуда получаем \(c{(0) = c}{(t) = a_{0}}{\rho + w}\), т.е. потребление в каждый момент превышает заработанный доход \(w{(t) - c}{(t) = {- a_{0}}}\rho\), и разность покрывается за доходов от первоначальных активов.
При \(n \lt r \lt {\rho + n}\) потребление будет сокращаться с течением времени, в пределе – до нуля.
При \(r = n\) чистая (за вычетом темпа прироста населения) ставка процента будет нулевой, и межвременное бюджетное ограничение вырождается:
\({{a_{0} + {\int\limits_{0}^{\infty}{({w - c}(t))e^{{- (}{r - n})t}\mathit{dt}}}} = {a_{0} + {\int\limits_{0}^{\infty}{({w - c}(0)e^{\frac{- {\rho t}}{\theta}})\mathit{dt}}}} = 0},\)
следовательно, числитель дроби (4.13) равен
\({a_{0} + w}{{\int\limits_{0}^{\infty}\mathit{dt}} = {a_{0} + w}}{{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}\mathit{d\tau}}} = {a_{0} + w}}{{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left. \tau \right|_{0}^{t}} = {+ \infty}}.\)
При \(r \lt n\) потребление в начальный момент времени имеет выражение (4.14), в котором, т.к. \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{{- (}{r - n})t}} = {+ \infty}\), числитель так же уходит в бесконечность.
Итак, диапазон ставок процента \(r\leq n\) исключен.
Таким образом, допустимыми остаются значения ставки процента, лежащие на интервале \(n \lt r \lt {n + \frac{\rho}{1 - \theta}}\), когда траектория динамики потребления имеет вид (4.15).
Протестируем теперь расчет первоначального потребления, а значит, и всей траетктории потребительских расходов на крайнем режиме очень быстрого, экспоненциального роста подушевого трудового дохода \(w{(t) = w_{0}}e^{\mathit{\omega t}}\). Тогда выражение для потребления в первоначальный момент (4.12) принимает вид:
\(c{(0) = \frac{{a_{0} + w_{0}}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{{- {({r - n - \omega})}}t}\mathit{dt}}}}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}t}\mathit{dt}}} = \frac{{a_{0} + w_{0}}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}{e^{{- (}{r - n - \omega})\tau}\mathit{d\tau}}}}}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}{e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}\tau}\mathit{d\tau}}}}}.(4.16)\)
Оно осмыслено только при конечных, ненулевых значениях числителя и знаменателя. Покажем, что это имеет место только в случае \({n + \omega} \lt r \lt {n + \frac{\rho}{1 - \theta}}\).
При \(r\neq{n + \omega}\) и \(r\neq{n + \frac{\rho}{1 - \theta}}\) начальное потребление (4.15) можно расписать в следующем виде:
\(c{(0) = \frac{{a_{0} - \frac{w_{0}}{\left( {r - n - \omega} \right)}}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}{de^{{- {({r - n - \omega})}}\tau}}}}}{\frac{\theta}{\left( {\left( {r - n} \right){\left( {1 - \theta} \right) - \rho}} \right)}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}{de^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}\tau}}}}} = \frac{{a_{0} - \frac{w_{0}}{\left( {r - n - \omega} \right)}}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left. e^{{- (}{r - n - \omega})\tau} \right|_{0}^{t}}}{\frac{\theta}{\left( {\left( {r - n} \right){\left( {1 - \theta} \right) - \rho}} \right)}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left. e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}\tau} \right|_{0}^{t}}} = \frac{{a_{0} + \frac{w_{0}}{r - n - \omega} - \frac{w_{0}}{\left( {r - n - \omega} \right)}}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{{- {({r - n - \omega})}}t}}}{\frac{\theta}{\left( {\left( {r - n} \right){\left( {1 - \theta} \right) - \rho}} \right)}{{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}t}} - \frac{\theta}{\left( {\left( {r - n} \right){\left( {1 - \theta} \right) - \rho}} \right)}}}}.(4.17)\)
При \({n + \omega} \lt r \lt {n + \frac{\rho}{1 - \theta}}\), когда \(\omega \lt \frac{\rho}{1 - \theta}\),
\({{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{{- (}{r - n - \omega})t}} = {\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}t}} = 0},\)
а значит,
\(c{(0) = \frac{a_{0} + \frac{w_{0}}{r - n - \omega}}{\frac{\theta}{\left( {\left( {r - n} \right){\left( {1 - \theta} \right) - \rho}} \right)}} = \frac{\left( {\left( {r - n} \right){\left( {1 - \theta} \right) - \rho}} \right)\left( {a_{0}{\left( {r - n - \omega} \right) + w_{0}}} \right)}{\theta\left( {r - n - \omega} \right)}}.\)
Получаем индивидуальную траекторию потребления как зависимость от ставки процента:
\(c{\left( {t,r} \right) = \frac{\left( {\left( {r - n} \right){\left( {1 - \theta} \right) - \rho}} \right)\left( {a_{0}{\left( {r - n - \omega} \right) + w_{0}}} \right)}{\theta\left( {r - n - \omega} \right)}}e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}t}.(4.18)\)
При \(r \lt {n + \omega}\) \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{{- (}{r - n - \omega})t}} = \infty\), а значит, числитель (4.17), а значит, и числитель (4.16) уходит в бесконечность.
Аналогичная картина наблюдается и при \(r = {n + \omega}\), когда числитель (4.16) принимает вид \({a_{0} + w_{0}}{{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}\mathit{d\tau}}} = {a_{0} + w_{0}}}{{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left. \tau \right|_{0}^{t}} = {+ \infty}}\).
При \(r \gt {n + \frac{\rho}{1 - \theta}}\) \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{\frac{({1 - \theta})}{\theta}{({r - n - \frac{\rho}{1 - \theta}})}t}} = {+ \infty}\), и к бесконечности стремится знаменатель (4.17), а значит, и знаменатель (4.16).
Аналогичная ситуация имеет место при \(r = {n + \frac{\rho}{1 - \theta}}\), когда знаменатель (4.16) принимает вид \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\int\limits_{0}^{t}\mathit{d\tau}}} = {\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left. \tau \right|_{0}^{t}} = {+ \infty}\).
Таким образом, ставка процента не может лежать в сегментах \(r\leq{n + \omega}\), \(r\geq{n + \frac{\rho}{1 - \theta}}\), и допустимым остается только диапазон ставок процента \(n \lt r \lt {n - \frac{\rho}{1 - \theta}}\), когда динамика потребления описывается траекторией (4.18).
Пример 4.
В развитие задачи, разобранной в примере 3, предположим, что домашнее хозяйство, предполагающее существовать бесконечно долго, максимизирует интегральную полезность:
\({U = {\int\limits_{t = 0}^{\infty}{u(t)e^{- \mathit{\rho t}}\mathit{dt}}}},\)
причем в каждый, данный момент времени полезность любого члена домохозяйства подчиняется зависимости \(u{(t) = 2}\sqrt[4]{c(t)}\), где \(c(t)\) – “мгновенное” подушевое потребление.
Итак, межвременная функция полезности имеет вид:
\({U = 2}{\int\limits_{t = 0}^{\infty}{\sqrt[4]{c(t)}e^{- \mathit{\rho t}}\mathit{dt}}}.\)
Величина активов неограниченно долго живущего домохозяйства в пределе, когда время стремится к бесконечности, не должна быть отрицательной – все долги должны быть выплачены.
Все остальные условия примера 3 остаются неизменными.
Балансовое соотношение, характеризующее динамику активов индивидуума, и граничное условие, накладываемое на хозяйственную жизнедеятельность человека – невозможность использования схемы Понци – задают бюджетное ограничение потребителя в непрерывном времени:
\({500 + {\int\limits_{0}^{\infty}{({5 - c}(t))e^{{- 0,05}t}\mathit{dt}}}}\geq 0.\)
Функция Лагранжа для данной задачи связанной максимизации полезности потребителя в непрерывном времени будет иметь вид:
\({L = {{\int\limits_{0}^{\infty}{\left( {\lambda_{0}2\sqrt[4]{c(t)}{e^{{- 0,02}t} + \lambda_{1}}({5 - c}(t))e^{{- 0,05}t}} \right)\mathit{dt}}} + \lambda_{1}}}500.\)
Выпишем условия динамической оптимизации в данной задаче.
Во-первых, это уравнение Эйлера \(\left( {\frac{- d}{\mathit{dt}}{{\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{c}} + \frac{\partial L}{\partial c}} = 0}} \right)\) для лагранжиана \({L = \lambda_{0}}2\sqrt[4]{c(t)}{e^{{- 0,02}t} + \lambda_{1}}({5 - c}(t))e^{{- 0,05}t}\):
\({\frac{\lambda_{0}2e^{{- 0,02}t}}{4{c(t)}^{\frac{3}{4}}} - \lambda_{1}}{e^{{- 0,05}t} = 0};т.е.\lambda_{0}{e^{0,03t} = \lambda_{1}}2{c(t)}^{\frac{3}{4}}.\)
Во-вторых, это условие дополняющей нежесткости:
\(\lambda_{1}{\left( {500 + {\int\limits_{0}^{\infty}{\left( {{5 - c}(t)} \right)e^{{- 0,05}t}\mathit{dt}}}} \right) = 0},\)
\(\lambda_{1}\geq 0,{500 + {\int\limits_{0}^{\infty}{({5 - c}(t))e^{{- 0,05}t}\mathit{dt}}}}\geq 0.\)
Если \(\lambda_{1} = 0\), то из уравнения Эйлера будет следовать, что и \(\lambda_{0} = 0\), ведь \(e^{0,03t} \gt 0\). Но, по необходимому условию экстремума, вектор множителей Лагранжа \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1}} \right)\) не может быть нулевым. Следовательно, условие дополняющей нежесткости утверждает, что бюджетное ограничение является активным:
\({500 + {\int\limits_{0}^{\infty}{({5 - c}(t))e^{{- 0,05}t}\mathit{dt}}}} = 0.\)
Докажем, что множитель Лагранжа \(\lambda_{0}\) не может быть нулевым. Будем рассуждать от противного: пусть \(\lambda_{0} = 0\). Тогда из уравнения Эйлера будет следовать, поскольку \(c{(t) \gt 0}\), что и \(\lambda_{1} = 0\), чего не может быть. Без ограничения общности можно положить \(\lambda_{0} = 1\).
Уравнение Эйлера принимает вид: \({e^{0,03t} = \lambda_{1}}2{c(t)}^{\frac{3}{4}}.\)
Подифференцируем его по времени:
\(0,03{e^{0,03t} = \frac{3\lambda_{1}\overset{˙}{c}}{2{c(t)}^{\frac{1}{4}}}}\)
и поделим полученную производную на уравнение Эйлера, чтобы избавиться от множителя Лагранжа \(\lambda_{1}\):
\({\frac{0,03e^{0,03t}}{e^{0,03t}} = 0,03 = \frac{3\lambda_{1}\overset{˙}{c}}{2{c(t)}^{\frac{1}{4}}\lambda_{1}2{c(t)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{3}{4}}\frac{\overset{˙}{c}}{c}.\)
Получаем условие Рамсея для темпа прироста потребления:
\(\frac{\overset{˙}{c}}{c} = 0,04.\)
Решаем данное дифференциальное уравнение, разделяя переменные \(\left( {{\frac{\mathit{dc}}{c} = 0,04}\mathit{dt}} \right)\), переходя к логарифмической шкале для потребления \(\left( {d\ln{c = 0,04}\mathit{dt}} \right)\) и интегрируя \(\left( {{{\int{d\ln c}} = \ln}{c = 0,04}{{\int\mathit{dt}} + \ln}{k = 0,04}{t + \ln}c} \right.\), где \(\ln k\) – константа интегрирования). Потенцируя полученное равенство \(\left( {{e^{\ln c} = c}(t{) = e^{0,04{t + \ln}k} = e^{\ln k}}{e^{0,04t} = k}e^{0,04t}} \right)\) и используя начальное условие \(\left( {c(0{) = k}} \right)\), получаем зависимость потребления в любой момент времени от его значения в нулевой момент:
\(c{(t) = c}(0)e^{0,04t}.\)
Подставляем полученное выражение в бюджетное ограничение:
\({{500 + {\int\limits_{0}^{\infty}{\left( {{5 - c}(t)} \right)e^{{- 0,05}t}\mathit{dt}}}} = {500 + {\int\limits_{0}^{\infty}{({5 - c}(0)e^{0,04t})e^{{- 0,05}t}\mathit{dt}}}} = 0},\)
и преобразуем:
\({500 + 5}{{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{{- 0,05}t}\mathit{dt}}} = c}(0){\int\limits_{0}^{\infty}{e^{{- 0,01}t}\mathit{dt}}};\)
\({500 - 100}{{\int\limits_{0}^{\infty}{de^{{- 0,05}t}}} = {- 100}}c(0){\int\limits_{0}^{\infty}{de^{{- 0,01}t}}};\)
\({500 - 100}{\left. e^{{- 0,05}t} \right|_{0}^{\infty} = {- 100}}c(0)\left. e^{{- 0,01}t} \right|_{0}^{\infty};\)
\({600 = 100}c(0);\)
чтобы найти потребление в начальный момент времени: \(c{(0) = 6}\).
Здесь мы использовали тот факт, что \({\frac{de^{- \mathit{\alpha t}}}{\mathit{dt}} = {- \alpha}}e^{- \mathit{\alpha t}}\), т.е. \(e^{- \mathit{\alpha t}}{\mathit{dt} = \frac{- {de^{- \mathit{\alpha t}}}}{\alpha}}\).
В итоге получаем оптимальную траекторию потребления каждого члена домохозяйства (рис. 2):
\(c{(t) = 6}e^{0,04t}.\)
Рисунок 2. Траектория динамики потребления
Повторим все рассуждения, проведенные выше, предполагая ставку процента переменной величиной, чтобы вывести функцию предложения сбережений для каждого момента времени.
Функция Лагранжа для данной задачи связанной максимизации полезности потребителя в непрерывном времени будет иметь вид:
\({L = {{\int\limits_{0}^{\infty}{\left( {\lambda_{0}2\sqrt[4]{c(t)}{e^{{- 0,02}t} + \lambda_{1}}({5 - c}(t))e^{- {\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,01})\mathit{d\tau}}}}} \right)\mathit{dt}}} + \lambda_{1}}}500.\)
Лагранжиан при переменной ставке процента выглядит так:
\({L = \lambda_{0}}2\sqrt[4]{c(t)}{e^{{- 0,02}t} + \lambda_{1}}\left( {{5 - c}(t)} \right)e^{- {\int\limits_{0}^{t}{{({r{{(\tau)} - 0,01}})}\mathit{d\tau}}}}.\)
Соответственно, уравнение Эйлера имеет вид:
\({\frac{\lambda_{0}2e^{{- 0,02}t}}{4{c(t)}^{\frac{3}{4}}} - \lambda_{1}}{e^{- {\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,01})\mathit{d\tau}}}} = 0},\)
или
\(\lambda_{0}{e^{\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,03})\mathit{d\tau}}} = \lambda_{1}}2{c(t)}^{\frac{3}{4}}.\)
Условие дополняющей нежесткости при этом будет таким:
\(\lambda_{1}{\left( {500 + {\int\limits_{0}^{\infty}{({5 - c}(t))e^{- {\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,01})\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}}} \right) = 0.}\)
Если \(\lambda_{1} = 0\), то из уравнения Эйлера будет следовать, что и \(\lambda_{0} = 0\), ведь \(e^{\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,03})\mathit{d\tau}}}\neq 0\). Но по необходимому условию экстремума вектор множителей Лагранжа \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1}} \right)\) не может быть нулевым. Следовательно, условие дополняющей нежесткости утверждает, что межвременное бюджетное ограничение является активным:
\({{500 + {\int\limits_{0}^{\infty}{({5 - c}(t))e^{- {\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,01})\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}}} = 0.}(П4.1)\)
Докажем, что множитель Лагранжа \(\lambda_{0}\) не может быть нулевым. Будем рассуждать от противного: пусть \(\lambda_{0} = 0\). Тогда из уравнения Эйлера будет следовать, поскольку \(c{(t) \gt 0}\), что и \(\lambda_{1} = 0\), чего не может быть. Без ограничения общности можно положить \(\lambda_{0} = 1\).
Уравнение Эйлера принимает вид:
\({e^{\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,03})\mathit{d\tau}}} = \lambda_{1}}2{c(t)}^{\frac{3}{4}}.\)
Подифференцируем его по времени
\(\left( {r(t{) - 0,03}} \right){e^{\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,03})\mathit{d\tau}}} = \frac{3\lambda_{1}\overset{˙}{c}}{2{c(t)}^{\frac{1}{4}}}}\)
и поделим полученную производную на уравнение Эйлера, чтобы избавиться от множителя Лагранжа \(\lambda_{1}\):
\({\frac{(r(t{) - 0,03})e^{\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,03})\mathit{d\tau}}}}{e^{\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,03})\mathit{d\tau}}}} = r}(t{{) - 0,03} = \frac{3\lambda_{1}\overset{˙}{c}}{2{c(t)}^{\frac{1}{4}}\lambda_{1}2{c(t)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{3}{4}}\frac{\overset{˙}{c}}{c}.\)
Получаем условие Рамсея для темпа прироста потребления:
\({\frac{\overset{˙}{c}}{c} = \frac{4}{3}}(r(t{) - 0,03}).\)
Решаем данное дифференциальное уравнение, разделяя переменные
\({\frac{\mathit{dc}}{c} = \frac{4}{3}}\left( {r(t{) - 0,03}} \right)\mathit{dt},\)
переходя к логарифмической шкале для потребления
\(d\ln{c = \frac{4}{3}}(r(t{) - 0,03})\mathit{dt}\)
и интегрируя
\({{\int{d\ln c}} = \ln}{c = \frac{4}{3}}{{\int{(r(t{) - 0,03})\mathit{dt}}} + \ln}k,\)
где \(\ln k\) – константа интегрирования.
Потенцируя полученное равенство и используя начальное условие \(\left( {c(0{) = k}} \right)\), получаем зависимость потребления в любой момент времени от его первоначального значения:
\(c{(t) = c}(0)e^{\frac{4}{3}{\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,03})\mathit{d\tau}}}}.(П4.2)\)
Подставляя полученное выражение в бюджетное ограничение (П4.1)
\({500 + {\int\limits_{0}^{\infty}{({5 - c}(0)e^{\frac{4}{3}{\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,03})\mathit{d\tau}}}})e^{- {\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,01})\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}}} = 0\)
и преобразуя
\({500 + 5}{{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{- {\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,01})\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}} = c}(0){\int\limits_{0}^{\infty}{e^{\int\limits_{0}^{t}{\frac{({r{{(\tau)} - 0,09}})}{3}\mathit{d\tau}}}\mathit{dt}}},\)
выражаем потребление в начальный момент времени:
\(c{(0) = \frac{{500 + 5}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{- {\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,01})\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}}}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{\int\limits_{0}^{t}{\frac{({r{{(\tau)} - 0,09}})}{3}\mathit{d\tau}}}\mathit{dt}}}}.\)
Данное выражение является осмысленным только при \(0,01 \lt r \lt 0,09\), когда числитель и знаменатель дроби принимают конечные значения.
Подставляя начальный уровень в траекторию динамики индивидуального потребления (П4.2), получаем ее зависимость от ставки процента:
\(c{\left( {t,r(t)} \right) = \left( \frac{{500 + 5}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{- {\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,01})\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}}}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{\int\limits_{0}^{t}{\frac{({r{{(\tau)} - 0,09}})}{3}\mathit{d\tau}}}\mathit{dt}}} \right)}e^{\frac{4}{3}{\int\limits_{0}^{t}{(r{{(\tau)} - 0,03})\mathit{d\tau}}}}.\)
При этом сбережения как прирост индивидуальных активов (4.5) представляют собой следующую функцию ставки процента:
\(s{\left( {t,r(t)} \right) = \overset{˙}{a}}{\left( {t,r(t)} \right) = w}{(t) - c}{\left( {t,r(t)} \right) + \left( {r{(t) - n}(t)} \right)}a{\left( {t,r(t)} \right) = {5 - \left( \frac{{500 + 5}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{- {\int\limits_{0}^{t}{{({r{{(\tau)} - 0,01}})}\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}}}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{\int\limits_{0}^{t}{\frac{({r{{(\tau)} - 0,09}})}{3}\mathit{d\tau}}}\mathit{dt}}} \right)}}{e^{\frac{4}{3}{\int\limits_{0}^{t}{{({r{{(\tau)} - 0,03}})}\mathit{d\tau}}}} + \left( {r{(t) - 0,01}} \right)}e^{\int\limits_{0}^{t}{{({r{{(\tau)} - 0,01}})}\mathit{d\tau}}}\)
\(\times\left( {500 + {\int\limits_{0}^{t}{\left( {{5 - \left( \frac{{500 + 5}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{- {\int\limits_{0}^{t}{{({r{{(\tau)} - 0,01}})}\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}}}}{\int\limits_{0}^{\infty}{e^{\int\limits_{0}^{t}{\frac{({r{{(\tau)} - 0,09}})}{3}\mathit{d\tau}}}\mathit{dt}}} \right)}e^{\frac{4}{3}{\int\limits_{0}^{\tau}{{({r{{(\zeta)} - 0,03}})}\mathit{d\zeta}}}}} \right)e^{- {\int\limits_{0}^{\tau}{{({r{{(\zeta)} - 0,01}})}\mathit{d\zeta}}}}\mathit{d\tau}}}} \right).\)
Если непрерывный темп прироста величины \(M\) равен \(r\), то ее дискретный темп роста равен \(e^{r}\): \(\frac{M({t + 1})}{M(t)} = e^{r}\). Разлагая в ряд Тейлора \({e^{r} = {1 + r + o}}(1)\), получаем, что при малых \(r\) данный темп роста близок \(({1 + r})\).↩︎
Samuelson P.A. The collected scientific papers. 6th pr. – Cambridge (Mass.); L.: MIT press, 1985, vol.1.↩︎
На основе (3.4) при верхнем пределе интегрирования, равном \(+ \infty\), можно получить в непрерывном времени стоимость пожизненного аннуитета с доходностью \(R{(t) = R = \mathit{const}}\), стартующего в момент времени \(t = t_{0}\):
\({P_{\mathit{перп}} = {\int\limits_{t_{0}}^{+ \infty}{Re^{{- r}{({t - t_{0}})}}\mathit{dt}}} = R}{{\int\limits_{t_{0}}^{+ \infty}{e^{{- r}{({t - t_{0}})}}\mathit{dt}}} = \frac{R}{r}}.\)
Отметим, что на множестве \(t\in R^{+}\) интеграл \(\int\limits_{0}^{+ \infty}{e^{- \mathit{xt}}\mathit{dx}}\) сходится [Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. – 2-е изд. – М.: Высшая школа, 2000, кн. 2).
Итак, стоимость перпетуитета не зависит от момента времени, с которого он отсчитывается, и от того, как течет время – дискретно (viii) или непрерывно.↩︎
При постоянной во времени ставке процента \((r{(t) = r = \mathit{const}})\) приходим к полученной выше формуле (3.4).↩︎
Простейшая задача классического вариационного исчисления состоит в оптимизации (для определенности – минимизации) некоторого интегрального функционала качества системы \(S = {\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{L(t,x,\overset{˙}{x})\mathit{dt}}}\), где \({x = (}x_{1},x_{2},\ldots,x_{s})\) – обобщенные координаты, т.е. любые s величин, вполне характеризующие, положение системы (с s степенями свободы), а \({\overset{˙}{x} = (}{\overset{˙}{x}}_{1},{\overset{˙}{x}}_{2},\ldots,{\overset{˙}{x}}_{s})\) – обобщенные скорости; которая в начальный и конечный моменты времени \(t = t_{0}\) и \(t = t_{1}\) занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат \(x{\left( t_{0} \right) = x_{0}}\) и \(x{\left( t_{1} \right) = x_{1}}\):
\(\begin{matrix} {\mathit{\min}{\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{L(t,x,\overset{˙}{x})\mathit{dt}}}:} \\ {x{\left( t_{0} \right) = x_{0}},x{\left( t_{1} \right) = x_{1}}.} \\ \end{matrix}\)
Проварьируем функционал S некоторой функцией \(h\in C^{1}\left\lbrack {t_{0},t_{1}} \right\rbrack\), такой, что \(h{\left( t_{0} \right) = h}{\left( t_{1} \right) = 0}\):
\(\sigma{(\lambda) = {\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{L(t,{x + \mathit{\lambda h}}(t),{\overset{˙}{x} + \lambda}\overset{˙}{h}(t))\mathit{dt}}}},\mathit{где}\lambda\in R.\)
Если функция \(x\) доставляет минимум в данной задаче вариационного исчисления, то функция \(\sigma(\lambda)\) имеет минимум при \(\lambda = 0\), значит, по теореме Ферма, вариация интегрального функционала должна аннулироваться:
\(\delta S\equiv{\left. \frac{\partial\sigma}{\partial\lambda} \right|_{\lambda = 0} = {\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{\left( {\frac{\partial L}{\partial x}{h + \frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{x}}}\overset{˙}{h}} \right)\mathit{dt}}} = 0.}\)
Преобразуем вариацию \(\delta S\), интегрируя ее второй член по частям:
\(\delta{S = {{\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{\frac{\partial L}{\partial x}\mathit{hdt}}} - {\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{\mathit{hd}\left( \frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{x}} \right)}} + \left. {h\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{x}}} \right|_{t_{0}}^{t_{1}}} = {{\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{\frac{\partial L}{\partial x}\mathit{hdt}}} - {\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{h\frac{d}{\mathit{dt}}\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{x}}\mathit{dt}}} + \left. {h\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{x}}} \right|_{t_{0}}^{t_{1}}} = 0.}(\mathit{viii})\)
В силу граничных условий, накладываемых на функцию h, последнее слагаемое обращается в нуль. Следовательно, вариация принимает вид:
\(\delta{S = {\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{h\left( {{\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{\mathit{dt}}}\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{x}}} \right)\mathit{dt}}} = 0.}\)
По лемме Лагранжа, если \({\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{h(t)y(t)\mathit{dt}}} = 0\) при произвольной непрерывно дифференцируемой функции h(t), то y(t) тождественно равняется нулю. Действительно, если это не так, то, положив, например, \(h{(t) \gt 0}\) при \(t\in{\lbrack{a,b}\rbrack}\subset\left\lbrack {t_{0},t_{1}} \right\rbrack\), получим, что в общем случае \({\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{h(t)y(t)\mathit{dt}}}\neq 0\) [Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация. – М.: Едиториал УРСС, 2000]. Таким образом, необходимое условие экстремума в простейшей задаче классического вариационного исчисления представлено векторным уравнением Эйлера:
\(\frac{- d}{\mathit{dt}}{{\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{x}} + \frac{\partial L}{\partial x}} = 0}.(\mathit{ix})\)
При наличии связей между переменными вида: \({{\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{f_{j}(t,x,\overset{˙}{x})\mathit{dt}}} + l_{j}}{\left( {t_{0},x\left( t_{0} \right),t_{1},x\left( t_{1} \right)} \right) = 0}\), \({{\overset{˙}{x}}_{j} - \varphi_{j}}{\left( {t,x} \right) = 0}\), \({j = 1},\ldots,k\), исследуется уже не простейшая задача классического вариационного исчисления, а задача Лагранжа, в которой в целевом функционале так же, как и в ограничениях, присутствует терминальное слагаемое: \({S = {{\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{f_{0}(t,x,\overset{˙}{x})\mathit{dt}}} + l_{0}}}\left( {t_{0},x\left( t_{0} \right),t_{1},x\left( t_{1} \right)} \right)\). Методом неопределенных множителей Лагранжа \((\lambda,p(t))\) задача на условный экстремум:
\(\begin{matrix} {\mathit{\min}\left\{ {{{\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{f_{0}(t,x,\overset{˙}{x})\mathit{dt}}} + l_{0}}\left( {t_{0},x\left( t_{0} \right),t_{1},x\left( t_{1} \right)} \right)} \right\}:} \\ {{{\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{f_{j}(t,x,\overset{˙}{x})\mathit{dt}}} + l_{j}}{\left( {t_{0},x\left( t_{0} \right),t_{1},x\left( t_{1} \right)} \right) = 0},{{\overset{˙}{x}}_{j} - \varphi_{j}}{\left( {t,x} \right) = 0},{j = 1},\ldots,k.} \\ \end{matrix}\)
сводится к задаче на безусловный экстремум нового интегрального функционала:
\({\Lambda = {{\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{L(t,x,\overset{˙}{x})\mathit{dt}}} + l}}\left( {t_{0},x\left( t_{0} \right),t_{1},x\left( t_{1} \right)} \right)\), где лагранжиан принимает вид:
\(L{\left( {t,x,\overset{˙}{x}} \right) = {{\sum\limits_{j = 0}^{k}{\lambda_{j}f_{j}(t,x,\overset{˙}{x})}} + {\sum\limits_{j = 0}^{k}{p_{j}(t)\left( {{{\overset{˙}{x}}_{j} - \varphi_{j}}\left( {t,x} \right)} \right)}}}},\)
а терминальное слагаемое выглядит так:
\(l{\left( {t_{0},x\left( t_{0} \right),t_{1},x\left( t_{1} \right)} \right) = {\sum\limits_{j = 0}^{k}{\lambda_{j}l_{j}\left( {t_{0},x\left( t_{0} \right),t_{1},x\left( t_{1} \right)} \right)}}}.\)
При этом уравнения Эйлера (ix) остаются в силе, но уже относятся к лагранжиану \(L\left( {t,x,\overset{˙}{x}} \right)\). Действительно, функция \(\sigma{(\lambda) = {{\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{L(t,{x + \mathit{\lambda h}}(t),{\overset{˙}{x} + \lambda}\overset{˙}{h}(t))\mathit{dt}}} + l}}(t_{0},x{\left( t_{0} \right) + \mathit{\lambda h}}\left( t_{0} \right),\) \(t_{1},x{\left( t_{1} \right) + \mathit{\lambda h}}\left( t_{1} \right))\), где \(h\in C^{1}\left\lbrack {t_{0},t_{1}} \right\rbrack\), имеет минимум при \(\lambda = 0\), значит, по теореме Ферма,
\(\delta\Lambda\equiv{\left. \frac{\partial\sigma}{\partial\lambda} \right|_{\lambda = 0} = {{\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{\left( {\frac{\partial L}{\partial x}{h + \frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{x}}}\overset{˙}{h}} \right)\mathit{dt}}} + \frac{\partial l}{\partial x\left( t_{0} \right)}}}h{\left( t_{0} \right) + \frac{\partial l}{\partial x\left( t_{1} \right)}}h{\left( t_{1} \right) = 0}.(x)\)
Взяв \(h{\left( t_{0} \right) = h}{\left( t_{1} \right) = 0}\) и проведя преобразование (viii), в силу леммы Лагранжа, получаем, что уравнение Эйлера (ix) является необходимым условием минимума в данной обобщенной задаче вариационного исчисления. Преобразуем теперь вариацию (x), интегрируя второй член по частям:
\(\delta{\Lambda = {{\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}{h\left( {{\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{\mathit{dt}}}\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{x}}} \right)\mathit{dt}}} + \left( {\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{x}}{\left( t_{1} \right) + \frac{\partial l}{\partial x\left( t_{1} \right)}}} \right)}}h{\left( t_{1} \right) + \left( {\frac{- {\partial L}}{\partial\overset{˙}{x}}{\left( t_{0} \right) + \frac{\partial l}{\partial x\left( t_{0} \right)}}} \right)}h{\left( t_{0} \right) = \left( {\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{x}}{\left( t_{1} \right) + \frac{\partial l}{\partial x\left( t_{1} \right)}}} \right)}h{\left( t_{1} \right) + \left( {\frac{- {\partial L}}{\partial\overset{˙}{x}}{\left( t_{0} \right) + \frac{\partial l}{\partial x\left( t_{0} \right)}}} \right)}h{\left( t_{0} \right) = 0}.\)
При этом было использовано уравнение Эйлера (ix). Полагая теперь в последнем равенстве \(h{(t) = {t - t_{0}}}\), приходим к первому из условий трансверсальности:
\(\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{x}}{\left( t_{1} \right) = \frac{- {\partial l}}{\partial x\left( t_{1} \right)}}.\)
Если же взять \(h{(t) = {t - t_{1}}}\), то результатом становится второе условие:
\(\frac{\partial L}{\partial\overset{˙}{x}}{\left( t_{0} \right) = \frac{\partial l}{\partial x\left( t_{0} \right)}}.\)↩︎