Природа потребительского выбора двойственна: выбор оптимального для потребителя набора товаров \(\left( {x_{1},x_{2}} \right)\) может анализироваться не только как проблема максимизации уровня полезности при заданном бюджетном ограничении (2.6), но и как проблема минимизации бюджетных расходов при заданном уровне предпочтений (2.47).
Симметрия, или двойственность, между задачами связанной максимизации полезности (2.6) и минимизации расходов (2.47) потребителя при условии равенства соответствующих предпочтений и товарных цен состоит в следующем. Если рассчитать, используя решение \(\left( {x_{1},x_{2}} \right)\), максимальный уровень полезности \(U\) в задаче (2.6) и рассматривать его в качестве ограничения \(\overline{U}\), то решение задачи (2.47) \(\left( {x_{1},x_{2}} \right)\) совпадет с ответом в (2.6). При этом величина расходов потребителя в (2.47) совпадет с его ограничением по доходу в (2.6). Другими словами, если \(\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}{{U\left( {x_{1},x_{2}} \right)} = \overline{U}}\) при условии \(p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}\leq\overline{M}\), \(x_{1}\geq 0\), \(x_{2}\geq 0\), то \(\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\min}}{\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}} \right) = \overline{M}}\) при выполнении ограничения: \(U\left( {x_{1},x_{2}} \right)\geq\overline{U}\), \(x_{1}\geq 0\), \(x_{2}\geq 0\).
Двойственность между задачами связанной максимизации полезности (2.6) и минимизации расходов (2.47) отражается четырьмя тождествами (рис. 3.1), выполняющимися для локально ненасыщаемых непрерывных предпочтений.
Минимальные расходы, необходимые для достижения полезности \({U = V}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)\) в двойственной задаче (2.47), представляют собой доход потребителя \(M\), выступающий в качестве ограничения в прямой задаче (2.6):
\(E\left( {p_{1},p_{2},V\left( {p_{1},p_{2},M} \right)} \right)\equiv M.(3.1)\)
Максимум полезности, достижимый при доходе \({M = E}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)\), в рамках прямой задачи (2.6) есть \(\overline{U}\), выступающая в качестве ограничения в двойственной задаче:
\(V\left( {p_{1},p_{2},E\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)} \right)\equiv\overline{U}.(3.2)\)
Маршаллианский спрос на некоторый, i-й товар при доходе \(M\) тождественно равен хиксианскому спросу на данный товар при заданном уровне полезности \({U = V}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)\):
\(x_{i}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)\equiv x_{i}^{h}\left( {p_{1},p_{2},V\left( {p_{1},p_{2},M} \right)} \right),{i = 1,2.}(3.3)\)
Хиксианский спрос на некоторый, i-й товар при заданной полезности \(\overline{U}\) тождественно равен маршаллианскому спросу на данный товар при доходе \({M = E}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)\):
\(x_{i}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)\equiv x_{i}^{m}\left( {p_{1},p_{2},E\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)} \right),{i = 1,2.}(3.4)\)
Рисунок 3.1. Двойственность задач потребительского выбора
Тождества (3.1)-(3.2) свидетельствуют о том, что функции расходов (2.56) и косвенной полезности (2.33) являются взаимно обратными (рис. 3.2). Это можно продемонстрировать, сравнивая соответствующие зависимости, полученные для случаев:
- функций полезности Стоуна-Джери ((2.61) и (2.35)) и Кобба-Дугласа ((2.62)-(2.63) и (2.36)-(2.37))1,
- совершенных субститутов ((2.64)-(2.65) и (2.38)-(2.39)),
- совершенных комплементов ((2.66) и (2.40)),
- функции полезности CES ((2.67) и (2.41)).
Рисунок 3.2. Двойственность задач потребительского выбора
Кроме того, проявлением двойственности между связанной максимизацией полезности (2.6) и минимизацией расходов (2.47) потребителя является также то, что множители Лагранжа в этих задачах представляют собой взаимно обратные величины. Действительно, множители Лагранжа в этих задачах представляют собой производные соответственно косвенной полезности по доходу (2.42) и расходов по уровню полезности (2.69), а поскольку функции расходов и косвенной полезности являются взаимно обратными, постольку их производные представляют собой взаимно обратные величины.
Таким образом, можно привести следующую схематическую иллюстрацию соотношений двойственности в потреблении (рис. 3.3), которая одновременно послужит отправной точкой для продолжения анализа данной проблематики в связи с фундаментальным для теории потребительского выбора уравнением Слуцкого.
Рисунок 3.3. Двойственность в теории потребления
Функция расходов (xvii) и (xviii) при n-продуктовых потребительских корзинах являются обратными по отношению к косвенным функциям полезности при предпочтениях Стоуна-Джери (x) и Кобба-Дугласа (xi).↩︎