Динамическая максимизация полезности опирается на рассуждения, аналогичные использованным И. Фишером, который, рассматривая взаимосвязь между структурой межвременных предпочтений, распределением потока доходов и расходов экономических агентов во времени, а также ставкой процента, сформулировал ставшую теперь классической модель межвременного потребительского выбора1:
\(\begin{matrix} {\underset{c_{0},c_{1}}{\mathit{\max}}{U\left( {c_{0},c_{1}} \right)}:} \\ {{c_{0} + \frac{c_{1}}{1 + r}}\leq{M_{0} + \frac{M_{1}}{1 + r}},} \\ \end{matrix}\)
где \(M_{0}\), \(M_{1}\) – доходы экономических агентов соответственно в первоначальный и последующий момент времени; \(c_{0}\), \(c_{1}\) – потребительские расходы в этих периодах в реальном выражении \(\left( {c = {\sum\limits_{i = 1}^{n}{p_{i0}x_{}}}} \right.\), где \(p_{i0}\) – цена i-го товара базисного, нулевого периода, \(x_{}\) – объем потребления i-го товара в отчетном, т.е. нулевом либо первом, периоде); r – реальная ставка процента. Максимизация полезности здесь связана межвременным бюджетным ограничением, предполагающим, что дисконтированные расходов не должны превышать дисконтированные доходы.
Решая данную задачу связанной максимизации полезности, составляем функцию Лагранжа: \({L = \lambda_{0}}U{\left( {c_{0},c_{1}} \right) + \lambda_{1}}\left( {M_{0} + \frac{M_{1}}{1 + r} - c_{0} - \frac{c_{1}}{1 + r}} \right).\) Необходимые условия внутреннего оптимума потребителя \(\left( {{c_{0} \gt 0},{c_{1} \gt 0}} \right)\) задаются системой:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial L}{\partial c_{0}} = \lambda_{0}}{{\frac{\partial U}{\partial c_{0}} - \lambda_{1}} = 0},} \\ {{\frac{\partial L}{\partial c_{1}} = \lambda_{0}}{{\frac{\partial U}{\partial c_{1}} - \frac{\lambda_{1}}{1 + r}} = 0},} \\ {\lambda_{1}{\left( {M_{0} + \frac{M_{1}}{1 + r} - c_{0} - \frac{c_{1}}{1 + r}} \right) = 0},\lambda_{1}\geq 0,{M_{0} + \frac{M_{1}}{1 + r} - c_{0} - \frac{c_{1}}{1 + r}}\geq 0;} \\ \end{matrix} \right.\)
Рассмотрим условие дополняющей нежесткости. Предположим, что \(\lambda_{1} = 0\). Но тогда из каждого из первых двух условий оптимальности в силу ненасыщаемости потребления \(\left( {{\mathit{MU}_{0} \gt 0},{\mathit{MU}_{1} \gt 0}} \right)\) получается, что \(\lambda_{0} = 0\). Но вектор множителей Лагранжа \(\lambda\) не может быть нулевым, следовательно, \(\lambda_{1} \gt 0\), и бюджетное ограничение является жестким: \({{c_{0} + \frac{c_{1}}{1 + r}} = {M_{0} + \frac{M_{1}}{1 + r}}}.\) Кроме того, \(\lambda_{0}\neq 0\), ведь если бы это было не так, то и \(\lambda_{1}\) был бы нулевым, что противоречит рассуждениям выше. Следовательно, без ограничения общности можно положить \(\lambda_{0} = 1\). Итак, система необходимых условий оптимума потребителя принимает вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\mathit{MU}_{0} = \lambda_{1}},} \\ {{\mathit{MU}_{1} = \frac{\lambda_{1}}{1 + r}},} \\ {{{c_{0} + \frac{c_{1}}{1 + r}} = {M_{0} + \frac{M_{1}}{1 + r}}};} \\ \end{matrix} \right.\)
из которой делением первого равенства на второе получаем, что соотношение предельных полезностей потребления первоначального и последующего периодов равняется темпу роста финансовых средств: \({\frac{\mathit{MU}_{0}}{\mathit{MU}_{1}} = {1 + r}}.\)
Рассчитав полную производную межвременной функции полезности вдоль кривой безразличия \({\left. \mathit{dU} \right|_{U = \mathit{const}} = \frac{\partial U}{\partial c_{0}}}d{c_{0} + \frac{\partial U}{\partial c_{1}}}d{c_{1} = 0},\) получаем, что отношение предельных полезностей текущего и будущего потребления равняется предельной норме межвременного замещения потребительских расходов, т.е. стоимости добавочного будущего потребления, необходимого для компенсации человеку, отказывающемуся от дополнительной единицы расходов на текущее потребление. Таким образом, выбор домохозяйств между текущим и будущим потреблением подчиняется следующему общему условию:
\(\mathit{MRS}_{01}\equiv{\left. \frac{- {dc_{1}}}{dc_{0}} \right|_{U = \mathit{const}} = \frac{{\partial U}/{\partial c_{0}}}{{\partial U}/{\partial c_{1}}} = \frac{\mathit{MU}_{0}}{\mathit{MU}_{1}} = {1 + r}}.\)
В задаче межвременного выбора величина ставки процента представляет собой относительную (альтернативную) стоимость текущего потребления по отношению к будущему, т.е. стоимость времени.
По определению, сбережения каждого периода времени представляют собой непотребленный доход: \(s_{0}\equiv{M_{0} - c_{0}},s_{1}\equiv{M_{1} - C_{1}}\). С учетом межвременного бюджетного ограничения получаем равенство \({s_{0} = \frac{- {M_{1} - c_{1}}}{1 + r}}.\) Итак, возросшие на процентную ставку сбережения первого периода потребляются во втором: \(s_{0}({1 + r}{) = {- s_{2}}}\).
Решая задачу межвременного выбора, каждый потребитель определяет для себя маршаллианские функции спроса на текущее и будущее потребление: \({c_{0} = c_{0}^{m}}\left( {M_{0},M_{1},r} \right)\), \({c_{1} = c_{1}^{m}}\left( {M_{0},M_{1},r} \right)\).
Рисунок 1. Межвременной выбор и предложение сбережений
Подставляя их в тождество сбережений, получаем функции предложения сбережений: \(s_{0}{\left( {M_{0},M_{1},r} \right) = {M_{0} - c_{0}^{m}}}\left( {M_{0},M_{1},r} \right)\), \(s_{1}{\left( {M_{0},M_{1},r} \right) = {M_{1} - c_{1}^{m}}}\left( {M_{0},M_{1},r} \right)\). Традиционная функция спроса представляет собой убывающую зависимость объемов потребительских товаров от их цены, роль которой в данном случае играет процентная ставка. В таком случае функция сбережений будет являться их возрастающей зависимостью от ставки процента (рис. 1).
Пример 1.
Пусть домашнее хозяйство состоит из одного индивидуума, максимизирующего совокупную полезность на интервале из двух периодов \({t = \{}0,1\}\):
\({U = {\sum\limits_{t = 0}^{1}\frac{u_{t}}{\left( {1 + \rho} \right)^{t}}}},\)
где \({u_{t} = 2}\sqrt[4]{c_{t}}\) – полезность в каждый, данный момент времени, \(c_{t}\) – потребление в момент \(t\), \(\rho\) – норма межвременных предпочтений, равная 0,02.
Итак, аддитивная межвременная функция полезности имеет вид:
\({U = 2}{\sqrt[4]{c_{0}} + \frac{2\sqrt[4]{c_{1}}}{1 + \rho}}.\)
Банковская ставка не меняется с течением времени и составляет 0,06. Заработная плата индивидуума составляет 5 (ден.ед.) в каждый момент времени. Предположим, что доходов помимо заработной платы нет.
Межвременное бюджетное ограничение в данной, простейшей задаче потребительского выбора имеет вид:
\({c_{0} + \frac{c_{1}}{1,06}}\leq{{5 + \frac{5}{1,06}} = \frac{10,3}{1,06}}.\)
Выпишем функцию Лагранжа:
\({L = \lambda_{0}}2{\sqrt[4]{c_{0}} + \frac{\lambda_{0}\sqrt[4]{c_{1}}}{0,51} - \lambda_{1}}\left( {c_{0} + \frac{c_{1}}{1,06} - \frac{10,3}{1,06}} \right).\)
Условия динамической оптимизации в данной задаче будут иметь вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial L}{\partial c_{0}} = {\frac{\lambda_{0}}{2c_{0}^{\frac{3}{4}}} - \lambda_{1}} = 0};} \\ {{\frac{\partial L}{\partial c_{1}} = {\frac{\lambda_{0}}{2,04c_{1}^{\frac{3}{4}}} - \frac{\lambda_{1}}{1,06}} = 0};} \\ {\lambda_{1}{\left( {c_{0} + \frac{c_{1}}{1,06} - \frac{10,3}{1,06}} \right) = 0},\lambda_{1}\geq 0,{c_{0} + \frac{c_{1}}{1,06}}\leq\frac{10,3}{1,06}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Пусть \(\lambda_{1} = 0\), тогда в соответствии с каждым из первых двух условий оптимальности \(\lambda_{0} = 0\), чего не может быть, поскольку вектор множителей Лагранжа \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1}} \right)\) должен быть ненулевым. Следовательно, по условию дополняющей нежесткости бюджетное ограничение является активным: \(1,06{{c_{0} + c_{1}} = 10,3.}\)
Заметим, что, если \(\lambda_{0} = 0\), то и \(\lambda_{1} = 0\), чего не может быть, поскольку вектор множителей Лагранжа \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1}} \right)\) не может быть нулевым. Следовательно, без ограничения общности можно положить \(\lambda_{0} = 1\), и условия оптимальности можно переписать так:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{1}{2c_{0}^{\frac{3}{4}}} = \lambda_{1}};} \\ {{\frac{1}{2,04c_{1}^{\frac{3}{4}}} = \frac{\lambda_{1}}{1,06}};} \\ {\lambda_{1}{\left( {c_{0} + \frac{c_{1}}{1,06} - \frac{10,3}{1,06}} \right) = 0},\lambda_{1}\geq 0,{c_{0} + \frac{c_{1}}{1,06}}\leq\frac{10,3}{1,06}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Рассчитаем оптимальное распределение потребления во времени. Поделив первое условие оптимальности на второе, получаем эквимаржинальный принцип:
\({\left( \frac{c_{1}}{c_{0}} \right)^{\frac{3}{4}} = \frac{53}{51}};\)
т.е. зависимость будущего потребления от первоначального такова: \({c_{1} = \left( \frac{53}{51} \right)^{\frac{4}{3}}}c_{0}\).
Объединяя полученное соотношение с бюджетным ограничением, находим первоначальный объем потребления: \({c_{0} = \frac{10,3}{1,06 + \left( \frac{53}{51} \right)^{\frac{4}{3}}}}\approx{4,875 \lt 5}\), значит, индивидуум является кредитором в исходный момент времени. За счет этого он увеличивает свое потребление по отношению к заработанному доходу в будущем: \(c_{1}\approx 5,13\).
Для того, чтобы вывести функцию предложения сбережений для начального момента времени, оставим ставку процента переменной величиной в межвременном бюджетном ограничении:
\({c_{0} + \frac{c_{1}}{1 + r}}\leq{5 + \frac{5}{1 + r}}.\)
Выписываем функцию Лагранжа:
\({L = \lambda_{0}}2{\sqrt[4]{c_{0}} + \frac{\lambda_{0}\sqrt[4]{c_{1}}}{0,51} - \lambda_{1}}\left( {c_{0} + \frac{c_{1}}{1 + r} - 5 - \frac{5}{1 + r}} \right).\)
Необходимые условия экстремума имеют вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial L}{\partial c_{0}} = {\frac{\lambda_{0}}{2c_{0}^{\frac{3}{4}}} - \lambda_{1}} = 0};} \\ {{\frac{\partial L}{\partial c_{1}} = {\frac{\lambda_{0}}{2,04c_{1}^{\frac{3}{4}}} - \frac{\lambda_{1}}{1 + r}} = 0};} \\ {\lambda_{1}{\left( {c_{0} + \frac{c_{1}}{1 + r} - 5 - \frac{5}{1 + r}} \right) = 0},\lambda_{1}\geq 0,{c_{0} + \frac{c_{1}}{1 + r}}\leq{5 + \frac{5}{1 + r}};} \\ \end{matrix} \right.\)
По доказанному выше, \(\lambda_{0}\neq 0\) и \(\lambda_{1}\neq 0\), следовательно, бюджетное ограничение является жестким: \(\left( {1 + r} \right){{c_{0} + c_{1}} = 5}\left( {2 + r} \right)\), а \(\lambda_{0}\) можно положить равным единице. Поделив первое условие оптимальности на второе, получаем следующую систему:
\(\left\{ \begin{matrix} {{c_{1} = \left( \frac{1 + r}{1,02} \right)^{\frac{4}{3}}}c_{0};} \\ {\left( {1 + r} \right){{c_{0} + c_{1}} = 5}\left( {2 + r} \right).} \\ \end{matrix} \right.\)
Таким образом, функция потребительского спроса в первоначальный момент времени будет иметь вид:
\(c_{0}{(r) = \frac{5\left( {2 + r} \right)}{1 + r + \left( \frac{1 + r}{1,02} \right)^{4/3}} = \frac{5\left( {2 + r} \right)1,02^{4/3}}{\left( {1 + r} \right)\left( {\sqrt[3]{1 + r} + 1,02^{4/3}} \right)} = {\frac{5\bullet 1,02^{4/3}}{\sqrt[3]{1 + r} + 1,02^{4/3}} + \frac{5\bullet 1,02^{4/3}}{\left( {1 + r} \right)\left( {\sqrt[3]{1 + r} + 1,02^{4/3}} \right)}}}.\)
Очевидно, что потребительские расходы в первоначальный период представляют собой убывающую зависимость от ставки процента.
Следовательно, предложение сбережений в исходный момент времени – это возрастающая функция процентной ставки:
\(s_{0}{(r) = {5 - c_{0}}}{(r) = \frac{5\left( {\sqrt[3]{1 + r} - \frac{1,02^{4/3}}{1 + r}} \right)}{\sqrt[3]{1 + r} + 1,02^{4/3}} = {5 - \frac{5\bullet 1,02^{4/3}}{\sqrt[3]{1 + r} + 1,02^{4/3}} - \frac{5\bullet 1,02^{4/3}}{\left( {1 + r} \right)\left( {\sqrt[3]{1 + r} + 1,02^{4/3}} \right)}}}.\)
Рассмотрим теперь усложненную задачу межвременного выбора при наличии в распоряжении домашнего хозяйства некоторой величины активов \(A\). Предположим, кроме того, что домашнее хозяйство состоит из L индивидуумов и его численность прирастает темпом \(n\).
Выпишем балансовое соотношение, описывающего динамику активов домашнего хозяйства:
\({A_{t} = {A_{t - 1} + I_{t - 1} + R_{t - 1} - C_{t - 1}}},\)
где \(A_{t}\) и \(A_{t - 1}\) – объем активов на начало периодов соответственно \(t\) и \(t - 1\), \(C_{t - 1}\equiv c_{t - 1}L_{t - 1}\) – величина потребления, а \(I_{t - 1}\equiv w_{t - 1}L_{t - 1}\) и \(R_{t - 1}\equiv r_{t - 1}A_{t - 1}\) – соответственно трудовой и рентный доходы на протяжении периода \(t - 1\). Здесь \(w_{t - 1}\) и \(r_{t - 1}\) – ставки соответственно заработной и арендной платы (при совершенном рынке капитала значение последней приближается к величине ставки процента), \(c_{t - 1}\) – потребление в расчете на одного члена домохозяйства, \(L_{t - 1}\) – величина использованных трудовых ресурсов в период \(t - 1\).
Распишем с учетом этих обозначений балансовое соотношение для активов первого и нулевого периодов2:
\({A_{1} = A_{0}}{\left( {1 + r_{0}} \right) + \left( {w_{0} - c_{0}} \right)}L_{0}.(4.1)\)
Условие отсутствия «игры Понци», состоящей в финансировании долга за счет новой эмиссии долговых обязательств, утверждает, что в финальный момент времени – в конце первого периода – стоимость активов домохозяйства не должна быть отрицательной – все долги должны быть выплачены:
\(A_{1}{\left( {1 + r_{1}} \right) + \left( {w_{1} - c_{1}} \right)}L_{1}\geq 0.\)
Объединяя данное условие с предыдущим соотношением, получаем межвременное бюджетное ограничение домашнего хозяйства:
\(A_{0}\left( {1 + r_{0}} \right){\left( {1 + r_{1}} \right) + \left( {w_{0} - c_{0}} \right)}\left( {1 + r_{1}} \right){L_{0} + \left( {w_{1} - c_{1}} \right)}L_{1}\geq 0.\)
Поделим его на численность домохозяйства в исходный период, перейдем к величине индивидуальных активов каждого члена домашнего хозяйства \(\left( {a_{0}\equiv\frac{A_{0}}{L_{0}}} \right)\):
\(a_{0}\left( {1 + r_{0}} \right){\left( {1 + r_{1}} \right) + \left( {w_{0} - c_{0}} \right)}{\left( {1 + r_{1}} \right) + \left( {w_{1} - c_{1}} \right)}({1 + n_{1}})\geq 0,\)
где \(n_{1}\equiv{\frac{L_{1}}{L_{0}} - 1}\) – темпа прироста численности домохозяйства в первый период.
Итак, в двухпериодовой задаче потребительского выбора при наличии активов в распоряжении домашнего хозяйства межвременное бюджетное ограничение каждого из индивидуумов будет иметь вид:
\({\frac{c_{0}}{1 + n_{1}} + \frac{c_{1}}{1 + r_{1}}}\leq a_{0}{\left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right) + \frac{w_{0}}{1 + n_{1}} + \frac{w_{1}}{1 + r_{1}}}.\)
Здесь потоки доходов и расходов приводятся к концу первоначального периода, при этом дисконтирующий множитель оказывается скорректированным на темп роста численности домашнего хозяйства.
Итак, модифицированная задача межвременного потребительского выбора будет иметь вид:ю
\(\begin{matrix} {\underset{c_{0},c_{1}}{\mathit{\max}}{U\left( {c_{0},c_{1}} \right)}:} \\ {{\frac{c_{0}}{1 + n_{1}} + \frac{c_{1}}{1 + r_{1}}}\leq a_{0}{\left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right) + \frac{w_{0}}{1 + n_{1}} + \frac{w_{1}}{1 + r_{1}}}.} \\ \end{matrix}\)
Решая данную задачу, выписываем функцию Лагранжа:
\({L = \lambda_{0}}U{\left( {c_{0},c_{1}} \right) + \lambda_{1}}\left( {a_{0}{\left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right) + \frac{w_{0}}{1 + n_{1}} + \frac{w_{1}}{1 + r_{1}} - \frac{c_{0}}{1 + n_{1}} - \frac{c_{1}}{1 + r_{1}}}} \right).\)
Внутренний оптимум потребителя \(\left( {{c_{0} \gt 0},{c_{1} \gt 0}} \right)\) должен удовлетворять условиям стационарности по потреблению в каждый момент времени и дополняющей нежесткости:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial L}{\partial c_{0}} = \lambda_{0}}{{\frac{\partial U}{\partial c_{0}} - \frac{\lambda_{1}}{1 + n_{1}}} = 0},} \\ {{\frac{\partial L}{\partial c_{1}} = \lambda_{0}}{{\frac{\partial U}{\partial c_{1}} - \frac{\lambda_{1}}{1 + r_{1}}} = 0},} \\ {\lambda_{1}{\left( {a_{0}{\left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right) + \frac{w_{0} - c_{0}}{1 + n_{1}} + \frac{w_{1} - c_{1}}{1 + r_{1}}}} \right) = 0},\lambda_{1}\geq 0,} \\ {a_{0}{\left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right) + \frac{w_{0} - c_{0}}{1 + n_{1}} + \frac{w_{1} - c_{1}}{1 + r_{1}}}\geq 0.} \\ \end{matrix} \right.\)
Если \(\lambda_{1} = 0\), то из каждого из первых двух условий оптимальности в силу ненасыщаемости потребления \(\left( {{\mathit{MU}_{0} \gt 0},{\mathit{MU}_{1} \gt 0}} \right)\) следует, что \(\lambda_{0} = 0\). Но вектор множителей Лагранжа \(\lambda\) не может быть нулевым, значит, \(\lambda_{1} \gt 0\), и бюджетное ограничение является жестким: \(a_{0}{{\left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right) + \frac{w_{0} - c_{0}}{1 + n_{1}} + \frac{w_{1} - c_{1}}{1 + r_{1}}} = 0.}\) Кроме того, \(\lambda_{0}\neq 0\), ведь если бы это было не так, то и \(\lambda_{1}\) был бы нулевым, что противоречит рассуждениям выше. Следовательно, без ограничения общности можно положить \(\lambda_{0} = 1\). Итак, система необходимых условий оптимума потребителя принимает вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\mathit{MU}_{0} = \frac{\lambda_{1}}{1 + n_{1}}},} \\ {{\mathit{MU}_{1} = \frac{\lambda_{1}}{1 + r_{1}}},} \\ {a_{0}{{\left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right) + \frac{w_{0} - c_{0}}{1 + n_{1}} + \frac{w_{1} - c_{1}}{1 + r_{1}}} = 0.}} \\ \end{matrix} \right.\)
Делением первого равенства данной системы на второе получаем обобщенное эквимаржинальное условие оптимальности межвременного потребительского выбора, в котором темп роста финансовых средств кореектируется на темп роста численности домашнего хозяйства:
\({\frac{\mathit{MU}_{0}}{\mathit{MU}_{1}} = \frac{1 + r_{1}}{1 + n_{1}}}.\)
Пример 2.
В развитие задачи, разобранной в примере 1, предположим, что темп прироста численности домохозяйства равен 0,01. Пусть, кроме того, в первоначальный момент (при t=0) домашнее хозяйство располагает активами в размере 500 (ден.ед.) в расчете на одного индивидуума. Все остальные условия примера 1 остаются неизменными.
Выпишем функцию Лагранжа:
\({L = \lambda_{0}}2{\sqrt[4]{c_{0}} + \frac{\lambda_{0}\sqrt[4]{c_{1}}}{0,51} - \lambda_{1}}\left( {\frac{c_{0}}{1,01} + \frac{c_{1}}{1,06} - \frac{572,15}{1,0706}} \right).\)
Условия динамической оптимизации в данной задаче будут иметь вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial L}{\partial c_{0}} = {\frac{\lambda_{0}}{2c_{0}^{\frac{3}{4}}} - \frac{\lambda_{1}}{1,01}} = 0};} \\ {{\frac{\partial L}{\partial c_{1}} = {\frac{\lambda_{0}}{2,04c_{1}^{\frac{3}{4}}} - \frac{\lambda_{1}}{1,06}} = 0};} \\ {\lambda_{1}{\left( {\frac{c_{0}}{1,01} + \frac{c_{1}}{1,06} - \frac{572,15}{1,0706}} \right) = 0},\lambda_{1}\geq 0,{\frac{c_{0}}{1,01} + \frac{c_{1}}{1,06}}\leq\frac{572,15}{1,0706}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Пусть \(\lambda_{1} = 0\), тогда в соответствии с каждым из первых двух условий оптимальности \(\lambda_{0} = 0\), чего не может быть, поскольку вектор множителей Лагранжа \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1}} \right)\) должен быть ненулевым. Следовательно, по условию дополняющей нежесткости бюджетное ограничение является активным: \(1,06{c_{0} + 1,01}{c_{1} = 572,15.}\)
Заметим, что, если \(\lambda_{0} = 0\), то и \(\lambda_{1} = 0\), чего не может быть, поскольку вектор множителей Лагранжа \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1}} \right)\) не может быть нулевым. Следовательно, без ограничения общности можно положить \(\lambda_{0} = 1\), и условия оптимальности можно переписать так:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{1}{2c_{0}^{\frac{3}{4}}} = \frac{\lambda_{1}}{1,01}};} \\ {{\frac{1}{2,04c_{1}^{\frac{3}{4}}} = \frac{\lambda_{1}}{1,06}};} \\ {\lambda_{1}{\left( {\frac{c_{0}}{1,01} + \frac{c_{1}}{1,06} - \frac{572,15}{1,0706}} \right) = 0},\lambda_{1}\geq 0,{\frac{c_{0}}{1,01} + \frac{c_{1}}{1,06}}\leq\frac{572,15}{1,0706}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Рассчитаем оптимальное распределение потребления во времени. Поделив первое условие оптимальности на второе, получаем эквимаржинальный принцип:
\({\left( \frac{c_{1}}{c_{0}} \right)^{\frac{3}{4}} = \frac{106}{103,02} = \frac{53}{51,51}};\)
т.е. зависимость будущего потребления от первоначального такова: \({c_{1} = \left( \frac{53}{51,51} \right)^{\frac{4}{3}}}c_{0}\).
Объединяя полученное соотношение с бюджетным ограничением, находим объем потребления в первоначальный период: \({c_{0} = \frac{572,15}{{1,06 + 1,01}\left( \frac{53}{51,51} \right)^{\frac{4}{3}}}}\approx 271,272\) и в последующий момент времени: \(c_{1}\approx 281,784\).
Для того, чтобы вывести функцию предложения сбережений для начального момента времени, оставим ставки процента переменными величинами в функции Лагранжа:
\({L = \lambda_{0}}2{\sqrt[4]{c_{0}} + \frac{\lambda_{0}\sqrt[4]{c_{1}}}{0,51} - \lambda_{1}}\left( {{\frac{c_{0}}{1,01} + \frac{c_{1}}{1 + r_{1}} - \frac{500}{1,01}}{\left( {1 + r_{0}} \right) - \frac{5}{1,01} - \frac{5}{1 + r_{1}}}} \right).\)
Необходимые условия экстремума имеют вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial L}{\partial c_{0}} = {\frac{\lambda_{0}}{2c_{0}^{\frac{3}{4}}} - \frac{\lambda_{1}}{1,01}} = 0};} \\ {{\frac{\partial L}{\partial c_{1}} = {\frac{\lambda_{0}}{2,04c_{1}^{\frac{3}{4}}} - \frac{\lambda_{1}}{1 + r_{1}}} = 0};} \\ {\lambda_{1}{\left( {{\frac{c_{0}}{1,01} + \frac{c_{1}}{1 + r_{1}} - \frac{500}{1,01}}{\left( {1 + r_{0}} \right) - \frac{5}{1,01} - \frac{5}{1 + r_{1}}}} \right) = 0},} \\ {\lambda_{1}\geq 0,{\frac{c_{0}}{1,01} + \frac{c_{1}}{1 + r_{1}}}\leq\frac{500}{1,01}{\left( {1 + r_{0}} \right) + \frac{5}{1,01} + \frac{5}{1 + r_{1}}}.} \\ \end{matrix} \right.\)
По доказанному выше, \(\lambda_{0}\neq 0\) и \(\lambda_{1}\neq 0\), следовательно, бюджетное ограничение является жестким: \(\left( {1 + r_{1}} \right){c_{0} + 1,01}{c_{1} = 500}\left( {1 + r_{0}} \right){\left( {1 + r_{1}} \right) + 5}{\left( {1 + r_{1}} \right) + 5,05}\), а \(\lambda_{0}\) можно положить равным единице. Поделив первое условие оптимальности на второе, избавляемся от множителя Лагранжа \(\lambda_{1}\) и получаем систему:
\(\left\{ \begin{matrix} {{c_{1} = \left( \frac{1 + r_{1}}{1,0302} \right)^{\frac{4}{3}}}c_{0};} \\ {\left( {1 + r_{1}} \right){c_{0} + 1,01}{c_{1} = 500}\left( {1 + r_{0}} \right){\left( {1 + r_{1}} \right) + 5}{\left( {1 + r_{1}} \right) + 5,05.}} \\ \end{matrix} \right.\)
Таким образом, функция потребительского спроса в первоначальный момент времени будет иметь вид:
\(c_{0}{\left( {r_{0},r_{1}} \right) = \frac{500\left( {1 + r_{0}} \right){\left( {1 + r_{1}} \right) + 5}{\left( {1 + r_{1}} \right) + 5,05}}{1 + r_{1} + {1,01\left( \frac{1 + r_{1}}{1,0302} \right)}^{4/3}} = \frac{5\left( {{101 + 100}{r_{0} + \frac{1,01}{1 + r_{1}}}} \right)1,0302^{4/3}}{1,01{\sqrt[3]{1 + r_{1}} + 1,0302^{4/3}}}}.\)
Очевидно, что потребительские расходы в первоначальный период представляют собой убывающую зависимость от ставки процента первого периода. При этом зависимость от ставки процента нулевого периода – возрастающая: здесь работает эффект богатства.
Для того, чтобы вывести функцию предложения сбережений, в уравнении динамики активов (4.1) перейдем к удельным величинам
\(a_{1}{\left( {1 + n_{1}} \right) = a_{0}}{\left( {1 + r_{0}} \right) + w_{0} - c_{0}},\)
или
\({a_{1} = \left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right)}{a_{0} + \frac{w_{0} - c_{0}}{1 + n_{1}}},\)
и рассчитаем приращение активов каждого члена домашнего хозяйства
\({{a_{1} - a_{0}} = \left( \frac{r_{0} - n_{1}}{1 + n_{1}} \right)}{a_{0} + \frac{w_{0} - c_{0}}{1 + n_{1}}}.\)
Сбережения как прирост индивидуальный активов – это возрастающая функция процентных ставок \(r_{0}\) и \(r_{1}\):
\(s_{0}{\left( {r_{0},r_{1}} \right) = \frac{\left( {r_{0} - n_{1}} \right){a_{0} + w_{0} - c_{0}}\left( {r_{0},r_{1}} \right)}{1 + n_{1}} = {\frac{500r_{0}}{1,01} - \frac{5\left( {100 + \frac{100r_{0}}{1,01} + \frac{1}{1 + r_{1}}} \right)1,0302^{4/3}}{1,01{\sqrt[3]{1 + r_{1}} + 1,0302^{4/3}}}}}.\)
Рассмотрим теперь обобщение модели межвременного потребительского выбора в дискретном времени при наличии активов в распоряжении домашнего хозяйства на бесконечный горизонт принятия экономических решений.
Аналогично двухпериодовой модели балансовое соотношение, описывающего динамику активов домашнего хозяйства, имеет вид:
\({A_{t + 1} = {A_{t} + I_{t} + R_{t} - C_{t}}},\)
где \(A_{t + 1}\) и \(A_{t}\) – объем активов на начало периодов соответственно \(t + 1\) и \(t\), \(C_{t}\equiv c_{t}L_{t}\) – величина потребления, а \(I_{t}\equiv w_{t}L_{t}\) и \(R_{t}\equiv r_{t}A_{t}\) – соответственно трудовой и рентный доходы на протяжении периода \(t\). Здесь \(w_{t}\) и \(r_{t}\) – ставки соответственно заработной и арендной платы (при совершенном рынке капитала значение последней приближается к величине ставки процента), \(c_{t}\) – потребление в расчете на одного члена домохозяйства, \(L_{t}\) – величина использованных трудовых ресурсов в период \(t\).
Распишем с учетом этих обозначений балансовое соотношение для активов текущего и будущего периодов:
\({A_{t + 1} = A_{t}}{\left( {1 + r_{t}} \right) + \left( {w_{t} - c_{t}} \right)}L_{t}.\)
Проводя очевидные преобразования:
\(\frac{A_{t + 1}}{L_{t + 1}}{\frac{L_{t + 1}}{L_{t}} - \frac{A_{t + 1}}{L_{t + 1}}}{\frac{L_{t}}{L_{t}} = \frac{A_{t}}{L_{t}}}{\left( {1 + r_{t}} \right) - \frac{A_{t + 1}}{L_{t + 1}} + w_{t} - c_{t}},\)
переходим к удельным величинам:
\(a_{t + 1}{\frac{L_{t + 1} - L_{t}}{L_{t}} = a_{t + 1}}{n_{t + 1} = a_{t}}{\left( {1 + r_{t}} \right) - a_{t + 1} + w_{t} - c_{t}}.\)
Здесь \(n_{t + 1} = \frac{L_{t + 1} - L_{t}}{L_{t}}\) – это темп прироста численности домохозяйства в момент \(t + 1\), \(a_{t} = \frac{A_{t}}{L_{t}}\) – индивидуальные активы каждого члена домашнего хозяйства в момент \(t\).
Таким образом, разностное уравнение, характеризующее динамику активов каждого члена домашнего хозяйства, имеет следующий вид:
\(a_{t + 1}{\left( {1 + n_{t + 1}} \right) = a_{t}}{\left( {1 + r_{t}} \right) + w_{t} - c_{t}},\)
или
\({a_{t + 1} - a_{t}}{\left( \frac{1 + r_{t}}{1 + n_{t + 1}} \right) = \frac{w_{t} - c_{t}}{1 + n_{t + 1}}},{t = 0,1},\ldots(4.2)\)
Для решения данного неоднородного уравнения требуется сначала рассмотреть соответствующее однородное разностное уравнение:
\({a_{t + 1} = a_{t}}\left( \frac{1 + r_{t}}{1 + n_{t + 1}} \right).\)
Применяя итеративную процедуру:
\({a_{1} = a_{0}}\left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right),{a_{2} = a_{1}}{\left( \frac{1 + r_{1}}{1 + n_{2}} \right) = a_{0}}\left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right)\left( \frac{1 + r_{1}}{1 + n_{2}} \right),{a_{3} = a_{2}}{\left( \frac{1 + r_{2}}{1 + n_{3}} \right) = a_{0}}\left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right)\left( \frac{1 + r_{1}}{1 + n_{2}} \right)\left( \frac{1 + r_{2}}{1 + n_{3}} \right)\ldots\)
и предполагая известной величину располагаемых активов домашнего хозяйства в расчете на одного индивидуума в первоначальный момент (при t=0), приходим к общему решению анализируемого однородного уравнения:
\({a_{t + 1} = a_{0}}{\prod\limits_{\tau = 0}^{t}\left( \frac{1 + r_{\tau}}{1 + n_{\tau + 1}} \right)},{t = 0,1},\ldots\)
Применяем метод вариации постоянной
\({a_{t + 1} = k_{t + 1}}{\prod\limits_{\tau = 0}^{t}\left( \frac{1 + r_{\tau}}{1 + n_{\tau + 1}} \right)}\)
и подставляем полученное общее решение однородного уравнения в исходное неоднородное уравнение:
\(k_{t + 1}{{\prod\limits_{\tau = 0}^{t}\left( \frac{1 + r_{\tau}}{1 + n_{\tau + 1}} \right)} - k_{t}}{{\prod\limits_{\tau = 0}^{t}\left( \frac{1 + r_{\tau}}{1 + n_{\tau + 1}} \right)} = \frac{w_{t} - c_{t}}{1 + n_{t + 1}}},\)
или
\({{k_{t + 1} - k_{t}} = \left( \frac{w_{t} - c_{t}}{1 + n_{t + 1}} \right)}{\prod\limits_{\tau = 0}^{t}\left( \frac{1 + n_{\tau + 1}}{1 + r_{\tau}} \right)}.\)
Решая данное разностное уравнение относительно варьируемого множителя
\({k_{t} = {{\sum\limits_{\tau = 0}^{t - 1}{\left( \frac{w_{\tau} - c_{\tau}}{1 + n_{\tau + 1}} \right){\prod\limits_{\zeta = 0}^{\tau}\left( \frac{1 + n_{\zeta + 1}}{1 + r_{\zeta}} \right)}}} + k_{0}}},{t = 1,2},\ldots,\)
приходим к следующему решению неоднородного уравнения, характеризующего динамику активов каждого члена домашнего хозяйства:
\({a_{t} = k_{0}}{{\prod\limits_{\tau = 0}^{t - 1}\left( \frac{1 + r_{\tau}}{1 + n_{\tau + 1}} \right)} + {\prod\limits_{\tau = 0}^{t - 1}\left( \frac{1 + r_{\tau}}{1 + n_{\tau + 1}} \right)}}{\sum\limits_{\tau = 0}^{t - 1}{\left( \frac{w_{\tau} - c_{\tau}}{1 + n_{\tau + 1}} \right){\prod\limits_{\zeta = 0}^{\tau}\left( \frac{1 + n_{\zeta + 1}}{1 + r_{\zeta}} \right)}}},{t = 1,2},\ldots\)
Используя очевидные соображения:
\({a_{1} = k_{0}}{\left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right) + \left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right)}\left( \frac{w_{0} - c_{0}}{1 + n_{1}} \right){\left( \frac{1 + n_{1}}{1 + r_{0}} \right) = k_{0}}{\left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right) + \frac{w_{0} - c_{0}}{1 + n_{1}}},\)
\({a_{1} = a_{0}}{\left( \frac{1 + r_{0}}{1 + n_{1}} \right) + \frac{w_{0} - c_{0}}{1 + n_{1}}};\)
получаем, что значение константы – это величина удельных активов в исходный момент времени: \({k_{0} = a_{0}}.\)
Таким образом, общее решение исходного неоднородного разностного уравнения динамики индивидуальных активов представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения:
\({a_{t} = a_{0}}{{\prod\limits_{\tau = 0}^{t - 1}\left( \frac{1 + r_{\tau}}{1 + n_{\tau + 1}} \right)} + {\prod\limits_{\tau = 0}^{t - 1}\left( \frac{1 + r_{\tau}}{1 + n_{\tau + 1}} \right)}}{\sum\limits_{\tau = 0}^{t - 1}{\left( \frac{w_{\tau} - c_{\tau}}{1 + n_{\tau + 1}} \right){\prod\limits_{\zeta = 0}^{\tau}\left( \frac{1 + n_{\zeta + 1}}{1 + r_{\zeta}} \right)}}},\)
или
\(a_{t}{{\prod\limits_{\tau = 0}^{t - 1}\left( \frac{1 + n_{\tau + 1}}{1 + r_{\tau}} \right)} = {a_{0} + {\sum\limits_{\tau = 0}^{t - 1}{\left( \frac{w_{\tau} - c_{\tau}}{1 + n_{\tau + 1}} \right){\prod\limits_{\zeta = 0}^{\tau}\left( \frac{1 + n_{\zeta + 1}}{1 + r_{\zeta}} \right)}}}}},\)
\({t = 1,2},\ldots\)
Условие отсутствия так называемой игры Понци, состоящей в финансировании долга за счет новой эмиссии долговых обязательств, утверждает, что в финальный, бесконечно удаленный момент времени стоимость активов домохозяйства не должна быть отрицательной – все долги должны быть выплачены:
\({{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{a_{t}{\prod\limits_{\tau = 0}^{t - 1}\left( \frac{1 + n_{\tau + 1}}{1 + r_{\tau}} \right)}}} = {a_{0} + {\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\sum\limits_{\tau = 0}^{t - 1}{\left( \frac{w_{\tau} - c_{\tau}}{1 + n_{\tau + 1}} \right){\prod\limits_{\zeta = 0}^{\tau}\left( \frac{1 + n_{\zeta + 1}}{1 + r_{\zeta}} \right)}}}}} = {a_{0} + {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}{\left( \frac{w_{t} - c_{t}}{1 + n_{t + 1}} \right){\prod\limits_{\tau = 0}^{t}\left( \frac{1 + n_{\tau + 1}}{1 + r_{\tau}} \right)}}}}}\geq 0.\)
Предполагается, что бесконечно долго живущее домашнее хозяйство состоит из L индивидуумов, максимизирующих с учетом выведенного выше бюджетного ограничения совокупную полезность:
\({U = {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}\frac{u_{t}}{\left( {1 + \rho} \right)^{t}}}},\)
где \(u_{t}\) – полезность в каждый, данный момент времени, \(\rho\) – норма межвременных предпочтений.
Решая данную задачу динамического программирования, выписываем функцию Лагранжа:
\({L = \lambda_{0}}{{\sum\limits_{t = 0}^{\infty}\left( {{\frac{u_{t}}{\left( {1 + \rho} \right)^{t}} + \lambda_{1}}\left( \frac{w_{t} - c_{t}}{1 + n_{t + 1}} \right){\prod\limits_{\tau = 0}^{t}\left( \frac{1 + n_{\tau + 1}}{1 + r_{\tau}} \right)}} \right)} + \lambda_{1}}a_{0}.\)
Условия динамической оптимизации в данной задаче будут иметь вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial L}{\partial c_{t}} = \lambda_{0}}{\mathit{MU}_{t} - \frac{\lambda_{1}}{\left( {1 + n_{t + 1}} \right)}}{{\prod\limits_{\tau = 0}^{t}\left( \frac{1 + n_{\tau + 1}}{1 + r_{\tau}} \right)} = 0},{t = 0,1},\ldots} \\ {\lambda_{1}{\left( {a_{0} + {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}{\left( \frac{w_{t} - c_{t}}{1 + n_{t + 1}} \right){\prod\limits_{\tau = 0}^{t}\left( \frac{1 + n_{\tau + 1}}{1 + r_{\tau}} \right)}}}} \right) = 0},\lambda_{1}\geq 0,} \\ {{a_{0} + {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}{\left( \frac{w_{t} - c_{t}}{1 + n_{t + 1}} \right){\prod\limits_{\tau = 0}^{t}\left( \frac{1 + n_{\tau + 1}}{1 + r_{\tau}} \right)}}}}\geq 0.} \\ \end{matrix} \right.\)
Пусть \(\lambda_{1} = 0\), тогда в соответствии с первым условием оптимальности в силу ненасыщаемости потребления \(\left( {\mathit{MU}_{t} \gt 0} \right)\) \(\lambda_{0} = 0\), чего не может быть, поскольку вектор множителей Лагранжа \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1}} \right)\) должен быть ненулевым. Следовательно, по условию дополняющей нежесткости бюджетное ограничение является активным:
\({{a_{0} + {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}{\left( \frac{w_{t} - c_{t}}{1 + n_{t + 1}} \right){\prod\limits_{\tau = 0}^{t}\left( \frac{1 + n_{\tau + 1}}{1 + r_{\tau}} \right)}}}} = 0}.\)
Заметим, что, если \(\lambda_{0} = 0\), то и \(\lambda_{1} = 0\), а это, как было доказано выше, не соответствует действительности. Следовательно, без ограничения общности можно положить \(\lambda_{0} = 1\), и условия оптимальности можно переписать так:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\mathit{MU}_{t} = \frac{\lambda_{1}}{\left( {1 + n_{t + 1}} \right)}}{\prod\limits_{\tau = 0}^{t}\left( \frac{1 + n_{\tau + 1}}{1 + r_{\tau}} \right)},{t = 0,1},\ldots} \\ {{{a_{0} + {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}{\left( \frac{w_{t} - c_{t}}{1 + n_{t + 1}} \right){\prod\limits_{\tau = 0}^{t}\left( \frac{1 + n_{\tau + 1}}{1 + r_{\tau}} \right)}}}} = 0}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Очевидно, что
\({\mathit{MU}_{t + 1} = \frac{\lambda_{1}}{\left( {1 + n_{t + 2}} \right)}}{\prod\limits_{\tau = 0}^{t + 1}\left( \frac{1 + n_{\tau + 1}}{1 + r_{\tau}} \right)},{t = 0,1},\ldots,\)
а значит, эквимаржинальный принцип, который вместе с бюджетным ограничением определяет оптимальную траекторию динамики потребления, можно записать в следующем виде:
\({\frac{\mathit{MU}_{t}}{\mathit{MU}_{t + 1}} = \frac{1 + r_{t + 1}}{1 + n_{t + 1}}},{t = 0,1},\ldots\)
Предполагая, что «мгновенная» полезность представлена функцией с постоянным относительным неприятием риска (v) \(u_{t} = \frac{c_{t}^{1 - \theta} - 1}{1 - \theta}\), а значит, предельная полезность имеет вид \(\mathit{MU}_{t} = \frac{1}{c_{t}^{\theta}\left( {1 + \rho} \right)^{t}}\), рассчитаем оптимальное распределение потребления во времени. Эквимаржинальный принцип задает цепочку равенств:
\({\frac{\mathit{MU}_{t}}{\mathit{MU}_{t + 1}} = \frac{c_{t + 1}^{\theta}\left( {1 + \rho} \right)^{t + 1}}{c_{t}^{\theta}\left( {1 + \rho} \right)^{t}} = \left( {1 + \rho} \right)}{\left( \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} \right)^{\theta} = \frac{1 + r_{t + 1}}{1 + n_{t + 1}}},{t = 0,1},\ldots;\)
откуда соотношение между величинами потребления в любые два соседних момента времени будет следующим:
\({c_{t + 1} = \left( \frac{1 + r_{t + 1}}{\left( {1 + n_{t + 1}} \right)\left( {1 + \rho} \right)} \right)^{\frac{1}{\theta}}}c_{t},{t = 0,1},\ldots\)
Используя итеративную процедуру:
\({c_{1} = \left( \frac{1 + r_{1}}{\left( {1 + n_{1}} \right)\left( {1 + \rho} \right)} \right)^{\frac{1}{\theta}}}c_{0},\)
\({c_{2} = \left( \frac{1 + r_{2}}{\left( {1 + n_{2}} \right)\left( {1 + \rho} \right)} \right)^{\frac{1}{\theta}}}{c_{1} = \left( \frac{1 + r_{1}}{\left( {1 + n_{1}} \right)\left( {1 + \rho} \right)} \right)^{\frac{1}{\theta}}}\left( \frac{1 + r_{2}}{\left( {1 + n_{2}} \right)\left( {1 + \rho} \right)} \right)^{\frac{1}{\theta}}c_{0}\)
\(\ldots\)
получаем зависимость потребления в момент \(t\) от первоначального –
\({c_{t} = \frac{c_{0}}{\left( {1 + \rho} \right)^{\frac{t}{\theta}}}}{\prod\limits_{\tau = 1}^{t}\left( \frac{1 + r_{\tau}}{1 + n_{\tau}} \right)^{\frac{1}{\theta}}},{t = 1,2},\ldots\)
Объединяя полученное соотношение с бюджетным ограничением
\({{a_{0} + \frac{w_{0} - c_{0}}{1 + r_{0}} + {\sum\limits_{t = 1}^{\infty}{\left( {{\frac{w_{t}}{1 + n_{t + 1}} - \frac{c_{0}}{\left( {1 + n_{t + 1}} \right)\left( {1 + \rho} \right)^{\frac{t}{\theta}}}}{\prod\limits_{\tau = 1}^{t}\left( \frac{1 + r_{\tau}}{1 + n_{\tau}} \right)^{\frac{1}{\theta}}}} \right){\prod\limits_{\tau = 0}^{t}\left( \frac{1 + n_{\tau + 1}}{1 + r_{\tau}} \right)}}}} = 0},\)
или
\(a_{0}{{\left( {1 + r_{0}} \right) + w_{0} + {\sum\limits_{t = 1}^{\infty}{w_{t}{\prod\limits_{\tau = 1}^{t}\left( \frac{1 + n_{\tau}}{1 + r_{\tau}} \right)}}}} = c_{0}}\left( {1 + {\sum\limits_{t = 1}^{\infty}{\left( {1 + \rho} \right)^{\frac{- t}{\theta}}{\prod\limits_{\tau = 1}^{t}\left( \frac{1 + r_{\tau}}{1 + n_{\tau}} \right)^{\frac{1 - \theta}{\theta}}}}}} \right).\)
находим объем потребления в первоначальный период:
\({c_{0} = \frac{a_{0}{\left( {1 + r_{0}} \right) + w_{0} + {\sum\limits_{t = 1}^{\infty}{w_{t}{\prod\limits_{\tau = 1}^{t}\left( \frac{1 + n_{\tau}}{1 + r_{\tau}} \right)}}}}}{1 + {\sum\limits_{t = 1}^{\infty}{\left( {1 + \rho} \right)^{\frac{- t}{\theta}}{\prod\limits_{\tau = 1}^{t}\left( \frac{1 + r_{\tau}}{1 + n_{\tau}} \right)^{\frac{1 - \theta}{\theta}}}}}}}.\)
а значит, и всю траекторию динамики потребительских расходов:
\({c_{t} = \frac{\left( {a_{0}{\left( {1 + r_{0}} \right) + w_{0} + {\sum\limits_{t = 1}^{\infty}{w_{t}{\prod\limits_{\tau = 1}^{t}\left( \frac{1 + n_{\tau}}{1 + r_{\tau}} \right)}}}}} \right){\prod\limits_{\tau = 1}^{t}\left( \frac{1 + r_{\tau}}{1 + n_{\tau}} \right)^{\frac{1}{\theta}}}}{\left( {1 + \rho} \right)^{\frac{t}{\theta}}\left( {1 + {\sum\limits_{t = 1}^{\infty}{\left( {1 + \rho} \right)^{\frac{- t}{\theta}}{\prod\limits_{\tau = 1}^{t}\left( \frac{1 + r_{\tau}}{1 + n_{\tau}} \right)^{\frac{1 - \theta}{\theta}}}}}} \right)}},{t = 1,2},\ldots(4.3)\)
Пример 3.
В развитие задачи, разобранной в примере 2, предположим, что полезность домашнего хозяйства, предполагающего существовать бесконечно долго, в каждый, данный момент времени задана функцией \({u_{t} = 2}\sqrt[4]{c_{t}}\). Норма межвременных предпочтений равна 0,02. Банковская ставка не меняется с течением времени и составляет 0,06. Заработная плата индивидуума составляет 5 (ден.ед.) в каждый момент времени. Темп прироста численности домохозяйства равен 0,01. В первоначальный момент (при t=0) домашнее хозяйство располагает активами в размере 500 (ден.ед.) в расчете на одного индивидуума. Все остальные условия примера 3 остаются неизменными.
Поскольку \(n_{t} = n = \mathit{const}\), \(r_{t} = r = \mathit{const}\), постольку разностное уравнение (4.2), характеризующее динамику удельных активов упрощается:
\({a_{t + 1} - a_{t}}{\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right) = \frac{w_{t} - c_{t}}{1 + n}},{t = 0,1},\ldots\)
Решим данное уравнение, следуя той же логике, что и выше, при анализе более общего случая переменных величин ставки процента и темпа прироста численности домашнего хозяйства.
Решая соответствующее однородное уравнение \({a_{t + 1} = a_{t}}\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right),\) получаем итеративную цепочку соотношений между величиной удельных активов каждого из двух соседних периодов:
\({a_{1} = a_{0}}\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right),\)
\({a_{2} = a_{1}}{\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right) = a_{0}}\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right)^{2},\)
\({a_{3} = a_{2}}{\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right) = a_{0}}\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right)^{3},\)
\(\ldots\)
\({a_{t} = a_{t - 1}}{\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right) = a_{0}}\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right)^{t},{t = 1,2},\ldots\)
Варьируя постоянную \({a_{t} = k_{t}}\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right)^{t},\) подставляем общее решение однородного уравнения в исходное неоднородное уравнение:
\(k_{t + 1}{\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right)^{t + 1} - k_{t}}{\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right)^{t + 1} = \frac{w_{t} - c_{t}}{1 + n}},\)
или
\({{k_{t + 1} - k_{t}} = \left( {w_{t} - c_{t}} \right)}\frac{\left( {1 + n} \right)^{t}}{\left( {1 + r} \right)^{t + 1}},{t = 0,1},\ldots\)
Решение данного разностного уравнения относительно варьируемого множителя будет таким:
\({k_{t} = {{\sum\limits_{\tau = 0}^{t - 1}{\left( {w_{\tau} - c_{\tau}} \right)\frac{\left( {1 + n} \right)^{\tau}}{\left( {1 + r} \right)^{\tau + 1}}}} + k_{0}}},{t = 1,2},\ldots\)
Итак, получаем общее решение исходного неоднородного разностного уравнения как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого частного решения данного неоднородного уравнения:
\({a_{t} = k_{0}}{\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right)^{t} + \left( \frac{1 + r}{1 + n} \right)^{t}}{\sum\limits_{\tau = 0}^{t - 1}{\left( {w_{\tau} - c_{\tau}} \right)\frac{\left( {1 + n} \right)^{\tau}}{\left( {1 + r} \right)^{\tau + 1}}}},{t = 1,2},\ldots\)
Константу \(k_{0} = a_{0}\) находим, приравняв выражения \(a_{1}\), полученные из исходного неоднородного уравнения и из его решения:
\(a_{0}{{\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right) + \frac{w_{0} - c_{0}}{1 + n}} = a_{1} = k_{0}}{\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right) + \left( \frac{1 + r}{1 + n} \right)}{\frac{\left( {w_{0} - c_{0}} \right)}{\left( {1 + r} \right)} = k_{0}}{\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right) + \frac{w_{0} - c_{0}}{1 + n}}.\)
Следовательно, общее решение нашего неоднородного разностного уравнения имеет вид:
\({a_{t} = a_{0}}{\left( \frac{1 + r}{1 + n} \right)^{t} + \left( \frac{1 + r}{1 + n} \right)^{t}}{\sum\limits_{\tau = 0}^{t - 1}{\left( {w_{\tau} - c_{\tau}} \right)\frac{\left( {1 + n} \right)^{\tau}}{\left( {1 + r} \right)^{\tau + 1}}}},\mathit{или}\)
\(a_{t}{\left( \frac{1 + n}{1 + r} \right)^{t} = {a_{0} + {\sum\limits_{\tau = 0}^{t - 1}{\left( {w_{\tau} - c_{\tau}} \right)\frac{\left( {1 + n} \right)^{\tau}}{\left( {1 + r} \right)^{\tau + 1}}}}}},{t = 1,2},\ldots\)
Используя условие отсутствие игры Понци, получаем динамическое бюджетное ограничение потребителя:
\({{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{a_{t}\left( \frac{1 + n}{1 + r} \right)^{t}}} = {a_{0} + {\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\sum\limits_{\tau = 0}^{t - 1}{\left( {w_{\tau} - c_{\tau}} \right)\frac{\left( {1 + n} \right)^{\tau}}{\left( {1 + r} \right)^{\tau + 1}}}}}} = {a_{0} + {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}{\left( {w_{t} - c_{t}} \right)\frac{\left( {1 + n} \right)^{t}}{\left( {1 + r} \right)^{t + 1}}}}}}\geq 0.\)
Лагранжиан для рассматриваемой задачи межвременного потребительского выбора будет выглядеть так:
\({L = \lambda_{0}}{{\sum\limits_{t = 0}^{\infty}\left( {{\frac{u_{t}}{\left( {1 + \rho} \right)^{t}} + \lambda_{1}}\left( {w_{t} - c_{t}} \right)\frac{\left( {1 + n} \right)^{t}}{\left( {1 + r} \right)^{t + 1}}} \right)} + \lambda_{1}}a_{0}.\)
Система необходимых условий оптимальной траектории изменения потребительских расходов будет иметь вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial L}{\partial c_{t}} = \lambda_{0}}{\mathit{MU}_{t} - \lambda_{1}}{\frac{\left( {1 + n} \right)^{t}}{\left( {1 + r} \right)^{t + 1}} = 0},{t = 0,1},\ldots} \\ {\lambda_{1}{\left( {a_{0} + {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}{\left( {w_{t} - c_{t}} \right)\frac{\left( {1 + n} \right)^{t}}{\left( {1 + r} \right)^{t + 1}}}}} \right) = 0},\lambda_{1}\geq 0,} \\ {{a_{0} + {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}{\left( {w_{t} - c_{t}} \right)\frac{\left( {1 + n} \right)^{t}}{\left( {1 + r} \right)^{t + 1}}}}}\geq 0.} \\ \end{matrix} \right.\)
Рассуждая так же, как и ранее, можно доказать, что при ненасыщаемости потребления бюджетное ограничение является жестким:
\({{a_{0} + {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}{\left( {w_{t} - c_{t}} \right)\frac{\left( {1 + n} \right)^{t}}{\left( {1 + r} \right)^{t + 1}}}}} = 0}.\)
Аналогично тому, как это было проделано выше, можно доказать, что без ограничения общности множитель Лагранжа \(\lambda_{0}\) можно положить равным единице:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\mathit{MU}_{t} = \lambda_{1}}\frac{\left( {1 + n} \right)^{t}}{\left( {1 + r} \right)^{t + 1}},{t = 0,1},\ldots} \\ {{{a_{0} + {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}{\left( {w_{t} - c_{t}} \right)\frac{\left( {1 + n} \right)^{t}}{\left( {1 + r} \right)^{t + 1}}}}} = 0}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Очевидно, что \({\mathit{MU}_{t + 1} = \lambda_{1}}\frac{\left( {1 + n} \right)^{t + 1}}{\left( {1 + r} \right)^{t + 2}},{t = 0,1},\ldots\); а значит, с учетом выражения предельной полезности \(\mathit{MU}_{t} = \frac{1}{2c_{t}^{\frac{3}{4}}\left( {1 + \rho} \right)^{t}}\) приходим к следующему эквимаржинальному условию:
\({\frac{\mathit{MU}_{t}}{\mathit{MU}_{t + 1}} = \left( \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} \right)^{\frac{3}{4}}}{\left( {1 + \rho} \right) = \frac{1 + r}{1 + n}},\)
которое задает соотношение между соседними по времени величинами потребления:
\({c_{t + 1} = \left( \frac{1 + r}{\left( {1 + n} \right)\left( {1 + \rho} \right)} \right)^{\frac{4}{3}}}c_{t},{t = 0,1},\ldots\)
Расписывая данную цепочку соотношений:
\({c_{1} = \left( \frac{1 + r}{\left( {1 + n} \right)\left( {1 + \rho} \right)} \right)^{\frac{4}{3}}}c_{0},\)
\({c_{2} = \left( \frac{1 + r}{\left( {1 + n} \right)\left( {1 + \rho} \right)} \right)^{\frac{4}{3}}}{c_{1} = \left( \frac{1 + r}{\left( {1 + n} \right)\left( {1 + \rho} \right)} \right)^{\frac{8}{3}}}c_{0},\ldots\)
приходим к зависимости потребления в момент \(t\) от первоначального –
\({c_{t} = \left( \frac{1 + r}{\left( {1 + n} \right)\left( {1 + \rho} \right)} \right)^{\frac{4}{3}t}}c_{0},{t = 0,1},\ldots\)
Объединяя полученное соотношение с бюджетным ограничением
\({{a_{0} + {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}{\left( {{w_{t} - \left( \frac{1 + r}{\left( {1 + n} \right)\left( {1 + \rho} \right)} \right)^{\frac{4}{3}t}}c_{0}} \right)\frac{\left( {1 + n} \right)^{t}}{\left( {1 + r} \right)^{t + 1}}}}} = 0},\)
или
\({{a_{0} + {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}{w_{t}\frac{\left( {1 + n} \right)^{t}}{\left( {1 + r} \right)^{t + 1}}}}} = \frac{c_{0}}{\left( {1 + r} \right)}}{\sum\limits_{t = 0}^{\infty}\left( \frac{1 + r}{\left( {1 + n} \right)\left( {1 + \rho} \right)^{4}} \right)^{\frac{t}{3}}},\)
находим объем потребления в первоначальный период3:
\({c_{0} = \frac{a_{0}{\left( {1 + r} \right) + {\sum\limits_{t = 0}^{\infty}{w_{t}\left( \frac{1 + n}{1 + r} \right)^{t}}}}}{\sum\limits_{t = 0}^{\infty}\left( \frac{1 + r}{\left( {1 + n} \right)\left( {1 + \rho} \right)^{4}} \right)^{\frac{t}{3}}} = \frac{\left( {1 + r} \right)\left( {\sqrt[3]{\left( {1 + n} \right)\left( {1 + \rho} \right)^{4}} - \sqrt[3]{1 + r}} \right)\left( {a_{0}{\left( {r - n} \right) + w}} \right)}{\left( {r - n} \right)\sqrt[3]{\left( {1 + n} \right)\left( {1 + \rho} \right)^{4}}}}\approx\frac{636\bullet\left( {1,030166336 - 1,019612822} \right)}{1,030166336}\approx 6,51,\)
а значит, и всю траекторию динамики потребительских расходов:
\(c_{t}\approx 6,51\bullet 1,0289^{\frac{4}{3}t}.\)
Функция потребителького спроса как зависимость от ставки процента будет определяться выражением (4.3):
\({c_{t} = \frac{5\left( {{101 + 100}{r_{0} + {\sum\limits_{t = 1}^{\infty}\left( {1,01^{t}\left( {\prod\limits_{\tau = 1}^{t}\left( {1 + r_{\tau}} \right)} \right)^{- 1}} \right)}}} \right){\prod\limits_{\tau = 1}^{t}\left( {1 + r_{\tau}} \right)^{\frac{1}{\theta}}}}{1,0302^{\frac{t}{\theta}}\left( {1 + {\sum\limits_{t = 1}^{\infty}\left( {1,01^{t}\bullet 1,0302^{\frac{- t}{\theta}}{\prod\limits_{\tau = 1}^{t}\left( {1 + r_{\tau}} \right)^{\frac{1 - \theta}{\theta}}}} \right)}} \right)}}.\)
Fisher I. The rate of interest. – New York; London: Garland, 1982.↩︎
Мы предолагаем, как и прежде, что горизонт принятия решений домашним хозяйством составляет два периода с номерами 0 и 1.↩︎
Здесь мы суммируем бесконечно убывающие геометрические прогрессии по формуле: \(S = \frac{b_{1}}{1 - q}\).↩︎