2.2. Потребительский выбор: минимизация расходов при заданной полезности

Симметричным по отношению к задаче максимизации полезности при ограничении по бюджету (2.6) является поведение потребителя, ориентирующегося на минимизацию расходов при условии обеспечения заданного уровня полезности:

\(\begin{matrix} {\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\min}}\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}} \right):} \\ {U\left( {x_{1},x_{2}} \right)\geq\overline{U},x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0.} \\ \end{matrix}(2.47)\)

Покажем, что в задаче связанной минимизации расходов (2.47), как и в задаче условной максимизации полезности (2.6), решение следует искать на границе допустимого множества наборов хозяйственных благ – на кривой безразличия \(\mathit{IC} = \left\{ {{x\in X}|{U{(x) = \overline{U}},\overline{U}\in R,{\overline{U} \gt 0}}} \right\}\).

Будем рассуждать от противного. Предположим, что решением задачи (2.47) является товарный набор \(x = \left( {x_{1},x_{2}} \right)\), лежащий во внутренности верхнего лебеговского множества задачи – такой, для которого неравенство, присутствующее в ограничении, является строгим: \(U{(x) \gt \overline{U}}\). Поскольку функция полезности является непрерывной по объемам потребления благ, постольку можно сократить объем потребления одного из товаров на небольшую величину \(\varepsilon\), немного понизив, тем самым, уровень полезности, которая является строго возрастающей на \(R_{+ {}^{2}}\), и при этом получить новую корзину товаров \(\left( \widehat{x} \right)\), все еще удовлетворяющую ограничению \(U\left( \widehat{x} \right)\geq\overline{U}\). В силу строгой монотонности линейной функции расходов, их величина, соответствующая новым объемам потребления благ, сократится по отношению к их первоначальному уровню: \({\sum\limits_{j = 1}^{2}{p_{j}{\widehat{x}}_{j}}} \lt {\sum\limits_{j = 1}^{2}{p_{j}x_{j}}}\). Получаем противоречие с предположением о том, что набор \(x\) дает наименьшие расходы при заданном уровне полезности. Данное противоречие возникло из-за ложной гипотезы о нежесткости ограничения на оптимальной корзине благ. Таким образом, решение задачи условной минимизации расходов (2.47) неизбежно обращает нестрогое неравенство, присутствующее в ограничении, в равенство.

Докажем теперь разрешимость задачи (2.47). В случае отрицательного эффекта масштаба хозяйственной деятельности для того, чтобы исключить возможность пустого допустимого множества \(X = \left\{ {\left. {x = \left( {x_{1},x_{2}} \right)} \right|U(x)\geq\overline{U},\overline{U}\in R,{\overline{U} \gt 0}} \right\}\) в задаче условной минимизации расходов (2.47), нужно ввести допущение о невозможности “бесконечно убывающей” отдачи от масштаба, или асимптотической (на бесконечности) однородности нулевой степени¹: \({\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{U(\mathit{\alpha x})}}\neq{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{U(x)}}\), \(\alpha \gt 1\), \(\alpha\in R\), где обозначение \(x\rightarrow\infty\) следует понимать покоординатно, т.е. \(\forall R\in R\exists{x = \left\{ x_{j} \right\}_{j = 1}^{2}}:{x_{j} \gt R}\).

Данное предположение² будет гарантировать отсутствие горизонтальной асимптоты у монотонно возрастающей функции полезности. Действительно, из данного предположения вытекает, что: \({\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left\lbrack {U{\left( \mathit{\alpha x} \right) - U}(x)} \right\rbrack}\neq 0,{\alpha \gt 1},\alpha\in R.\) Если существует \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{U(x)}\), то \({{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{U(x)}} = {\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{U(\mathit{\alpha x})}}},{\alpha \gt 1},\alpha\in R\). Действительно, допустим, что \({\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{U(x)}} = A\). Это означает, что \(\forall{\varepsilon \gt 0}\) \(\exists h(\varepsilon)\in R\): \(\forall{x = \left\{ x_{j} \right\}_{j = 1}^{2}}\), \({x_{j} \gt h}(\varepsilon)\), \(\left| {U{(x) - A}} \right| \lt \varepsilon\). Тогда \(\forall{\varepsilon \gt 0}\) \(\exists h_{1}(\varepsilon)\in R\) и \(h{(\varepsilon) = \frac{h_{1}(\varepsilon)}{\alpha}}\), \(\alpha \gt 1\), \(\alpha\in R\): \(\forall{\chi = \left\{ \chi_{j} \right\}_{j = 1}^{2}}\), \({\chi_{j} \gt h_{1}}(\varepsilon)\), а значит, \(\forall{x = \frac{\chi}{\alpha} = \left\{ \frac{\chi_{j}}{\alpha} \right\}_{j = 1}^{2}}\), \({\frac{\chi_{j}}{\alpha} \gt h}(\varepsilon)\), \(\left| {U{(\chi) - A}} \right| \lt \varepsilon\), т.е. \({{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{U(x)}} = {\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{U(\mathit{\alpha x})}}},{\alpha \gt 1},\alpha\in R\).

Итак, по нашему предположению, \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{U(x)}\) отсутствует. Следовательно, U(x) не ограничена сверху. Для того, чтобы показать это, предположим обратное. Допустим, что существует такое положительное действительное число \(\overline{U}\), для которого \(U(x)\leqslant\overline{U}\) \(\forall x\in R_{+ {}^{2}}\). По принципу Вейерштрасса полноты поля действительных чисел \(R\), у любого непустого ограниченного сверху подмножества \(R\) существует точная верхняя грань \((\overline{a})\) такая, что, во-первых, \(f(x)\leqslant\overline{a}\) и, во-вторых, \(\forall\varepsilon\in R\) \(\exists x_{0}:{{\overline{a} - \varepsilon} \lt U}(x_{0})\leqslant\overline{a}\). Так как U(x) является строго возрастающей на \(R_{+ {}^{2}}\), для x>x₀ справедливо неравенство \({{\overline{a} - \varepsilon} \lt f}(x)\leqslant\overline{a}\), то есть существует³ \({\lim\limits_{x{\rightarrow + \infty}}{U(x)}} = \overline{a}\), что противоречит доказанному выше.

Таким образом, при предположении об отсутствии асимптотической однородности нулевой степени функции полезности, в силу строгой монотонности U(x) на \(R_{+ {}^{2}}\) с увеличением объемов потребления продуктов значение функции полезности неограниченно растет. При этом для любой положительной вещественной константы \(\overline{U}\) допустимое множество в задаче условной минимизации расходов затрат (2.47) не пусто.

Выше было доказано, что величина издержек минимальна на кривой безразличия \(\mathit{IC} = \left\{ {{x\in X}|{U{(x) = \overline{U}},\overline{U}\in R,{\overline{U} \gt 0}}} \right\}\), ограничивающей снизу допустимое множество в данной задаче условной оптимизации (2.47). Поэтому сразу сузим анализируемую область доступных, с точки зрения минимизации расходов, комбинаций продуктов заданной кривой безразличия. Выберем на ней произвольную комбинацию товаров и зафиксируем соответствующий ей уровень расходов \(\overline{E}\). Обозначим через \(E\) множество возможных значений параметра \(\overline{E}\):

\({E = \left\{ {\left. {\overline{E}\in R,{\overline{E} \gt 0}} \right|\exists{\overset{\sim}{x} = \left\{ {\overset{\sim}{x}}_{j} \right\}_{j = 1}^{2}}\in\mathit{IC}:{{\sum\limits_{j = 1}^{2}{p_{j}{\overset{\sim}{x}}_{j}}} = \overline{E}}} \right\}}.\)

По смыслу поставленной оптимизационной задачи, необходимо исследовать ту часть кривой безразличия \(\mathit{IC} = \left\{ {{x\in X}|{U{(x) = \overline{U}},\overline{U}\in R,{\overline{U} \gt 0}}} \right\}\), на которой лежат комбинации товаров, удовлетворяющие условию \({\sum\limits_{j = 1}^{2}{p_{j}x_{j}}}\leqslant\overline{E}\):

\({T = \left\{ {\left. {x\in\mathit{IC}} \right|{\sum\limits_{j = 1}^{2}{p_{j}x_{j}}}\leqslant\overline{E},\overline{E}\in E} \right\}}.\)

По аналогии с задачей максимизации полезности при ограничении по бюджету (2.6) докажем ограниченность приемлемого множества благ T в задаче (2.47). Для этого выделим из всей производственной комбинации \(x\in T\) благо под номером k: \(p_{k}x_{k}\leqslant{\overline{E} - {\sum\limits_{j\neq k}{p_{j}x_{j}}}}\).

Это неравенство можно ослабить. Поскольку все x_j неотрицательны, их можно заменить нулями: \(p_{k}x_{k}\leqslant\overline{E}\). Отсюда получаем: \(x_{k}\leqslant\frac{\overline{E}}{p_{k}}\). Деление на p_k здесь возможно с сохранением знака неравенства, при отсутствии свободных благ, когда p_k является положительным числом.

Заменим в полученном неравенстве p_k ценой самого дешевого из товаров – минимально возможной “ценой спичек” \(\underline{p}\): \(x_{k}\leqslant\frac{\overline{E}}{\underline{p}}\). Поскольку \(x_{k}\geqslant 0\), возникает двойное неравенство:

\(0\leqslant x_{k}\leqslant\frac{\overline{E}}{\underline{p}}.\)

В данном неравенстве \(\underline{p}\) и \(\overline{E}\) – это константы, не зависящие от k. Выбор элемента x_k был произвольным, и данное неравенство справедливо для любого k. Следовательно, множество T корзин товаров, лежащих на заданной кривой безразличия \(\mathit{IC}\) и удовлетворяющее условию \({\sum\limits_{j = 1}^{2}{p_{j}x_{j}}}\leqslant\overline{E}\), является ограниченным.

Кроме того, пересечение замкнутых множеств – неотрицательного ортанта пространства действительных чисел \(R_{+ {}^{2}}\) и гиперпространства \({\sum\limits_{j = 1}^{2}{p_{j}x_{j}}}\leqslant\overline{E}\) – замкнуто. Итак, будучи ограниченным и замкнутым, множество неотрицательных товарных наборов, удовлетворяющих условию \({\sum\limits_{j = 1}^{2}{p_{j}x_{j}}}\leqslant\overline{E}\), представляет собой компакт.

Отображение \(U:X\rightarrow U(X)\) топологического пространства \(X\) в топологическое пространство \(U(X)\) непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз \(U^{- 1}F\) всякого замкнутого множества \(F\) в \(U(X)\) замкнут⁴ в \(X\). Точка \({\overline{U} = U}(x)\) – замкнутое подмножество числовой прямой \(U(X)\), поскольку оно содержит все свои предельные точки, т.е. точки, в любой окрестности которых есть точка данного множества \((U(X))\). Точка \(\overline{U}\) представляет собой множество всех своих предельных точек. В силу непрерывности функции полезности \(U:X\rightarrow U(X)\) ее кривая безразличия \(\mathit{IC} = \left\{ {{x\in X}|{U{(x) = \overline{U}},\overline{U}\in R,{\overline{U} \gt 0}}} \right\}\) как прообраз замкнутого множества – точки \(\overline{U}\) – представляет собой замкнутое множество⁵.

Отрезок кривой безразличия \(\mathit{IC}\), принадлежащий пересечению неотрицательного ортанта пространства действительных чисел \(R_{+ {}^{2}}\) и гиперпространства \({\sum\limits_{j = 1}^{2}{p_{j}x_{j}}}\leqslant\overline{E}\), сам является компактным, то есть замкнутым и ограниченным, множеством. Во-первых, он является замкнутым как пересечение замкнутых множеств – кривой безразличия \(\mathit{IC}\) непрерывной действительной функции \(U:X\rightarrow U(X)\) и условия, накладываемого минимизируемыми расходами \(\left( {{\sum\limits_{j = 1}^{2}{p_{j}x_{j}}}\leqslant\overline{E}} \right)\) в неотрицательном ортанте пространства действительных чисел \(R_{+ {}^{2}}\). Во-вторых, отрезок кривой безразличия \(\mathit{IC}\) представляет собой ограниченное множество, поскольку для всех его элементов справедливо условие \(0\leqslant x_{k}\leqslant\frac{\overline{E}}{\underline{p}}\).

Таким образом, минимальное значение расходов потребителя нужно искать на компактном подмножестве T кривой безразличия \(\mathit{IC}\). Но скалярное произведение вектора цен и комбинации товаров \(\left( {\sum\limits_{j = 1}^{2}{p_{j}x_{j}}} \right)\) представляет собой непрерывную функцию⁶. Следовательно, в соответствии с принципом компактности Вейерштрасса, непрерывная функция расходов обязательно достигает минимума на заданном отрезке кривой безразличия, ограничивающей снизу полезность потребителя. Итак, при непрерывности функции полезности задача условной минимизации расходов потребителя (2.47) разрешима (рис. 2.27).

Очевидно, что в проекции на плоскость X₁0X₂ (рис. 2.28) решение задачи минимизации расходов при условии достижения заданного уровня полезности (2.47) выглядит так же, как и решение задачи максимизации полезности при ограничении по доходу (2.6).

При достаточной гладкости функции полезности, в частности, принадлежности ее классу \(C^{2}\) дважды непрерывно дифференцируемых функций, решение задачи минимизации расходов потребителя при условии достижения заданного уровня полезности (2.47), аналогично задаче максимизации полезности при ограничении по расходам (2.6), можно свести к исследованию на безусловный экстремум функции Лагранжа:

\({L = \lambda_{0}}{\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}} \right) - \lambda_{1}}\left( {U{\left( {x_{1},x_{2}} \right) - \overline{U}}} \right),(2.48)\)

где \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1}} \right)\) – вектор множителей Лагранжа. Как и ранее, будем предполагать существование внутреннего оптимума потребителя, т.е. нежесткость ограничений по неотрицательности объемов потребляемых благ: \({x_{1} \gt 0},{x_{2} \gt 0}\).

Необходимыми для связанной минимизации расходов являются условия:

стационарности функции Лагранжа по объемам потребления товаров:

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda_{0}{p_{1} = \lambda_{1}}\mathit{MU}_{1},} \\ {\lambda_{0}{p_{2} = \lambda_{1}}\mathit{MU}_{2};} \\ \end{matrix} \right.\)

дополняющей нежесткости:

\(\lambda_{1}{\left( {U{\left( {x_{1},x_{2}} \right) - \overline{U}}} \right) = 0},U\left( {x_{1},x_{2}} \right)\geq\overline{U};\)

а также неотрицательности множителей Лагранжа:

\(\lambda_{0}\geq 0,\lambda_{1}\geq 0.\)

При этом вектор множителей Лагранжа должен быть ненулевым.

Будем рассуждать аналогично анализу решения задачи условной максимизации полезности (2.6). Предполагая, что \(\lambda_{1} = 0\), при предпосылке о ненасыщаемости потребления (1.2) из условий стационарности функции Лагранжа по количествам товаров в силу того, что предметом анализа выступают экономические блага \(({p_{i} \gt 0})\), получаем, что и \(\lambda_{0} = 0\), чего во внутреннем оптимуме не может быть, поскольку по необходимому условию экстремума вектор множителей Лагранжа является ненулевым. Тогда из условия дополняющей нежесткости следует, что условие по достижению заданного уровня полезности в точке оптимума выполняется в виде равенства, т.е. является активным:

\(U{\left( {x_{1},x_{2}} \right) = \overline{U}}.(2.49)\)

И наоборот, из условий стационарности функции Лагранжа по объемам продуктов с учетом ненасыщаемости потребления (1.2) при \(\lambda_{0} = 0\) оказывается и \(\lambda_{1} = 0\), чего во внутреннем оптимуме не может быть, поскольку по необходимому условию экстремума вектор множителей Лагранжа является ненулевым. Таким образом, \(\lambda_{0}\neq 0\), и без ограничения общности его можно положить равным единице, или, что эквивалентно, поделить на него функцию (2.48), пронормировав тем самым вектор множителей Лагранжа:

\({L = p_{1}}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - \lambda}\left( {U{\left( {x_{1},x_{2}} \right) - \overline{U}}} \right),(2.50)\)

где \(\lambda = \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{0}} \gt 0\).

Тогда необходимыми для минимизации расходов потребителя с учетом ограничения по полезности будут являться следующие условия стационарности функции Лагранжа по объемам потребления благ:

\(\left\{ \begin{matrix} {{p_{1} = \lambda}\mathit{MU}_{1},} \\ {{p_{2} = \lambda}\mathit{MU}_{2}.} \\ \end{matrix} \right.(2.51)\)

Аналогично прямой задаче (2.6) и системе необходимых условий максимизации полезности при бюджетном ограничении (2.9), из данной системы (2.51) с учетом выражения для предельной нормы замещения товаров (1.6) вытекает второй закон Госсена (1.25) и эквимаржинальное условие оптимального потребительского выбора (2.10). Оптимум потребителя находится в точке касания заданной кривой безразличия \(U{\left( {x_{1},x_{2}} \right) = \overline{U}}\) и линии фиксированных расходов \(E_{2}\) на рис. 2.27-2.28, что и подразумевает эквимаржинальное условие (2.10).

Докажем единственность решения задачи условной минимизации расходов (2.47) аналогично проанализированной выше задаче максимизации полезности при ограничении по доходу (2.6), пользуясь методом “от противного”. Допустим, решение не единственно: в добавление к оптимальному набору товаров x существует еще, как минимум, одна их комбинация \(\overset{\sim}{x}\), минимизирующая расходы и обеспечивающая заданный уровень полезности \(\overline{U}\). Пусть оба эти набора благ обеспечивают минимальный уровень расходов, равный \(\overline{E}\). Гиперплоскость расходов \({\sum\limits_{j = 1}^{2}{p_{j}x_{j}}} = \overline{E}\) проходит через эти две точки пространства \(R_{+ {}^{2}}\). В силу строгой квазивогнутости функции полезности найдутся другие комбинации ресурсов, лежащие на сегменте данной гиперплоскости между точками x и \(\overset{\sim}{x}\), которые будут обеспечивать более высокий уровень полезности при тех же минимальных расходах \(\overline{E}\). А это значит, что для таких наборов товаров минимум расходов будет достигаться таким образом, что будет превышено минимально допустимое ограничение по уровню полезности, которое при самом низком из возможных при данной задаче потребительского выбора (2.47) уровне расходов будет иметь вид неравенства: \(U{(x) \gt \overline{U}}\). Но это противоречит доказанному выше утверждению, что минимум расходов потребителя обеспечивается на нижней границе допустимого множества \(\left\{ {{x\in X}|{U(x)\geq\overline{U},\overline{U}\in R,{\overline{U} \gt 0}}} \right\}\). Следовательно, предположение о существовании более одного решения задачи минимизации расходов (2.47) при строго квазивогнутой полезности, приводящее к противоречию, ошибочно, и решение данной задачи условной минимизации расходов (2.47) единственно.

Эквимаржинальный принцип (2.10) задает неявную функцию \(\varphi{\left( {x_{1},x_{2},\frac{p_{1}}{p_{2}}} \right) = {\frac{\mathit{MU}_{1}}{\mathit{MU}_{2}} - \frac{p_{1}}{p_{2}}} = 0}\). При выполнении условий теоремы об неявной функции можно получить зависимости вида \({x_{1} = f_{1}}\left( {x_{2},\frac{p_{1}}{p_{2}}} \right)\), \({x_{2} = f_{2}}\left( {x_{1},\frac{p_{1}}{p_{2}}} \right)\). Подставляя их в ограничение (2.49) и вновь применяя теорему о неявной функции, можно получить зависимости между оптимальными количествами потребляемых товаров и их относительными ценами, а также уровнем полезности потребителя \(\overline{U}\), выступающим в качестве ограничения:

\({x_{i}^{h} = x_{i}^{}}\left( {\frac{p_{1}}{p_{2}},\overline{U}} \right),{i = 1},2;(2.52)\)

которые называются функциями условного спроса по Хиксу, или компенсированного спроса.

Таким образом, функции хиксианского (или компенсированного) спроса являются вариациями решений обратной, или двойственной, задачи потребительского выбора (2.47) по ее параметрам – ценам товаров и заданному уровню полезности: \({x_{1} = x_{1}^{h}}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right);{x_{2} = x_{2}^{h}}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right).\)

Доказав единственность решения задачи условной минимизации расходов (2.47), мы, тем самым, установили существование функции спроса по Хиксу на товары как зависимости между оптимальными количествами потребляемых благ и их ценами, а также заданным уровнем полезности \(\overline{U}\), выступающим в качестве ограничения (2.52), поскольку в результате решения оптимизационной задачи (2.47) каждому вектору цен и заданному уровню полезности \(\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)\) ставится в соответствие один, единственный набор благ \(\left( {x_{1},x_{2}} \right)\).

Функции хиксианского (компенсированного) спроса являются однородными нулевой степени по ценам всех товаров:

\(x_{i}^{h}{\left( {tp_{1},tp_{2},\overline{U}} \right) = x_{i}^{h}}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right),{i = 1,2.}(2.53)\)

Для доказательства данного утверждения рассмотрим задачу минимизации расходов (2.47) при возросших в \(t\) раз ценах:

\(\begin{matrix} {\underset{x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0}{\mathit{\min}}\left( {tp_{1}{x_{1} + t}p_{2}x_{2}} \right):} \\ {U\left( {x_{1},x_{2}} \right)\geq\overline{U}.} \\ \end{matrix}\)

Для нее условие стационарности функции Лагранжа по объемам потребления принимает вид:

\(\left\{ \begin{matrix} {t{p_{1} = \lambda}\mathit{MU}_{1},} \\ {t{p_{2} = \lambda}\mathit{MU}_{2};} \\ \end{matrix} \right.\mathit{или}\left\{ \begin{matrix} {{p_{1} = \frac{\lambda}{t}}\mathit{MU}_{1},} \\ {{p_{2} = \frac{\lambda}{t}}\mathit{MU}_{2}.} \\ \end{matrix} \right.\)

Следовательно, эквимаржинальное условие оптимального потребительского выбора (2.10) остается в силе. Объединяя его с активным ограничением по уровню полезности \(U{\left( {x_{1},x_{2}} \right) = \overline{U}}\), получаем такую же оптимальную корзину товаров, как и при решении исходной задачи (2.47). Действительно, равнопропорциональное изменение цен на товары сохраняет неизменным угловой коэффициент линии равных расходов, что при заданном ограничении по полезности означает постоянство оптимальной потребительской корзины. Таким образом, компенсированный спрос является однородным нулевой степени по ценам благ (2.53).

Продемонстрируем в качестве примера вывод хиксианского спроса для функции полезности Стоуна – Джери (1.25), когда задача минимизации расходов имеет вид⁷:

\(\begin{matrix} {\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\min}}\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}} \right):} \\ {\left( {x_{1} - a} \right)^{c}{\left( {x_{2} - b} \right)^{d} = \overline{U}}.} \\ \end{matrix}\)

Выпишем соответствующую функцию Лагранжа:

\({L = p_{1}}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - \lambda}\left( {\left( {x_{1} - a} \right)^{c}{\left( {x_{2} - b} \right)^{d} - \overline{U}}} \right).\)

Условия равенства нулю частных производных функции Лагранжа по переменным \(x_{1}\) и \(x_{2}\) таковы:

\({\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = {p_{1} - \lambda}}{\frac{c\left( {x_{1} - a} \right)^{c}\left( {x_{2} - b} \right)^{d}}{x_{1} - a} = 0},\)

\({\frac{\partial L}{\partial x_{2}} = {p_{2} - \lambda}}{\frac{d\left( {x_{1} - a} \right)^{c}\left( {x_{2} - b} \right)^{d}}{x_{2} - b} = 0.}\)

Получаем следующие выражения для оптимальных объемов потребления товаров:

\({{x_{1} - a} = \frac{\mathit{\lambda c}\left( {x_{1} - a} \right)^{c}\left( {x_{2} - b} \right)^{d}}{p_{1}} = \frac{\mathit{\lambda c}\overline{U}}{p_{1}}},\)

\({{x_{2} - b} = \frac{\mathit{\lambda d}\left( {x_{1} - a} \right)^{c}\left( {x_{2} - b} \right)^{d}}{p_{2}} = \frac{\mathit{\lambda d}\overline{U}}{p_{2}}}.\)

Возведем левые и правые части полученных выражений для первого и второго товара соответственно в степени \(c\) и \(d\)

\({\left( {x_{1} - a} \right)^{c} = \left( \frac{\mathit{\lambda c}\overline{U}}{p_{1}} \right)^{c}},\)

\({\left( {x_{2} - b} \right)^{d} = \left( \frac{\mathit{\lambda d}\overline{U}}{p_{2}} \right)^{d}},\)

и перемножим почленно полученные соотношения

\(\left( {x_{1} - a} \right)^{c}{\left( {x_{2} - b} \right)^{d} = \lambda^{c + d}}{\overline{U}}^{c + d}\left( \frac{c}{p_{1}} \right)^{c}\left( \frac{d}{p_{2}} \right)^{d}.\)

В точке оптимума ограничение по полезности выполняется в виде равенства, что позволяет заменить левую часть на фиксированный уровень полезности потребителя:

\({\overline{U} = \lambda^{c + d}}{\overline{U}}^{c + d}\left( \frac{c}{p_{1}} \right)^{c}\left( \frac{d}{p_{2}} \right)^{d}.\)

Выражая множитель Лагранжа

\({\lambda = {\overline{U}}^{\frac{1}{c + d} - 1}}\left( \frac{p_{1}}{c} \right)^{\frac{c}{c + d}}\left( \frac{p_{2}}{d} \right)^{\frac{d}{c + d}}\)

и подставляя его в соотношение, характеризующее оптимальные объемы потребления товаров, приходим к искомым функциям компенсированного спроса для функции полезности Стоуна – Джери:

\(\begin{matrix} {{x_{1}^{h} = {a + \frac{\mathit{\lambda c}\overline{U}}{p_{1}}} = {a + {\overline{U}}^{\frac{1}{c + d}}}}\frac{c}{p_{1}}\left( \frac{p_{1}}{c} \right)^{\frac{c}{c + d}}{\left( \frac{p_{2}}{d} \right)^{\frac{d}{c + d}} = {a + {\overline{U}}^{\frac{1}{c + d}}}}\left( \frac{cp_{2}}{dp_{1}} \right)^{\frac{d}{c + d}},} \\ {{x_{2}^{h} = {b + \frac{\mathit{\lambda d}\overline{U}}{p_{2}}} = {b + {\overline{U}}^{\frac{1}{c + d}}}}\frac{d}{p_{2}}\left( \frac{p_{1}}{c} \right)^{\frac{c}{c + d}}{\left( \frac{p_{2}}{d} \right)^{\frac{d}{c + d}} = {b + {\overline{U}}^{\frac{1}{c + d}}}}\left( \frac{dp_{1}}{cp_{2}} \right)^{\frac{c}{c + d}}.} \\ \end{matrix}(2.54)\)

Очевидно, что частным случаем при этом являются функции компенсированного спроса для предпочтений Кобба–Дугласа (1.26):

\({x_{1}^{h} = {\overline{U}}^{\frac{1}{c + d}}}\left( \frac{cp_{2}}{dp_{1}} \right)^{\frac{d}{c + d}},{x_{2}^{h} = {\overline{U}}^{\frac{1}{c + d}}}\left( \frac{dp_{1}}{cp_{2}} \right)^{\frac{c}{c + d}}.(2.55)\)

Например, для функции полезности \(U = \sqrt{x_{1}x_{2}}\):

\({x_{1}^{h} = \overline{U}}\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}},{x_{2}^{h} = \overline{U}}\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}}.(2.56)\)

Выведем функции компенсированного спроса для совершенных субститутов. В случае линейных предпочтений (1.31) в задаче условной минимизации расходов потенциально существуют три оптимальные ситуации, рассмотренные выше. При \(\frac{p_{2}}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{\alpha}\), минимизируя расходы, потребители целиком отказываются от потребления второго товара (точка E₁ на рис. 2.6), а значит, уровень полезности будет пропорционален объему потребления первого: \({\overline{U} = \alpha}x_{1}\). При \(\frac{p_{2}}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{\alpha}\), наоборот, все расходы уйдут на второе благо: \(x_{1} = 0\) (точка E₂ на рис. 2.7). В пограничной ситуации \(\frac{p_{2}}{\beta} = \frac{p_{1}}{\alpha}\) оптимальной будет любая точка на отрезке [E₁E₂] (рис. 2.8), следовательно, диапазон возможных объемов потребления первого товара будет ограничен значениями, полученными выше: 0 и \(\overline{U}/\alpha\).

Таким образом, для линейной функции полезности поверхность спроса по Хиксу на каждый из товаров будет состоять из двух горизонтальных и одного вертикального сегментов (рис. 2.29-2.30):

\({x_{1}^{h} = t}\frac{\overline{U}}{\alpha},{x_{2}^{h} = \left( {1 - t} \right)}\frac{\overline{U}}{\beta},\mathit{где}\left\lbrack \begin{matrix} {{t = 1}\mathit{при}{\frac{p_{1}}{\alpha} \lt \frac{p_{2}}{\beta}},} \\ {{t = 0}\mathit{при}{\frac{p_{2}}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{\alpha}},} \\ {t\in\lbrack 0,1\rbrack\mathit{при}{\frac{p_{1}}{\alpha} = \frac{p_{2}}{\beta}}.} \\ \end{matrix} \right.(2.57)\)

Если блага являются совершенными комплементами (1.10), то, поскольку товары используются в строгих пропорциях, постольку между ними отсутствует эффект замещения. При леонтьевской функции полезности комбинации продуктов, минимизирующие расходы при заданном уровне полезности, будут находиться в вершинах углов, являющихся линиями безразличия данной функции полезности (1.11), т.е. справедливо равенство:

\({\overline{U} = \frac{x_{1}}{\alpha} = \frac{x_{2}}{\beta}}.\)

Следовательно, функции компенсированного спроса на товары таковы:

\({x_{1} = \alpha}\overline{U},{x_{2} = \beta}\overline{U}.(2.58)\)

Для вывода функций спроса по Хиксу, соответствующих функции полезности CES (1.13), рассмотрим двойственную задачу связанной минимизации расходов (2.47):

\(\begin{matrix} {\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}} \right)\rightarrow\mathit{\min}:} \\ {{\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1}{\varphi}} = \overline{U}}.} \\ \end{matrix}\)

Функция Лагранжа для данной задачи будет иметь вид:

\({L = p_{1}}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} + \lambda}\left( {\overline{U} - \left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1}{\varphi}}} \right).\)

Необходимые условия минимизации расходов при ограничении по полезности предполагают равенство нулю частных производных функции Лагранжа по объемам потребляемых благ:

\({\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = {p_{1} - \lambda}}\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1 - \varphi}{\varphi}}{x_{1}^{\varphi - 1} = 0},\)

\({\frac{\partial L}{\partial x_{2}} = {p_{2} - \lambda}}\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1 - \varphi}{\varphi}}{x_{2}^{\varphi - 1} = 0},\)

или

\(\lambda\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1 - \varphi}{\varphi}}{x_{1}^{\varphi - 1} = p_{1}},\)

\(\lambda\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1 - \varphi}{\varphi}}{x_{2}^{\varphi - 1} = p_{2}}.\)

С учетом жесткости ограничения по полезности условия оптимальности по \(x_{1}\) и \(x_{2}\) принимают вид:

\({x_{1} = \left( \frac{p_{1}}{\lambda} \right)^{\frac{1}{\varphi - 1}}}{\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1}{\varphi}} = \overline{U}}\left( \frac{p_{1}}{\lambda} \right)^{\frac{1}{\varphi - 1}},\)

\({x_{2} = \left( \frac{p_{2}}{\lambda} \right)^{\frac{1}{\varphi - 1}}}{\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1}{\varphi}} = \overline{U}}\left( \frac{p_{2}}{\lambda} \right)^{\frac{1}{\varphi - 1}}.\)

Возведем левые и правые части данного равенства в степень \(\varphi\), просуммируем полученные соотношения по всем товарам и далее извлечем из полученной суммы корень степени \(\varphi\). Тогда с учетом жесткости ограничения по полезности приходим к равенству:

\({\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1}{\varphi}} = \overline{U}}{\left( {\left( \frac{p_{1}}{\lambda} \right)^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + \left( \frac{p_{2}}{\lambda} \right)^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)^{\frac{1}{\varphi}} = \overline{U}},\)

которое позволяет выразить множитель Лагранжа:

\({\lambda^{\frac{1}{\varphi - 1}} = \left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)^{\frac{1}{\varphi}}}.\)

Заменяя с помощью данного соотношения множитель Лагранжа в выражениях для оптимальной корзины товаров, получаем функции спроса по Хиксу для функции полезности CES:

\({x_{1}^{h} = \frac{\overline{U}}{p_{1}^{\frac{1}{1 - \varphi}}\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)^{\frac{1}{\varphi}}}},{x_{2}^{h} = \frac{\overline{U}}{p_{2}^{\frac{1}{1 - \varphi}}\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)^{\frac{1}{\varphi}}}}.(2.59)\)

Данные функции хиксианского спроса можно переписать, используя показатель эластичности замещения между продуктами \(\delta = \frac{1}{1 - \varphi}\):

\({x_{1}^{h} = \frac{\overline{U}}{p_{1}^{\delta}\left( {p_{1}^{1 - \delta} + p_{2}^{1 - \delta}} \right)^{\frac{\delta}{\delta - 1}}}},{x_{2}^{h} = \frac{\overline{U}}{p_{2}^{\delta}\left( {p_{1}^{1 - \delta} + p_{2}^{1 - \delta}} \right)^{\frac{\delta}{\delta - 1}}}}.\)

Подстановка хиксианского спроса (1.62) в целевую функцию обратной задачи позволяет получить функцию расходов, показывающую минимальные расходы, которые должен осуществить потребитель, чтобы при сложившихся ценах благ достичь заданного уровня полезности:

\(E{\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right) = p_{1}}x_{1}^{h}{\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right) + p_{2}}x_{2}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right).(2.60)\)

В качестве примера, выведем функцию расходов для предпочтений Стоуна-Джери (1.25), используя соответствующие функции компенсированного спроса (2.54):

\({E = p_{1}}{x_{1}^{h} + p_{2}}{x_{2}^{h} = a}{p_{1} + c}{\overline{U}}^{\frac{1}{c + d}}\left( \frac{p_{1}}{c} \right)^{\frac{c}{c + d}}{\left( \frac{p_{2}}{d} \right)^{\frac{d}{c + d}} + b}{p_{2} + d}{\overline{U}}^{\frac{1}{c + d}}\left( \frac{p_{1}}{c} \right)^{\frac{c}{c + d}}{\left( \frac{p_{2}}{d} \right)^{\frac{d}{c + d}} =}\)

\({}a{p_{1} + b}{p_{2} + \left( {c + d} \right)}{\overline{U}}^{\frac{1}{c + d}}\left( \frac{p_{1}}{c} \right)^{\frac{c}{c + d}}\left( \frac{p_{2}}{d} \right)^{\frac{d}{c + d}}.(2.61)\)

В частности, для предпочтений Кобба–Дугласа (1.26) компенсированный спрос характеризуется выражениями (2.55), и в функции расходов (2.61) исчезают первые два слагаемые⁸:

\({E = \left( {c + d} \right)}{\overline{U}}^{\frac{1}{c + d}}\left( \frac{p_{1}}{c} \right)^{\frac{c}{c + d}}\left( \frac{p_{2}}{d} \right)^{\frac{d}{c + d}}.(2.62)\)

Например, для функции полезности вида \(U = \sqrt{x_{1}x_{2}}\), когда компенсированный спрос представлен зависимостями (2.56), функция расходов потребителя приобретает вид:

\(E{\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right) = 2}\overline{U}\sqrt{p_{1}p_{2}}.(2.63)\)

Для линейных предпочтений, когда товары являются совершенными субститутами (1.31), компенсированный спрос представлен зависимостями (2.57). Домножая их на цены соответствующих благ и складывая эти произведения друг с другом, получаем следующее выражение для функции расходов:

\({E = p_{1}}{x_{1}^{h} + p_{2}}{x_{2}^{h} = p_{1}}t{\frac{\overline{U}}{\alpha} + p_{2}}\left( {1 - t} \right){\frac{\overline{U}}{\beta} = \overline{U}}\left( {t{\frac{p_{1}}{\alpha} + \left( {1 - t} \right)}\frac{p_{2}}{\beta}} \right),\mathit{где}\left\lbrack \begin{matrix} {{t = 1}\mathit{при}{\frac{p_{1}}{\alpha} \lt \frac{p_{2}}{\beta}},} \\ {{t = 0}\mathit{при}{\frac{p_{2}}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{\alpha}},} \\ {t\in\lbrack 0,1\rbrack\mathit{при}{\frac{p_{1}}{\alpha} = \frac{p_{2}}{\beta}};} \\ \end{matrix} \right.\)

или

\({E = \left\lbrack \begin{matrix} {\overline{U}\frac{p_{1}}{\alpha},\mathit{если}{\frac{p_{1}}{\alpha} \lt \frac{p_{2}}{\beta}},} \\ {\overline{U}\frac{p_{2}}{\beta},\mathit{если}{\frac{p_{2}}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{\alpha}},} \\ {\overline{U}{\frac{p_{1}}{\alpha} = \overline{U}}\frac{p_{2}}{\beta},\mathit{если}{\frac{p_{1}}{\alpha} = \frac{p_{2}}{\beta}};} \\ \end{matrix} \right.}(2.64)\)

которое можно привести к следующему виду:

\({E = \overline{U}}\bullet\mathit{\min}\left\{ {\frac{p_{1}}{\alpha},\frac{p_{2}}{\beta}} \right\}.(2.65)\)

Для функции полезности леонтьевского типа, характеризующей потребление взаимодополняющих благ (1.10), используя выражения спроса по Хиксу (2.58), получаем линейную функцию расходов:

\({E = \overline{U}}\left( {\alpha{p_{1} + \beta}p_{2}} \right).(2.66)\)

Подставляя функции спроса по Хиксу, соответствующие функции полезности CES, (2.59) в выражение расходов потребителя, выводим функцию расходов для предпочтений с постоянной эластичностью замещения между товарами (1.13):

\(E{\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right) = \frac{\overline{U}\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)}{\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)^{\frac{1}{\varphi}}} = \overline{U}}\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)^{\frac{\varphi - 1}{\varphi}}.(2.67)\)

В силу однородности нулевой степени хиксианского спроса (2.53), функция расходов является однородной первой степени по ценам товаров:

\(E{\left( {tp_{1},tp_{2},\overline{U}} \right) = t}p_{1}x_{1}^{h}{\left( {tp_{1},tp_{2},\overline{U}} \right) + t}p_{2}x_{2}^{h}{\left( {tp_{1},tp_{2},\overline{U}} \right) = t}p_{1}x_{1}^{h}{\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right) + t}p_{2}x_{2}^{h}{\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right) = \mathit{tE}}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right),{t \gt 0.}(2.68)\)

Для функций спроса по Хиксу равнопропорциональное изменение цен при неизменном уровне полезности приводит к соответствующему изменению расходов. Изменение покупательной способности должно быть нейтрализовано противоположной по направлению вариацией располагаемого дохода с тем, чтобы благосостояние индивида оставалось на прежнем уровне. Отражением этого является и само название данных функций как «компенсированного» спроса.

К задаче условной минимизации расходов (2.47) можно применить теорему об огибающей (xii), приравняв значения полной производной функции расходов по величине полезности и соответствующей частной производной функции Лагранжа (2.50), рассчитанные на оптимальной корзине товаров \(\left( {x_{1},x_{2}} \right) = \left( {x_{1}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right),x_{2}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)} \right)\):

\({\frac{\mathit{dE}\left( {x_{1}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right),x_{2}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)} \right)}{d\overline{U}} = \frac{\partial E\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial\overline{U}} = \frac{\partial L}{\partial\overline{U}} = \lambda}.\)

Это позволяет прояснить экономический смысл и рассчитать величину множителя Лагранжа в задаче связанной минимизации расходов (2.47), который представляет собой предельные расходы потребителя, необходимые для увеличения его полезности на бесконечно малую величину:

\({\lambda = \frac{\partial E\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial\overline{U}}}.(2.69)\)

Функции хиксианского (компенсированного) спроса на товар могут быть получены путем дифференцирования функции расходов (при достаточной ее гладкости) по цене соответствующего товара. Этот факт известен как лемма Шепарда⁹:

\(x_{i}^{h}{\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right) = \frac{\partial E\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{i}}},{i = 1,2.}(2.70)\)

Для доказательства этого утверждения вновь воспользовались теоремой об огибающей (xii), в соответствии с которой полная производная функции расходов по цене каждого из товаров и соответствующая частная производная функции Лагранжа (2.50), рассчитанные на оптимальной для задачи (2.47) корзине товаров \(\left( {x_{1},x_{2}} \right) = \left( {x_{1}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right),x_{2}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)} \right)\), равны между собой:

\({\frac{\mathit{dE}\left( {x_{1}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right),x_{2}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)} \right)}{dp_{i}} = \frac{\partial E\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial L}{\partial p_{i}} = x_{i}^{h}}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right),{i = 1,2.}\)

Проиллюстрируем лемму Шепарда на примере функции полезности Кобба–Дугласа \(U = \sqrt{x_{1}x_{2}}\). Для данных предпочтений построим функцию расходов потребителя: \(E{\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right) = 2}\overline{U}\sqrt{p_{1}p_{2}}\). Ее производная по цене, например, первого товара равна соответствующей функции условного спроса: \({\frac{\partial E}{\partial p_{1}} = \overline{U}}{\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}} = x_{1}^{h}}\), что и утверждает лемма Шепарда.

Функция расходов является вогнутой по ценам товаров. Для доказательства этого утверждения будем анализировать функцию расходов \({E = E}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)\), соответствующую некоторой функции полезности \({U = U}\left( {x_{1},x_{2}} \right)\). Рассмотрим произвольные векторы цен \(p = \left( {p_{1},p_{2}} \right)\) и \(p^{'} = \left( {p_{1}^{'},p_{2}^{'}} \right)\), а также некоторый вектор цен \(p^{''} = \left( {p_{1}^{''},p_{2}^{''}} \right)\), представляющий собой линейную комбинацию указанных векторов: \(p^{''} = \left( {p_{1}^{''},p_{2}^{''}} \right) = \left( {\alpha{p_{1} + \left( {1 - \alpha} \right)}p_{1}^{'},\alpha{p_{2} + \left( {1 - \alpha} \right)}p_{2}^{'}} \right)\), где \(\alpha\in\left\lbrack {0,1} \right\rbrack\).

Зафиксируем полезность на уровне \(U{\left( {x_{1},x_{2}} \right) = \overline{U}}\) и рассмотрим при данном ограничении задачи минимизации расходов потребителя при ценах \(p,\) \(p^{'}\) и \(p^{''}\). Пусть \(x = \left( {x_{1},x_{2}} \right)\), \(x^{'} = \left( {x_{1}^{'},x_{2}^{'}} \right)\) и \(x^{''} = \left( {x_{1}^{''},x_{2}^{''}} \right)\) – оптимальные корзины товаров в данных задачах минимизации расходов потребителя соответственно при ценах \(p,\) \(p^{'}\) и \(p^{''}\). Данным решениям оптимизационных задач будут соответствовать определенные значения функции расходов: \(E{\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right) = p_{1}}{x_{1} + p_{2}}x_{2}\), \(E{\left( {p_{1}^{'},p_{2}^{'},\overline{U}} \right) = p_{1}^{'}}{x_{1}^{'} + p_{2}^{'}}x_{2}^{'}\) и \(E{\left( {p_{1}^{''},p_{2}^{''},\overline{U}} \right) = p_{1}^{''}}{x_{1}^{''} + p_{2}^{''}}{x_{2}^{''} = \alpha}p_{1}{x_{1}^{''} + \left( {1 - \alpha} \right)}p_{1}^{'}{x_{1}^{''} + \alpha}p_{2}{x_{2}^{''} + \left( {1 - \alpha} \right)}p_{2}^{'}{x_{2}^{''} = \alpha}{(p}_{1}{x_{1}^{''} + p_{2}}x_{2}^{''}{) + \left( {1 - \alpha} \right)}(p_{1}^{'}{x_{1}^{''} + p_{2}^{'}}x_{2}^{''})\).

Тогда \(E{\left( {p_{1}^{''},p_{2}^{''},\overline{U}} \right) = p_{1}^{''}}{x_{1}^{''} + p_{2}^{''}}{x_{2}^{''} = \alpha}p_{1}{x_{1}^{''} + \left( {1 - \alpha} \right)}p_{1}^{'}{x_{1}^{''} + \alpha}p_{2}{x_{2}^{''} + \left( {1 - \alpha} \right)}p_{2}^{'}{x_{2}^{''} = \alpha}{(p}_{1}{x_{1}^{''} + p_{2}}x_{2}^{''}{) + \left( {1 - \alpha} \right)}(p_{1}^{'}{x_{1}^{''} + p_{2}^{'}}x_{2}^{''})\geq\alpha E(p_{1},p_{2},\overline{U}{) + \left( {1 - \alpha} \right)}E(p_{1}^{'},p_{2}^{'},\overline{U})\).

Обратим внимание на то, что по определению функции расходов, которая показывает минимальную их величину при заданном уровне полезности и ценах на продукты, справедливы следующие неравенства: \(p_{1}{x_{1}^{''} + p_{2}}x_{2}^{''}\geq E\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)\) и \(p_{1}^{'}{x_{1}^{''} + p_{2}^{'}}x_{2}^{''}\geq E(p_{1}^{'},p_{2}^{'},\overline{U})\).

Действительно, значения функции расходов \(E\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)\) и \(E(p_{1}^{'},p_{2}^{'},\overline{U})\) будут соответствовать не набору \(x^{''} = \left( {x_{1}^{''},x_{2}^{''}} \right)\), а другим оптимальным корзинам товаров – \(x = \left( {x_{1},x_{2}} \right)\) и \(x^{'} = \left( {x_{1}^{'},x_{2}^{'}} \right)\).

Таким образом, для функции расходов будет справедливо неравенство Йенсена:

\(E{\left( {p_{1}^{''},p_{2}^{''},\overline{U}} \right) = E}\left( {\alpha{p_{1} + \left( {1 - \alpha} \right)}p_{1}^{'},\alpha{p_{2} + \left( {1 - \alpha} \right)}p_{2}^{'},\overline{U}} \right)\geq\alpha E{\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right) + \left( {1 - \alpha} \right)}E\left( {p_{1}^{'},p_{2}^{'},\overline{U}} \right),\)

характеризующее ее вогнутость по ценам на товары.

Как показано на рис. 2.31, при снижении цены первого товара \(\left( {p_{1}^{2} \lt p_{1}^{1}} \right)\) и росте его покупаемого количества \(\left( {x_{1}^{1} \gt x_{1}^{2}} \right)\) угловой коэффициент касательной к графику функции расходов увеличивается: \(\mathit{tg\beta} \gt \mathit{tg\alpha}\), поскольку по лемме Шепарда (2.70) \({\mathit{tg\alpha} = \frac{\partial E}{\partial p_{1}}}{\left( p_{1}^{1} \right) = x_{1}^{1}}\), \({\mathit{tg\beta} = \frac{\partial E}{\partial p_{2}}}{\left( p_{1}^{2} \right) = x_{1}^{2}}\).

Рисунок 2.31. Вогнутость функции расходов по ценам благ

Обратим внимание на то, что в случае единственности оптимальной корзины товаров, находящейся в внутренности потребительского множества \(X\) (т.е. при отсутствии краевых решений), которая будет иметь место при строгой выпуклости кривых безразличия к началу координат, неравенства выше, в том числе, и неравенство Йенсена, будут строгими, а значит, будет иметь место строгая вогнутость функции расходов по ценам на товары.

Если выше однородность первой степени функции расходов по ценам благ (2.68) была выведена из однородности нулевой степени хиксианского спроса (2.53), то лемма Шепарда (2.70) позволяет, наоборот, доказать однородность нулевой степени функций компенсированного спроса, исходя из однородности первой степени функции расходов. Действительно, дифференцируя по цене любого из товаров выражение, характеризующее однородность первой степени функции расходов по ценам (2.68) и применяя лемму Шепарда (2.70):

\({\frac{\partial E\left( {tp_{1},tp_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial E\left( {tp_{1},tp_{2},\overline{U}} \right)}{\partial\left( {tp_{i}} \right)}}\bullet{\frac{\partial\left( {tp_{i}} \right)}{\partial p_{i}} = t}x_{i}^{h}{\left( {tp_{1},tp_{2},\overline{U}} \right) =}\)

\({}t{\frac{\partial E\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{i}} = t}x_{i}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right),{i = 1,2},\)

приходим к однородности нулевой степени функций спроса по Хиксу (2.53).

Располагая информацией о функции расходов потребителя (2.60), можно восстановить его функцию полезности (1.1). Действительно, применяя лемму Шепарда (2.70), можно получить функции компенсированного спроса на потребительские блага, которые можно записать в следующем виде, пользуясь их однородностью нулевой степени по ценам и беря в качестве коэффициента пропорциональности в соотношении (2.53) цену одного из товаров, например, \(p_{2}\):

\({x_{i}^{h} = x_{i}^{h}}\left( {\frac{p_{1}}{p_{2}},\overline{U}} \right),{i = 1},2.\)

Применяя к записанному таким образом хиксианскому спросу теорему об обратной функции, можно выразить относительные цены через объемы потребления товаров и уровень полезности:

\({\frac{p_{1}}{p_{2}} = {x_{1}^{h}}^{- 1}}{\left( {x_{1},\overline{U}} \right) = {x_{2}^{h}}^{- 1}}\left( {x_{2},\overline{U}} \right).\)

Применяя теперь к последнему равенству теорему о неявной функции, можно получить функцию полезности потребителя (1.1).

Допустим, например, что функция расходов потребителя имеет вид (2.62). Восстановим его функцию полезности.

Применяя лемму Шепарда к заданной функции расходов, можно получить функцию компенсированного спроса на первое благо:

\({\frac{\partial E}{\partial p_{1}} = \left( \frac{cp_{2}}{dp_{1}} \right)^{\frac{d}{c + d}}}{U^{\frac{1}{c + d}} = x_{1}},\)

из которой после очевидных преобразований \(\left( \frac{cp_{2}}{dp_{1}} \right)^{d} = \frac{x_{1}^{c + d}}{U}\), \(\frac{cp_{2}}{dp_{1}} = \left( \frac{x_{1}^{c + d}}{U} \right)^{\frac{1}{d}}\) можно получить выражение относительных цен через уровень полезности и объем потребления данного блага: \({\frac{dp_{1}}{cp_{2}} = \left( \frac{U}{x_{1}^{c + d}} \right)^{\frac{1}{d}}}.\)

Применяя лемму Шепарда для второго блага и используя полученное выше выражение:

\({\frac{\partial E}{\partial p_{2}} = \left( \frac{dp_{1}}{cp_{2}} \right)^{\frac{c}{c + d}}}{U^{\frac{1}{c + d}} = x_{2} = \left( \frac{U}{x_{1}^{c + d}} \right)^{\frac{c}{d{({c + d})}}}}{U^{\frac{1}{c + d}} = \left( \frac{U}{x_{1}^{c}} \right)^{\frac{1}{d}}},\)

приходим к функции полезности Кобба-Дугласа (1.26)\(.\)

В частности, если функцию расходов потребителя \({E = \frac{3}{\sqrt[3]{4}}}p_{1}^{\frac{2}{3}}p_{2}^{\frac{1}{3}}U^{\frac{4}{3}}\), то, применяя к ней лемму Шепарда, можно получить функции компенсированного спроса соответственно на первое и второе благо:

\({\frac{\partial E}{\partial p_{1}} = \left( \frac{2p_{2}}{p_{1}} \right)^{\frac{1}{3}}}{U^{\frac{4}{3}} = x_{1}},{\frac{\partial E}{\partial p_{2}} = \left( \frac{p_{1}}{2p_{2}} \right)^{\frac{2}{3}}}{U^{\frac{4}{3}} = x_{2}}.\)

Из спроса по Хиксу на первый товар следует, что \(\frac{p_{1}}{2p_{2}} = \frac{U^{4}}{x_{1}^{3}}\), а значит, компенсированный спрос на второе благо можно преобразовать к виду \({x_{2} = \left( \frac{U}{x_{1}^{\frac{3}{4}}} \right)^{\frac{8}{3}}}{U^{\frac{4}{3}} = \frac{U^{4}}{x_{1}^{2}}}\), что позволяет получить искомую функцию полезности: \({U = x_{1}^{\frac{1}{2}}}x_{2}^{\frac{1}{4}}\).

Функциям хиксианского (компенсированного) спроса присущ ряд примечательных свойств.

Для функций хиксианского спроса характерна неположительность собственных коэффициентов замещения:

\(\frac{\partial x_{i}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{i}}\leq 0,{i = 1,2.}\)

Действительно, если функция расходов является дважды дифференцируемой, то ее «чистые» частные производные второго порядка, которые по лемме Шепарда (2.70) представляют собой функции спроса по Хиксу, будут неположительными, ведь в силу вогнутости функции расходов по ценам ее матрица Гессе должна быть отрицательно полуопределенной:

\({\frac{\partial^{2}E\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{i}^{2}} = \frac{\partial x_{i}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{i}}}\leq 0,{i = 1,2.}\)

Во внутренних оптимумах при строгой квазивогнутости полезности, когда функция расходов строго вогнута по ценам, а значит, ее матрица Гессе является отрицательно определенной, собственные коэффициенты замещения будут отрицательными:

\({\frac{\partial x_{i}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{i}} \lt 0},{i = 1,2.}(2.71)\)

Наконец, следует отметить, что, если функция расходов является дважды непрерывно дифференцируемой, то смешанные частные производные функции хиксианского (компенсированного) спроса равны между собой:

\({\frac{\partial x_{1}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{2}} = \frac{\partial x_{2}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{1}}}.(2.72)\)

Это свойство функции хиксианского спроса известно как теорема о симметричности коэффициентов замещения.

Действительно, по лемме Шепарда (2.70)

\({\frac{\partial^{2}E\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{1}\partial p_{2}} = \frac{\partial x_{1}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{2}}},{\frac{\partial^{2}E\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{2}\partial p_{1}} = \frac{\partial x_{2}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{1}}}.\)

При этом по теореме Шварца, если вторые частные производные функции расходов непрерывны, то они равны между собой, т.е. значения непрерывных вторых частных производных не зависят от порядка дифференцирования:

\({\frac{\partial^{2}E\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{1}\partial p_{2}} = \frac{\partial^{2}E\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{2}\partial p_{1}}},\)

что в свою очередь подразумевает симметричность коэффициентов замещения.

Проверим, например, симметричность коэффициентов замещения для предпочтений Стоуна-Джери, когда функции хиксианского спроса имеют вид (2.54):

\({\frac{\partial x_{1}^{h}}{\partial p_{2}} = \frac{\mathit{cd}{\overline{U}}^{\frac{1}{c + d}}}{\left( {c + d} \right)p_{1}p_{2}}}\left( \frac{p_{1}}{c} \right)^{\frac{c}{c + d}}{\left( \frac{p_{2}}{d} \right)^{\frac{d}{c + d}} = \frac{{\overline{U}}^{\frac{1}{c + d}}}{\left( {c + d} \right)}}\left( \frac{c}{p_{1}} \right)^{\frac{d}{c + d}}{\left( \frac{d}{p_{2}} \right)^{\frac{c}{c + d}} = \frac{\partial x_{2}^{h}}{\partial p_{1}}}.\)

Отметим, что, если увеличить размерность задачи потребительского выбора, допустив наличие двух и более товаров в корзине товаров, то в зависимости от знака коэффициента замещения можно классифицировать товары на чистые субституты и комплементы.

Если \({\frac{\partial x_{i}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{j}} \gt 0},i\neq j\), то во внутренних оптимумах при строгой выпуклости кривых безразличия к началу координат, поскольку собственные коэффициенты замещения представляют собой отрицательные величины (2.71), постольку объемы компенсированного спроса на данные два блага будут двигаться в противоположном направлении относительно друг друга при изменении цены одного из них. Следовательно, одно из благ будет замещать другое в потребительских наборах, расположенных на одной и той же кривой безразличия, т.е. данные товары являются чистыми субститутами.

Если \({\frac{\partial x_{i}^{h}\left( {p_{1},p_{2},\overline{U}} \right)}{\partial p_{j}} \lt 0},i\neq j\), то во внутренних оптимумах при строгой выпуклости поверхностей безразличия к началу координат, поскольку собственные коэффициенты замещения представляют собой отрицательные величины (2.71), постольку объемы компенсированного спроса на данные два блага будут двигаться, наоборот, сонаправленно относительно друг друга при изменении цены одного из них. Следовательно, данные товары дополняют друг друга в потребительских наборах, расположенных на одной и той же поверхности безразличия, т.е. являются чистыми комплементами.

Очевидно, что в случае двухпродуктовой потребительской корзины при изменении внутреннего оптимума, отражающегося в движении вдоль строго выпуклой к началу координат кривой безразличия, увеличение одного товара в наборе предполагает сокращение другого, т.е. блага будут являться чистыми субститутами.

---

1. То есть предполагается, что при \(x\rightarrow\infty\) f(x) не может асимптотически приближаться к однородной нулевой степени функции (при \(\gamma = 0\) в определении (1.42)).↩︎

2. Очевидно, что в случае положительного эффекта масштаба (1.37) данное предположение выполняется автоматически.↩︎

3. Камынин Л.И. Курс математического анализа: в 2-х т. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993-1995, т.1.↩︎

4. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: Наука, 1977.↩︎

5. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.↩︎

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 6-е изд. – М.: Наука, 1989.↩︎

7. Для вывода функций спроса по Хиксу, соответствующих функции полезности Стоуна–Джери при n-продуктовой потребительской корзине (vi), рассмотрим двойственную задачу связанной минимизации расходов (2.47):

   \(\begin{matrix} {{\sum\limits_{i = 1}^{n}{p_{i}x_{i}}}\rightarrow\mathit{\min}:} \\ {{\prod\limits_{i = 1}^{n}\left( {x_{i} - a_{i}} \right)^{\alpha_{i}}}\geq\overline{U}.} \\ \end{matrix}\)

   Функция Лагранжа для данной задачи будет иметь вид:

   \({L = \lambda_{0}}{{\sum\limits_{i = 1}^{n}{p_{i}x_{i}}} + \lambda_{1}}\left( {\overline{U} - {\prod\limits_{i = 1}^{n}\left( {x_{i} - a_{i}} \right)^{\alpha_{i}}}} \right).\)

   Необходимые условия минимизации расходов при ограничении по полезности с учетом неотрицательности множителя Лагранжа \(\lambda_{0}\) имеют вид:

   \({\frac{\partial L}{\partial x_{i}} = \lambda_{0}}{p_{i} - \lambda_{1}}\alpha_{i}\left( {x_{i} - a_{i}} \right)^{\alpha_{j} - 1}{{\prod\limits_{{j = 1},j\neq i}^{n}\left( {x_{j} - a_{j}} \right)^{\alpha_{j}}} = \lambda_{0}}{{p_{i} - \frac{\lambda_{1}\alpha_{i}{\prod\limits_{j = 1}^{n}\left( {x_{j} - a_{j}} \right)^{\alpha_{j}}}}{x_{i} - a_{i}}} = \lambda_{0}}{{p_{i} - \frac{\lambda_{1}\alpha_{i}U}{x_{i} - a_{i}}} = 0},{i = 1},\ldots,n;\)

   \(\lambda_{1}{\left( {\overline{U} - {\prod\limits_{i = 1}^{n}\left( {x_{i} - a_{i}} \right)^{\alpha_{i}}}} \right) = 0},{\prod\limits_{i = 1}^{n}\left( {x_{i} - a_{i}} \right)^{\alpha_{i}}}\geq\overline{U},\lambda_{1}\geq 0.\)

   Если \(\lambda_{1} = 0\), то из условия оптимальности по \(x_{i}\) и \(\lambda_{0} = 0\), чего не может быть.

   Следовательно, \(\lambda_{1}\neq 0,\) и ограничение по полезности является жестким: \({{\prod\limits_{i = 1}^{n}\left( {x_{i} - a_{i}} \right)^{\alpha_{i}}} = \overline{U}}.\)

   Если \(\lambda_{0} = 0\), то \(\lambda_{1} = 0\), чего не может быть. Пусть \(\lambda_{0} = 1.\)

   Тогда условия равенства нулю частных производных функции Лагранжа по переменным \(x_{i},{i = 1},\ldots,n,\) с учетом жесткости ограничения по полезности принимают вид:

   \({p_{i} - \lambda_{1}}\alpha_{i}\left( {x_{i} - a_{i}} \right)^{\alpha_{j} - 1}{{\prod\limits_{{j = 1},j\neq i}^{n}\left( {x_{j} - a_{j}} \right)^{\alpha_{j}}} = {p_{i} - \frac{\lambda_{1}\alpha_{i}{\prod\limits_{j = 1}^{n}\left( {x_{j} - a_{j}} \right)^{\alpha_{j}}}}{x_{i} - a_{i}}} = {p_{i} - \frac{\lambda_{1}\alpha_{i}\overline{U}}{x_{i} - a_{i}}} = 0},\)

   т.е.

   \({x_{i} = {a_{i} + \frac{\lambda_{1}\alpha_{i}\overline{U}}{p_{i}}}},{i = 1},\ldots,n;(\mathit{xiv})\)

   или

   \({{x_{i} - a_{i}} = \lambda_{1}}\overline{U}\frac{\alpha_{i}}{p_{i}},{i = 1},\ldots,n.\)

   Возводя левую и правую часть данного соотношения в степень \(\alpha_{j}\) и перемножая равенства, соответствующие каждому из товаров, с учетом жесткости ограничения по полезности приходим к следующему выражению:

   \({{\prod\limits_{j = 1}^{n}\left( {x_{j} - a_{j}} \right)^{\alpha_{j}}} = {\prod\limits_{j = 1}^{n}\left( {\lambda_{1}\overline{U}\frac{\alpha_{j}}{p_{j}}} \right)^{\alpha_{j}}} = \left( {\lambda_{1}\overline{U}} \right)^{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}{{\prod\limits_{j = 1}^{n}\left( \frac{\alpha_{j}}{p_{j}} \right)^{\alpha_{j}}} = \overline{U}},\)

   из которого вытекает, что \(\lambda_{1}{\overline{U} = {\overline{U}}^{\frac{1}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}}{\prod\limits_{j = 1}^{n}\left( \frac{p_{j}}{\alpha_{j}} \right)^{\frac{\alpha_{j}}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}}.\) Заменяя выражением, стоящим в правой части данного равенства, произведение \(\lambda_{1}\overline{U}\) в условии оптимальности (xiv), получаем функции спроса по Хиксу для предпочтений Стоуна-Джери:

   \({x_{i}^{h} = {a_{i} + \frac{\alpha_{i}}{p_{i}}}}{\overline{U}}^{\frac{1}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}{{\prod\limits_{j = 1}^{n}\left( \frac{p_{j}}{\alpha_{j}} \right)^{\frac{\alpha_{j}}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}} = {a_{i} + {\overline{U}}^{\frac{1}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}}}\left( \frac{\alpha_{i}}{p_{i}} \right)^{\frac{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}{\prod\limits_{j = 1}^{n}\left( \frac{p_{j}}{\alpha_{j}} \right)^{\frac{\alpha_{j}}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}}\)

   \({}{a_{i} + {\overline{U}}^{\frac{1}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}}{\prod\limits_{{j = 1},j\neq i}^{n}\left( \frac{\alpha_{i}p_{j}}{\alpha_{j}p_{i}} \right)^{\frac{\alpha_{j}}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}},{i = 1},\ldots,n.(\mathit{xv})\)

   Очевидно, что предпочтениям Кобба-Дугласа будут соответствовать такие функции хиксианского спроса:

   \({x_{i}^{h} = {\overline{U}}^{\frac{1}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}}{\prod\limits_{{j = 1},j\neq i}^{n}\left( \frac{\alpha_{i}p_{j}}{\alpha_{j}p_{i}} \right)^{\frac{\alpha_{j}}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}},{i = 1},\ldots,n.(\mathit{xvi})\)

   Полученные зависимости являются очевидным обобщением хиксианских функций спроса (2.54)-(2.55), выведенных ранее применительно к случаю двухпродукторых потребительских корзин.↩︎

8. Подставляя функции спроса по Хиксу (xv) и (xvi) при n-продуктовых потребительских корзинах в выражение расходов потребителя, выводим функции расходов, соответствующие предпочтениям Стоуна-Джери

   \(E{\left( {p_{1},\ldots,p_{n},\overline{U}} \right) = {\sum\limits_{i = 1}^{n}{p_{i}x_{i}^{h}}} = {{\sum\limits_{i = 1}^{n}{p_{i}a_{i}}} + \left( {\overline{U}{\prod\limits_{j = 1}^{n}\left( \frac{p_{j}}{\alpha_{j}} \right)^{\alpha_{j}}}} \right)^{\frac{1}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}}}{\sum\limits_{i = 1}^{n}\alpha_{i}}(\mathit{xvii})\)

   и Кобба-Дугласа

   \(E{\left( {p_{1},\ldots,p_{n},\overline{U}} \right) = \left( {\overline{U}{\prod\limits_{j = 1}^{n}\left( \frac{p_{j}}{\alpha_{j}} \right)^{\alpha_{j}}}} \right)^{\frac{1}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}}{\sum\limits_{i = 1}^{n}\alpha_{i}}.(\mathit{xviii})\)

   ↩︎

9. Рональд Шепард (1912-1982) – американский экономист-математик. См.: Shepard R.W. Theory of cost and production functions. – Princeton: Princeton University Press, 1953.↩︎