Обобщением простейшей задачи потребительского выбора является такая ее постановка, в которой рассматривается не только расходование денежного дохода индивида, но и его формирование как стоимости активов потребителя:
\(\begin{matrix} {\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}{U\left( {x_{1},x_{2}} \right)}:} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}\leq{M = p_{1}}{\omega_{1} + p_{2}}\omega_{2},} \\ \end{matrix}(3.15)\)
где \(\omega_{i}\) – запас i-го блага, находящийся в собственности индивида, \(i = 1,2\).
Введем понятие чистого, или избыточного, спроса потребителя на каждый товар как превышение спроса, предъявляемого на данный товар, над доступным его количеством, т.е. первоначальным запасом:
\({z_{i} = {x_{i} - \omega_{i}}}.(3.16)\)
В этих обозначениях бюджетное ограничение потребителя может быть переписано так: \(p_{1}{z_{1} = {- p_{2}}}z_{2}\). Таким образом, индивид финансирует покупки товара, в котором он ощущает недостаток по сравнению с имеющимся запасом, за счет продажи излишка другого продукта – того, который у него имеется в избытке.
Условия максимизации полезности в задаче выбора с учетом первоначальных запасов благ остаются такими же, как и в исходной задаче потребительского выбора, с учетом того, что доход теперь является уже не экзогенно заданной денежной суммой, а стоимостью активов индивида. Это обстоятельство позволяет представить индивидуальные функции валового маршаллианского спроса в виде зависимостей оптимальных объемов потребления товаров от их цен и первоначальных запасов:
\({x_{i}^{m} = x_{i}}\left( {p_{1},p_{2},\omega_{1},\omega_{2}} \right),{i = 1},2.(3.17)\)
Выведем в качестве примера данные функции спроса для функции полезности Кобба-Дугласа. Если расписать доход как стоимость первоначальных запасов благ, то функции спроса по Маршаллу (1.39) принимают вид:
\({x_{1}^{m} = \frac{c\left( {p_{1}{\omega_{1} + p_{2}}\omega_{2}} \right)}{\left( {c + d} \right)p_{1}} = {\frac{c\omega_{1}}{c + d} + \frac{c\omega_{2}p_{2}}{\left( {c + d} \right)p_{1}}}},\)
\({x_{2}^{m} = \frac{d\left( {p_{1}{\omega_{1} + p_{2}}\omega_{2}} \right)}{\left( {c + d} \right)p_{2}} = {\frac{d\omega_{2}}{c + d} + \frac{d\omega_{1}p_{1}}{({c + d})p_{2}}}}.\)
Рассчитаем прямую эластичность спроса по цене:
\({E_{p_{1}}^{x_{1}} = \frac{\partial x_{1}^{m}}{\partial p_{1}}}\bullet{\frac{p_{1}}{x_{1}^{m}} = \frac{- {c\omega_{2}p_{2}}}{p_{1}^{2}\left( {c + d} \right)}}{\frac{p_{1}}{\frac{c\left( {p_{1}{\omega_{1} + p_{2}}\omega_{2}} \right)}{\left( {c + d} \right)p_{1}}} = \frac{- {\omega_{2}p_{2}}}{p_{1}{\omega_{1} + p_{2}}\omega_{2}}},\)
\({E_{p_{2}}^{x_{2}} = \frac{\partial x_{2}^{m}}{\partial p_{2}}}\bullet{\frac{p_{2}}{x_{2}^{m}} = \frac{- {d\omega_{1}p_{1}}}{p_{2}^{2}\left( {c + d} \right)}}{\frac{p_{2}}{\frac{d\left( {p_{1}{\omega_{1} + p_{2}}\omega_{2}} \right)}{\left( {c + d} \right)p_{2}}} = \frac{- {\omega_{1}p_{1}}}{p_{1}{\omega_{1} + p_{2}}\omega_{2}}}.\)
Маршаллианский спрос без учета формирования дохода как стоимости первоначальных запасов благ (1.39) представляет собой степенную функцию с показателем степени при переменной цены i-го товара, равной -1, а значит, он обладает единичной эластичностью1. Рассчитанная здесь эластичность спроса по Маршаллу при наличии первоначального запаса по абсолютной величине меньше единицы. Таким образом, спрос с учетом первоначального запаса благ менее эластичен, нежели без учета этого запаса.
С учетом определения (3.16) валовой спрос по Маршаллу (3.17) представляет собой чистый спрос, увеличенный на величину запаса данного блага, которым изначально располагает потребитель: \(x_{i}^{m} = {z_{i} + \omega_{i}}\). Значит, уравнение Слуцкого в общем виде для прямых и перекрестных эффектов (3.5) применительно к теории потребительского выбора с учетом первоначальных запасов благ можно переписать так:
\({\frac{\partial x_{i}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial p_{j}} = {\frac{\partial x_{i}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{j}} - \frac{\partial x_{i}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial M}}}\bullet x_{j}^{m}{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = {\frac{\partial x_{i}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{j}} - \frac{\partial x_{i}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial M}}}\bullet{\left( {z_{j} + \omega_{j}} \right) = {\frac{\partial x_{i}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{j}} - \frac{\partial x_{i}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial M}}}\bullet{z_{j} - \frac{\partial x_{i}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial M}}\bullet\omega_{j},(3.18)\)
где \(\left( \frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial p_{j}} \right)\) – эффект изменения цены при фиксированном денежном доходе потребителя, \(\frac{\partial x_{i}^{h}}{\partial p_{j}}\) – эффект замещения, \(\left( {{- z_{j}}\frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial M}} \right)\) – чистый эффект дохода, \(\left( {\omega_{j}\frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial M}} \right)\) – эффект богатства для продавца первоначального запаса; \(i,{j = 1,2}\).
Чистый эффект дохода представляет собой валовой эффект дохода \(\left( {{- x_{j}^{m}}\frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial M}} \right)\), уменьшенный на величину эффекта богатства продавца:
\(\frac{- {\partial x_{i}^{m}}}{\partial M}\bullet{z_{j} = \frac{- {\partial x_{i}^{m}}}{\partial M}}\bullet{x_{j}^{m} + \frac{\partial x_{i}^{m}}{\partial M}}\bullet\omega_{j}.\)
При этом фактическое изменение объема потребления блага, возникающее из-за повышения или понижения цены товара, может быть представлено суммарным эффектом замещения и чистого дохода либо как эффект цены при фиксированном доходе, скорректированный на эффект богатства продавца первоначального запаса блага:
\({\frac{\partial x_{i}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{j}} - \frac{\partial x_{i}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial M}}\bullet{z_{j} = {\frac{\partial x_{i}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial p_{j}} + \frac{\partial x_{i}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial M}}}\bullet\omega_{j}.\)
Эффект богатства продавца (WE) проявляется в изменении (снижении или повышении) стоимости запаса блага, находящегося в распоряжении индивида, при колебании (снижении или повышении) цены на данный товар. Графически эффект богатства отражается (рис. 3.27 – 3.28) переходом со вспомогательного бюджетного ограничения №4, в котором стоимость потребления товаров рассчитывается по изменившимся, а запасов – по старым ценам (\(p_{1}^{2}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = p_{1}^{1}}{\omega_{1} + p_{2}}\omega_{2}\), или \({x_{2} = \frac{p_{1}^{1}}{p_{2}}}{\omega_{1} + \omega_{2} - \frac{p_{1}^{2}}{p_{2}}}x_{1}\)), на конечное бюджетное ограничение № 2, в котором стоимость и покупок, и запасов рассчитывается по новым ценам \(\left( {p_{1}^{2}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = p_{1}^{2}}{\omega_{1} + p_{2}}\omega_{2},\mathit{или}{x_{2} = \frac{p_{1}^{2}}{p_{2}}}{\omega_{1} + \omega_{2} - \frac{p_{1}^{2}}{p_{2}}}x_{1}} \right)\).
Направленность чистого эффекта дохода (NIE) как разницы между валовым эффектом дохода (IE) и эффектом богатства будет зависеть от того, является человек чистым покупателем или продавцом данного товара. В первом случае индивид в реальности не продает, но докупает для себя недостающее количество данного блага, поэтому преобладающим оказывается рост покупательной способности при снижении цены товара, и чистый эффект дохода (отражаемый перемещением от третьего до второго бюджетного ограничения на рис. 3.27) является положительным.
Рисунок 3.27. Прямые эффекты дохода, замещения и богатства при снижении цены первого товара для его нетто-покупателя
Во втором случае индивид фактически не покупает данный товар, запаса которого ему с избытком хватает для удовлетворения своей платежеспособной потребности. Поэтому для него имеет значение именно эффект богатства, который частично компенсируется валовым эффектом дохода; и чистый эффект дохода при снижении цены товара (отражаемый перемещением с третьего на второе бюджетное ограничение на рис. 3.28) оказывается отрицательным.
Очевидно, что в первоначальном бюджетном ограничении (№ 1) стоимость и покупок, и запасов рассчитывается по исходным ценам \(\left( {p_{1}^{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = p_{1}^{1}}{\omega_{1} + p_{2}}\omega_{2},\mathit{или}{x_{2} = \frac{p_{1}^{1}}{p_{2}}}{\omega_{1} + \omega_{2} - \frac{p_{1}^{1}}{p_{2}}}x_{1}} \right)\). Бюджетное ограничение № 3 служит для выделения эффекта замещения (SE). Третье бюджетное ограничение представляет собой параллельный сдвиг линии № 2 до касания с исходной кривой безразличия. Такой параллельный сдвиг подразумевает изменение величины расходов потребителя, покупки которого оцениваются по новым, измененным ценам.
Рисунок 3.28. Прямые эффекты дохода, замещения и богатства при снижении цены первого товара для его нетто-продавца
Для иллюстрации расчета эффектов замещения, дохода и богатства продолжим рассмотрение примера из параграфа 1.2. Пусть выполняются все условия данного примера за исключением того, что доход потребителя задан не в денежной, а в натуральной форме – запасов товаров, которые составляют: \({\omega_{1} = 10},{\omega_{2} = 20}\). Поскольку при этом денежная величина дохода остается такой же, как и в примере выше, сохраняют силу расчеты начального (E1) и вспомогательного (E3) оптимумов. Кроме того, в рассматриваемом примере был рассчитан и оптимум E4, который в простейшей задаче потребительского выбора (1.2) являлся конечным (E2). Поэтому остаются справедливыми соответствующие расчеты эффекта замещения и дохода (3.14).
Рассчитаем теперь эффект богатства. Обратим внимание на то, что в данном примере наблюдается вырожденная ситуация, когда начальный оптимум (E1) совпадает с корзиной запасов благ \(\left( {\omega_{1},\omega_{2}} \right)\), и потребителю не нужно ни продавать, ни докупать ни один из товаров. Поэтому, в соответствии с уравнением Слуцкого (3.18), эффект богатства должен компенсировать эффект дохода, и общий эффект должен совпадать с эффектом замещения. Однако в общем случае это верно лишь при бесконечно малых изменениях цен. В нашем примере конечное (№ 2) и третье, вспомогательное (№ 3H) бюджетные ограничения уже не совпадают, и прямой эффект богатства, который равен –4, несколько расходится по абсолютной величине с эффектом дохода (3.14).
Важной разновидностью эффекта богатства является эффект реальных кассовых остатков, который играет фундаментальную роль в исследованиях монетарной экономики. Деньги являются разновидностью богатства. В экономической теории, например, в рамках концепции неоклассического синтеза2, важную роль играет зависимость потребительского спроса от богатства домохозяйства, в том числе, от запаса денежных средств. В макроэкономических моделях эта зависимость называется эффектом реальных денежных, или кассовых, остатков.
Эффект реальных кассовых остатков заключается в следующем. При росте цен стоимость блага «реальные денежные остатки» растет: экономическому агенту приходится все бóльшую номинальную денежную сумму отводить на формирование запасов ликвидных средств, способных быть обмененными на одну и ту же товарную массу при обеспечении товарно-денежного обращения. Эту мысль можно сформулировать и по-другому. При росте уровня цен \(p\) цена денег, равная \(1/p\), снижается: на ту же их сумму можно теперь приобрести уже меньше товаров. Реальные денежные запасы дорожают по отношению к другим видам богатства и за счет эффекта замещения вытесняются в хозяйственной деятельности последними3. Одновременно при росте цен снижается покупательная способность доходов экономических агентов. Поскольку реальные денежные запасы являются нормальным благом, этот отрицательный эффект дохода снижает спрос на них.
Возможна и альтернативная иллюстрация эффекта реальных денежных остатков: по мере нарастания реальных денежных запасов потребность в их дальнейшем увеличении становится все менее интенсивной. Индивидуум, богатея, наращивает не только реальные денежные запасы, но и другие активы.
Для того, чтобы проанализировать микроэкономические основы эффекта реальных кассовых остатков, рассмотрим модификацию задачи потребительского выбора с учетом первоначальных запасов благ (3.15):
\(\begin{matrix} {\underset{C,M}{\mathit{\max}}{U\left( {C,M} \right)}:} \\ {{{M + \mathit{pC}} = {\omega_{M} + p}}\omega_{C}\equiv\overline{M},} \\ \end{matrix}(3.19)\)
где \(C\) – объем потребления товаров в реальном выражении, \(M\) – объем средств, хранимых индивидуум в ликвидной (денежной) форме, \(\omega_{C}\) – величина товарных активов, \(\omega_{M}\) – величина денежных (ликвидных) активов, \(\overline{M}\) – совокупные финансовые ресурсы экономического агента.
Функция Лагранжа для данной задачи потребительского выбора будет иметь вид:
\({L = U}{\left( {C,M} \right) - \lambda}\left( {{M + \mathit{pC} - \omega_{M} - p}\omega_{C}} \right).\)
Необходимое условие внутреннего оптимума потребителя \(({M \\gt 0},\) \({C \\gt 0})\) подразумевает выполнение системы условий:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial L}{\partial C} = {\frac{\partial U}{\partial C} - \mathit{\lambda p}} = 0},} \\ {{\frac{\partial L}{\partial M} = {\frac{\partial U}{\partial M} - \lambda} = 0},} \\ {{\frac{\partial L}{\partial\lambda} = {{- M} - \mathit{pC} + \omega_{M} + p}}{\omega_{C} = 0};} \\ \end{matrix} \right.\)
т.е.
\(\left\{ \begin{matrix} {{\mathit{MU}_{C} = \lambda}p,} \\ {{\mathit{MU}_{M} = \lambda},} \\ {{{M + \mathit{pC}} = {\omega_{M} + p}}\omega_{C};} \\ \end{matrix} \right.\)
откуда вытекает эквимаржинальный принцип оптимальности потребительского набора, утверждающий, что предельная норма замещения потребительских расходов деньгами в положении равновесия равна величине реальных кассовых остатков (рис. 3.29):
\(\mathit{MRS}_{\mathit{HC}}\equiv{\left. \frac{- \mathit{dC}}{\mathit{dM}} \right|_{U = \mathit{const}} = \frac{{\partial U}/{\partial M}}{{\partial U}/{\partial C}} = \frac{\mathit{MU}_{M}}{\mathit{MU}_{C}} = \frac{1}{p}}.(3.20)\)
Вариации решения задачи выбора между ликвидными активами и потребительскими благами (3.19) представляют собой соответствующие индивидуальные функции спроса по Маршаллу как зависимости объема потребления товаров и остатков ликвидности на счетах экономических агентов от величины запасов денежных средств, товарных активов и общего уровня цен:
\({C = C^{m}}{\left( {p,\overline{M}} \right) = C^{m}}\left( {p,\omega_{M},\omega_{C}} \right),{M = M^{m}}{\left( {\frac{1}{p},\overline{M}} \right) = M^{m}}\left( {\frac{1}{p},\omega_{M},\omega_{C}} \right).\)
Сопряженная по отношению к связанной максимизации полезности (3.19) задача минимизации совокупных расходов потребителя как владельца активов при условии достижения заданного уровня полезности будет выглядеть так:
\(\begin{matrix} {\underset{C,M}{\mathit{\min}}\left( {M + \mathit{pC}} \right):} \\ {U{\left( {C,M} \right) = \overline{U}}.} \\ \end{matrix}(3.21)\)
Соответствующая функция Лагранжа будет выглядеть так:
\({L = {M + \mathit{pC} - \lambda}}\left( {U{\left( {C,M} \right) - \overline{U}}} \right);\)
а необходимые условия связанной минимизации расходов потребителя (здесь, как и ранее предполагается наличие внутреннего оптимума, когда \({M \\gt 0},\) \(C \\gt 0\)) таковы:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial L}{\partial C} = {p - \lambda}}{\frac{\partial U}{\partial C} = 0},} \\ {{\frac{\partial L}{\partial M} = {1 - \lambda}}{\frac{\partial U}{\partial M} = 0},} \\ {{\frac{\partial L}{\partial\lambda} = {- U}}{{\left( {C,M} \right) + \overline{U}} = 0};} \\ \end{matrix} \right.\)
т.е.
\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda{\mathit{MU}_{C} = p},} \\ {\lambda{\mathit{MU}_{M} = 1},} \\ {U{\left( {C,M} \right) = \overline{U}}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Отсюда вытекает эквимаржинальный принцип оптимальности потребительского набора, сформулированный выше (3.20).
Вариациями решения данной задачи связанной минимизации расходов (3.21) являются функции хиксианского спроса на потребительские блага и денежные активы:
\({C = C^{h}}\left( {p,\overline{U}} \right),{M = M^{h}}\left( {\frac{1}{p},\overline{U}} \right).\)
Данный вектор компенсированного спроса позволяет получить функцию потребительских расходов:
\(E{\left( {p,\overline{U}} \right) = M}{\left( {\frac{1}{p},\overline{U}} \right) + \mathit{pC}}\left( {p,\overline{U}} \right).\)
Для данной функции расходов справедлива лемма Шепарда (2.70):
\({\frac{\partial E}{\partial p} = C}\left( {p,\overline{U}} \right).\)
Используя лемму Шепарда в данной формулировке можно выписать уравнение Слуцкого с учетом первоначальных запасов благ (3.18) применительно к рассматриваемым задачам потребительского выбора:
\({\frac{\partial C^{m}\left( {p,\overline{M}} \right)}{\partial p} = {\frac{\partial C^{h}\left( {p,\overline{U}} \right)}{\partial p} - \frac{\partial C^{m}\left( {p,\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}}\bullet C^{m}{\left( {p,\overline{M}} \right) = {\frac{\partial C^{h}\left( {p,\overline{U}} \right)}{\partial p} - \frac{\partial C^{m}\left( {p,\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}}\bullet{\left( {z_{c} + \omega_{C}} \right) = {\frac{\partial C^{h}\left( {p,\overline{U}} \right)}{\partial p} - \frac{\partial C^{m}\left( {p,\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}}\bullet{z_{c} - \frac{\partial C^{m}\left( {p,\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}\bullet\omega_{C},(3.22)\)
где \(z_{c} = {C^{m} - \omega_{C}}\) – чистый спрос на товары, \(\left( \frac{\partial C^{m}}{\partial p} \right)\) – эффект изменения цены при фиксированных финансовых ресурсах потребителя, \(\frac{\partial C^{h}}{\partial p}\) – эффект замещения, \(\left( {{- z_{c}}\frac{\partial C^{m}}{\partial\overline{M}}} \right)\) – чистый эффект дохода, \(\left( {\omega_{C}\frac{\partial C^{m}}{\partial\overline{M}}} \right)\) – эффект богатства для продавца товарных запасов.
Если поставить видоизмененную задачу минимизации совокупных расходов потребителя как владельца товарных и денежных активов при условии достижения заданного уровня полезности:
\(\begin{matrix} {\underset{C,M}{\mathit{\min}}\left( {\frac{M}{p} + C} \right):} \\ {U{\left( {C,M} \right) = \overline{U}},} \\ \end{matrix}(3.23)\)
то соответствующая функция расходов будет выглядеть так:
\(E{\left( {p,\overline{U}} \right) = {\frac{M\left( {\frac{1}{p},\overline{U}} \right)}{p} + C}}\left( {p,\overline{U}} \right),\)
а лемма Шепарда будет утверждать, что:
\({\frac{\partial E}{\partial\left( \frac{1}{p} \right)} = M}\left( {\frac{1}{p},\overline{U}} \right).\)
Тогда уравнение Слуцкого (3.18) применительно к потребительскому выбору между товарами и денежными средствами можно записать в следующем виде:
\({\frac{\partial M^{m}\left( {\frac{1}{p},\overline{M}} \right)}{\partial\left( \frac{1}{p} \right)} = {\frac{\partial M^{h}\left( {\frac{1}{p},\overline{U}} \right)}{\partial\left( \frac{1}{p} \right)} - \frac{\partial M^{m}\left( {\frac{1}{p},\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}}\bullet M^{m}{\left( {\frac{1}{p},\overline{M}} \right) = {\frac{\partial M\left( {\frac{1}{p},\overline{U}} \right)}{\partial\left( \frac{1}{p} \right)} - \frac{\partial M^{m}\left( {\frac{1}{p},\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}}\bullet{\left( {z_{M} + \omega_{M}} \right) = {\frac{\partial M^{h}\left( {\frac{1}{p},\overline{U}} \right)}{\partial\left( \frac{1}{p} \right)} - \frac{\partial M^{m}\left( {\frac{1}{p},\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}}\bullet{z_{M} - \frac{\partial M^{m}\left( {\frac{1}{p},\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}\bullet\omega_{M},(3.24)\)
где \(z_{M} = {M^{m} - \omega_{M}}\) – чистый спрос на денежные средства, \(\left( \frac{\partial M^{m}}{\partial\left( \frac{1}{p} \right)} \right)\) – эффект изменения цены денег при фиксированных финансовых ресурсах потребителя, \(\frac{\partial M^{h}}{\partial\left( \frac{1}{p} \right)}\) – эффект замещения, \(\left( {{- z_{M}}\frac{\partial M^{m}}{\partial\overline{M}}} \right)\) – чистый эффект дохода, \(\left( {\omega_{M}\frac{\partial M^{m}}{\partial\overline{M}}} \right)\) – эффект реальных кассовых остатков для поставщика ликвидных (денежных) ресурсов.
Проанализируем эффект реальных кассовых остатков графически (рис. 3.29) в случае повышения цен \(\left( {p_{2} \\gt p_{1}} \right)\).
Рисунок 3.29. Эффекты замещения, дохода и реальных кассовых остатков при росте уровня цен
Бюджетное ограничение №1, имеющее вид \({M + p_{1}}{C = {\omega_{M} + p_{1}}}\omega_{C}\), или \(C = {\frac{\omega_{M}}{p_{1}} + \omega_{C} - \frac{M}{p_{1}}}\), пересекается с горизонтальной осью при величине финансовых средств \(\left( {{\omega_{M} + p_{1}}\omega_{C}} \right)\) и соответствует исходному оптимуму потребителя \(E_{1}\).
Бюджетное ограничение №2, характеризуемое выражением \({M + p_{2}}{C = p_{2}}{\left( \frac{\omega_{M}}{p_{2}} \right) + p_{2}}\omega_{C}\), или \(C = {\frac{\omega_{M}}{p_{2}} + \omega_{C} - \frac{M}{p_{2}}}\), и пересекающееся с горизонтальной осью при величине финансовых средств\(\left( {{\omega_{M} + p_{2}}\omega_{C}} \right)\), соответствует изменившемуся уровню цен и новому фактическому оптимуму потребителя \(E_{2}\)
Линия фиксированных расходов №3 соответствует решению задачи их минимизации при ограничении по полезности, заданном оптимумом потребителя при исходных ценах.
Для того, чтобы отобразить валовой эффект дохода и эффект богатства, необходимо построить вспомогательное бюджетное ограничение №4, в котором расходы потребителя рассчитываются в новых, изменившихся ценах, а активы – исходя из прежних цен: \({M + p_{2}}{C = p_{1}}{\left( \frac{\omega_{M}}{p_{1}} \right) + p_{1}}\omega_{C}\), или \({C = {\frac{\omega_{M}}{p_{2}} + \frac{p_{1}}{p_{2}}}}{\omega_{C} - \frac{M}{p_{2}}}\). Данное бюджетное ограничение пересекается с горизонтальной осью при величине финансовых средств\(\left( {{\omega_{M} + p_{1}}\omega_{C}} \right)\). Переход с линии равных расходов №3 на бюджетное ограничение №4 отражает валовой эффект дохода.
Для иллюстрации эффекта реальных денежных остатков (RMBE) необходимо построить еще одно воображаемое бюджетное ограничение, обозначаемое нами номером 5, в котором все доходы и расходы рассчитываются в новых, изменившихся ценах, но величина денежных запасов в реальном выражении определяется исходя из прежнего уровня цен: \({M + p_{2}}{C = p_{2}}{\left( \frac{\omega_{M}}{p_{1}} \right) + p_{2}}\omega_{C}\), или \(C = {\frac{\omega_{M}}{p_{1}} + \omega_{C} - \frac{M}{p_{2}}}\). Оно будет пересекаться с горизонтальной осью при величине финансовых средств \(\left( {\frac{p_{2}}{p_{1}}{\omega_{M} + p_{2}}\omega_{C}} \right)\). Переход с бюджетного ограничения №4 на данное, пятое ограничение характеризует эффект богатства, стоимость которого теперь начинает рассчитываться в изменившихся ценах. Переоценка же запасов денежных средств по отношению к новому уровню цен будет отражать действие эффекта реальных остатков. Графически его будет иллюстрировать переход со вспомогательного бюджетного ограничения №5 на фактическое итоговое ограничение №2.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий эффекты замещения (в трактовке Хикса), дохода, богатства и реальных кассовых остатков при повышении общего уровня цен для случая индивидуальных предпочтений Кобба-Дугласа, характеризуемых функцией полезности \(U = \sqrt{\mathit{CM}}\). Пусть данный индивидуум располагает первоначальными запасами материальных активов \(\omega_{C} = 50\) и денег \(\omega_{M} = 4\). Предположим, что уровень цен повышается от \(p_{1} = 1\) до \(p_{2} = 2\).
Выпишем эквимаржинальное условие оптимального потребительского выбора (3.20):
\({\frac{\mathit{MU}_{M}}{\mathit{MU}_{C}} = \frac{C}{M} = \frac{1}{p}},\mathit{или}{M = \mathit{pC}}.\)
Эффект реальных кассовых остатков позволяют проанализировать следующие пять бюджетных ограничений, которым будут соответствовать пять точек оптимума потребителя.
При бюджетном ограничении №1, которое имеет следующее выражение: \({M_{1} + C_{1}} = {4 + 50} = 54\), условие оптимума принимает вид: \(2{C_{1} = 54}\). Значит, точка оптимума (E1) характеризуется следующими координатами: \(C_{1} = M_{1} = 27\). При этом полезность потребителя достигает уровня \(U = 27\).
Используя конечное фактическое бюджетное ограничение №2: \({M_{2} + 2}{C_{2} = 4}{C_{2} = {4 + 100} = 104}\), получаем соответствующий оптимальный набор благ (т. E2): \({C_{2} = 26},{M_{2} = 52}\).
Бюджетное ограничение №3 будет определяться касанием исходной кривой безразличия: \({27 = \sqrt{\frac{M_{3}^{2}}{2}} = \frac{M}{\sqrt{2}}},\) откуда \({M_{3} = 27}\sqrt{2}\approx 38,2,{C_{3} = \frac{27}{\sqrt{2}}}\approx 19,1\) (т. E3). Поэтому эффект замещения по Хиксу составит: \(\mathrm{\Delta}{M = 11,2};\mathrm{\Delta}{C = {- 7,9}}\).
Бюджетное ограничение №4 с учетом эквимаржинального условия будет выглядеть так: \({M_{4} + 2}{\frac{M_{4}}{2} = 2}{M_{4} = {4 + 50} = 54}\). Значит, соответствующий оптимум таков (т. E4): \({M_{4} = 27},{C_{4} = 13,5}\). Следовательно, валовой эффект дохода будет равен: \(\mathrm{\Delta}{M = {- 11,2}};\mathrm{\Delta}{C = {- 5,6}}\).
Бюджетное ограничение 5: \({M_{5} + 2}{\frac{M_{5}}{2} = 2}{M_{5} = 2}\bullet{4 + 2}\bullet{50 = 108}\). Соответствующий потребительский оптимум будет характеризоваться координатами: \({M_{5} = 54},{C_{5} = 27}\). Значит, эффект богатства окажется равным: \(\mathrm{\Delta}{M = 27};\mathrm{\Delta}{C = 13,5}\). А эффект реальных кассовых остатков составит: \(\mathrm{\Delta}{M = {- 2}};\mathrm{\Delta}{C = {- 1}}\).
В совокупности валовой эффект дохода, эффекты богатства и реальных кассовых остатков дают чистый эффект дохода: \(\mathrm{\Delta}{M = {{- 11,2} + 27 - 2} = 13,8 = {52 - 38,2}};\mathrm{\Delta}{C = {{- 5,6} + 13,5 - 1} = 6,9 = {26 - 19,1}}\).
Эффект реальных кассовых остатков возникает, в частности, в процессе индивидуального выбора между трудовой деятельностью (L), приносящей доход, который впоследствии становится источником для приобретения товаров, и досугом (H) как экономическим благом.
Здесь функция потребительских предпочтений трактуется в широком смысле, когда объектом выбора являются не только предметы потребления, но и свободное время, досуг как экономическое благо U(C,H), где \({C = p_{1}^{0}}{x_{1}^{t} + p_{2}^{0}}x_{2}^{t}\) – расходы на потребительские товары в реальном выражении, рассчитанные в ценах базисного периода. При этом труд выступает для потребителя как отказ от использования досуга – вынужденная необходимость, неизбежная жертва времени, сил и средств, а значит, как благо с отрицательной полезностью, антиблаго.
Максимизируя индивидуальную полезность, работник должен учитывать два типа ограничений – по времени: \({H + L} = \omega_{T}\), а также по финансовым средствам: \(\mathit{pC} = {\mathit{wL} + \omega_{M}}\). Здесь \(L\) – продолжительность рабочего дня в часах; w – ставка заработной платы, \(\omega_{M}\) – денежный доход помимо заработной платы, \(\omega_{T}\) – совокупный (дневной) временной фонд жизнедеятельности человека (как правило, считается, что \(\omega_{T} = 24\)), \(p = \frac{p_{1}^{t}{x_{1}^{t} + p_{2}^{t}}x_{2}^{t}}{p_{1}^{0}{x_{1}^{t} + p_{2}^{0}}x_{2}^{t}}\) – индекс потребительских цен; \(C\) – расходы на товары в реальном выражении (в ценах базисного периода), т.е. \({\mathit{pC} = \left( \frac{p_{1}^{t}{x_{1}^{t} + p_{2}^{t}}x_{2}^{t}}{p_{1}^{0}{x_{1}^{t} + p_{2}^{0}}x_{2}^{t}} \right)}{\left( {p_{1}^{0}{x_{1}^{t} + p_{2}^{0}}x_{2}^{t}} \right) = p_{1}^{t}}{x_{1}^{t} + p_{2}^{t}}x_{2}^{t}\) – фактические расходы индивида на потребительские товары.
Объединяя ограничения по времени и денежным средствам, получаем: \({\omega_{M} + w}{\left( {\omega_{T} - H} \right) = \mathit{pC}}\), или \({\omega_{M} + w}{\omega_{T} = {\mathit{pC} + \mathit{wH}}}\), где \({\overline{M} = {\omega_{M} + w}}\omega_{T}\) – полная величина дохода с учетом альтернативной стоимости совокупного запаса времени, \(E = {\mathit{pC} + \mathit{wH}}\) – полная величина расходов, включающая альтернативную стоимость использования досуга. Если выразить объем материальных благ: \({C = {\frac{{\omega_{M} + 24}w}{P} - \frac{w}{P}}}H\), то можно видеть, что реальная ставка заработной платы \(w/P\) как индивидуальная ценность работы по найму является альтернативной стоимостью свободного времени, досуга.
При заданной ставке заработной платы работник максимизирует функцию предпочтений, делая выбор между материальными благами C и досугом Н при условии ограничений по времени и финансовым средствам, расходуемым на покупки потребительских благ:
\(\begin{matrix} {\underset{C,H}{\mathit{\max}}{U\left( {C,H} \right)}:} \\ {{\mathit{pC} = {\mathit{wL} + \omega_{M}}},} \\ {{{H + L} = \omega_{T}};} \\ \end{matrix}(3.25)\)
где \(w\) – ставка заработной платы; \(L\) – продолжительность рабочего дня в часах, \(\omega_{T}\) – совокупный (дневной) временной фонд жизнедеятельности человека.
Решая задачу связанной максимизации полезности (3.25), объединяем финансовое и временнóе ограничения \(({\mathit{pC} = w}{\left( {\omega_{T} - H} \right) + \omega_{M}})\) и переходим к исследованию на экстремум функции Лагранжа \({L = U}{\left( {C,H} \right) - \lambda}\left( {{\mathit{pC} + \mathit{wH} - \omega_{M} - w}\omega_{T}} \right)\). Необходимое условие внутреннего оптимума потребителя (\(H \\lt \omega_{T}\)) – это равенство нулю ее дифференциала:
\(d{L = d}U{\left( {C,H} \right) - d}{\left( {\lambda\left( {{\mathit{pC} + \mathit{wH} - \omega_{M} - w}\omega_{T}} \right)} \right) = \allowbreak d}U{\left( {C,H} \right) - \left( {{\mathit{pC} + \mathit{wH} - \omega_{M} - w}\omega_{T}} \right)}{\mathit{d\lambda} - \mathit{\lambda d}}{\left( {{\mathit{pC} + \mathit{wH} - \omega_{M} - w}\omega_{T}} \right) = \allowbreak \frac{\partial U}{\partial C}}{\mathit{dC} + \frac{\partial U}{\partial H}}{\mathit{dH} - \left( {{\mathit{pC} + \mathit{wH} - \omega_{M} - w}\omega_{T}} \right)}{\mathit{d\lambda} - \lambda}{\left( {\mathit{pdC} + \mathit{wdH}} \right) = \allowbreak \left( {\frac{\partial U}{\partial C} - \mathit{\lambda p}} \right)}{\mathit{dC} + \allowbreak \left( {\frac{\partial U}{\partial H} - \mathit{\lambda w}} \right)}{\mathit{dH} - \left( {{\mathit{pC} + \mathit{wH} - \omega_{M} - w}\omega_{T}} \right)}{\mathit{d\lambda} = 0.}\)
Равенство нулю дифференциала функции Лагранжа должно выполняться для любых значений дифференциалов независимых переменных \(\mathit{dC}\), \(\mathit{dH}\), \(\mathit{d\lambda}\), а значит, необходимое условие связанного максимума полезности представляет собой систему:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial L}{\partial C} = {\frac{\partial U}{\partial C} - \mathit{\lambda p}} = 0},} \\ {{\frac{\partial L}{\partial H} = {\frac{\partial U}{\partial H} - \mathit{\lambda w}} = 0},} \\ {{\frac{\partial L}{\partial\lambda} = {{- \mathit{pC}} - \mathit{wH} + \omega_{M} + w}}{\omega_{T} = 0}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Итак, индивидуальное равновесие в модели выбора между трудом и досугом представлено системой условий:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\mathit{MU}_{C} = \lambda}p,} \\ {{\mathit{MU}_{H} = \lambda}w,} \\ {{\mathit{pC} = {\omega_{M} + w}}{\omega_{T} - \mathit{wH}}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Деление первого равенства на второе дает эквимаржинальный принцип оптимума потребителя, утверждающий, что предельная норма замещения потребительских расходов досугом в положении равновесия равна реальной ставке заработной платы (рис. 3.30)4:
\(\mathit{MRS}_{\mathit{HC}}\equiv{\left. \frac{- \mathit{dC}}{\mathit{dH}} \right|_{U = \mathit{const}} = \frac{{\partial U}/{\partial H}}{{\partial U}/{\partial C}} = \frac{\mathit{MU}_{H}}{\mathit{MU}_{C}} = \frac{w}{p}}.(3.26)\)
Решая задачу выбора работника между свободным временем и расходами на потребление материальных благ (3.25), аналогично базовой теории потребительского выбора, можно получить маршаллианскую функцию спроса индивидуума на досуг и материальные блага как зависимости соответственно количества нерабочих часов в день, выбираемого индивидуумом, и потребляемых товаров от ставки заработной платы, уровня цен и нетрудового дохода:
\({H = H^{m}}\left( {w,p,\overline{M},} \right),{C = C^{m}}\left( {w,p,\overline{M}} \right).\)
Аналогично базовой теории потребительского выбора (см. параграф 1.4), функция спроса, в частности, на досуг выводится на основе линии «цена-потребление», которая соединяет множество точек оптимума потребителя, возникающих при изменении ставки заработной платы и постоянстве общего уровня цен, денежного дохода, не связанного с трудовой деятельностью, и предпочтений индивидуума (рис. 3.30).
Задача распределения времени между трудом и досугом (3.25) представляет собой развитие модели выбора с учетом первоначальных запасов благ (3.15), где таковыми являются временнóй фонд жизнедеятельности человека \((\omega_{T})\) и нетрудовой доход в реальном выражении \(({\omega_{M}/P})\), который, в свою очередь, можно трактовать как стоимость активов индивидуума. Поэтому наряду с валовым спросом можно рассматривать и функции чистого спроса на досуг и материальные блага:
\({z_{H} = H^{m}}{\left( {w,p,\overline{M}} \right) - \omega_{T}},{z_{c} = C^{m}}{\left( {w,p,\overline{M}} \right) - \frac{\omega_{M}}{p}}.\)
В силу ограничения по времени очевидно, что чистый спрос на досуг является отрицательным. Поэтому чистый спрос на досуг, взятый с обратным знаком, как разность между временным фондом жизнедеятельности человека и валовым спросом на досуг, задает индивидуальную функцию (чистого) предложения рабочей силы, представляющую собой зависимость количества отработанных часов в день от ставки заработной платы, величины нетрудовых доходов и уровня цен, задающего стоимость потребления:
\({L_{s} = {\omega_{T} - H^{m}}}\left( {w,p,\overline{M}} \right).\)
Поскольку задача распределения времени между трудом и досугом представляет собой развитие модели выбора с учетом первоначальных запасов благ, где таковыми являются временнóй фонд жизнедеятельности человека \((\omega_{T})\) и нетрудовой доход в реальном выражении \(({\omega_{M}/P})\), который, в свою очередь, можно трактовать как стоимость активов индивида, постольку функция предложения индивидуальной рабочей силы формируется под влиянием эффектов замещения (SE), дохода (IE) и богатства, или первоначального запаса (WE). Докажем это, выписав уравнение Слуцкого применительно к данной модели.
Симметричная, или взаимная, по отношению к связанной максимизации полезности (3.25) задача минимизации совокупных расходов потребителя как работника при условии достижения заданного уровня полезности будет выглядеть так:
\(\begin{matrix} {\underset{C,H}{\mathit{\min}}\left( {\mathit{pC} + \mathit{wH}} \right):} \\ {U{\left( {C,H} \right) = \overline{U}},} \\ \end{matrix}(3.27)\)
Решая данную задачу минимизации расходов работника, можно получить функции компенсированного спроса на досуг \({H = H^{h}}\left( {p,w,\overline{U}} \right)\) и материальные блага \({C = C^{h}}\left( {p,w,\overline{U}} \right)\). Подставляя эти функции условного спроса по Хиксу в выражение потребительских затрат, можно получить функцию расходов работника, аргументами которой будут являться ставка заработной платы, уровень цен и заданный уровень полезности:
\(E{\left( {p,w,\overline{U}} \right) = \mathit{pC}}{\left( {p,w,\overline{U}} \right) + \mathit{wH}}\left( {p,w,\overline{U}} \right).\)
С учетом данной функции расходов лемма Шепарда (2.70) применительно к теории выбора между доходом и досугом будет выглядеть так:
\({\frac{\mathit{dE}}{\mathit{dw}} = H}\left( {p,w,\overline{U}} \right),\)
\({\frac{\mathit{dE}}{\mathit{dp}} = C}\left( {p,w,\overline{U}} \right).\)
Дифференцируя тождество (3.4) соответственно по \(w\) и \(p\), учитывая тождество (3.1) и применяя лемму Шепарда, получаем уравнения Слуцкого применительно к теории выбора между доходом и досугом:
\({\frac{\partial H^{m}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial w} = {\frac{\partial H^{h}\left( {p,w,\overline{U}} \right)}{\partial w} - \frac{\partial H^{m}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}}\bullet H^{m}{\left( {w,p,\overline{M}} \right) = {\frac{\partial H^{h}\left( {p,w,\overline{U}} \right)}{\partial w} - \frac{\partial H^{m}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}}\bullet{\left( {z_{H} + \omega_{T}} \right) = {\frac{\partial H^{h}\left( {p,w,\overline{U}} \right)}{\partial w} + \frac{\partial H^{m}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}}\bullet{L_{S} - \frac{\partial H^{m}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}\bullet\omega_{T},\)
\({\frac{\partial C^{m}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial p} = {\frac{\partial C^{h}\left( {p,w,\overline{U}} \right)}{\partial p} - \frac{\partial C^{m}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}}\bullet C^{m}{\left( {w,p,\overline{M}} \right) = {\frac{\partial C^{h}\left( {p,w,\overline{U}} \right)}{\partial p} - \frac{\partial C^{m}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}}\bullet{\left( {z_{C} + \frac{\omega_{M}}{p}} \right) = {\frac{\partial C^{h}\left( {p,w,\overline{U}} \right)}{\partial p} - \frac{\partial C^{m}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}}\bullet{z_{C} - \frac{\partial C^{m}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}\bullet\left( \frac{\omega_{M}}{p} \right),\)
где \(\frac{\partial H^{m}}{\partial w}\) – эффект изменения ставки заработной платы при фиксированных финансовых ресурсах потребителя, \(\frac{\partial C^{m}}{\partial p}\) – эффект изменения ставки заработной платы при фиксированных финансовых ресурсах потребителя, \(\frac{\partial H^{h}}{\partial w}\) и \(\frac{\partial C^{h}}{\partial p}\) – эффекты замещения, \(\left( {L_{S}\frac{\partial H^{m}}{\partial\overline{M}}} \right)\) и \(\left( {{- z_{C}}\frac{\partial C^{m}}{\partial\overline{M}}} \right)\) – чистые эффекты дохода, \(\left( {\omega_{T}\frac{\partial H^{m}}{\partial\overline{M}}} \right)\) и \(\left( {\frac{\omega_{M}}{p}\bullet\frac{\partial C^{m}}{\partial\overline{M}}} \right)\) – эффекты богатства соответственно для наемного работника – продавца рабочей силы и для поставщика ликвидных ресурсов, последний из которых проявляется как эффект реальных кассовых остатков.
Опираясь на соотношение между валовым и чистым спросом на потребительские блага:
\(C^{m}{\left( {w,p,\overline{M}} \right) = z_{c}}{\left( {w,p,\overline{M}} \right) + \frac{\omega_{M}}{p}},\)
из которого следует, что влияние изменения ставки заработной платы на валовой спрос можно разложить на эффект ставки заработной платы при фиксированных финансовых ресурсах потребителя относительно чистого спроса на предметы потребления и эффект переоценки запаса денежных средств в реальном выражении:
\({\frac{\partial C^{m}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial p} = {\frac{\partial z_{c}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial p} + \frac{\partial}{\partial p}}}{\left( \frac{\omega_{M}}{p} \right) = {\frac{\partial z_{c}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial p} - \frac{\omega_{M}}{p^{2}}}}.\)
Поэтому уравнение Слуцкого для потребительских благ можно переписать с точки зрения эффекта изменения ставки заработной платы на чистый спрос при фиксированных финансовых ресурсах индивидуума:
\({\frac{\partial z_{c}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial p} = {\frac{\partial C^{h}\left( {p,w,\overline{U}} \right)}{\partial p} - \frac{\partial C^{m}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}}\bullet{z_{C} - \frac{\partial C^{m}\left( {w,p,\overline{M}} \right)}{\partial\overline{M}}}\bullet{\left( \frac{\omega_{M}}{p} \right) + \frac{\omega_{M}}{p^{2}}}.\)
Эффект реальных кассовых остатков здесь будут отражать последние два слагаемые в правой части данного уравнения Слуцкого.
Для того чтобы проиллюстрировать графически влияние эффектов замещения, дохода и богатства на предложение труда, рассмотрим изменение, например, повышение ставки заработной платы (рис. 3.30).
Рисунок 3.30. Выбор между потреблением товаров и досугом: индивидуальное предложение труда
Поскольку свободное время является нормальным благом, эффекты дохода и замещения сонаправлены5. Величина общего эффекта изменения цены рабочей силы (отрезок [H2H1] на рис. 3.30) складывается из трех эффектов: замещения [H3H1], возникающего за счет относительного удорожания досуга; дохода [H4H3], проистекающего из снижения покупательной способности человека с учетом потребления досуга; и богатства [H4H2], имеющего своим источником повышение потенциальной стоимости временнóго фонда жизнедеятельности человека. Знак общего эффекта определяет направление монотонности функции предложения труда. Она является возрастающей, если эффекты замещения и дохода превышают эффект богатства и общий эффект противоположен по направлению изменению ставки заработной платы. Возможна и противоположная ситуация, когда эффект богатства перекрывает эффекты замещения и дохода, общий эффект сонаправлен изменению ставки заработной платы. При этом функция предложения труда будет убывающей.
Отметим, что, несмотря на то что у индивидуальной линии предложения труда может присутствовать убывающий участок, рыночное предложение труда, как горизонтальная сумма индивидуальных функций, как правило, будет возрастающим, поскольку для большинства работников эффект богатства не настолько велик, чтобы заставить их работать меньше при увеличении ставки заработной платы.
Поскольку первоначальный запас денег в реальном выражении зафиксирован \(\left( \frac{\omega_{M}}{\overline{p}} \right)\), постольку общий эффект изменения уровня цен также можно разложить на следующие три составляющие: эффект замещения, эффект дохода в узком смысле как изменение покупательной способности запаса денег в реальном выражении и эффект богатства, который проявляется как эффект реальных кассовых остатков – изменение их стоимости в текущих ценах (рис. 3.31).
Рисунок 3.31. Эффекты замещения, дохода и реальных кассовых остатков при росте уровня цен
В частности, при повышении уровня цен \(\left( {p_{2} \\gt p_{1}} \right)\) первоначальное бюджетное ограничение (№1) \(p_{1}{{C + \mathit{wH}} = p_{1}}{\left( \frac{\omega_{M}}{p_{1}} \right) + w}\omega_{T}\), или \({C = {\frac{\omega_{M}}{p_{1}} + \frac{w}{p_{1}}}}{\omega_{T} - \frac{w}{p_{1}}}H\), поворачивается против часовой стрелки вокруг точки пересечения с горизонтальной осью \(\left( {{\frac{\omega_{M}}{w} + \omega_{T}},0} \right)\) в положение №2 и принимает вид \(p_{2}{{C + \mathit{wH}} = p_{2}}{\left( \frac{\omega_{M}}{p_{2}} \right) + w}\omega_{T}\), или \({C = {\frac{\omega_{M}}{p_{2}} + \frac{w}{p_{2}}}}{\omega_{T} - \frac{w}{p_{2}}}H\). Соответственно общий эффект изменения цены потребительских благ характеризуется перемещением фактической, наблюдаемой точки оптимума потребителя от E1 – к E2. Эффект замещения отражается движением из исходной точки оптимума в точку E3 касания с исходной кривой безразличия \({\overline{U}}_{1}\) виртуальной линии расходов №3, угловой коэффициент которой определяется новым соотношением цен.
Бюджетное ограничении №4 \(p_{2}{{C + \mathit{wH}} = p_{2}}{\left( \frac{\omega_{M}}{p_{1}} \right) + w}\omega_{T}\), или \({C = {\frac{\omega_{M}}{p_{1}} + \frac{w}{p_{2}}}}{\omega_{T} - \frac{w}{p_{2}}}H\), соответствует ситуации, когда потребитель оценивает свои реальные ликвидные активы, отталкиваясь от первоначального уровня цен \(\left( \frac{\omega_{M}}{p_{1}} \right)\), тогда как фактические цены уже повысились до уровня \(p_{2}\). При этом, с точки зрения данного индивидуума, номинальная стоимость его реальных ликвидных активов повышается до уровня \(p_{2}\left( \frac{\omega_{M}}{p_{1}} \right)\). Таким образом, бюджетное ограничении №4 характеризует феномен «денежных иллюзий» покупателя. Переход из точки E3 в точку E4 максимума полезности потребителя при вспомогательном бюджетное ограничении №4 отражает эффект дохода в узком смысле как изменение покупательной способности исходной величины ликвидных активов индивидуума.
Соответственно, перемещение с бюджетного ограничения №4 на итоговое, фактическое бюджетное ограничение №2 показывает эффект «реальных кассовых остатков», когда индивидуум осознаёт, что становится беднее, поскольку при возросших ценах его ликвидные активы в реальном выражении дешевеют, тогда как их номинальная ценность остается прежней.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий эффекты замещения, дохода и реальных кассовых остатков при повышении общего уровня цен в модели выбора между доходом и досугом для предпочтений Кобба-Дугласа. Пусть функция полезности индивидуума имеет вид: \(U = \sqrt{\mathit{CH}}\). Индивидуум располагает первоначальным запасом денег \(\omega_{M} = 10\). Предположим, что уровень цен повышается от \(p_{1} = 1\) до \(p_{2} = 2\). Ставка заработной платы неизменна, ее уровень составляет \(w = 5\).
Исходный оптимум потребителя таков: \({H_{1} = 13},{C_{1} = 65}\). При этом индивидуальная полезность достигает уровня \(U = \sqrt{845}\).
Конечный потребительский оптимум характеризуется координатами: \({H_{2} = 13},{C_{2} = 32,5}\).
Третий, вспомогательный оптимум будет определяться касанием некоторого гипотетического бюджетного ограничения и исходной кривой безразличия: \(\sqrt{2,5}{H_{3} = \sqrt{845}},{H_{3} = \sqrt{338}}\approx 18,38,{C_{3} = 2,5}\sqrt{338}\approx 45,96\). Эффект замещения по Хиксу составит: \(\mathrm{\Delta}{H = 5,38};\mathrm{\Delta}{C = {- 19,04}}\).
Эффект реальных кассовых остатков может быть определен с помощью четвертого оптимума, рассчитываемого на основе бюджетного ограничения: \(2,5{H_{4} = {10 + 24}}\bullet{2,5 - 2,5}H_{4}\). Координаты этого оптимума будут таковы: \({H_{4} = 14},{C_{4} = 2,5}\bullet{14 = 35}\). Валовой эффект дохода будет равен: \(\mathrm{\Delta}{H = {- 4,38}};\mathrm{\Delta}{C = {- 10,96}}\). Эффект реальных кассовых остатков составит: \(\mathrm{\Delta}{H = {- 1}};\mathrm{\Delta}{C = {- 2,5}}\). В совокупности валовой эффект дохода и эффект реальных кассовых остатков дают чистый эффект дохода: \(\mathrm{\Delta}{H = {{- 4,38} - 1} = {- 5,38} = {18,38 - 13}};\mathrm{\Delta}{C = {{- 10,96} - 2,5} = {- 13,46} = {32,5 - 45,96}}\).
Заметим, что функция спроса характеризуется постоянной ценовой эластичностью при любом значении аргумента тогда и только тогда, когда функция спроса имеет степенной вид: \({Q = c}P^{k},\) где \(c\) – это произвольная константа. Действительно, если функция спроса обладает постоянной эластичностью, то она описывается дифференциальным уравнением:
\({E_{p}^{d} = \frac{d\ln|Q|}{d\ln|P|} = k},\)
интегрируя которое \({{\int{d\ln|Q|}} = k}{\int{d\ln|P|}}\), т.е. \(\ln{|Q| = k}\ln{|P| + \ln}c\), а затем потенцируя полученное равенство, получаем степенную функцию. См.: Маршалл А. Принципы политической экономии. – М.: Прогресс, 1983.↩︎
См.: Патинкин Д. Деньги, процент и цены. – М.: Экономика, 2004.↩︎
При этом эффект богатства, возникающий за счет удорожания товарно-материальных активов, для их обладателя является положительным.↩︎
Модель выбора между работой по найму, приносящей денежный доход, который расходуется на потребительские товары, и досугом как экономическим благом может рассматриваться в качестве частного случая модели Г. Беккера, включающей производственную деятельность внутри домохозяйства:
\(\begin{matrix} {\underset{y_{i}}{\mathit{\max}}{U(y_{1},\ldots,y_{l})}:} \\ {{L_{i} = a_{i}}y_{i},{x_{i} = g_{i}}y_{i};} \\ {{{\sum\limits_{i = 1}^{l}{p_{i}x_{i}}} = {\mathit{wL} + \omega_{M}}};} \\ {{{{\sum\limits_{i = 1}^{l}L_{i}} + L} = \omega_{T}};} \\ \end{matrix}\)
где \(y_{i}\) – производимые внутри домашнего хозяйства продукты конечного потребления, \(x_{i}\) – товары, покупаемые на рынке, \({i = 1},\ldots,l\); \(a_{i}\), \(g_{i}\) – коэффициенты затрат времени и товаров на производство единицы товара \(y_{i}\) внутри домохозяйства; \(L_{i}\) – продолжительность неоплачиваемой трудовой деятельности i-го вида в быту, L – продолжительность рыночной трудовой деятельности, приносящей денежный доход и оплачиваемой по ставке w (Беккер Г.С. Человеческое поведение: экономический подход. – М.: Изд-во ГУ ВШЭ, 2003). Объединяя финансовое и технологические условия модели, приходим к развернутому бюджетному ограничению: \({{\sum\limits_{i = 1}^{l}{p_{i}x_{i}}} + w}{{\sum\limits_{i = 1}^{l}L_{i}} = {\sum\limits_{i = 1}^{l}{(p_{i}{g_{i} + w}a_{i})y_{i}}} = w}{\omega_{T} + \omega_{M}}\). Здесь \({\pi_{i} = p_{i}}{g_{i} + w}a_{i}\) представляет собой полную цену единицы товара \(y_{i}\). Решая поставленную задачу связанной оптимизации, выписываем функцию Лагранжа: \({L = U}(y_{1},\ldots,y_{l}{) - \lambda}\left( {{{\sum\limits_{i = 1}^{l}{\left( {p_{i}{g_{i} + w}a_{i}} \right)y_{i}}} - w}{\omega_{T} - \omega_{M}}} \right)\). Условия оптимума имеют вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial L}{\partial y_{i}} = {\frac{\partial U}{\partial y_{i}} - \lambda}}{\pi_{i} = 0},{i = 1},\ldots,l;} \\ {{\frac{\partial L}{\partial\lambda} = {{- {\sum\limits_{i = 1}^{l}{\left( {p_{i}{g_{i} + w}a_{i}} \right)y_{i}}}} + w}}{{\omega_{T} + \omega_{M}} = 0.}} \\ \end{matrix} \right.\)
Из первых l равенств получаем эквимаржинальное условие: \({\frac{\mathit{MU}_{i}}{\mathit{MU}_{j}} = \frac{\pi_{i}}{\pi_{j}}},i,{j = 1},\ldots,l;i\neq j\). Оптимум в базовой модели предложения труда (3.26) окажется следствием модели Беккера, если представить последнюю в агрегированном виде с функцией полезности \(U(C,H)\) и значениями технологических коэффициентов \(g_{C} = 1\), \(a_{C} = 0\), \(g_{H} = 0\), \(a_{H} = 1\). Действительно, в таком случае получаем: \(\frac{\mathit{MU}_{H}}{\mathit{MU}_{c}} = \frac{p_{H}{g_{H} + w}a_{H}}{p_{C}{g_{C} + w}a_{C}} = \frac{w}{p}\).
Возможно обобщение модели деятельности домашнего хозяйства как производителя на случай нелинейной технологии (ср.: Рощин С.Ю., Разумова Т.О. Экономика труда. – М.: Инфра-М, 2001):
\(\begin{matrix} {\underset{y_{1},\ldots,y_{l}}{\mathit{\max}}{U(y_{1},\ldots,y_{l})}:} \\ {{y_{i} = f}\left( {x_{1},\ldots,x_{l},L_{1},\ldots,L_{l}} \right);} \\ {{{\sum\limits_{i = 1}^{l}{p_{i}x_{i}}} = {\mathit{wL} + \omega_{M}}};} \\ {{{{\sum\limits_{i = 1}^{l}L_{i}} + L + H} = \omega_{T}}.} \\ \end{matrix}\)↩︎
Если для трудолюбивого индивида досуг является благом низшего порядка, то действие эффектов дохода и замещения будет противоположно по направлению.↩︎