Специально подчеркнем, что в данной главе нами анализируется поведение фирмы в условиях совершенной конкуренции. Одним из важнейших положений модели совершенной конкуренции является экзогенность цен для экономических агентов. В условиях несовершенной конкуренции фирмы могут использовать рыночную власть для того, чтобы влиять на уровень цен.
Итак, в условиях совершенной конкуренции бесконечно большое число предельно малых по величине производителей и потребителей в силу ничтожных размеров оказываются не в состоянии влиять на ценовые параметры рынка. Субъектов такой рыночной структуры называют “ценополучателями”. Данная рыночная структура характерна для отраслей с однородной, стандартной продукцией, в которых фирмы действуют в условиях полной определенности, то есть в их распоряжении должна быть полная информация о рынке. Необходимым условием возможности отнесения рынка к совершенно конкурентным является отсутствие барьеров для входа и свобода выхода фирм из отрасли, абсолютная мобильность ресурсов.
В условиях совершенной конкуренции, когда ни одна из фирм в отдельности оказывается не в состоянии повлиять на цену выпускаемой продукции, устанавливаемую механизмом отраслевого равновесия спроса и предложения, средний доход равен предельному и совпадает с уровнем рыночной цены: \({\mathit{MR} = \mathit{AR} = p}.\)
Формально ситуацию ситуацию совершенной конкуренции как на рынке готовой продукции, так и на рынке труда можно описать набором нулевых производных функций – спроса на продукцию предприятия по объему его производства, предложения труда и капитала для отдельной фирмы по объему его трудозатрат и основных фондов:
\begin{equation}{\frac{\partial P}{\partial Q} = \frac{\partial p_{L}}{\partial L} = \frac{\partial p_{L}}{\partial K} = \frac{\partial p_{K}}{\partial K} = \frac{\partial p_{K}}{\partial L} = 0.}\tag{2.112}\end{equation}
В современной экономической теории часто принимается предпосылка о том, что целью деятельности фирмы является максимизация прибыли, задаваемой как разность между общим доходом (\(\mathit{TR} = \mathit{pQ}\), где \(p\) – цена готовой продукции) и общими издержками: \(\mathit{PR} = {\mathit{TR} - \mathit{TC}}\). С учетом наличия внутризаводского оборота продукции прибыль предприятия можно трактовать как стоимость его чистого выпуска:
\({\mathit{PR} = {\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}\left( {q_{j} - x_{j}} \right)}} = {\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}y_{j}}}},\)
где \(x_{j}\) – объем используемого -го ресурса, \(q_{j}\) – объем производства \(j\)-го товара, \(y_{j} = {q_{j} - x_{j}^{p}}\) – чистый выпуск \(j\)-го товара. Для анализируемой нами монопродуктовой фирмы чистый выпуск производимого ею вида продукции будет положительным, а чистых выпуск всех остальных товаров, которые выступают в роли ресурсов, будет равен объему их использования, взятому со знаком минус.
В дальнейшем, анализируя предприятие в долгосрочном аспекте, будем исходить из того, что прибыль является неотрицательной величиной: \(\mathit{PR}\geq 0\), ведь в противном случае фирма всегда сможет выйти из бизнеса, избежав тем самым убытков.
Задача максимизации прибыли может трактоваться двояко: как поиск оптимальной комбинации факторов производства либо оптимального объема выпускаемой продукции, соответствующих наибольшему превышению выручки над издержками производства. решаться с применением процедур как одношаговой (одноэтапной), так и двухшаговой (двухэтапной) оптимизации. В первом случае, когда прибыль рассматривается как функция объемов используемых факторов производства, мы имеем дело с одноэтапной постановкой данной задачи. По-другому такая постановка задачи называется максимизацией прибыли на рынках факторов производства. Во втором случае прибыль рассматривается как функция объема производства, и задача поиска наибольшей прибыли рассматривается в двухэтапной постановке, когда предварительным этапом для решения данной задачи становится вывод функции издержек от количества продукции на основе решения задачи их минимизации при ограничении по выпуску. В такой трактовке рассматриваемой задачи максимизация прибыли предполагает минимизацию издержек производства. Действительно, при каждом, данном объеме производства, если комбинация его факторов не соответствует минимуму издержек, то прибыль фирмы всегда можно увеличить, оптимизируя сочетание факторов производства и сокращая, тем самым, производственные издержки. Оптимизация финансовых результатов фирмы может быть формально разложена на два этапа – минимизацию издержек при каждом данном объеме производства и выбор количества выпускаемой продукции, соответствующего максимально возможной прибыли. Часто такая постановка задачи называется максимизацией прибыли на рынке продукта.
Будем рассматривать одноэтапную постановку задачи максимизации прибыли (рис. 2.47):
\(\underset{K,L}{\mathit{\max}}{\mathit{PR} = \underset{K,L}{\mathit{\max}}}\left\{ {\mathit{pQ}(K,L{) - p_{K}}{K - p_{L}}L} \right\},\tag{2.113}\)
где \(K,L\) и \({Q = Q}(K,L)\) – соответственно затраты факторов и объем выпускаемой продукции как значение производственной функции, характеризующей технологические процессы на предприятии.
Рисунок 2.47. Пространственная иллюстрация решения задачи максимизации прибыли в одноэтапной постановке
В условиях экзогенных цен, когда ценовые параметры для предприятий заданы рынками продуктов и факторов производства, издержки производства будут линейной, а значит, вогнутой функцией, поэтому строгая вогнутость функции прибыли будет эквивалентна строгой вогнутости функции выручки, которая, в свою очередь, будет иметь место, если строго вогнутой является производственная функция. Это легко проверяется с помощью неравенства Йенсена (1.13).
Очевидно, что в условиях убывающей отдачи от масштаба исключается возможность “асимптотически конусообразной” (на бесконечности) поверхности производственной функции:
\(\forall x\in R_{{+ {}^{l + m + 1}}\nexists{\lim\limits_{\alpha{\rightarrow + \infty}}\frac{f{(\mathit{\alpha x})}}{\alpha{\| x\|}}},\alpha\in R.(2.114)}\)
Если не выполняется предположение (2.114) и для какого-то луча \(\mathit{\alpha x}\), \(\alpha\in R\), \(\alpha \gt 0\), существует \({\lim\limits_{\alpha{\rightarrow + \infty}}\frac{f(\mathit{\alpha x})}{\alpha\left\| x \right\|}} = R\), \(R\in R\), то в соответствии со свойством (1.37) строгой вогнутости на бесконечности угловой коэффициент секущих графика производственной функции вдоль данного луча мог бы стремиться к некоторой постоянной величине R. Предпосылка (2.114) означает, что тангенс угла наклона секущей графика технологии производства, а значит, при параметрическом характере цен и функции выручки может быть любым, ведь \(\forall x\in R_{+ {}^{l}}\) и \(\forall R\in R\) \(\exists{\varepsilon \gt 0}:\forall h(\varepsilon)\in R\exists{\alpha \gt h}(\varepsilon)\) \(\left| {\frac{f(\mathit{\alpha x})}{\alpha\left\| x \right\|} - R} \right| \gt \varepsilon\). В силу предпосылки об эффективности производства технология монотонно возрастает, поэтому предметом исследования являются положительные значения R. Поскольку, в свете свойства (1.37), угловой коэффициент секущей графика строго вогнутой функции с ростом затрат факторов хозяйственной деятельности монотонно убывает, условие (2.114) гарантирует, что на бесконечности для произвольного луча \(\mathit{\alpha x}\), \(\alpha\in R\), \(\alpha \gt 0\), исходящего из начала координат и проходящего в множестве доступных факторов производства X, каким бы малым не было выбрано число R, будет существовать секущая графика выручки, одним из своих концов так же имеющая нулевую точку, с угловым коэффициентом меньше R:
\({\frac{f(\mathit{\alpha x})}{\alpha\left\| x \right\|} \lt {R - \varepsilon} \lt R}.\)
Тангенс угла наклона секущей графика производственной функции, исходящей из нуля, может быть произвольно малым. Таким образом, поверхности производственной функции и выручки от реализации, обладающие свойством (2.114), пересекают луч с любым ненулевым угловым коэффициентом, исходящий из начала координат и имеющий общие точки соответственно с технологическим множеством либо множеством точек, лежащих под графиком валового дохода.
Итак, в условиях убывающей отдачи от масштаба производства, когда объем выпуска и выручки увеличивается медленнее, нежели линейные, однородные издержки (2.96), возможна двоякая ситуация. Если провести лучи из начала координат в неотрицательном ортанте, проходящие по плоскости издержек, то они обязательно либо вторично пересекут график выручки (рис. 2.47), либо, начиная с первой, предельно малой единицы затраченных ресурсов, будут лежать всюду выше графика валового дохода, и предприятие при первой же единице произведенной продукции начинает нести убытки. Отметим, что первая точка пересечения графиков выручки и издержек, очевидно, находится в начале координат (рис. 2.47), поскольку в силу отсутствия «рога изобилия» при отсутствии затрат факторов не производится никакой продукции. Далее будет показано, что случай, когда график выручки расположен всюду выше какого-то из лучей, в силу невозможности асимптотической конусообразности первого (2.114), следует исключить из рассмотрения.
Во втором случае, когда пересечение графиков наблюдается только в нуле, т.е. график издержек лежит всюду выше графика валового дохода, существует тривиальное решение задачи максимизации прибыли – отказ от хозяйственной деятельности, что позволяет избежать убытков, которые будут иметь место при любой ненулевой используемой комбинации факторов производства.
Остановимся на первом случае, когда в силу убывания отдачи от масштаба производства график производственной функции будет лежать выше отрезка, проведенного из начала координат до пересечения с ним. Рассмотрим множество \(\widehat{X}\) комбинаций факторов производства, которому соответствует пересечение областей величин издержек и дохода, когда хозяйственная деятельность ведется с нулевой прибылью. Очевидно, что \(0\in\widehat{X}\).
Проведем лучи из начала координат через каждый набор хозяйственных ресурсов \(\widehat{x}\) из множества \(\widehat{X}\). Нулевая комбинация факторов производства и другая их корзина, соответствующая нулевой прибыли \(\widehat{x}\), определяют на данных лучах сегменты, внутренние точки которых \(\overset{\sim}{x}\) при \(\alpha\in{\lbrack{0,1}\rbrack}\), \(\alpha\in R\), удовлетворяют соотношению \({\overset{\sim}{x} = \alpha}\widehat{x}\). При затратах факторов, соответствующих внутренним точкам данного отрезка, прибыль будет положительной; на его концах – в начале координат и во второй, ненулевой комбинации ресурсов, задающей точку пересечения плоскости издержек производства с графиком выручки \(\widehat{x}\) – прибыль будет нулевой; а далее от начала координат вдоль луча – отрицательной.
Рассмотрим множество \(\overset{\sim}{X}\) точек данных отрезков. Оно является замкнутым как дополнение к открытому множеству \(\overline{X}\) комбинаций факторов производства \({\overline{x} = \alpha}\widehat{x}\), \(\alpha\in R\), \(\alpha \gt 1\), которые входят в данное множество вместе со своей окрестностью1.
Докажем теперь ограниченность множества \(\overset{\sim}{X}\). Для этого предположим обратное – что существует последовательность точек \(\left\{ {\widehat{x}}_{n} \right\}\) множества \(\widehat{X}\) такая, что:
\(\forall R\in Rи\forall k\in N\exists n\geqslant k:\left\| {\widehat{x}}_{n} \right\|\geqslant R.(2.115)\)
Обозначим через L множество лучей, исходящих из начала координат и лежащих в неотрицательном вещественном ортанте \(R_{+ {}^{l}}\). Зафиксируем произвольную гиперплоскость G, пересекающую координатные оси \(R_{+ {}^{l}}\) и параллельную оси 0Y, которая, скажем, проходит через координатные орты единичной длины:
\({{x_{1} + \ldots + x_{l}} = 1.}(2.116)\)
Ее сегмент, лежащий в неотрицательном ортанте действительных чисел \(R_{+ {}^{l}}\), будет представлять собой \(l\)-мерный симплекс. Каждой его точке \(x^{'}\), которая представима в виде линейной комбинации координатных ортов (xk) \(x^{'} = {\sum\limits_{k = 1}^{l}{\lambda_{k}x_{k}}}\) с единичной суммой коэффициентов \(\lambda_{k}\geqslant 0\) \(\left( {{\sum\limits_{k = 1}^{l}\lambda_{k}} = 1} \right)\), будет соответствовать один из лучей \({l = \alpha}x^{'}\in L\), \(\alpha \gt 0\), \(\alpha\in R\).
Множество лучей L можно рассматривать в качестве метрического пространства, если ввести в нем метрику, то есть расстояние между любыми двумя лучами \({l_{1} = \alpha}x_{1}^{'}\) и \({l_{2} = \alpha}x_{2}^{'}\), как длину отрезка \(\rho\left( {x_{1}^{'},x_{2}^{'}} \right)\), соединяющего точки \(x_{1}^{'}\) и \(x_{2}^{'}\) гиперплоскости G, принадлежащие этим лучам. Все три свойства метрики при этом, очевидно, выполняются: \(\rho{\left( {l_{1},l_{2}} \right) = 0}\) тогда и только тогда, когда \(l_{1}\) и \(l_{2}\) совпадают, то есть проходят через одну и ту же точку гиперплоскости G; метрика симметрична, то есть \(\rho{\left( {l_{1},l_{2}} \right) = \rho}\left( {l_{2},l_{1}} \right)\); а также справедливо неравенство треугольника \(\rho{\left( {l_{1},l_{2}} \right) + \rho}\left( {l_{2},l_{3}} \right)\geqslant\rho\left( {l_{1},l_{3}} \right)\), где \({l_{3} = \alpha}x_{3}^{'}\) – луч из множества L, проходящий через точку \(x_{3}^{'}\) гиперплоскости G; поскольку то же справедливо для точек \(x_{1}^{'}\), \(x_{2}^{'}\) и \(x_{3}^{'}\). ε-окрестность луча \({l = \alpha}x^{'}\) будет представлять собой конус, состоящий из лучей, проходящих через точки гиперплоскости G, расположенные в ε-окрестности точки \(x^{'}\).
Итак, рассмотрим отображение φ, ставящее в соответствие каждому элементу множества точек гиперплоскости G один, единственный элемент множества лучей L. Данное отображение φ является непрерывным, поскольку для него выполняется условие Коши2: если выбрать окрестность некоторого луча \({l = \alpha}x^{'}\), \(\alpha\in R\), \(\alpha \gt 0\), имеющую произвольный радиус ε, то для всех точек x, лежащих в окрестности того же радиуса ε по отношению к точке \(x^{'}\), соответствующие им лучи \(l^{'} = \mathit{\alpha x}\), \(\alpha\in R\), \(\alpha \gt 0\), будут находиться в данной ε-окрестности луча l.
Множество точек гиперплоскости G внутри неотрицательного ортанта действительных чисел \(R_{+ {}^{l}}\) замкнуто как пересечение соответствующих замкнутых множеств. Поскольку все координаты каждой из точек данного множества неотрицательны, в силу (2.116) можно сделать вывод, что \(0\leqslant x_{j}\leqslant 1,{j = 1},\ldots,l\). Следовательно, \(\rho\left( {x_{1},x_{2}} \right)\leqslant\sqrt{l}\), где \(x_{1}\) и \(x_{2}\) – произвольные точки неотрицательного сегмента гиперплоскости G.
Поскольку данное множество имеет конечный диаметр, оно является ограниченным. Таким образом, как замкнутое и ограниченное множество действительных чисел, множество точек гиперплоскости G, лежащих внутри \(R_{+ {}^{l}}\), представляет собой метрический компакт.
Множество лучей L есть непрерывный образ компакта, следовательно, оно так же, как и его прообраз, представляет собой компакт3. Следовательно, в множестве лучей L каждое бесконечное множество имеет хотя бы одну предельную точку4. А значит, и последовательность лучей, каждый из которых содержит одну из точек анализируемой нами последовательности комбинаций факторов производства, обеспечивающих неотрицательную прибыль \(\left\{ {\widehat{x}}_{n} \right\}\), имеет в качестве предельной точки луч \(\overset{\sim}{l}\), в любой окрестности которого есть хотя бы один, а значит – бесконечно много лучей из множества L.
Допустим, что на данном луче \(\overset{\sim}{l}\) можно найти такую комбинацию факторов хозяйственной деятельности \({\widehat{x}}_{0}\), которой соответствуют равные значения валовой выручки и издержек, то есть нулевая прибыль. Но это будет означать, что у последовательности ресурсных наборов \(\left\{ {\widehat{x}}_{n} \right\}\) существует предел \({\widehat{x}}_{0}\): \(\forall{\varepsilon \gt 0}\) \(\exists h(\varepsilon)\in N:\forall{n \gt h}(\varepsilon){\left\| {{\widehat{x}}_{n} - {\widehat{x}}_{0}} \right\| \lt \varepsilon}\), чего по предположению (2.115) не может быть.
Полученное противоречие показывает, что на луче \(\overset{\sim}{l}\), как на предельной точке множества L, отсутствуют комбинации факторов производства, которым соответствовали бы равные значения выручки и издержек, или нулевая прибыль. Но существование такого луча, в свою очередь, противоречит доказанному выше утверждению о том, что график валовой выручки, который, по предположению (2.114), не может быть асимптотически конусообразным, в условиях убывающей отдачи от масштаба производства обязательно пересекает плоскость издержек.
Итак, данное противоречие доказывает невозможность существования неограниченной последовательности наборов факторов хозяйственной деятельности, при которых издержки не превосходят выручку (2.115).
Следовательно, множество комбинаций хозяйственных ресурсов, соответствующих неотрицательной прибыли, \(\overset{\sim}{X}\) является ограниченным. Кроме того, выше было обосновано, что оно является замкнутым. Таким образом, множество наборов факторов производства, обеспечивающих положительную или хотя бы нулевую прибыль, является компактным.
Издержки производства являются непрерывными как линейная функция. В силу соображений, изложенных во введении, будет разумным допустить также принадлежность производственной функции классу гладкости C0. Следовательно, прибыль, как разница между выручкой – линейным преобразованием производственной функции в условиях параметрического характера цен – и издержками, также будет непрерывной функцией. Согласно “принципу компактности” Вейерштрасса5, непрерывная действительнозначная функция, определенная на компактном множестве \(\overset{\sim}{X}\in R_{+ {}^{l}}\), достигает на \(\overset{\sim}{X}\) максимального и минимального значения. Поэтому в какой-то внутренней точке рассмотренного выше компактного множества \(\overset{\sim}{X}\) прибыль будет достигать наибольшего значения.
Итак, в случае убывающей отдачи от масштаба производства, поскольку можно исключить возможность асимптотической конусообразности поверхности производственной функции (2.114), постольку задача максимизации прибыли имеет решение при любом изначальном соотношении между выручкой и издержками. В силу того, что вогнутости производственной функции при отсутствии “рога изобилия” достаточно для убывания отдачи от ее масштаба (1.38), задача максимизации прибыли будет обязательно разрешима при данной характеристике технологии предприятия.
Итак, строгая вогнутость производственной функции (1.12), а значит, убывающая отдача от масштаба производства (при отсутствии «рога изобилия») является достаточным условием максимизации прибыли (в одноэтапной постановке)6.
Более того, если производственная функция является не только непрерывной, но и строго вогнутой, то оптимальная комбинация факторов производства \(\widehat{x}\) является единственной.
Докажем единственность оптимальной комбинации факторов производства в задаче максимизации прибыли от противного. Пусть найдется другой, не равный полученной нами производственной комбинации \(\widehat{x}\) набор благ \(\check{x}\), который также является решением задачи максимизации прибыли. Допустимое множество S задачи максимизации прибыли – весь неотрицательный ортант действительных чисел – является выпуклым. Поэтому весь отрезок, соединяющий точки \(\widehat{x}\), \(\check{x}\) и состоящий из точек вида \({x = \alpha}{\widehat{x} + (}{1 - \alpha})\check{x}\), \(\alpha\in(0,1)\), содержится в S.
Поскольку производственная функция является строго вогнутой, постольку:
\begin{equation} \mathit{PR}{(x) = \mathit{TR}}{(x) - \mathit{TC}}{(x) = \\ \mathit{pQ}}{\left( {\alpha{\widehat{x} + \left( {1 - \alpha} \right)}\check{x}} \right) - \mathit{TC}}{\left( {\alpha{\widehat{x} + \\ \left( {1 - \alpha} \right)}\check{x}} \right) = \\ \mathit{pQ}}{\left( {\alpha{\widehat{x} + \left( {1 - \alpha} \right)}\check{x}} \right) - \\ \mathit{\alpha TC}}{\left( \widehat{x} \right) + \left( {1 - \alpha} \right)}\mathit{TC}{\left( \check{x} \right) \gt \mathit{\alpha pQ}}{\left( \widehat{x} \right) + \left( {1 - \alpha} \right)}\mathit{pQ}{\left( \check{x} \right) - \\ \mathit{\alpha TC}}{\left( \widehat{x} \right) + \left( {1 - \alpha} \right)}\mathit{TC}{\left( \check{x} \right) = \\ \mathit{\alpha PR}}{\left( \widehat{x} \right) + \left( {1 - \alpha} \right)}\mathit{PR}{\left( \check{x} \right) = \\ \mathit{PR}}{\left( \widehat{x} \right) = \mathit{PR}}\left( \check{x} \right). \end{equation}
Но данное неравенство противоречит условию, гласящему, что \(\widehat{x}\) и \(\check{x}\) – решения задачи максимизации прибыли, т.е. оптимальные производственные наборы. Полученное противоречие показывает, что гипотеза о неединственности оптимального производственного набора является ложной. Следовательно, оптимальный производственный набор \(\widehat{x}\) является единственным решением задачи максимизации прибыли.
Таким образом, доказав единственность оптимального производственного набора, мы показали, что локальный максимум в задаче максимизации прибыли совпадает с глобальным.
Как правило, производственная функция предполагается (дважды непрерывно) дифференцируемой по затратам факторов производства \(\left( {{Q = Q}(K,L)\in C^{2}} \right)\). Тогда необходимое условие максимума функции прибыли предприятия в одноэтапной постановке (2.113), которая является дифференцируемой как линейный оператор, действующий на производственную функцию, представляет собой равенство нулю первой производной данной функции по объемам используемых факторов – труда и капитала:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial\mathit{PR}(K,L)}{\partial L} = p}{\frac{\partial f(K,L)}{\partial L} + \frac{\partial p}{\partial L}}f{\left( {K,L} \right) - K}{\frac{\partial p_{K}}{\partial L} - w - \frac{\partial p_{L}}{\partial L}}{L = 0},(2.117)} \\ {{\frac{\partial\mathit{PR}(K,L)}{\partial K} = p}{\frac{\partial f(K,L)}{\partial K} + \frac{\partial p}{\partial K}}f{\left( {K,L} \right) - r - \frac{\partial p_{K}}{\partial K}}{K - L}{\frac{\partial p_{L}}{\partial K} = 0.}(2.118)} \\ \end{matrix} \right.\)
Сумма первых двух слагаемых в выражении (2.117) представляет собой производную общего дохода фирмы по количеству применяемого труда, или предельную доходность этого фактора производства, равную произведению предельного дохода предприятия на предельный продукт фактора:
\(\mathit{MRP}_{L}\equiv{\frac{\partial\mathit{TR}}{\partial L} = \frac{\partial}{\partial L}}{\left( {\mathit{pQ}\left( {K,L} \right)} \right) = \frac{\partial\mathit{TR}(Q)}{\partial Q}}{\frac{\partial Q\left( {K,L} \right)}{\partial L} = \mathit{MR}}\bullet\mathit{MP}_{L}.\)
Аналогично для равенства (2.118):
\(\mathit{MRP}_{K}\equiv{\frac{\partial\mathit{TR}}{\partial K} = \frac{\partial}{\partial K}}{\left( {\mathit{pQ}\left( {K,L} \right)} \right) = \frac{\partial\mathit{TR}(Q)}{\partial Q}}{\frac{\partial Q\left( {K,L} \right)}{\partial K} = \mathit{MR}}\bullet\mathit{MP}_{K}.\)
Сумма последних трех слагаемых в выражениях (2.117) – (2.118) представляют собой производные общих издержек фирмы по соответствующей переменной, или предельные издержки фактора производства:
\(\mathit{MC}_{L}\equiv\frac{\partial\mathit{TC}}{\partial L},\mathit{MC}_{K}\equiv\frac{\partial\mathit{TC}}{\partial K}.\)
Таким образом, если прибыль при определенном объеме выпуска достигает максимума и существует ее производная при данном объеме производства, то:
\(\left\{ \begin{matrix} {{\mathit{MRP}_{L} = \mathit{MC}_{L}};} \\ {{\mathit{MRP}_{K} = \mathit{MC}_{K}}.} \\ \end{matrix} \right.\)
По три слагаемых в каждом из выражений (2.117) – (2.118), в силу предположений (2.112), равняются нулю:
\(\frac{\partial P}{\partial L}f(K,L{) = \frac{\partial P}{\partial K}}f(K,L{) = \frac{\partial p_{L}}{\partial L}}{L = \frac{\partial p_{K}}{\partial K}}{K = K}{\frac{\partial p_{K}}{\partial L} = L}{\frac{\partial p_{L}}{\partial K} = 0.}\)
Последние четыре равенства непосредственно следуют из (2.112), а первые два становятся очевидными, если расписать присутствующие в них производные, рассматривая соответствующие функции как композитные: \({\frac{\partial P}{\partial L} = \frac{\partial P}{\partial Q}}\frac{\partial Q(K,L)}{\partial L}\), \({\frac{\partial P}{\partial K} = \frac{\partial P}{\partial Q}}\frac{\partial Q(K,L)}{\partial K}\) и использовать свойство (2.112). Поэтому необходимое условие максимума функции прибыли представляет собой систему:
\(\left\{ \begin{matrix} {p\bullet\mathit{MP}_{L}{\left( {K,L} \right) = p_{L}},} \\ {p\bullet\mathit{MP}_{K}{\left( {K,L} \right) = p_{K}},} \\ \end{matrix} \right.\mathit{или}\left\{ \begin{matrix} {{\mathit{MP}_{L} = \frac{p_{L}}{p}},} \\ {{\mathit{MP}_{K} = \frac{p_{K}}{p}}.} \\ \end{matrix} \right.(2.119)\)
Итак, экономический смысл необходимых условий экстремума (2.119) состоит в одновременном равенстве этих предельных продуктов соответственно реальной ставке заработной \(\left( {p_{L}/p} \right)\) и арендной \(\left( {p_{K}/p} \right)\) платы7.
Итак, при дифференцируемости технологии производства необходимым условием максимизации прибыли в одноэтапной постановке (2.113) будет равенство стоимости предельных продуктов ценам факторов производства (2.119). Достаточным условием максимизации прибыли при экзогенном характере цен для хозяйствующих субъектов будет отрицательная определенности матрицы Гессе производственной функции \({Q = Q}(K,L)\in C^{2}\).
Объединенное необходимое условие максимума прибыли можно сформулировать так:
\({\frac{\mathit{MP}_{L}(K,L)}{p_{L}} = \frac{\mathit{MP}_{K}(K,L)}{p_{K}} = \frac{1}{p}},(2.120)\)
то есть отношение предельного продукта фактора производства к его цене должно быть одинаковым для всех ресурсов и равным обратной величине цены готовой продукции.
Вариацией решения задачи максимизации прибыли в одноэтапной постановке (2.113) – оптимальной комбинации факторов \(\left( {K^{},L^{}} \right)\) – по параметрам этой задачи – ценам факторов производства и выпускаемого продукта \(\left( {p_{K},p_{L},p} \right)\) – являются функции производного спроса на труд и капитал:
\({K = K}\left( {p_{K},p_{L},p} \right);{L = L}\left( {p_{K},p_{L},p} \right).(2.121)\)
Рассматривая данные функции производного спроса на факторы в качестве аргументов производственной функции, можно получить функцию предложения продукции предприятием:
\({Q = Q}{\left( {K\left( {p_{K},p_{L},p} \right),L\left( {p_{K},p_{L},p} \right)} \right) = Q}\left( {p_{K},p_{L},p} \right).(2.122)\)
Доказав единственность оптимального производственного набора, мы обосновали существование функций производного спроса (2.121) и предложения продукции предприятием (2.122) как зависимостей соответственно между оптимальными величинами факторов и объема производства, с одной стороны, и ценами – на продукт и на факторы хозяйственной деятельности – с другой.
Выведем, например, функции производного спроса на труд и капитал при технологии \({Q = K^{\alpha}}L^{\beta}\). Из системы условий (2.119) имеем соответственно \(\mathit{p\beta}K^{\alpha}{L^{\beta - 1} = p_{L}}\), \(\mathit{p\alpha}K^{\alpha - 1}{L^{\beta} = p_{K}}\), откуда приходим к траектории развития фирмы (2.86). Таким образом, функции производного спроса на факторы хозяйственной деятельности будут выглядеть так (рис. 4.16):
\({L = \left( \frac{p\alpha^{\alpha}\beta^{1 - \alpha}}{p_{K}^{\alpha}p_{L}^{1 - \alpha}} \right)^{\frac{1}{1 - \alpha - \beta}}},{K = \left( \frac{p\alpha^{1 - \beta}\beta^{\beta}}{p_{K}^{1 - \beta}p_{L}^{\beta}} \right)^{\frac{1}{1 - \alpha - \beta}}}.(2.123)\)
В частности, если \({Q = K^{¼}}L^{½}\), то
\({K = \frac{p^{4}}{64p_{K}^{2}p_{L}^{2}}},{L = \frac{p^{4}}{32p_{K}p_{L}^{3}}}.(2.124)\)
Достаточное условие максимума прибыли состоит в строгой вогнутости технологии производства, т.е. в отрицательной определенности соответствующей матрицы Гессе:
\(\begin{pmatrix} {\frac{- 3}{16}K_{i}^{\frac{- 7}{4}}L_{i}^{\frac{1}{2}}} & {\frac{1}{8}K_{i}^{\frac{- 3}{4}}K_{i}^{\frac{- 1}{2}}} \\ {\frac{1}{8}K_{i}^{\frac{- 3}{4}}L_{i}^{\frac{- 1}{2}}} & {\frac{- 1}{4}K_{i}^{\frac{1}{4}}L_{i}^{\frac{- 3}{2}}} \\ \end{pmatrix}.\)
Действительно, ее первый главный минор отрицателен:
\(\frac{- 3}{16}K_{i}^{\frac{- 7}{4}}{L_{i}^{\frac{1}{2}} \lt 0},\)
а второй главный минор – положителен:
\(\frac{3}{16}K_{i}^{\frac{- 7}{4}}L_{i}^{\frac{1}{2}}\bullet\frac{1}{4}K_{i}^{\frac{1}{4}}{{L_{i}^{\frac{- 3}{2}} - \left( {\frac{1}{8}K_{i}^{\frac{- 3}{4}}L_{i}^{\frac{- 1}{2}}} \right)^{2}} = \frac{1}{32}}K_{i}^{\frac{- 3}{2}}{L_{i}^{- 1} \gt 0.}\)
Подставляя данные функции производного спроса на факторы (2.123)-(2.124) в производственную функцию, получаем соответствующие функции предложения продукции предприятием
\({Q = \left( \frac{\alpha}{p_{K}} \right)^{\frac{\alpha}{1 - \alpha - \beta}}}\left( \frac{\beta}{p_{L}} \right)^{\frac{\beta}{1 - \alpha - \beta}}p^{\frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha - \beta}}.(2.125)\)
\(Q{\left( {p_{K},p_{L},p} \right) = \frac{p^{3}}{16p_{K}p_{L}^{2}}}.(2.126)\)
Функции производного спроса (2.121) являются однородными нулевой степени по ценам факторов производства и выпускаемого продукта:
\(K{\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right) = K}\left( {p_{K},p_{L},p} \right);L{\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right) = L}\left( {p_{K},p_{L},p} \right).(2.127)\)
Для доказательства данного утверждения рассмотрим задачу максимизации прибыли (2.113) при возросших в \(t\) раз ценах факторов производства и выпускаемого продукта:
\(\underset{K\geq 0,L\geq 0}{\mathit{\max}}{{\mathit{PR}(K,L)} = \underset{K\geq 0,L\geq 0}{\mathit{\max}}}\left\{ {t\mathit{pQ}(K,L{) - t}p_{K}{K - t}p_{L}L} \right\}\)
Для нее необходимые условие максимума (2.119) остаются в силе:
\(\left\{ \begin{matrix} {tp\bullet\mathit{MP}_{L}{\left( {K,L} \right) = t}p_{L},} \\ {\mathit{tp}\bullet\mathit{MP}_{K}{\left( {K,L} \right) = t}p_{K},} \\ \end{matrix} \right.т.е.\left\{ \begin{matrix} {{\mathit{MP}_{L} = \frac{p_{L}}{p}},} \\ {{\mathit{MP}_{K} = \frac{p_{K}}{p}}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Очевидно, что ее решением является точно такая же оптимальная комбинация факторов, которая была решением исходной задачи (2.113). Таким образом, производный спрос является однородным нулевой степени по ценам факторов производства и выпускаемого продукта (2.127).
А значит, однородной нулевой степени по ценам факторов производства и выпускаемого продукта будет и функция предложения:
\(Q{\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right) = Q}\left( {K\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right),L\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right)} \right)\)
\({}Q{\left( {K\left( {p_{K},p_{L},p} \right),L\left( {p_{K},p_{L},p} \right)} \right) = Q}\left( {p_{K},p_{L},p} \right).(2.128)\)
Функции производного спроса на факторы производства и предложения продукции в случае достаточной гладкости производственной функции могут быть получены с использованием леммы Хотеллинга дифференцированием функции прибыли, рассматриваемой как зависимость от вектора цен факторов и продукта, по соответствующим аргументам:
\({\frac{\partial\mathit{PR}(p_{L},p_{K},p)}{\partial p_{K}} = {- K}}\left( {p_{K},p_{L},p} \right),{\frac{\partial\mathit{PR}\left( {p_{L},p_{K},p} \right)}{\partial p_{L}} = {- L}}\left( {p_{K},p_{L},p} \right);(2.129)\)
\({\frac{\partial\mathit{PR}\left( {p_{L},p_{K},p} \right)}{\partial p} = Q}\left( {p_{K},p_{L},p} \right).(2.130)\)
Для доказательства данных утверждений выпишем полные производные функции прибыли по ценам факторов производства и выпускаемого продукта:
\({\frac{\partial\mathit{PR}(p_{L},p_{K},p)}{\partial p_{K}} = p}\frac{\partial Q}{\partial K}{\frac{\partial K}{\partial p_{K}} + p}\frac{\partial Q}{\partial L}{\frac{\partial L}{\partial p_{K}} - K}{\left( {p_{K},p_{L},p} \right) - p_{K}}{\frac{\partial K}{\partial p_{K}} - p_{L}}{\frac{\partial L}{\partial p_{K}} = \left( {p{\frac{\partial Q}{\partial K} - p_{K}}} \right)}{\frac{\partial K}{\partial p_{K}} + \left( {p{\frac{\partial Q}{\partial L} - p_{L}}} \right)}{\frac{\partial L}{\partial p_{K}} - K}{\left( {p_{K},p_{L},p} \right) = {- K}}\left( {p_{K},p_{L},p} \right),\)
\({\frac{\partial\mathit{PR}(p_{L},p_{K},p)}{\partial p_{L}} = p}\frac{\partial Q}{\partial K}{\frac{\partial K}{\partial p_{L}} + p}\frac{\partial Q}{\partial L}{\frac{\partial L}{\partial p_{L}} - L}{\left( {p_{K},p_{L},p} \right) - p_{L}}{\frac{\partial L}{\partial p_{L}} - p_{K}}{\frac{\partial K}{\partial p_{L}} = \left( {p{\frac{\partial Q}{\partial K} - p_{K}}} \right)}{\frac{\partial K}{\partial p_{L}} + \left( {p{\frac{\partial Q}{\partial L} - p_{L}}} \right)}{\frac{\partial L}{\partial p_{L}} - L}{\left( {p_{K},p_{L},p} \right) = {- L}}\left( {p_{K},p_{L},p} \right);\)
\({\frac{\partial\mathit{PR}(p_{L},p_{K},p)}{\partial p} = Q}{\left( {p_{K},p_{L},p} \right) + p}\frac{\partial Q}{\partial K}{\frac{\partial K}{\partial p} + p}\frac{\partial Q}{\partial L}{\frac{\partial L}{\partial p} - p_{K}}{\frac{\partial K}{\partial p} - p_{L}}{\frac{\partial L}{\partial p} = Q}{\left( {p_{K},p_{L},p} \right) + \left( {p{\frac{\partial Q}{\partial K} - p_{K}}} \right)}{\frac{\partial K}{\partial p} + \left( {p{\frac{\partial Q}{\partial L} - p_{L}}} \right)}{\frac{\partial L}{\partial p} = Q}\left( {p_{K},p_{L},p} \right).\)
Здесь были использованы условия максимизации прибыли (2.119).
Фактически для доказательства леммы Хотеллинга была применена теорема об огибающей (xii). Это становится очевидным, если рассмотреть максимизацию прибыли (2.113) как задачу условной оптимизации:
\(\begin{matrix} {\underset{K\geq 0,L\geq 0}{\mathit{\max}}{{\mathit{PR}\left( {K,L} \right)} = \underset{K\geq 0,L\geq 0}{\mathit{\max}}}\left\{ {{\mathit{pQ} - p_{K}}{K - p_{L}}L} \right\}:} \\ {Q\left( {K,L} \right)\geq Q,} \\ \end{matrix}(2.131)\)
где \(Q\left( {K,L} \right)\) – значение производственной функции.
Соответствующая функция Лагранжа будет иметь вид:
\({L = \lambda_{0}}{\left( {{\mathit{pQ} - p_{K}}{K - p_{L}}L} \right) + \lambda_{1}}\left( {Q{\left( {K,L} \right) - Q}} \right),\)
где \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1}} \right)\) – вектор множителей Лагранжа.
Необходимыми для связанной максимизации прибыли являются условия:
стационарности функции Лагранжа по объемам используемых факторов производства:
\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda_{1}{\mathit{MP}_{K} = \lambda_{0}}p_{K},} \\ {\lambda_{1}{\mathit{MP}_{L} = \lambda_{0}}p_{L};} \\ \end{matrix} \right.\)
дополняющей нежесткости:
\(\lambda_{1}{\left( {Q{\left( {K,L} \right) - Q}} \right) = 0},Q\left( {K,L} \right)\geq Q;\)
а также неотрицательности множителей Лагранжа:
\(\lambda_{0}\geq 0,\lambda_{1}\geq 0.\)
При этом вектор множителей Лагранжа должен быть ненулевым.
Предполагая, что \(\lambda_{1} = 0\), при предпосылке об эффективности производства (2.1) из условий стационарности функции Лагранжа по объемам факторов в силу того, что предметом анализа выступают экономические ресурсы \(({p_{K} \gt 0},{p_{L} \gt 0})\), получаем, что и \(\lambda_{0} = 0\), чего не может быть, поскольку по необходимому условию экстремума вектор множителей Лагранжа является ненулевым. Тогда из условия дополняющей нежесткости следует, что предприятие работает на границе технологического множества \({Q = Q}\left( {K,L} \right)\).
И наоборот, из условий стационарности функции Лагранжа по объемам факторов с учетом эффективности производства (2.1) при \(\lambda_{0} = 0\) оказывается и \(\lambda_{1} = 0\), чего во внутреннем оптимуме не может быть, поскольку по необходимому условию экстремума вектор множителей Лагранжа является ненулевым. Таким образом, \(\lambda_{0}\neq 0\), и без ограничения общности его можно положить равным единице, или, что эквивалентно, поделить на него лагранжиан, пронормировав тем самым вектор множителей Лагранжа:
\({L = {\mathit{pQ} - p_{K}}}{K - p_{L}}{L + \lambda}\left( {Q{\left( {K,L} \right) - Q}} \right),(2.132)\)
где \(\lambda = \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{0}} \gt 0\).
При этом условия стационарности функции Лагранжа по объемам факторов производства упрощаются и принимают вид (2.81).
Приравнивая полные производные целевой функции прибыли и частные производные функции Лагранжа (2.132), рассчитанные на оптимальной комбинации факторов производства \(\left( {K,L} \right) = \left( {K\left( {p_{K},p_{L},p} \right),L\left( {p_{K},p_{L},p} \right)} \right)\), по параметрам задачи – ценам на производственные факторы и продукцию фирмы, в соответствии с теоремой об огибающей (xii) получаем утверждения леммы Хоттелинга (2.129)-(2.130).
При двухэтапной оптимизационной схеме первый шаг оптимизационной процедуры заключается в решении задачи минимизации расходов предприятия при ограничении по мощностям (2.78) и расчете для данной технологии издержек ТС как функции объема выпускаемой продукции \(Q\) (2.90). Второй шаг состоит собственно в безусловной максимизации прибыли (в положительном ортанте затрат факторов производства) как функции от объема выпускаемой продукции. Итак, с помощью двухэтапной оптимизационной схемы задачу максимизации прибыли можно представить в следующем виде:
\(\begin{matrix} {\underset{q}{\mathit{\max}}{\mathit{PR} = \underset{q}{\mathit{\max}}}\left\{ {{\mathit{pq} - \mathit{TC}}(q,p_{K},p_{L})} \right\}:} \\ \left\{ \begin{matrix} {\mathit{TC}{\left( {q,p_{K},p_{L}} \right) = \underset{K,L}{\mathit{\min}}}\left\{ {p_{K}{K + p_{L}}L} \right\}:} \\ {Q\left( {K,L} \right)\geqslant q;K\geqslant 0,L\geqslant 0.} \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix}(2.133)\)
При использовании двухэтапной оптимизационной схемы видно, что, поскольку процедура определения наибольшей разницы между выручкой и издержками включает в себя в качестве необходимого условия механизм минимизации денежных затрат, задача максимизации прибыли является продолжением, развитием рассмотренной выше задачи условной оптимизации (2.78), которая является взаимной, или двойственной, по отношению к задаче (2.73).
В двухэтапной постановке (2.133) необходимым условием максимума функции прибыли – является равенство нулю ее производной (рис. 2.48):
\({\frac{\mathit{dPR}}{\mathit{dQ}} = {p - \mathit{MC}}}{\left( {Q,p_{K},p_{L},} \right) = 0.}\)
Следовательно, максимизируя прибыль, конкурентная фирма будет выпускать такой объем продукции, при котором величина предельных издержек уравнивается с рыночной ценой:
\({p = \mathit{MC}}\left( {Q,p_{K},p_{L},} \right).(2.134)\)
Условие максимизации прибыли конкурентной фирмой (2.134) определяет соотношение между оптимальным объемом производства продукции предприятием и уровнем рыночной цены, т.е. характеризует готовность фирмы производить определенный (оптимальный) объем продукции при каждом заданном уровне цены. Следовательно, равенство предельных издержек, как функции объема выпускаемой продукции, и ее цены (2.134) задает функцию предложения конкурентной фирмы. Таким образом, график функции предложения продукции конкурентной фирмы определяется линией предельных издержек.
Графически процедура максимизации прибыли предполагает поиск такого объема производимой продукции, при котором точка на графике выручки будет расположена как можно более высоко над соответствующей точкой на графике издержек. Необходимое условие максимума прибыли утверждает, что при данном объеме производства касательная к графику прибыли будет горизонтальной, а угловые коэффициенты касательных к графикам издержек и выручки будут равны (см. верхнюю часть рис. 2.48). Это соответствует пересечению графиков предельных издержек \((\mathit{MC})\) и выручки \((P)\) в нижней части рис. 2.48.
Рисунок 2.48. Максимизация прибыли конкурентной фирмой
Условию (2.134), выполнение которого необходимо для достижения максимума прибыли, могут соответствовать несколько объемов производства, в частности, таковыми являются величины \(Q_{1}\) и \(Q^{}\) на рис. 2.48. Однако меньший выпуск \(Q_{1}\) соответствует максимальным убыткам, и \(Q^{}\) является единственным объемом продукции, обеспечивающим фирме наибольшую прибыль.
Для доказательства этого факта необходимо учесть достаточное условие максимизации прибыли для совершенно конкурентной фирмы, которое утверждает, что при объеме производства, соответствующем равенству предельных издержек и цены (2.134), вторая производная прибыли должна быть отрицательной:
\({\frac{d^{2}\mathit{PR}}{dq^{2}} = \frac{d}{\mathit{dq}}}{\left( {{p - \mathit{MC}}\left( {q,p_{K},p_{L},} \right)} \right) = \frac{- \mathit{dMC}}{\mathit{dq}} \lt 0.}\)
Другими словами, достаточным условием максимизации прибыли в условиях совершенной конкуренции будет положительность производной предельных издержек:
\({\frac{\mathit{dMC}\left( {q,p_{K},p_{L},} \right)}{\mathit{dq}} \gt 0.}(2.135)\)
Следовательно, оптимальный объем производства фирмы в условиях совершенной конкуренции \(Q^{}\) будет соответствовать возрастающему участку графика предельных издержек (рис. 2.48). А значит, и график функции предложения для конкурентной фирмы будет определяться возрастающим участком графика предельных издержек.
Таким образом, условие (2.134) с учетом неравенства (2.135) устанавливает соотношение между произвольным уровнем рыночной цены и оптимальным объемом производства фирмы, т.е. задает функцию предложения фирмы, которая является обратной по отношению к функции предложения, полученной выше (2.122).
Например, используя функцию предельных издержек (2.108) в необходимом условии максимизации прибыли при двухэтапной схеме (2.134), получаем функцию предложения продукции предприятием, работающим в рамках технологии Кобба–Дугласа \({Q = K^{\alpha}}L^{\beta}\):
\({p = \left( \frac{p_{K}}{\alpha} \right)^{\frac{\alpha}{\alpha + \beta}}}\left( \frac{p_{L}}{\beta} \right)^{\frac{\beta}{\alpha + \beta}}Q^{\frac{1 - \alpha - \beta}{\alpha + \beta}}.(2.136)\)
Данная функция будет работать при любом неотрицательном объеме производства, поскольку минимум средних издержек (2.107), представляющий собой минимальный уровень цены для существования фирмы в долгосрочной перспективе, достигается в нуле и при любом положительном объеме производства
\({{MC}^{'} = \left( \frac{1 - \alpha - \beta}{\alpha + \beta} \right)}\left( \frac{p_{K}}{\alpha} \right)^{\frac{\alpha}{\alpha + \beta}}\left( \frac{p_{L}}{\beta} \right)^{\frac{\beta}{\alpha + \beta}}{Q^{\frac{{1 - 2}{\alpha - 2}\beta}{\alpha + \beta}} \gt 0.}\)
Соответственно, для производственной функции \({Q = K^{¼}}L^{½}\) предложение продукции будет следующим образом связано с уровнем рыночной цены:
\({p = \sqrt[3]{16p_{K}p_{L}^{2}Q}}.\)
Данная функция будет работать при любом неотрицательном объеме производства, поскольку минимум средних издержек (2.20), представляющий собой минимальный уровень цены для существования фирмы в долгосрочной перспективе, достигается в нуле, и при любом положительном объеме производства
\({{MC}^{'} = \frac{2}{3}}\sqrt[3]{2}{p_{K}}^{\frac{1}{3}}{p_{L}}^{\frac{2}{3}}{Q^{\frac{- 2}{3}} \gt 0.}\)
Очевидно, что зависимость (2.136), рассчитанная на втором этапе решения оптимизационной задачи (2.133), является обратной по отношению к функции предложения (2.126), полученной на основе одноэтапной процедуры максимизации прибыли (2.113).
При однородности (степени \(\gamma\)) технологии производства максимизация прибыли конкурентной фирмой показана на рис. 2.49. Оптимальный объем производства \(Q^{}\) будет соответствовать неубывающему участку предельных издержек, а значит, невозрастающей отдаче от масштаба производства (2.105), т.е. достаточное условие максимизации прибыли будет выполняться.
Рисунок 2.49. Максимизация прибыли в двухэтапной трактовке при различных показателях однородности технологии в условиях убывающей отдачи от масштаба
Объединяя необходимые условия минимизации издержек (2.92) и максимизации прибыли (2.134), можно выписать обобщенное условие максимизации прибыли предприятия в условиях совершенной конкуренции на рынке продукта и ресурса в двухэтапной постановке (2.133). Отношение предельного продукта фактора производства к его цене должно быть одинаковым для всех ресурсов и равным обратной величине множителя Лагранжа, предельных издержек производства и цены на продукцию фирмы:
\({\frac{\mathit{MP}_{L}}{p_{L}} = \frac{\mathit{MP}_{K}}{p_{K}} = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\mathit{MC}} = \frac{1}{p}}.(2.137)\)
Данное равенство представляет собой детализацию условия максимизации прибыли в одноэтапной постановке (2.120) с учетом экономического смысла множителя Лагранжа и показывает, тем самым, эквивалентность между одноэтапной (2.113) и двухэтапной (2.133) процедурами максимизации прибыли.
В силу однородности нулевой степени предложения и производного спроса (2.127)-(2.128) функция прибыли является однородной первой степени по ценам факторов производства и готовой продукции:
\(\mathit{PR}{\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right) = \mathit{tpQ}}{\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right) - t}p_{K}K{\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right) - t}p_{L}L{\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right) = \mathit{tpQ}}{\left( {p_{K},p_{L},p} \right) - t}p_{K}K{\left( {p_{K},p_{L},p} \right) - t}p_{L}L{\left( {p_{K},p_{L},p} \right) = t}\left( {\mathit{pQ}{\left( {p_{K},p_{L},p} \right) - p_{K}}K{\left( {p_{K},p_{L},p} \right) - p_{L}}L\left( {p_{K},p_{L},p} \right)} \right)\)
\({}\mathit{tPR}\left( {p_{K},p_{L},p} \right),{t \gt 0.}(2.138)\)
Важным свойством функции прибыли \(\mathit{PR}\left( {p_{K},p_{L},p} \right)\) является ее выпуклость по ценам факторов производства и выпускаемого продукта \(p_{L}\), \(p_{K}\) и \(p\).
Пусть комбинация факторов производства \(\left( {K^{},L^{}} \right)\) является решением задачи максимизации прибыли \((2.113)\) при ценах на факторы производства \(p_{L}^{3}\), \(p_{K}^{3}\) и цене продукта \(p^{3}\). Другими словами, \(\mathit{\max}{{\mathit{PR}\left( {p_{L}^{3},p_{K}^{3},p^{3}} \right)} = p^{3}}Q{\left( {K^{},L^{}} \right) - p_{L}^{3}}{L^{} - p_{K}^{3}}K^{}\). Положим, что вектор цен на факторы производства и выпускаемую продукцию \(p_{3} = \left( {p_{L}^{3},p_{K}^{3},p^{3}} \right)\) представляет собой линейную комбинацию некоторых векторов \(p_{1} = \left( {p_{L}^{1},p_{K}^{1},p^{1}} \right)\) и \(p_{2} = \left( {p_{L}^{2},p_{K}^{2},p^{2}} \right)\): \({p_{3} = \left( {p_{L}^{3},p_{K}^{3},p^{3}} \right) = \left( {\lambda{p_{L}^{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}p_{L}^{2},\lambda{p_{K}^{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}p_{K}^{2},\lambda{p^{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}p^{2}} \right) = \lambda}{p_{1} + (}{1 - \lambda})p_{2}\), \(\lambda\in\left\lbrack {0,1} \right\rbrack\). Тогда имеет место следующее соотношение:
\(\mathit{PR}{\left( {p_{L}^{3},p_{K}^{3},p^{3}} \right) = p^{3}}Q{\left( {K^{},L^{}} \right) - p_{L}^{3}}{L^{} - p_{K}^{3}}{K^{} = \lambda}p^{1}{Q + \left( {1 - \lambda} \right)}p^{2}{Q - \lambda}p_{L}^{1}{L^{} - \left( {1 - \lambda} \right)}p_{L}^{2}{L^{} - \lambda}p_{K}^{1}{K^{} - \left( {1 - \lambda} \right)}p_{K}^{2}{K^{} =}\lambda{\left( {p^{1}{Q - p_{L}^{1}}{L^{} - p_{K}^{1}}K^{}} \right) + \left( {1 - \lambda} \right)}\left( {p^{2}{Q - p_{L}^{2}}{L^{} - p_{K}^{2}}K^{}} \right).\)
Заметим, что комбинация факторов производства \(\left( {K^{},L^{}} \right)\), дающая максимальную прибыль при ценах на факторы производства \(p_{L}^{3}\), \(p_{K}^{3}\) и цене выпускаемого продукта \(p^{3}\), не является оптимальной с точки зрения максимизации прибыли при ценах \(p_{L}^{1}\), \(p_{K}^{1}\), \(p^{1}\) и \(p_{L}^{2}\), \(p_{K}^{2}\), \(p^{2}\):
\(p^{1}Q{\left( {K^{},L^{}} \right) - p_{L}^{1}}{L^{} - p_{K}^{1}}K^{}\leq\mathit{PR}\left( {p_{L}^{1},p_{K}^{1},p^{1}} \right)\) и \(p^{2}Q{\left( {K^{},L^{}} \right) - p_{L}^{2}}{L^{} - p_{K}^{2}}K^{}\leq\mathit{PR}\left( {p_{L}^{2},p_{K}^{2},p^{2}} \right)\).
Тем самым, приходим к неравенству Йенсена, характеризующему выпуклую зависимость прибыли \({\mathit{PR} = \mathit{PR}}(p_{L},p_{K},p)\) от цен факторов производства \(p_{L}\), \(p_{K}\) и выпускаемого продукта \(p\):
\(\mathit{PR}\left( {\lambda{p_{L}^{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}p_{L}^{2},\mathit{\lambda\alpha}{p_{K}^{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}p_{K}^{2},\lambda{p^{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}p^{2}} \right)\leq\mathit{\lambda PR}{\left( {p_{L}^{1},p_{K}^{1},p^{1}} \right) + \left( {1 - \lambda} \right)}\mathit{PR}\left( {p_{L}^{2},p_{K}^{2},p^{2}} \right),\)
или в векторной форме:
\(\mathit{PR}\left( {\lambda{p_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}p_{2}} \right)\leq\mathit{\lambda PR}{\left( p_{1} \right) + \left( {1 - \lambda} \right)}\mathit{PR}\left( p_{2} \right).\)
Как показано на рис. 2.50, при снижении цены продукта \(\left( {p^{2} \lt p^{1}} \right)\) и сокращении его продаваемого количества \(\left( {Q_{2} \lt Q_{1}} \right)\) угловой коэффициент касательной к графику функции прибыли уменьшается: \(\mathit{tg\beta} \lt \mathit{tg\alpha}\), поскольку по лемме Хотеллинга (2.130) \({\mathit{tg\alpha} = \frac{\partial\mathit{PR}}{\partial p}}{\left( p^{1} \right) = Q_{1}}\), \({\mathit{tg\beta} = \frac{\partial\mathit{PR}}{\partial p}}{\left( p^{2} \right) = Q_{2}}\).
Рисунок 2.50. Выпуклость функции прибыли по цене продукта
Обратим внимание на то, что в случае единственности оптимального набора факторов \(\left( {{K \gt 0},{L \gt 0}} \right)\), представляющего собой внутренний оптимум, которая будет иметь место при строгой вогнутости производственной функции, неравенства выше, в том числе, и неравенство Йенсена, будут строгими, а значит, будет иметь место строгая выпуклость функции прибыли по ценам факторов производства и выпускаемого продукта.
Если выше однородность первой степени функции прибыли по ценам факторов и продукции (2.138) была выведена из однородности нулевой степени производного спроса (2.127) и предложения (2.128), то лемма Хотеллинга (2.129) позволяет, наоборот, доказать однородность нулевой степени функций производного спроса и предложения, исходя из однородности первой степени прибыли. Действительно, дифференцируя по цене любого из факторов, а также цене выпускаемой продукции выражение, характеризующее однородность первой степени функции прибыли по ценам (2.138) и применяя лемму Хотеллинга (2.129)-(2.130):
\({\frac{\partial\mathit{PR}\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right)}{\partial p_{K}} = \frac{\partial\mathit{PR}\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right)}{\partial\left( {tp_{K}} \right)}}\bullet{\frac{\partial\left( {tp_{K}} \right)}{\partial p_{K}} = {- \mathit{tK}}}{\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right) = t}{\frac{\partial\mathit{PR}\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}} = {- \mathit{tK}}}\left( {p_{K},p_{L},p} \right),\)
\({\frac{\partial\mathit{PR}\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right)}{\partial p_{L}} = \frac{\partial\mathit{PR}\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right)}{\partial\left( {tp_{L}} \right)}}\bullet{\frac{\partial\left( {tp_{L}} \right)}{\partial p_{L}} = {- \mathit{tL}}}{\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right) = t}{\frac{\partial\mathit{PR}\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}} = {- \mathit{tL}}}\left( {p_{K},p_{L},p} \right),\)
\({\frac{\partial\mathit{PR}\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right)}{\partial p} = \frac{\partial\mathit{PR}\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right)}{\partial\left( \mathit{tp} \right)}}\bullet{\frac{\partial\left( \mathit{tp} \right)}{\partial p} = \mathit{tQ}}{\left( {tp_{K},tp_{L},\mathit{tp}} \right) = t}{\frac{\partial\mathit{PR}\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p} = \mathit{tQ}}\left( {p_{K},p_{L},p} \right),\)
приходим к однородности нулевой степени функций производного спроса (2.127) и предложения (2.128).
Выпуклость функции прибыли позволяет сформулировать несколько важных свойств функций производного спроса и предложения.
Функции производного спроса на труд и капитал являются невозрастающими по ценам соответствующих факторов – труда и капитала, а функция предложения – неубывающей по цене выпускаемой продукции:
\(\frac{\partial K\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}}\leq 0,\frac{\partial L\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}}\leq 0,\)
\(\frac{\partial Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p}\geq 0.\)
Действительно, если функция прибыли является дважды дифференцируемой, то ее «чистые» частные производные второго порядка, которые по лемме Хотеллинга (2.129) представляют собой функции производного спроса на факторы производства со знаком минус и предложения, будут неотрицательными, ведь в силу выпуклости функции прибыли по ценам факторов и продукта ее матрица Гессе должна быть положительно полуопределенной:
\({\frac{\partial^{2}\mathit{PR}\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}^{2}} = \frac{- {\partial K\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}}{\partial p_{K}}}\geq 0,\)
\({\frac{\partial^{2}\mathit{PR}\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}^{2}} = \frac{- {\partial L\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}}{\partial p_{L}}}\geq 0,\)
\({\frac{\partial^{2}\mathit{PR}\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p^{2}} = \frac{\partial Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p}}\geq 0.\)
Во внутренних оптимумах при строгой вогнутости технологии производства, когда функция прибыли строго выпукла по ценам факторов и выпускаемой продукции, а значит, ее матрица Гессе является положительно определенной, производный спрос на труд и капитал является убывающей функцией цены соответствующего фактора – труда и капитала, а предложение – возрастающей функцией цены продукта:
\({\frac{\partial K\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}} \lt 0},{\frac{\partial L\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}} \lt 0},\)
\(\frac{\partial Q\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p} \gt 0.\)
Таким образом, имеют силу т.н. «закон спроса» на факторы производства и «закон предложения» продукции фирмой.
Наконец, следует отметить, что, если функция прибыли является дважды непрерывно дифференцируемой, то перекрестные эффекты замещения равны между собой:
\({\frac{\partial K\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}} = \frac{\partial L\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}}}.\)
Действительно, по лемме Хотеллинга (2.129)
\({\frac{\partial^{2}\mathit{PR}\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}\partial p_{L}} = \frac{\partial K\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}}},{\frac{\partial^{2}\mathit{PR}\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}\partial p_{K}} = \frac{\partial L\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}}}.\)
При этом по теореме Шварца, если вторые частные производные функции прибыли непрерывны, то они равны между собой, т.е. значения непрерывных вторых частных производных не зависят от порядка дифференцирования:
\({\frac{\partial^{2}\mathit{PR}\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{K}\partial p_{L}} = \frac{\partial^{2}\mathit{PR}\left( {p_{K},p_{L},p} \right)}{\partial p_{L}\partial p_{K}}},\)
что в свою очередь подразумевает симметричность перекрестных эффектов замещения.
Хотя задача извлечения наибольшей прибыли разрешима при убывающей отдаче от масштабов хозяйственной деятельности, в современных условиях научно-технологической революции и повсеместного наличия положительных внешних эффектов человеческой жизнедеятельности, а занчит, и возрастающей отдачи от масштаба производства, предприятие, максимизирующее прибыль, не может достигнуть цели своей деятельности (рис. 2.51 – 2.52). Даже если технология производства характеризуется постоянным эффектом масштаба, задача максимизации прибыли в общем случае не имеет решения (рис. 2.53). У технологии с постоянной отдачей от масштаба наблюдается нестрогая вогнутость вдоль лучей, исходящих из начала координат, лежащих в неотрицательном ортанте и являющихся образующими поверхности функции (1.41). Поверхность такой функции является конусообразной, поэтому для такой зависимости не выполняется предпосылка (2.114), обеспечивающая существование решения задачи максимизации прибыли. Выручка предприятия, как функция однородная первой степени, в данном случае увеличивается постоянным темпом. Аналогичным образом ведет себя и линейная функция издержек производства. Разница между их темпами роста порождает потенциал нелимитируемого возрастания либо прибыли, либо убытков.
Задача максимизации прибыли при постоянной отдаче от масштаба имеет решение лишь в случае нулевой прибыли. Если издержки обгоняют по темпу роста выручку предприятия, график которой при этом целиком (на \(R_{+ {}^{l}}\)) будет лежать ниже затратной плоскости, то задача максимизации трансформируется в противоположную проблему минимизации убытков. Решением будет “бездействие”, то есть нулевые объемы потребляемых ресурсов, отказ от выпуска продукции. При этом прибыль будет нулевой, а убытки минимальными.
Вырожденная ситуация будет также наблюдаться, если себестоимость продукции совпадает по темпу роста с выручкой от ее реализации, когда графики данных функций пересекаются по лучу, исходящему из начала координат и лежащему в неотрицательной вещественной области \(R_{+ {}^{l}}\), на котором будет наблюдаться нулевая прибыль, а при всех иных комбинациях факторов производства – прибыль отрицательна, то есть предприятие несет убытки. В таком случае невозможно точно определить требуемый объем производства, поскольку любая его величина будет давать нулевую прибыль.
Итак, если производственная функция характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то решение задачи максимизации прибыли в общем случае, за исключением вырожденных ситуаций, отсутствует. В случае строго положительного эффекта масштаба, данная задача оказывается тем более неразрешимой, поскольку с наращиванием затрат факторов производства выручка предприятия увеличивается быстрее, чем однородная первой степени зависимость, а значит, заведомо обгоняет прирост линейной функции издержек производства. Следовательно, обязательно будет существовать неограниченный диапазон значений факторов, на котором прибыль окажется сколь угодно большой.
Рисунок 2.51. Невозможность максимизации прибыли при возрастающей отдаче от масштаба производства (одноэтапная трактовка)
Рисунок 2.52. Невозможность максимизации прибыли при возрастающей отдаче от масштаба производства (двухэтапная трактовка)
Рисунок 2.53. Проблемы максимизации прибыли при постоянной отдаче от масштаба производства (двухэтапная трактовка)
Для функции с возрастающей отдачей от масштаба производства при отсутствии “рога изобилия” характерно, что ее график лежит ниже произвольного отрезка, проведенного из начала координат до пересечения с ним. Это справедливо и для отрезка, лежащего в плоскости издержек. В точках сечения графика функции выручки – в условиях параметрического поведения цен представляющей линейную трансформацию производственной функции – затратной плоскостью, например, в точке C на рис. 2.51, прибыль нулевая (pf(xK,xL)=pKxK+pLxL). Соответственно, дальше точки пересечения по отношению к началу координат график функции выручки будет лежать выше плоскости издержек, что гарантирует положительную прибыль:
\(\mathit{pf}{\left( {\alpha x_{K},\alpha x_{L}} \right) \gt \mathit{\alpha pf}}{\left( {x_{K},x_{L}} \right) = \alpha}{\left( {p_{K}{x_{K} + p_{L}}x_{L}} \right) = p_{K}}\bullet{\left( {\alpha x_{K}} \right) + p_{L}}\bullet\left( {\alpha x_{L}} \right).\)
При параметрическом характере цен расстояние между графиком функции выручки и плоскостью издержек ([AB] на рис. 2.51) с удалением от начала координат неограниченно возрастает. При отсутствии асимптотической конусообразности (2.114) функция выручки, обладающая возрастающей отдачей от масштаба, вторично пересекает любую прямую, проведенную из начала координат, как бы ни был велик ее угловой коэффициент. А значит, начиная с определенной точки, с ростом затрат факторов производства прибыль предприятия неограниченно возрастает.
Таким образом, с ростом объема производства прибыль уходит в бесконечность. Невозможность реализации цели максимизации прибыли и отсутствие устойчивого равновесия фирмы и рынка при возрастающей отдаче от масштаба производства подталкивает предприятие к неограниченному расширению производства. В связи с этим эксплуатация передовых технологий, интерспециализированных рабочих мест и высококвалифицированных трудовых ресурсов, создающая положительную отдачу от масштаба производства, напрямую сопряжена с тенденцией к рыночному доминированию для конкретного предприятия, максимизирующего прибыль, и является объективной основой монополизации отраслевых структур на последовательных стадиях процесса переработки ресурсов в готовую продукцию, а также экономики в целом в случае преобладания у ее субъектов ориентации на финансовую выгоду8.
Итак, в условиях совершенной конкуренции задача максимизации прибыли оказывается неразрешимой при возрастающей (рис. 2.51 – 2.52) и даже, в общем случае, при постоянной отдаче от масштаба производства (рис. 2.53).
В условиях возрастающей отдачи от масштаба производства задача извлечения наибольшей прибыли, может иметь решение в отдельном случае при наличии рыночной власти предприятия над отпускными ценами, которые при этом из параметров, меняющих свои значения автономно от действий хозяйствующего субъекта, превращаются в экономически значимое ограничение по платежеспособному спросу9, когда рыночная цена зависит от решений, принимаемых фирмой, в частности, по поводу объема производимой продукции и использования ресурсов. В этой ситуации условием, обеспечивающим существование решения в названных выше типах задач при квазивогнутой производственной функции, является достаточно высокая скорость убывания рыночной цены при увеличении выпускаемого предприятием объема продукции. Для возможности максимизации прибыли при несовершенной конкуренции необходимо, чтобы ограничение по рыночному спросу компенсировало положительный эффект масштаба производства10. Расширение производства на фирмах, которые в силу своего технологического потенциала получают возможность монопольного господства на рынке, в таком случае оказывается ограничено емкостью последнего11. Однако, поскольку могущественная в финансовом, научно-техническом, информационном отношении фирма не просто пассивно адаптируется к платежеспособным потребностям, но активно воздействует на рыночную конъюнктуру, формируя спрос, раздвигая и даже снимая данное ограничение12, реальная хозяйственная ситуация обретает свойства, аналогичные тем, которые присущи совершенной конкуренции, с неразрешимостью задачи статичной максимизации прибыли. В общем случае нельзя гарантировать разрешимость задач максимизации прибыли и при несовершенной конкуренции в условиях положительного эффекта масштаба производства.
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: Наука, 1977.↩︎
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: Наука, 1977; Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 6-е изд. – М.: Наука, 1989.↩︎
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: Наука, 1977; Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 6-е изд. – М.: Наука, 1989.↩︎
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: Наука, 1977.↩︎
Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. – М.: Едиториал УРСС, 2000.↩︎
Зорич В.А. Математический анализ. – 2-е изд. – М.: ФАЗИС, 1997, ч.1.↩︎
Используя соотношения (2.119), можно дать альтернативную трактовку равенства (1.56), заменив в его правой части предельные продукты капитала и труда на их цены, скорректированные на общий уровень цен: \({\frac{\overset{˙}{Y}}{Y} = {\frac{\overset{˙}{A}}{A} + s_{K}}}{\frac{\overset{˙}{K}}{K} + s_{L}}\frac{\overset{˙}{L}}{L}\). Здесь \(s_{K} = \frac{P_{K}\bullet K}{P\bullet Y}\) и \(s_{K} = \frac{P_{L}\bullet L}{P\bullet Y}\) – соответственно доли рентных доходов и оплаты труда в совокупной выручке.↩︎
Еще А. Маршалл придерживался мнения, что в сферах бизнеса, характеризующихся положительной эффективностью крупномасштабного производства, возможна ситуация, когда “любая фирма, первой добившаяся большого успеха, приобретает монополию на все производство данной отрасли в своем районе”. Указывая на многочисленные препятствия неограниченному расширению предприятия и активности его руководителя, существующие в реальной хозяйственной практике, классик, тем не менее, признает, что, если абстрагироваться от них, то в таких условиях “нет предела, у которого ему следует остановиться” [Маршалл А. Принципы экономической науки. – М.: Прогресс-Универс, 1993, т.1,с.368-370; т.2,с.156]. При этом естественным мотивом хозяйственной деятельности А. Маршалл полагал увеличение чистого дохода.↩︎
Корнаи Я. Дефицит. – М.: Наука, 1990.↩︎
Подробнее данный вопрос будет рассмотрен в главе 6, при анализе деятельности естественной монополии.↩︎
Маршалл А. Принципы экономической науки. – М.: Прогресс-Универс, 1993, т.1.↩︎
Гэлбрейт Дж.К. Новое индустриальное общество. – М.: Прогресс, 1969; Гэлбрейт Дж.К. Экономические теории и цели общества. – М.: Прогресс, 1976.↩︎