Соотношения двойственности между задачами связанной максимизации выпуска (2.73) и минимизации издержек (2.78) при условии равенства соответствующих технологий производства и цен на ресурсы аналогичны тем, которые были сформулированы для аналогичных задач в теории потребления. Если рассчитать, используя решение \((K^{},L^{})\), оптимальный объем производства \(Q\) в задаче (2.73) и рассматривать его в качестве ограничения \(\overline{Q}\), то решение задачи (2.78) \((K^{},L^{})\) совпадет с ответом в (2.73). Другими словами, если \(\underset{K,L}{\mathit{\min}}{{Q(K^{},L^{})} = \overline{Q}}\) при условии \(p_{K}{K + p_{L}}L\leq\overline{\mathit{TC}}\), \(K\geq 0\), \(L\geq 0\), то \(\underset{K,L}{\mathit{\min}}{\left( {p_{K}{K^{} + p_{L}}L^{}} \right) = \overline{\mathit{TC}}}\) при выполнении ограничения: \(Q\left( {K,L} \right)\geq\overline{Q}\), \(K\geq 0\), \(L\geq 0\). Симметричной является и двумерная иллюстрация решения задачи связанной минимизации издержек (рис. 4.4), соответствующая пространственному графику, приведенному на рис. 4.3. Кроме того, симметрия между задачами (2.73) и (2.78) отражается соотношением между соответствующими множителями Лагранжа, о чем еще пойдет речь ниже.
Кроме того, симметрию между задачами связанной максимизации объема производства (2.73) и минимизации его издержек (2.78) отражает экономический смысл соответствующих множителей Лагранжа. Множители Лагранжа в этих задачах представляют собой взаимно обратные величины (2.77) и (2.95).
Очевидно, что максимизация прибыли предполагает минимизацию издержек производства. Поэтому если использовать в качестве ограничения по выпуску в задаче минимизации издержек объем производства, максимизирующий прибыль, то оптимальные затраты факторов для данных оптимизационных задач будут совпадать. Если подставить найденный в (2.134) оптимальный выпуск в функции условного спроса на факторы производства, выведенные на первом этапе двухэтапной постановки, то можно получить оптимальную комбинацию факторов производства. Отметим, что данные значения могут быть получены также с помощью леммы Шепарда дифференцированием функции издержек по ценам факторов производства при оптимальной величине выпуска продукции. Полученные таким образом оптимальные объемы использования труда и капитала будут соответствовать оптимальным затратам факторов, полученным в одноэтапной постановке с помощью функций производного спроса на ресурсы.
В свою очередь, получив оптимальные затраты факторов производства из функций производного спроса в одноэтапной постановке, можно подставить их в производственную функцию и получить оптимальный выпуск. Он будет в точности равен выпуску, найденному из соотношения (2.134) на втором этапе двухэтапной постановки. Это является отражением эквивалентности одноэтапной и двухэтапной постановки задачи максимизации прибыли фирмой (рис.3.32).
Таким образом, справедливы следующие тождества условного и производного спроса в точке максимума прибыли:
\(K\left( {p_{K},p_{L},p} \right)\equiv K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)} \right);(3.28)\)
\(L\left( {p_{K},p_{L},p} \right)\equiv L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)} \right);(3.29)\)
\(K\left( {p_{K},p_{L},p\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)} \right)\equiv K\left( {p_{K},p_{L},\mathit{MC}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)} \right)\equiv K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right);(3.30)\)
\(L\left( {p_{K},p_{L},p\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)} \right)\equiv L\left( {p_{K},p_{L},\mathit{MC}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)} \right)\equiv L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right).(3.31)\)
Рисунок 3.32. Двойственность в производстве
С одной стороны, данные тождества условного и производного спроса на факторы позволяют установить эквивалентность между процедурами одноэтапной (2.113), (2.131) и двухэтапной (2.133) максимизации прибыли. С другой стороны, они демонстрируют эквивалентность условий достижения оптимального финансового результата (2.119)-(2.120), (2.81), (2.137) в различных подходах к одноэтапной процедуре поиска максимума прибыли, трактующих ее как задачу условной (2.131) либо безусловной (2.113) оптимизации.
Обратим внимание на то, что при трактовке максимизации прибыли как задачи условной оптимизации (2.131) объем выпускаемой продукции \(Q\) выступает в качестве одного из параметров. Применительно к данной задаче и соответствующему лагранжиану (2.140) теорема об огибающей (xii) свидетельствует о том, что производная прибыли по объему производства равняется разности между ценой продукта и множителя Лагранжа:
\({\frac{\mathit{dPR}}{\mathit{dQ}} = {p - \lambda}}.\)
При этом, используя эквивалентность одноэтапной (2.131) и двухэтапной (2.133) процедуры финансовой оптимизации, а также условие максимума прибыли – равенство нулю ее производной (2.134), можно показать экономический смысл множителя Лагранжа в задаче связанной максимизации прибыли в одноэтапной постановке (2.131) как цены выпускаемой продукции и одновременно предельных издержек производства: \(\lambda = p = \mathit{MC}\). Это позволяет посредством цепочки равенств (2.137) продемонстрировать совпадение условий оптимальности финансового результата фирмы (2.119) и (2.81) установить эквивалентность альтернативных подходов к максимизации прибыли с точки зрения комбинации факторов производства как экстремальной задачи без ограничений (2.113) и при наличии ограничения (2.131).
Тождества условного и производного спроса позволяют показать механизм воздействия изменения цены фактора производства на величину спроса на него. Продифференцировав тождества (3.28)-(3.29) по ценам соответствующих факторов, можно провести декомпозицию прямого общего эффекта цены фактора на прямые эффекты замещения и выпуска:
\({\frac{\partial K\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}} = {\frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{K}} + \frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial Q}}}\bullet\frac{\partial Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}};\)
\({\frac{\partial L\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}} = {\frac{\partial L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{L}} + \frac{\partial L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial Q}}}\bullet\frac{\partial Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}}.\)
Аналогичным образом, дифференцируя тождества производного и условного спроса для капитала (3.28) и труда (3.29) по цене другого фактора – соответственно, труда и капитала, получаем уравнение декомпозиции перекрестного общего эффекта цены фактора на перекрестные эффекты замещения и выпуска:
\({\frac{\partial K\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}} = {\frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{L}} + \frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial Q}}}\bullet\frac{\partial Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}};\)
\({\frac{\partial L\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}} = {\frac{\partial L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{K}} + \frac{\partial L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial Q}}}\bullet\frac{\partial Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}}.\)
Приведем пример декомпозиции общего эффекта цены фактора на прямые эффекты замещения и выпуска для технологии Кобба-Дугласа \({Q = K^{¼}}L^{½}\). Поскольку в данном случае функции производного спроса на капитал и труд имеют вид (2.124), постольку общие прямые эффекты цен факторов будут выглядеть так:
\({\frac{\partial K\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}} = \frac{- p^{4}}{32p_{K}^{3}p_{L}^{2}}},{\frac{\partial L\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}} = \frac{- {3p^{4}}}{32p_{K}p_{L}^{4}}}.\)
Учитывая полученные выше функции условного спроса на факторы (2.88) и предложения (2.126), можно получить выражения прямых эффектов замещения:
\({\frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)} \right)}{\partial p_{K}} = \frac{- {2^{\frac{1}{3}}p_{L}^{\frac{2}{3}}Q^{\frac{4}{3}}}}{3p_{K}^{\frac{5}{3}}} = \frac{- {2^{\frac{1}{3}}p_{L}^{\frac{2}{3}}p^{4}}}{3p_{K}^{\frac{5}{3}}2^{\frac{16}{3}}p_{K}^{\frac{4}{3}}p_{L}^{\frac{8}{3}}} = \frac{- p^{4}}{96p_{K}^{3}p_{L}^{2}}},\)
\({\frac{\partial L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)} \right)}{\partial p_{L}} = \frac{- {2^{\frac{1}{3}}p_{K}^{\frac{1}{3}}Q^{\frac{4}{3}}}}{3p_{L}^{\frac{4}{3}}} = \frac{- {2^{\frac{1}{3}}p_{K}^{\frac{1}{3}}p^{4}}}{3p_{L}^{\frac{4}{3}}2^{\frac{16}{3}}p_{K}^{\frac{4}{3}}p_{L}^{\frac{8}{3}}} = \frac{- p^{4}}{96p_{K}p_{L}^{4}}}.\)
Рассчитав производные условного спроса по объему производства с учетом функции предложения (2.126):
\({\frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial Q} = \frac{4}{3}}\left( \frac{p_{L}}{2p_{K}} \right)^{\frac{2}{3}}{Q^{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3}}\left( \frac{p_{L}}{2p_{K}} \right)^{\frac{2}{3}}{\frac{p}{2^{\frac{4}{3}}p_{K}^{\frac{1}{3}}p_{L}^{\frac{2}{3}}} = \frac{p}{3p_{K}}},\)
\({\frac{\partial L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial Q} = \frac{4}{3}}\left( \frac{2p_{K}}{p_{L}} \right)^{\frac{1}{3}}{Q^{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3}}\left( \frac{2p_{K}}{p_{L}} \right)^{\frac{1}{3}}{\frac{p}{2^{\frac{4}{3}}p_{K}^{\frac{1}{3}}p_{L}^{\frac{2}{3}}} = \frac{2p}{3p_{L}}},\)
а также производные функции предложения по ценам факторов:
\({\frac{\partial Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}} = \frac{- p^{3}}{16p_{K}^{2}p_{L}^{2}}},{\frac{\partial Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}} = \frac{- p^{3}}{8p_{K}p_{L}^{3}}},\)
выписываем выражения для прямых эффектов выпуска:
\(\frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial Q}\bullet{\frac{\partial Q}{\partial p_{K}} = \frac{- p}{3p_{K}}}{\frac{p^{3}}{16p_{K}^{2}p_{L}^{2}} = \frac{- p^{4}}{48p_{K}^{3}p_{L}^{2}}},\)
\(\frac{\partial L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial Q}\bullet{\frac{\partial Q}{\partial p_{L}} = \frac{- {2p}}{3p_{L}}}{\frac{p^{3}}{8p_{K}p_{L}^{3}} = \frac{- p^{4}}{12p_{K}p_{L}^{4}}}.\)
Таким образом, получаем декомпозицию прямых общих эффектов цен факторов на эффекты дохода и замещения:
\({\frac{\partial K\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}} = \frac{- p^{4}}{32p_{K}^{3}p_{L}^{2}} = {\frac{- p^{4}}{96p_{K}^{3}p_{L}^{2}} - \frac{p^{4}}{48p_{K}^{3}p_{L}^{2}}} = {\frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)} \right)}{\partial p_{K}} + \frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial Q}}}\bullet\frac{\partial Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}},\)
\({\frac{\partial L\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}} = \frac{- {3p^{4}}}{32p_{K}p_{L}^{4}} = {\frac{- p^{4}}{96p_{K}p_{L}^{4}} - \frac{p^{4}}{12p_{K}p_{L}^{4}}} = {\frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)} \right)}{\partial p_{K}} + \frac{\partial L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial Q}}}\bullet\frac{\partial Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}}.\)
Прокомментируем экономический смысл эффекта выпуска, который присутствует в задаче максимизации прибыли наряду с эффектом замещения ([L1L3] на рис. 3.33), имеющим место при минимизации издержек. Эффект выпуска состоит в том, что при изменении, допустим, снижении цены одного из факторов производства, например, труда, тот же объем продукта, что и ранее, может быть выпущен с меньшими издержками, или, что то же самое, при прежних затратах в денежном выражении возможно изготовить больше продукции (\({\overline{Q}}_{2}\) на рис. 3.33) по сравнению с ее величиной, выступающей в качестве ограничения в задаче (\({\overline{Q}}_{1}\) на рис. 3.33). Ведь, если изокванты выпуклы к началу координат, то издержки производства являются возрастающей функцией объема производства \(Q\). Таким образом, в результате снижения цены фактора производства происходит смещение вниз графика издержек (от TC1 до TC2 на рис. 3.33).
Опираясь на лемму Шепарда (2.26), предполагая непрерывность соответствующих вторых производных, можно увидеть, что для нормального ресурса
\({\frac{\partial\mathit{MC}}{\partial p_{L}} = \frac{\partial}{\partial p_{L}}}{\left( \frac{\partial\mathit{TC}}{\partial Q} \right) = \frac{\partial}{\partial Q}}{\left( \frac{\partial\mathit{TC}}{\partial p_{L}} \right) = \frac{\partial x_{L}\left( {p_{L},p_{K},Q} \right)}{\partial Q} \gt 0.}\)
Действительно, для нормального ресурса переход на более высокую изокванту за счет параллельного сдвига изокосты, при фиксированных ценах на факторы производства будет означать увеличение объема его использования. Итак, данное неравенство показывает, что при снижении ставки заработной платы величина предельных издержек сократится при каждом заданном объеме производства \(Q\), т.е. график \(\mathit{MC}(Q)\) сместится вниз (рис. 3.33).
Возникающее в результате, скажем, снижения цены одного из факторов производства – труда – смещение графика совокупных издержек производства означает одновременно сдвиг вниз и линии предельных издержек, что будет иметь следствием увеличение оптимального объема продукции, а значит, в свою очередь, и спроса на рабочую силу.
Действительно, пусть \(\mathit{MC}_{1}{\left( Q_{1}^{} \right) = P = \mathit{MC}_{2}}\left( Q_{2}^{} \right)\), где изменение функции предельных издержек от \(\mathit{MC}_{1}(Q)\) к \(\mathit{MC}_{2}(Q)\) происходит за счет эффекта выпуска при бесконечно малом снижении, скажем, ставки заработной платы \(\mathit{dw} \lt 0\), а значит, \(\mathit{dMC} \lt 0\), т.е. \(\mathit{MC}_{2}{\left( Q_{1}^{} \right) \lt \mathit{MC}_{1}}\left( Q_{1}^{} \right)\). Пусть \(\mathit{MC}_{2}{\left( Q_{1}^{} \right) = P}'\). Имеем: \(\mathit{MC}_{2}{\left( Q_{1}^{} \right) = P^{'} \lt P = \mathit{MC}_{1}}\left( Q_{1}^{} \right)\). При переходе к более высокой цене (от \({P^{'} = \mathit{MC}_{2}}\left( Q_{1}^{} \right)\) к \({P = \mathit{MC}_{2}}\left( Q_{2}^{} \right)\)) происходит перемещение вдоль кривой предельных издержек: \(d{\mathit{MC}_{2} \gt 0}\). Следовательно, оптимальный объем производства в соответствии с кривой предельных издержек \(\mathit{MC}_{2}\) возрастет, ведь, по достаточному условию, в точке максимума прибыли \(\frac{\mathit{dMC}}{\mathit{dQ}} \gt 0\), а значит, \(\mathit{dQ} \lt 0\), т.е. \(Q_{2}^{} \gt Q_{1}^{}\). С увеличением оптимального объема производства растут и выручка, и издержки, и, если предположить, что L – нормальный ресурс, то рост \(Q\), а значит, и расходов приведет к увеличению спроса на рабочую силу (от L3 до L2 на рис. 3.33).
В отличие от прямых эффектов ([K1K3] и [K3K2]) перекрестные эффекты замещения и выпуска, возникающие при снижении ставки арендной платы, для нормальных ресурсов противоположно направлены (соответственно, [L1L3] и [L3L2] на рис. 3.33).
Рисунок 3.33. Эффекты замещения и выпуска при снижении ставки заработной платы
Приведем пример расчета эффектов замещения и выпуска для фирмы с производственной функцией \({Q = K^{¼}}L^{½}\), действующей в условиях совершенной конкуренции, когда ставка заработной платы сокращается от \(p_{L}^{1} = 4\) до \(p_{L}^{2} = 2\), тогда как ставка арендной платы и цена готовой продукции неизменны и составляют соответственно \(p_{K} = 1\) и \(p = 5\). При этом происходит сдвиг траектории развития (2.86) от \({K_{1} = 4}L\) к \({K_{2} = 2}L\) (рис. 3.34), а значит, и к изменению функций условного спроса на факторы (2.88). Первоначально они выглядели так: \({L_{1} = \sqrt[3]{\frac{Q^{4}}{2}}},{K_{1} = \sqrt[3]{4Q^{4}}}\). При новом соотношении цен на факторы производства они становятся такими: \(L_{2} = K_{2} = \sqrt[3]{Q^{4}}\).
Это вызывает сдвиг функций общих издержек производства (2.106): если исходно они имели вид \({\mathit{TC}_{1} = 3}\sqrt[3]{4Q^{4}}\), то теперь они растягиваются вниз и становятся равными \({\mathit{TC}_{2} = 3}\sqrt[3]{Q^{4}}\).Тогда, в соответствии с (2.108), исходная функция предельных издержек \(\mathit{MC}_{1} = \sqrt[3]{256Q}\) в результате снижения ставки заработной платы изменяется и принимает вид: \({\mathit{MC}_{2} = 4}\sqrt[3]{Q}\). Используя функцию предложения (2.126), получаем, что при этом максимизирующий прибыль объем производства увеличивается от \(Q_{1} = 16\) до \(Q_{2} = 64\). Функции условного спроса на труд и капитал по Хиксу, приведенные выше, показывают, что объемы занятости и капитала на предприятии возрастают соответственно от \(L_{1} = 32\) и \(K_{1} = 64\) до \(L_{2} = K_{2} = 256\). Если же подставить в новые функции условного спроса исходный объем производства \(Q_{1} = 16\), то можно рассчитать вспомогательное количество человеко-часов труда и основных фондов \({L_{3} = K_{3} = 32}\bullet\sqrt[3]{2}\approx 40,3\) \(32\bullet\sqrt[3]{2}\approx 40,3\) (рис. 3.34), которое позволяет рассчитать прямой эффект замещения, приблизительно равный 8,3. Прямой и перекресный эффекты выпуска составят примерно 215,7. Перекрестные эффект замещения будет приблизительно равен -23,7.
Рисунок 3.34. Эффекты замещения и выпуска при снижении ставки заработной платы: пример