2.3. Задачи связанной максимизации объема производства и минимизации его издержек

Перейдем теперь к рассмотрению задач оптимизации деятельности производителей в статике. В качестве производителей могут выступать отдельные фирмы и их объединения, или предприятия. Допустим, что каждый из h ресурсов покупается производителем по цене \(p_{h}\in R_{+}\). Заметим, что цена h-го товара едина для всех производителей. Здесь не будет приниматься во внимание возможность ценовой дискриминации производителей. Трансформация ресурсов в готовую продукцию на предприятии описывается производственной функцией, ставящей в соответствие затратам факторов производства – труда \((L)\) и капитала \((K)\) – максимальный объем продукции \(Q(K,L)\), который может быть выпущен с их помощью за данный промежуток времени.

Каждая фирма стремится к достижению определенных хозяйственных целей, принимая во внимание существующие ограничения как экономического, так и технологического характера. Максимизация прибыли является одной из первостепенных, но отнюдь не единственной, главенствующей целью в деятельности фирмы. Среди других важнейших типов хозяйственного целеполагания можно, например, отметить стремление к расширению рыночной доли, увеличению валовой выручки, оптимизации производственных затрат, совершенствованию производственных и сбытовых систем, внедрению новых продуктов, улучшению условий труда и общественного имиджа компании, росту активов и рыночной капитализации компании и т.д.

Итак, одной из важных целей деятельности фирмы является максимизация выручки от реализации продукции. В условиях совершенной конкуренции на продуктовом рынке, когда цены выступают для отдельных хозяйствующих субъектов в качестве экзогенных параметров, такое поведение предприятия сводится максимизации объема выпускаемой продукции при условии ограничения по финансовым средствам предприятия \((\mathit{TC})\):

\(\begin{matrix} {\underset{K,L}{\mathit{\max}}{Q\left( {K,L} \right)}:} \\ {p_{K}{K + p_{L}}L\leqslant\mathit{TC},K\geqslant 0,L\geqslant 0.} \\ \end{matrix}(2.73)\)

Решение данной задачи \((K^{},L^{})\), аналогично теории потребления, обладает таким свойством, что ограничение по издержкам для него выполняется в форме равенства, следовательно, эту задачу для случая внутреннего оптимума \(\left( {{K \gt 0},{L \gt 0}} \right)\) можно переписать в более простом виде:

\(\begin{matrix} {\underset{K,L}{\mathit{\max}}{Q\left( {K,L} \right)}:} \\ {p_{K}{K + p_{L}}{L = \mathit{TC}}.} \\ \end{matrix}\)

Часто для облегчения экономического анализа и получения практически значимых результатов в добавление к перечисленным выше предпосылкам производственной функции, как и в теории потребления, требуют степень гладкости \(C^{2}\). Тогда, решая задачу (2.73) на условный экстремум, можно воспользоваться его необходимым условием – равенством нулю дифференциала функции Лагранжа, которая имеет вид:

\({L = Q}{\left( {K,L} \right) - \lambda}\left( {p_{K}{K + p_{L}}{L - \mathit{TC}}} \right).(2.74)\)

Имеем:

\(d{L = \frac{\partial L}{\partial K}}{\mathit{dK} + \frac{\partial L}{\partial L}}{\mathit{dL} + \frac{\partial L}{\partial\lambda}}{\mathit{d\lambda} = \left( {{\frac{\partial Q}{\partial K} - \lambda}p_{K}} \right)}{\mathit{dK} + \left( {{\frac{\partial Q}{\partial L} - \lambda}p_{L}} \right)}{\mathit{dL} - \left( {p_{K}{K + p_{L}}{L - \mathit{TC}}} \right)}{\mathit{d\lambda} = 0.}\)

Из необходимого условия экстремума вытекает система:

\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial Q}{\partial K} = \lambda}p_{K},} \\ {{\frac{\partial Q}{\partial L} = \lambda}p_{L},} \\ {p_{K}{K + p_{L}}{L = \mathit{TC}}.} \\ \end{matrix} \right.(2.75)\)

Ее следствием аналогично задачам условной максимизации полезности (2.6) и минимизации расходов (2.47) является эквимаржинальный принцип:

\(\mathit{MRTS}_{\mathit{KL}}\equiv{\left. \frac{- \mathit{dK}}{\mathit{dL}} \right|_{Q = \mathit{const}} = \frac{\mathit{MP}_{L}}{\mathit{MP}_{K}} = \frac{p_{L}}{p_{K}}}.(2.76)\)

На рис. 2.32 E – точка в трехмерном технологическом пространстве, соответствующая максимальному объему выпуска при ограничении по издержкам производства, который достигается при выборе оптимального набора ресурсов \((K^{},L^{})\). На рис. 2.33 E_x – это проекция точки E на плоскость K0L.

Экономический смысл множителя Лагранжа \(\lambda\) в задаче условной максимизации объема выпуска (2.73) можно установить аналогично тому, как это было сделано в теории потребительского выбора (2.18), применяя теорему об огибающей к задаче условной максимизации объема производства (2.73) и соответствующей функции Лагранжа (2.74). Множитель Лагранжа в задаче оптимизации производства (2.73) по экономическому смыслу представляет величину, обратную предельным издержкам предприятия:

\({\lambda = \frac{\partial Q\left( {p_{K},p_{L},\mathit{TC}} \right)}{\partial\mathit{TC}} = \frac{1}{\mathit{MC}}}.(2.77)\)

Варьируя параметры p и TC в задаче (2.73), можно вывести зависимость оптимальной комбинации факторов производства \((K^{},L^{})\) от их цен \({p = (}p_{K},p_{L})\) и издержек производства TC. Эта зависимость называется функцией условного спроса по Маршаллу производителя на ресурсы \({x^{m} = x^{}}(p,\mathit{TC})\). Если производственная функция является дифференцируемой, то функции условного спроса фирмы на ресурсы по Маршаллу \((p_{K},p_{L},\mathit{TC})\rightarrow(K^{},L^{})\) можно вывести из необходимого условия связанной максимизации объема выпуска (2.75).

Для теории производства, аналогично теории потребления, справедливы соотношения

\({\frac{\partial Q\left( {p_{K},p_{L},\mathit{TC}} \right)}{\partial p_{K}} = {- \mathit{\lambda K}}}\left( {p_{K},p_{L},\mathit{TC}} \right),{\frac{\partial Q\left( {p_{K},p_{L},\mathit{TC}} \right)}{\partial p_{L}} = {- \mathit{\lambda L}}}\left( {p_{K},p_{L},\mathit{TC}} \right),\)

которые вытекают из теоремы об огибающей, если в качестве параметра задачи связанной максимизации выпуска взять цены факторов производства.

Учитывая в данных соотношениях экономический смысл множителя Лагранжа (2.77), получаем, что для функций условного спроса по Маршаллу, как вариаций решения задачи оптимизации производства по ценам, справедливо векторное тождество Роя:

\(K{\left( {p_{K},p_{L},\mathit{TC}} \right) = \frac{- {{\partial Q}/{\partial p_{K}}}}{{\partial Q}/{\partial\mathit{TC}}}},L{\left( {p_{K},p_{L},\mathit{TC}} \right) = \frac{- {{\partial Q}/{\partial p_{L}}}}{{\partial Q}/{\partial\mathit{TC}}}}.\)

Симметричной, или взаимной, по отношению к задаче максимизации объема производства при ограничении по издержкам (2.73) является деятельность предприятия, ориентирующегося на минимизацию расходов при условии выхода на запланированные мощности:

\(\begin{matrix} {\underset{K,L}{\mathit{\min}}\left( {p_{K}{K + p_{L}}L} \right):} \\ {Q\left( {K,L} \right)\geq\overline{Q}.} \\ \end{matrix}(2.78)\)

Здесь, как и ранее, предполагается, что оптимум будет являться внутренним: \(K \gt 0\), \(L \gt 0\).

При достаточной гладкости технологии производства, в частности, принадлежности ее классу \(C^{2}\) дважды непрерывно дифференцируемых функций, аналогично теории потребительского выбора, решение задачи условной оптимизации (2.78) можно свести к исследованию на безусловный экстремум функции Лагранжа:

\({L = \lambda_{0}}{\left( {p_{K}{K + p_{L}}L} \right) - \lambda_{1}}\left( {Q{\left( {K,L} \right) - \overline{Q}}} \right),(2.79)\)

где \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1}} \right)\) – вектор множителей Лагранжа. Как и ранее, будем предполагать существование внутреннего оптимума, т.е. нежесткость ограничений по неотрицательности объемов используемых ресурсов: \({K \gt 0},{L \gt 0}\).

Необходимыми для связанной минимизации издержек производства являются условия:

стационарности функции Лагранжа по объемам используемых факторов:

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda_{0}{p_{K} = \lambda_{1}}\mathit{MP}_{K},} \\ {\lambda_{0}{p_{L} = \lambda_{1}}\mathit{MP}_{L};} \\ \end{matrix} \right.\)

дополняющей нежесткости:

\(\lambda_{1}{\left( {Q{\left( {K,L} \right) - \overline{Q}}} \right) = 0},Q\left( {K,L} \right)\geq\overline{Q};\)

а также неотрицательности множителей Лагранжа:

\(\lambda_{0}\geq 0,\lambda_{1}\geq 0.\)

При этом вектор множителей Лагранжа должен быть ненулевым.

Будем рассуждать аналогично анализу решения задачи связанной минимизации расходов потребителя (2.47). Предполагая, что \(\lambda_{1} = 0\), при предпосылке об эффективности производства (2.1) из условий стационарности функции Лагранжа по объемам факторов в силу того, что предметом анализа выступают экономические ресурсы \(({p_{K} \gt 0},{p_{L} \gt 0})\), получаем, что и \(\lambda_{0} = 0\), во внутреннем оптимуме не может быть, поскольку по необходимому условию экстремума вектор множителей Лагранжа является ненулевым. Тогда из условия дополняющей нежесткости следует, что условие по достижению запланированного объема производства в точке оптимума выполняется в виде равенства \(Q{\left( {K,L} \right) = \overline{Q}}\), т.е. является активным.

И наоборот, из условий стационарности функции Лагранжа по объемам экономических \(({p_{K} \gt 0},{p_{L} \gt 0})\) ресурсов с учетом эффективности производства (1.20) при \(\lambda_{0} = 0\) оказывается и \(\lambda_{1} = 0\), чего во внутреннем оптимуме не может быть, поскольку по необходимому условию экстремума вектор множителей Лагранжа является ненулевым. Таким образом, \(\lambda_{0}\neq 0\), и без ограничения общности его можно положить равным единице, или, что эквивалентно, поделить на него функцию (2.79), пронормировав тем самым вектор множителей Лагранжа:

\({L = p_{K}}{K + p_{L}}{L - \lambda}\left( {Q{\left( {K,L} \right) - \overline{Q}}} \right),(2.80)\)

где \(\lambda = \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{0}} \gt 0\).

Тогда необходимыми для минимизации издержек заданного объема производства будут являться следующие условия стационарности функции Лагранжа по объемам используемых факторов:

\(\left\{ \begin{matrix} {{p_{K} = \lambda}\mathit{MP}_{K},} \\ {{p_{L} = \lambda}\mathit{MP}_{L};} \\ \end{matrix} \right.(2.81)\)

или

\({\frac{\mathit{MP}_{K}}{p_{K}} = \frac{\mathit{MP}_{L}}{p_{L}} = \frac{1}{\lambda}}.(2.82)\)

Аналогично теории потребительского выбора (2.10), из системы (2.81) с учетом выражения для предельной нормы технологического замещения (2.3) вытекает эквимаржинальное условие, характеризующее оптимальное использование факторов производства:

\({\mathit{MRTS}_{\mathit{KL}} = \frac{- \mathit{dK}}{\mathit{dL}} = \frac{\mathit{MP}_{L}}{\mathit{MP}_{K}} = \frac{p_{L}}{p_{K}}}.(2.83)\)

Минимизируя издержки, производитель переходит на изокосту – т.е. линию, объединяющую все комбинации факторов производства, которые соответствуют фиксированному значению издержек производства – расположенную как можно ближе к началу координат, но имеет при этом общую точку с изоквантой, соответствующей заданному объему выпуска \(Q{\left( {K,L} \right) = \overline{Q}}\). Эквимаржинальное условие утверждает, что комбинация факторов, соответствующая минимальным издержкам при выпуске определенного объема продукции, находится в точке касания данной изокванты и самой низкой из допустимых изокост (рис. 2.34-2.35).

\({K = K^{h}}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right),{L = L^{h}}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right);(2.84)\)

которые называются функциями условного спроса (по Хиксу) на соответствующие факторы производства. Графически функции условного спроса выводятся исходя из траектории развития предприятия, которая представляет собой вариацию решения задачи связанной минимизации издержек по запланированному объему производства (рис. 2.41).

Функции условного спроса являются однородными нулевой степени по ценам всех факторов производства:

\(K^{h}{\left( {tp_{K},tp_{L},Q} \right) = K^{h}}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right);L^{h}{\left( {tp_{K},tp_{L},Q} \right) = L^{h}}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right).(2.85)\)

Для доказательства данного утверждения рассмотрим задачу минимизации издержек производства (2.78) при возросших в \(t\) раз ценах факторов:

\(\begin{matrix} {\underset{K\geq 0,L\geq 0}{\mathit{\min}}\left( {tp_{K}{K + t}p_{L}L} \right):} \\ {Q\left( {K,L} \right)\geq\overline{Q}.} \\ \end{matrix}\)

Для нее условие стационарности функции Лагранжа по объемам используемых факторов производства принимает вид:

\(\left\{ \begin{matrix} {t{p_{1} = \lambda}\mathit{MU}_{1},} \\ {t{p_{2} = \lambda}\mathit{MU}_{2};} \\ \end{matrix} \right.\mathit{или}\left\{ \begin{matrix} {{p_{1} = \frac{\lambda}{t}}\mathit{MU}_{1},} \\ {{p_{2} = \frac{\lambda}{t}}\mathit{MU}_{2}.} \\ \end{matrix} \right.\)

Следовательно, эквимаржинальное условие оптимизации производства (2.83) остается в силе. Объединяя его с активным ограничением по выпуску продукции \(Q{\left( {K,L} \right) = \overline{Q}}\), получаем такую же оптимальную комбинацию факторов, как и при решении исходной задачи (2.78). Действительно, равнопропорциональное изменение цен факторов сохраняет неизменным угловой коэффициент изокосты, что при заданном ограничении по объему производства означает постоянство оптимальной комбинации факторов. Таким образом, условный спрос является однородным нулевой степени по ценам факторов производства (2.85).

Выведем в качестве примера функции условного спроса по Хиксу для технологии Кобба–Дугласа \({Q = K^{\alpha}}L^{\beta}\). Тогда эквимаржинальный принцип (2.76) задает траекторию развития предприятия (рис. 2.36, левая часть):

\({K = \frac{\alpha p_{L}}{\beta p_{K}}}L.(2.86)\)

В частности, если \({Q = K^{¼}}L^{½}\), то траектория развития имеет вид:

\({K = \frac{p_{L}}{2p_{K}}}L.\)

Подставляя траекторию развития фирмы (2.86) в производственную функцию, получаем условный спрос на хозяйственные факторы (рис. 2.36):

\({L = \left( \frac{\beta p_{K}}{\alpha p_{L}} \right)^{\frac{\alpha}{\alpha + \beta}}}Q^{\frac{1}{\alpha + \beta}},{K = \left( \frac{\alpha p_{L}}{\beta p_{K}} \right)^{\frac{\beta}{\alpha + \beta}}}Q^{\frac{1}{\alpha + \beta}}.(2.87)\)

В частности, если \({Q = K^{¼}}L^{½}\), то функции условного спроса на факторы производства таковы:

\({L = \sqrt[3]{\frac{2p_{K}}{p_{L}}Q^{4}}},{K = \sqrt[3]{\left( \frac{p_{L}}{2p_{K}} \right)^{2}Q^{4}}}.(2.88)\)

Рисунок 2.36. Траектория развития фирмы и условный спрос на факторы производства при технологии Кобба–Дугласа

Выведем теперь траекторию развития фирмы и функции условного спроса для леонтьевской технологии \({Q = \mathit{\min}}\left\{ {\frac{K}{\alpha},\frac{L}{\beta}} \right\}\). Леонтьевская спецификация производственной функции отражает тот факт, что конкретный ресурс может быть задействован в производстве лишь в том случае, когда данное его количество строго сочетается с определенным количеством другого фактора производства, которое отвечает используемой технологии производства. Отношение коэффициентов α и β характеризует пропорции использования факторов производства в технологическом процессе. Поскольку факторы производства должны быть использованы при изготовлении конечной продукции в строгих пропорциях, постольку между ними отсутствует эффект замещения. При леонтьевской технологии комбинации ресурсов, минимизирующие издержки при заданном объеме выпуска, будут находиться в вершинах углов, являющихся изоквантами данной производственной функции, т.е. справедливо равенство:

\({Q = \frac{K}{\alpha} = \frac{L}{\beta}}.\)

Следовательно, траектория развития фирмы имеет вид (рис. 2.37):

\({K = \frac{\beta}{\alpha}}L,\)

а функции условного спроса на факторы производства таковы:

\({K^{h} = \alpha}Q,{L^{h} = \mathit{\beta Q}}.(2.89)\)

Рисунок 2.37. Траектория развития фирмы при леонтьевской технологии производства

Предположим теперь, что на предприятии действует линейная технология, когда аргументами производственной функции являются ресурсы – совершенные заменители: \({Q = \alpha}{L + \beta}K\). Тогда угловой коэффициент изокванты по модулю равен:

\({{\mathit{MR}TS}_{\mathit{KL}} = \left. \frac{- {dK}}{dL} \right|_{Q = \mathit{const}} = \frac{\mathit{MP}_{L}}{\mathit{MP}_{K}} = \frac{\alpha}{\beta}}.\)

Возможны три случая, в каждом из которых будет свой объем условного спроса на факторы производства.

В первом случае, когда \(\frac{\alpha}{\beta} \lt \frac{p_{L}}{p_{K}}\), или \(\frac{p_{L}}{\alpha} \gt \frac{p_{K}}{\beta}\), угловой коэффициент изокванты по абсолютному значению меньше углового коэффициента изокосты, поэтому наблюдается угловое равновесие. В этом случае \(L = 0\), \(K = \frac{Q}{\beta}\) (рис. 2.38).

Во втором случае, при \(\frac{\alpha}{\beta} \gt \frac{p_{L}}{p_{K}}\), или \(\frac{p_{L}}{\alpha} \lt \frac{p_{K}}{\beta}\), угловой коэффициент изокванты по абсолютному значению больше углового коэффициента изокосты, поэтому также наблюдается угловое равновесие. При этом \(K = 0\), \(L = \frac{Q}{\alpha}\) (рис. 2.39).

Наконец, в третьем случае, если \(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p_{L}}{p_{K}}\), или \(\frac{p_{L}}{\alpha} = \frac{p_{K}}{\beta}\), то изокоста совпадает с изоквантой, поэтому наблюдается неединственность равновесия (рис. 2.40). В этом случае \(L\) может принимать любые значения между 0 и \(\frac{Q}{\alpha}\), соответственно, \(K\) – между \(\frac{Q}{\beta}\) и 0.

Объединяя все три случая, можно сделать вывод о том, что для линейной технологии производства, когда его факторы являются совершенными субститутами, условный спрос на факторы производства имеет вид:

\({L^{h} = t}\frac{Q}{\alpha},{K^{h} = \left( {1 - t} \right)}\frac{Q}{\beta},\mathit{где}\left\lbrack \begin{matrix} {{t = 1}\mathit{при}{\frac{p_{L}}{\alpha} \lt \frac{p_{K}}{\beta}},} \\ {{t = 0}\mathit{при}{\frac{p_{K}}{\beta} \lt \frac{p_{L}}{\alpha}},} \\ {t\in\lbrack 0,1\rbrack\mathit{при}{\frac{p_{L}}{\alpha} = \frac{p_{K}}{\beta}}.} \\ \end{matrix} \right.\)

Подставляя функции условного спроса на факторы производства (2.84) в выражение себестоимости продукции, можно получить функцию издержек (рис. 2.41):

\(\mathit{TC}{\left( {p_{K},p_{L},Q} \right) = p_{K}}K{\left( {p_{K},p_{L},Q} \right) + p_{L}}L\left( {p_{K},p_{L},Q} \right).(2.90)\)

Рисунок 2.41. Вывод функции издержек производства

Отметим, что по своему экономическому смыслу множитель Лагранжа в задаче связанной минимизации расходов (2.47) представляет собой предельные издержки производства:

\({\lambda = \frac{\partial\mathit{TC}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial Q} = \mathit{MC}}.(2.91)\)

Для того, чтобы установить этот факт, следует применить теорему об огибающей (xii) к задаче связанной минимизации издержек производства (2.78), приравняв значения полной производной функции издержек по объему производства и соответствующей частной производной функции Лагранжа (2.80), рассчитанные на оптимальной комбинации производственных факторов \(\left( {K,L} \right) = \left( {K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right),L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)} \right)\):

\({\frac{\mathit{dTC}}{dQ} = \frac{\partial\mathit{TC}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial Q} = \frac{\partial L}{\partial Q} = \lambda}.\)

Исходя из экономического смысла множителя Лагранжа (2.91), необходимые условия связанной минимизации денежных затрат (2.82) можно дополнить:

\({\frac{\mathit{MP}_{K}}{p_{K}} = \frac{\mathit{MP}_{L}}{p_{L}} = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\mathit{MC}}}.(2.92)\)

Функции условного спроса на факторы производства в случае достаточной гладкости производственной функции могут быть получены с использованием леммы Шепарда:

\(K^{h}{\left( {p_{K},p_{L},Q} \right) = \frac{\partial\mathit{TC}(p_{L},p_{K},Q)}{\partial p_{K}}},L^{h}{\left( {p_{K},p_{L},Q} \right) = \frac{\partial\mathit{TC}(p_{L},p_{K},Q)}{\partial p_{L}}}.(2.93)\)

Для доказательстве леммы Шепарда, которая в теории оптимизации производства доказывается так же, как и в теории потребительского поведения, нужно воспользоваться теоремой об огибающей (xii), в соответствии с которой полная производная функции издержек по цене каждого из ресурсов и соответствующая частная производная функции Лагранжа (2.80), рассчитанные на оптимальной для задачи (2.78) комбинации факторов \(\left( {K,L} \right) = \left( {K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right),L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)} \right)\), равны между собой:

\({\frac{d\mathit{TC}}{dp_{K}} = \frac{\partial\mathit{TC}\left( {p_{L},p_{K},Q} \right)}{\partial p_{K}} = \frac{\partial L}{\partial p_{K}} = K^{h}}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right);\)

\({\frac{d\mathit{TC}}{dp_{L}} = \frac{\partial\mathit{TC}(p_{L},p_{K},Q)}{\partial p_{L}} = \frac{\partial L}{\partial p_{L}} = L^{h}}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right),\)

Специализация производства вызывает синергетический эффект, когда совместное использование разных факторов производства дает дополнительный выигрыш по сравнению с раздельной эксплуатацией. Наряду с прямой, существует также опосредованная взаимосвязь между показателями производительности труда и фондоотдачи, с одной стороны, и положительным эффектом масштаба производства – с другой.

Положительный синергетический эффект, возникающий во взаимодействии факторов производства, приводит к опережающему росту эффективности использования трудовых ресурсов и основных фондов по отношению к номинальному увеличению занятости и числа рабочих мест. Создается ситуация, тождественная найму дополнительных работников или привлечению инвестиций в промышленно-производственные фонды с постоянной отдачей. При этом возникает эффект снижения средней ставки заработной и арендной платы, которые выплачиваются соответственно за единицу трудового вклада и отработанных машиночасов оборудования, обладающих неизменной эффективностью. Если фонд оплаты труда и амортизационные отчисления пропорциональны номинальному использованию оборудования и персонала на предприятии, то следствием становится убывание средних издержек производства как функции от объема выпускаемой продукции (2.95), когда обеспечивается рост совокупной отдачи от факторов не за счет пропорционального увеличения расходов, а путем повышения эффективности их использования:

\(\mathit{AC}{\left( \mathit{\alpha y} \right) \lt \mathit{\alpha AC}}(y),\alpha\in R,{\alpha \gt 1},{y \gt 0.}(2.94)\)

Убывание функции средних затрат при этом имеет место, поскольку приращение издержек при реальном вовлечении в производство дополнительных ресурсов, обладающих фиксированной отдачей, было бы более значительным, нежели изменение затрат на найм факторов в рамках крупномасштабного производства:

\(\mathit{TC}{\left( \mathit{\alpha y} \right) \lt \mathit{\alpha TC}}(y),\alpha\in R,{\alpha \gt 1.}(2.95)\)

Докажем эквивалентность таких характеристик технологии как убывание средних издержек (2.94) и положительный эффект масштаба производства (1.37). Выражение для себестоимости выпускаемой продукции, или тождество издержек

\(\mathit{TC}\left( {x_{1},\ldots,x_{l}} \right)\equiv{\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}x_{j}}}(2.96)\)

обладает свойством однородности первой степени по затратам ресурсов:

\(\mathit{TC}\left( {\alpha x_{1},\ldots,\alpha x_{l}} \right)\equiv{{\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}\left( {\alpha x_{j}} \right)}} = {\sum\limits_{j = 1}^{l}{\alpha\left( {p_{j}x_{j}} \right)}} = \alpha}{{\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}x_{j}}} = \mathit{\alpha TC}}\left( {x_{1},\ldots,x_{l}} \right).(2.97)\)

Если предположить, что денежные средства экономического субъекта фиксированы: \({\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}x_{j}}}\leqslant c_{i}\), тогда граница такого финансового условия хозяйственной деятельности \({\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}x_{j}}} = c_{i}\), в трехмерном пространстве, т.е. в случае двухпродуктовых корзин товаров, представляет собой вертикальную плоскость (рис. 1).

Действительно, данная граница в трехмерном пространстве означает пересечение плоскости расходов и горизонтальной плоскости фиксированных издержек \(\mathit{TC}_{i} = c_{i}\). Издержки производства являются линейно однородными не только по объемам ресурсов (2.97), но и по их ценам. При увеличении цен в \(\alpha\) раз плоскость расходов поворачивается вверх вокруг прямой, проходящей через начало координат. При этом для каждой данной комбинации потребляемых благ в \(\alpha\) раз возрастает величина расходов по отношению к их первоначальной величине, равной \(c_{i}\):

\({{\sum\limits_{j = 1}^{l}{\left( {\alpha p_{j}} \right)x_{j}}} = \alpha}{{\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}x_{j}}} = \alpha}c_{i}.\)

Это значит, что теперь граница финансового условия будет соответствовать пересечению новой плоскости расходов с горизонтальной плоскостью, проведенной на уровне \(\alpha c_{i}\). Очевидно, что прямая, по которой пересекутся эти плоскости, будет соответствовать тому же множеству товарных наборов, что и предыдущая линия пересечения плоскости расходов и горизонтальной плоскости фиксированных издержек \(c_{i}\). Обе эти прямые будут проецироваться на одну и ту же линию на горизонтальной координатной плоскости X₁0X₂, т.е. лежат в одной и той же вертикальной плоскости. Варьируя масштабирующий множитель \(\alpha\in R_{+}\) в последнем равенстве, получим бесконечное множество линий пересечения плоскостей расходов с произвольным наклоном и горизонтальных плоскостей издержек \(\alpha c_{i}\), которое образует вертикальную плоскость – границу финансового условия в трехмерном пространстве (рис. 2.42).

Рисунок 2.42. Финансовое ограничение хозяйственной деятельности

Поскольку каждой комбинации ресурсов соответствует одно определенное значение объема производства, можно перейти от выражения себестоимости продукции (2.96) к функции издержек:

\(\mathit{TC}(y)\equiv\mathit{TC}\left( {f\left( {x_{1},\ldots,x_{l}} \right)} \right)\equiv\mathit{TC}\left( {x_{1},\ldots,x_{l}} \right).(2.98)\)

Итак, проанализируем факторизацию (рис. 2.43) производственных затрат (2.96) на производственную функцию и функцию издержек (2.97).

Рисунок 2.43. Факторизация хозяйственных издержек

Используя однородность выражения себестоимости продукции (2.97) и определение функции хозяйственных издержек (2.98), можно записать следующую цепочку равенств:

\(\mathit{TC}{\left( {f\left( {\alpha x_{1},\ldots,\alpha x_{l}} \right)} \right) = \mathit{TC}}{\left( {\alpha x_{1},\ldots,\alpha x_{l}} \right) = \alpha}\mathit{TC}{\left( {x_{1},\ldots,x_{l}} \right) = \mathit{\alpha TC}}\left( {f\left( {x_{1},\ldots,x_{l}} \right)} \right).(2.99)\)

Если изокванты выпуклы к началу координат, то издержки производства представляют собой возрастающую функцию его объема. В силу положительной отдачи от масштаба (1.37) и строго возрастания функции издержек можно сделать вывод, что:

\(\mathit{TC}{\left( {\mathit{\alpha f}\left( {x_{1},\ldots,x_{l}} \right)} \right) \lt \mathit{TC}}\left( {f\left( {\alpha x_{1},\ldots,\alpha x_{l}} \right)} \right).(2.100)\)

Объединив соотношения (2.99) и (2.100), устанавливаем неравенство, характеризующее поведение производственных затрат (2.95) как следствие возрастающей отдачи от масштаба производства (1.37). Поделив левую и правую части неравенства (2.95) на \(\mathit{\alpha y} \gt 0\), получаем: \(\frac{\mathit{TC}\left( \mathit{\alpha y} \right)}{\mathit{\alpha y}} \lt \frac{\mathit{TC}(y)}{y}\). Таким образом, положительная отдача от масштаба при строгой квазивогнутости технологии для функционирующего в долгосрочном аспекте предприятия \(({Q \gt 0})\) эквивалентна убыванию средних издержек при росте выпуска продукции (2.94).

Справедливо и обратное утверждение. Если в хозяйственном процессе при увеличении объема производства динамика издержек подчиняется неравенству (2.95), где y представляет собой значение производственной функции, то в силу соотношения (2.99) можно получить неравенство (2.100). Если учесть строгое возрастание издержек как функции объема производства, тогда из (2.99) вытекает положительная отдача от масштаба хозяйственной деятельности (1.37). Следовательно, убывание средних хозяйственных затрат обеспечивает положительный эффект масштаба производства, т.е. технологии присущ положительный эффект масштаба (1.37) тогда и только тогда, когда для хозяйственной деятельности характерна убывающая зависимость средних издержек от объема производства (2.94)¹.

Аналогично возрастающей отдаче от масштаба и убыванию средних затрат, эквивалентными являются характеристики постоянства отдачи от масштаба (1.41) и средних издержек производства:

\(\mathit{TC}{\left( \mathit{\alpha y} \right) = \mathit{\alpha TC}}(y),\alpha\in R,{\alpha \gt 1},(2.101)\)

а также убывающей отдачи (1.38) и возрастающих средних издержек:

\(\mathit{TC}{\left( \mathit{\alpha y} \right) \gt \mathit{\alpha TC}}(y),\alpha\in R,{\alpha \gt 1.}(2.102)\)

Итак, специализация производства позволяет получить значительный прирост выпуска продукции, не прибегая к большим капиталовложениям. Убывание средних издержек является следствием целостности, или эмерджентности, производственной системы – превосходстве свойств целого над совокупностью слагающих его частей². Здесь возрастающая отдача от масштаба проявляется в виде прямой экономии издержек производства на микро-, мезо- и макроэкономическом уровне.

\(\mathit{AC}{(Q) = \frac{\mathit{TC}(Q)}{Q} \gt \frac{\mathit{TC}(\mathit{\alpha Q})}{\mathit{\alpha Q}} = \mathit{AC}}\left( \mathit{\alpha Q} \right).\)

Подытоживая проведенный выше анализ, можно сделать вывод, что проявлениями положительных синергетических эффектов служат следующие эквивалентные понятия (табл. 2.1):

• возрастающей отдачи от масштаба воспроизводства (1.37),
• несовершенной делимости производственных процессов (1.44) и
• убывания средних издержек как функции объема производства (2.95).

Аналогично, эквиваленты противоположные понятия, как проявления отрицательных синергетических эффектов:

• убывающей отдачи от масштабов воспроизводственных процессов (1.38),
• совершенной делимости производственных операций (1.45) и
• возрастания средних издержек как функции объема производства (2.102).

Пограничную ситуацию нулевых синергетических эффектов отражают следующие эквивалентные понятия:

• постоянной отдачи от масштаба воспроизводства (1.41),
• пропорциональной делимости производственных процессов (1.46) и
• постоянства средних издержек как функции объема производства (2.101).

Таблица 2.1. Эквивалентные характеристики хозяйственной деятельности

Отдача от масштаба	Делимость производства	Средние издержки как функция объема производства	Синергия факторов производства
Возрастающая	Несовершенная	Убывающая	Положительная
Постоянная	«Пропорциональная»	Константа	Нулевая
Убывающая	Совершенная	Возрастающая	Отрицательная

Рассмотрим простейший случай двухфакторной технологии. Выведем функцию издержек для важного класса однородных производственных функций (1.42), к которым применима теорема Эйлера (i). Домножим левую и правую части равенства (i) на множитель Лагранжа \(\lambda\):

\(\lambda\frac{\partial f\left( {K,L} \right)}{\partial K}{K + \lambda}\frac{\partial f\left( {K,L} \right)}{\partial L}{L = \mathit{\gamma\lambda f}}\left( {K,L} \right).\)

Используем в данном соотношении условия минимизации издержек (2.81):

\(p_{K}{K + p_{L}}{L = \mathit{\gamma\lambda f}}\left( {K,L} \right).\)

В левой части здесь записано выражение издержек производства (TC). При минимизации затрат производится заданный объем продукции \(f{\left( {K,L} \right) = Q}\). Кроме того, по доказанному выше, множитель Лагранжа \(\lambda\) в задаче минимизации издержек представляет собой их предельную величину, т.е. производную общих издержек по объему производства (2.91). Поэтому последнее равенство можно переписать в виде дифференциального уравнения:

\(\mathit{TC}{(Q) = \gamma}\frac{d\mathit{TC}}{\mathit{dQ}}Q.\)

Итак, для однородных производственных функций (1.42) средние издержки будут пропорциональны предельным при любом объеме производства:

\(\mathit{AC}{(Q) = \gamma}\mathit{MC}(Q).(2.103)\)

Решаем полученное линейное однородное дифференциальное уравнение, разделяя переменные: \(\frac{1}{\gamma}{{\int\frac{dQ}{Q}} = {{\int\frac{d\mathit{TC}}{\mathit{TC}}} + \ln}}c\). Интегрируя, приходим к соотношению \(\ln{|Q|^{1/\gamma} = \ln}{\left| \mathit{TC} \right| + \ln}c\), потенцируя которое получаем искомую функцию издержек производства \(\mathit{TC}{(Q) = c}Q^{1/\gamma}\). Константу можно определить, рассчитав издержки производства единичного объема продукции: \({c = \mathit{TC}}(1)\).

Таким образом, для однородной степени \(\gamma\) производственной функции (1.42) функция издержек имеет степенной вид:

\(\mathit{TC}{(Q) = \mathit{TC}}(1)Q^{\frac{1}{\gamma}}.(2.104)\)

Справедливо и обратное утверждение. Пусть функция издержек производства имеет степенной вид (2.104). В силу линейной однородности функции издержек относительно затрат факторов можно выписать следующую цепочку равенств:

\(\mathit{TC}{\left( {\mathit{\alpha K},\mathit{\alpha L}} \right) = \mathit{TC}}(1){{f\left( {\mathit{\alpha K},\mathit{\alpha L}} \right)}^{\frac{1}{\gamma}} = \mathit{\alpha TC}}{\left( {K,L} \right) = \alpha}\mathit{TC}(1){f\left( {K,L} \right)}^{\frac{1}{\gamma}},\)

а значит,

\(f{\left( {\mathit{\alpha K},\mathit{\alpha L}} \right) = \alpha^{\gamma}}f\left( {K,L} \right).\)

Таким образом, при степенной функции издержек (2.104) производственная функция является однородной соответствующей степени \(\gamma\) (1.42).

Итак, функция издержек имеет степенной вид (2.104) тогда и только тогда, когда производственная функция является однородной соответствующей степени \(\gamma\) (1.42)³. Отметим, что при этом функции предельных и средних издержек производства соответственно имеют вид:

\(\mathit{MC}{(Q) = \frac{\mathit{TC}(1)}{\gamma}}Q^{\frac{1 - \gamma}{\gamma}},\mathit{AC}{(Q) = \mathit{TC}}(1)Q^{\frac{1 - \gamma}{\gamma}}.(2.105)\)

Характерные графики функций общих, средних и предельных издержек производства при различном характере от его масштаба показаны на рис. 2.49, 2.52, 2.53.

Если издержки производства имеют степенной вид (2.104), то аналогично будут выглядеть и функции условного спроса на его факторы (2.84):

\({K = K}(1)Q^{\frac{1}{\gamma}},{L = L}(1)Q^{\frac{1}{\gamma}}.\)

Это становится очевидным, если применить лемму Шепарда (2.93)

\({K = \frac{\partial\mathit{TC}\left( {Q,p_{K},p_{L}} \right)}{\partial p_{K}} = \frac{\partial\mathit{TC}\left( {1,p_{K},p_{L}} \right)}{\partial p_{K}}}Q^{\frac{1}{\gamma}},\)

\({L = \frac{\partial\mathit{TC}(Q,p_{K},p_{L})}{\partial p_{L}} = \frac{\partial\mathit{TC}(1,p_{K},p_{L})}{\partial p_{L}}}Q^{\frac{1}{\gamma}}\)

и учесть, что, поскольку \(\mathit{TC}{\left( {1,p_{K},p_{L}} \right) = p_{K}}K{\left( {1,p_{K},p_{L}} \right) + p_{L}}L\left( {1,p_{K},p_{L}} \right)\), постольку \({\frac{\partial\mathit{TC}\left( {1,p_{K},p_{L}} \right)}{\partial p_{K}} = K}\left( {1,p_{K},p_{L}} \right)\), \({\frac{\partial\mathit{TC}\left( {1,p_{K},p_{L}} \right)}{\partial p_{L}} = L}\left( {1,p_{K},p_{L}} \right)\).

В качестве примера, выведем функцию издержек производства для технологии Кобба–Дугласа \({Q = K^{\alpha}}L^{\beta}\), подставляя функции условного спроса (2.87) в выражение себестоимости продукции (2.96):

\({\mathit{TC} = \left( {\alpha + \beta} \right)}\left( \frac{p_{K}}{\alpha} \right)^{\frac{\alpha}{\alpha + \beta}}\left( \frac{p_{L}}{\beta} \right)^{\frac{\beta}{\alpha + \beta}}Q^{\frac{1}{\alpha + \beta}}.(2.106)\)

Производственная функция Кобба-Дугласа \({Q = K^{\alpha}}L^{\beta}\) является однородной степени \(\gamma = {\alpha + \beta}\), и для нее характерна степенная функция издержек (2.104).

Соответственно, средние и предельные издержки производства будут описываться следующими функциональными зависимостями:

\(A{C = \left( {\alpha + \beta} \right)}\left( \frac{p_{K}}{\alpha} \right)^{\frac{\alpha}{\alpha + \beta}}\left( \frac{p_{L}}{\beta} \right)^{\frac{\beta}{\alpha + \beta}}Q^{\frac{1 - \alpha - \beta}{\alpha + \beta}},(2.107)\)

\(M{C = \left( \frac{p_{K}}{\alpha} \right)^{\frac{\alpha}{\alpha + \beta}}}\left( \frac{p_{L}}{\beta} \right)^{\frac{\beta}{\alpha + \beta}}Q^{\frac{1 - \alpha - \beta}{\alpha + \beta}}:(2.108)\)

для которых справедливо соотношение (2.103).

В частности, для производственной функции \({Q = K^{¼}}L^{½}\) функции общих, предельных и средних издержек соответственно имеют вид:

\({\mathit{TC} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}}}\sqrt[3]{p_{K}p_{L}^{2}Q^{4}},\)

\({\mathit{MC} = \sqrt[3]{16p_{K}p_{L}^{2}Q}},\)

\({\mathit{AC} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}}}\sqrt[3]{p_{K}p_{L}^{2}Q}.\)

Выведем теперь функцию издержек для леонтьевской технологии. Рассматривая в выражении себестоимости продукции (2.90) затраты факторов производства как функции условного спроса (2.89), получаем, что для производственной функции леонтьевского типа функция издержек предприятия как зависимость между денежными расходами и выпускаемым объемом продукции будет линейной:

\({\mathit{TC} = Q}\left( {\alpha{p_{K} + \beta}p_{L}} \right).(2.109)\)

При этом предельные и средние издержки предприятия не зависят от объема производства, а лишь от цен на ресурсы:

\({\mathit{MC} = \mathit{AC} = \alpha}{p_{K} + \beta}{p_{L} = \mathit{TC}}\left( {1,p_{K},p_{L}} \right).\)

Выведем теперь функцию долгосрочных издержек производства для линейной производственной функции \({Q = \alpha}{L + \beta}K.\) Будем опираться на проанализированные выше три возможных случая (рис. 2.38-2.40), в каждом из которых будут иметь место свои выражения для условного спроса на факторы производства.

В первом случае (рис. 2.38), когда \(\frac{p_{L}}{\alpha} \gt \frac{p_{K}}{\beta}\), \(L = 0\), \(K = \frac{Q}{\beta}\). Значит, \({\mathit{TC} = p_{K}}{K = \frac{Q}{\beta}}p_{K}\).

Во втором случае (рис. 2.39), когда \(\frac{p_{L}}{\alpha} \lt \frac{p_{K}}{\beta}\), \(K = 0\), \(L = \frac{Q}{\alpha}\), следовательно, \({\mathit{TC} = p_{L}}{L = \frac{Q}{\alpha}}p_{L}\).

Наконец, в третьем случае (рис. 2.40), если \(\frac{p_{L}}{\alpha} = \frac{p_{K}}{\beta}\), то \(L\) может принимать любые значения между 0 и \(\frac{Q}{\alpha}\), соответственно, \(K\) – между \(\frac{Q}{\beta}\) и 0. Поэтому величина издержек может быть определена как в точке \(L = 0\), \(K = \frac{Q}{\beta}\), так и в точке \(K = 0\), \(L = \frac{Q}{\alpha}\): \({\mathit{TC} = \frac{Q}{\beta}}{p_{K} = \frac{Q}{\alpha}}p_{L}\).

Таким образом, для линейной технологии производства, когда его факторы являются совершенными субститутами, получаем следующее выражение для издержек производства:

\({\mathit{TC} = p_{L}}{L^{h} + p_{K}}{K^{h} = p_{L}}t{\frac{Q}{\alpha} + p_{K}}\left( {1 - t} \right){\frac{Q}{\beta} = Q}\left( {t{\frac{p_{L}}{\alpha} + \left( {1 - t} \right)}\frac{p_{K}}{\beta}} \right),\mathit{где}\left\lbrack \begin{matrix} {{t = 1}\mathit{при}{\frac{p_{L}}{\alpha} \lt \frac{p_{K}}{\beta}},} \\ {{t = 0}\mathit{при}{\frac{p_{K}}{\beta} \lt \frac{p_{L}}{\alpha}},} \\ {t\in\lbrack 0,1\rbrack\mathit{при}{\frac{p_{L}}{\alpha} = \frac{p_{K}}{\beta}};} \\ \end{matrix} \right.\)

или

\(\mathit{TC} = \left\lbrack \begin{matrix} {Q\frac{p_{L}}{\alpha},\mathit{если}{\frac{p_{L}}{\alpha} \lt \frac{p_{K}}{\beta}},} \\ {Q\frac{p_{K}}{\beta},\mathit{если}{\frac{p_{K}}{\beta} \lt \frac{p_{L}}{\alpha}},} \\ {Q{\frac{p_{L}}{\alpha} = Q}\frac{p_{K}}{\beta},\mathit{если}{\frac{p_{L}}{\alpha} = \frac{p_{K}}{\beta}};} \\ \end{matrix} \right.\)

которое можно записать в следующей форме:

\({\mathit{TC} = Q}\bullet\mathit{\min}\left\{ {\frac{p_{L}}{\alpha},\frac{p_{K}}{\beta}} \right\}.(2.110)\)

При этом, как и для леонтьевской технологии, в силу постоянной отдачи от масштаба производства предельные и средние издержки предприятия будут являться постоянными величинами и совпадать с издержками производства единичного объема продукции:

\({\mathit{MC} = \mathit{AC} = \mathit{TC}}{\left( {1,p_{K},p_{L}} \right) = \mathit{\min}}\left\{ {\frac{p_{L}}{\alpha},\frac{p_{K}}{\beta}} \right\}.\)

Технологии производства в условиях взаимозаменяемых и взаимодополняемых факторов производства характеризуются постоянной отдачей от масштаба, т.е. являются однородными первой степени \(\left( {\gamma = 1} \right)\), и для них справедливы общий вид функции издержек (2.104), а также соотношение между средними и предельными издержками производства (2.103).

В силу однородности нулевой степени условного спроса (2.85), функция издержек является однородной первой степени по ценам факторов производства:

\(\mathit{TC}{\left( {tp_{K},tp_{L},Q} \right) = t}p_{K}K^{h}{\left( {tp_{K},tp_{L},Q} \right) + t}p_{L}L^{h}{\left( {tp_{K},tp_{L},Q} \right) = t}p_{K}K^{h}{\left( {p_{K},p_{L},Q} \right) + t}p_{L}L^{h}{\left( {p_{K},p_{L},Q} \right) = \mathit{tTC}}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right),{t \gt 0.}(2.111)\)

При этом важным свойством функции издержек производства \(\mathit{TC}(p_{L},p_{K},Q)\) является ее вогнутость по ценам факторов производства⁴ \(p_{L}\) и \(p_{K}\).

Пусть комбинация факторов производства (\(K^{},L^{})\) является решением задачи связанной минимизации издержек \((2.78)\) при ценах на факторы производства \(p_{L}^{3}\) и \(p_{K}^{3}\). Другими словами, \(\mathit{\min}{{\mathit{TC}\left( {p_{L}^{3},p_{K}^{3},Q} \right)} = p_{L}^{3}}{L^{} + p_{K}^{3}}K^{}\) при ограничении \(Q(K,L)\geq\overline{Q}\). Положим, что вектор цен на факторы производства \(p_{3} = \left( {p_{L}^{3},p_{K}^{3}} \right)\) представляет собой линейную комбинацию некоторых векторов \(p_{1} = \left( {p_{L}^{1},p_{K}^{1}} \right)\) и \(p_{2} = \left( {p_{L}^{2},p_{K}^{2}} \right)\): \({p_{3} = \left( {p_{L}^{3},p_{K}^{3}} \right) = \left( {\lambda{p_{L}^{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}p_{L}^{2},\lambda{p_{K}^{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}p_{K}^{2}} \right) = \lambda}{p_{1} + (}{1 - \lambda})p_{2}\), \(\lambda\in\left\lbrack {0,1} \right\rbrack\). Тогда имеет место следующее соотношение:

\(\mathit{TC}{\left( {p_{L}^{3},p_{K}^{3},\overline{Q}} \right) = p_{L}^{3}}{L^{} + p_{K}^{3}}{K^{} = \lambda}p_{L}^{1}{L^{} + \left( {1 - \lambda} \right)}p_{L}^{2}{L^{} + \lambda}p_{K}^{1}{K^{} + \left( {1 - \lambda} \right)}p_{K}^{2}{K^{} =}\lambda{\left( {p_{L}^{1}{L^{} + p_{K}^{1}}K^{}} \right) + \left( {1 - \lambda} \right)}\left( {p_{L}^{2}{L^{} + p_{K}^{2}}K^{}} \right).\)

Заметим, что комбинация факторов производства \(\left( {K^{},L^{}} \right)\), дающая минимальное значение общих издержек производства заданного объема продукции \(\overline{Q}\) при ценах на факторы производства \(p_{L}^{3}\) и \(p_{K}^{3}\), не является оптимальной с точки зрения минимизации издержек при ценах труда и капитала \(p_{L}^{1}\) и \(p_{K}^{1}\), а также при \(p_{L}^{2}\) и \(p_{K}^{2}\):

\(p_{L}^{1}{L^{} + p_{K}^{1}}K^{}\geq\mathit{TC}\left( {p_{L}^{1},p_{K}^{1},\overline{Q}} \right)иp_{L}^{2}{L^{} + p_{K}^{2}}K^{}\geq\mathit{TC}\left( {p_{L}^{2},p_{K}^{2},\overline{Q}} \right)\)

Тем самым, приходим к неравенству Йенсена (1.12), характеризующему вогнутую зависимость общих издержек производства \({\mathit{TC} = \mathit{TC}}(p_{L},p_{K},Q)\) от цен факторов производства \(p_{L}\) и \(p_{K}\) (рис. 2.44):

\(\mathit{TC}\left( {\lambda{p_{L}^{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}p_{L}^{2},\mathit{\lambda\alpha}{p_{K}^{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}p_{K}^{2},\overline{Q}} \right)\geq\mathit{\lambda TC}{\left( {p_{L}^{1},p_{K}^{1},\overline{Q}} \right) + \left( {1 - \lambda} \right)}\mathit{TC}\left( {p_{L}^{2},p_{K}^{2},\overline{Q}} \right),\)

или в векторной форме:

\(\mathit{TC}\left( {\lambda{p_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}p_{2},\overline{Q}} \right)\geq\mathit{\lambda TC}{\left( {p_{1},\overline{Q}} \right) + \left( {1 - \lambda} \right)}\mathit{TC}\left( {p_{2},\overline{Q}} \right).\)

Рисунок 2.44. Вогнутость функции издержек по ценам факторов производства

На рис. 2.45 изображено сечение поверхности издержек вертикальной плоскостью, соответствующей фиксированной цене капитала, т.е. график издержек производства как функция цены труда. При снижении ставки заработной платы \(\left( {p_{L}^{2} \lt p_{L}^{1}} \right)\) и росте его покупаемого количества \(\left( {L_{1} \gt L_{2}} \right)\) угловой коэффициент касательной к данному графику издержек увеличивается: \(\mathit{tg\beta} \gt \mathit{tg\alpha}\), поскольку по лемме Шепарда (2.93) \({\mathit{tg\alpha} = \frac{\partial\mathit{TC}}{\partial p_{L}}}{\left( p_{L}^{1} \right) = L_{1}}\), \({\mathit{tg\beta} = \frac{\partial\mathit{TC}}{\partial p_{L}}}{\left( p_{L}^{2} \right) = L_{2}}\).

Рисунок 2.45. Вогнутость функции издержек по ценам факторов производства

На рис. 2.46 изображена изокоста \(\left\{ {\left( {p_{L},p_{K}} \right):\mathit{TC}{\left( {p_{L},p_{K}} \right) = \overline{\mathit{TC}}}} \right\}\), соответствующая минимальным общим издержкам выпуска одной единицы продукции этой фирмы в пространстве цен на факторы производства \(p_{L}\) и \(p_{K}\). Поскольку в силу леммы Шепарда (2.93) \({\frac{\partial\mathit{TC}(p)}{\partial p_{K}} = K}(p)\) и \({\frac{\partial\mathit{TC}(p)}{\partial p_{L}} = L}(p)\), постольку \(\mathit{grad}{\left( {\mathit{TC}(p)} \right) = \left( {L(p);K(p)} \right)}\).

Рисунок 2.46. Изокоста в пространстве цен на факторы производства

Изокоста представляет собой убывающую функцию, так как с ростом ставки заработной платы процентная ставка на капитал должна снижаться, чтобы минимальные издержки выпуска одной единицы продукции оставались неизменными. Поскольку выше была доказана вогнутость функции общих издержек производства \(\mathit{TC}\left( {p_{L},p_{K}} \right)\) по ценам факторов производства \(p_{L}\) и \(p_{K}\), то из этого следует вывод, что она также является квазивогнутой по этим переменным, тем самым все изокосты являются выпуклыми к началу координат в пространстве цен на ресурсы. Поскольку градиент функции \(\mathit{TC}(p)\) в точке \(\left( {{\overline{p}}_{L},{\overline{p}}_{K}} \right)\), являющийся нормалью к изокосте в этой точке, в точности равен вектору \((L(\overline{p}\)), \(K(\overline{p}\))), постольку при движении вдоль изокосты к более высокой ставке заработной платы отношение \({L(p)}/{K(p)}\) снижается.

Обратим внимание на то, что все приведенные выше примеры функций издержек для различных типов технологии производства (2.106), (2.109), (2.110) иллюстрируют данное свойство выпуклости функции издержек по ценам факторов производства. Данные функции как зависимости от цен факторов являются однородными первой степени (2.111), при этом издержки производства при технологии Кобба-Дугласа имеют степенной вид (2.106), при линейной технологии являются кусочно-линейной (2.110), а при леонтьевской технологии – линейной (2.109) функциями. Очевидно, что соответствующие им матрицы Гессе будут отрицательно полуопределены.

В заключение анализа задачи связанной минимизации издержек отметим ряд примечательных свойств, присущих функциям условного спроса на факторы производства.

Функции условного спроса на труд и капитал являются невозрастающими по ценам соответствующих факторов – труда и капитала:

\(\frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{K}}\leq 0,\frac{\partial L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{L}}\leq 0.\)

Действительно, если функция издержек является дважды дифференцируемой, то ее «чистые» частные производные второго порядка, которые по лемме Шепарда (2.93) представляют собой функции условного спроса на факторы производства, будут неположительными, ведь в силу вогнутости функции издержек по ценам факторов ее матрица Гессе должна быть отрицательно полуопределенной:

\({\frac{\partial^{2}\mathit{TC}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{K}^{2}} = \frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{K}}}\leq 0,{\frac{\partial^{2}\mathit{TC}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{L}^{2}} = \frac{\partial L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{L}}}\leq 0.\)

Во внутренних оптимумах при строгой выпуклости изоквант к началу координат, когда функция издержек строго вогнута по ценам факторов, а значит, ее матрица Гессе является отрицательно определенной, условный спрос на труд и капитал является убывающей функцией цены соответствующего фактора – труда и капитала:

\({\frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{K}} \lt 0},{\frac{\partial L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{L}} \lt 0.}\)

Наконец, следует отметить, что, если функция издержек производства является дважды непрерывно дифференцируемой, то перекрестные эффекты замещения равны между собой:

\({\frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{L}} = \frac{\partial L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{K}}}.\)

Действительно, по лемме Шепарда (2.93)

\({\frac{\partial^{2}\mathit{TC}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{K}\partial p_{L}} = \frac{\partial K^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{L}}},{\frac{\partial^{2}\mathit{TC}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{L}\partial p_{K}} = \frac{\partial L^{h}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{K}}}.\)

При этом по теореме Шварца, если вторые частные производные функции издержек производства непрерывны, то они равны между собой, т.е. значения непрерывных вторых частных производных не зависят от порядка дифференцирования:

\({\frac{\partial^{2}\mathit{TC}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{K}\partial p_{L}} = \frac{\partial^{2}\mathit{TC}\left( {p_{K},p_{L},Q} \right)}{\partial p_{L}\partial p_{K}}},\)

что в свою очередь подразумевает симметричность перекрестных эффектов замещения.

---

1. Если предположить, что функция издержек является дифференцируемой, то можно утверждать, что если технология характеризуется возрастающей отдачей от масштаба, то средние издержки превышают предельные. Действительно, продифференцируем средние издержки производства по объему выпускаемой продукции: \({\frac{\partial\mathit{AC}}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}}{\left( \frac{\mathit{TC}}{y} \right) = \frac{\mathit{MC} - \mathit{AC}}{y}}\), т.е \(\mathit{MC} \lt \mathit{AC}\) тогда и только тогда, когда \(\frac{\partial\mathit{AC}}{\partial y} \lt 0\), а значит, средние издержки – убывающая функция объема производства. Справедливы и аналогичные соотношения при остальных типах отдачи от масштаба: \(\mathit{MC} \gt \mathit{AC}\), если и только если \(\frac{\partial\mathit{AC}}{\partial y} \gt 0\), т.е. средние издержки –возрастающая функция объема выпускаемой продукции; наконец, равенство \(\mathit{AC}\) и \(\mathit{MC}\) эквивалентно равенству нулю производной, т.е. постоянству средних издержек и отдачи от масштаба.↩︎

2. Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении. – М.: Финансы и статистика, 2002; Баранцев Р.Г. Синергетика в современном естествознании. – М.: Едиториал УРСС, 2003; Управление организацией / Под ред. Поршнева А.Г., Румянцевой З.П., Саломатина Н.А. 2-е изд. – М.: Инфра-М, 2002.↩︎

3. Лазарев И.А. Технология с постоянной отдачей от масштаба производства в экономико-математических моделях // Материалы конференции «Ломоносов–2003». – М.: ТЕИС, 2004.↩︎

4. Ср.: Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J.R. Microeconomic theory. – New York, Oxford: Oxford university press, 1995, p. 60.↩︎