2.1. Максимизация полезности при ограничении по доходу потребителя

Допустим, что каждый из \(l\) товаров покупается данным потребителем по цене \(p_h\). На протяжении большей части нашего анализа будем полагать, что цена \(h\)-го товара едина для всех потребителей, т.е. не будем принимать во внимание, если обратное не оговорено специально, возможность ценовой дискриминации, когда разным покупателям, располагающим различным уровнем дохода, продается одинаковые блага по разным ценам, что не связано с различиями в качестве товаров и затратами на их производство. Для нас здесь существенно, что разные цены устанавливаются именно на качественно различные блага.

Пока абстрагируемся от свободных благ и будем рассматривать только экономические товары и услуги. Итак, будем считать, что ни одна из товарных цен не равна нулю, и следовательно, все координаты любого возможного вектора цен \(p = \left\{ p_{h} \right\}_{h = 1}^{l}\) положительны \(({p_{h} \gt 0},{h = 1},\ldots,l).\) Другими словами, множество \(P\) векторов цен \(p\) является подмножеством \(R_{l}^{+ {\{ 0\}}:}\) \({P = \left\{ {{p = \left\{ p_{h} \right\}_{h = 1}^{l}}|{p_{h} \gt 0}} \right\}}.\) Будем использовать даже еще более сильное предположение о том, что у множества ценовых векторов \(P\) существует положительная нижняя граница – так называемая «цена спичек» \(\underline{p}.\) Все компоненты любого вектора из множества цен \(P\) должны быть по крайней мере не меньше \(\underline{p}:\)

\(\exists\underline{p}\in R_{+ :\forall{\{ p_{h}\}}_{h = 1}^{l},{p_{h} \gt 0},p_{h}\geq\underline{p},{h = 1},\ldots,l.(2.1)}\)

Итак, ценовое множество \(P\) – это произвольное множество из \(R_{l}^{+}\), отделенное от нуля \(\left(\overline {P} \in \operatorname{int} {R}_{l}^{+} , где P=\left( p \in {R}_{l}^{+} \right) \right).\)

Кроме физических ограничений, на множество потребительских корзин \(X\) накладывается экономическое, или бюджетное, ограничение. Оно заключается в том, что потребитель не может израсходовать на покупки количество денег, превышающее его доход \(M\in R_{+}\). Будем предполагать, что доход предоставляется потребителю изначально и бесплатно, например, в качестве наследства. Итак, стоимость покупаемых товаров должна быть не больше дохода потребителя, т.е. должно выполняться нестрогое неравенство:

\({\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}x_{j}}}\leq M.(2.2)\)

Обозначим через \(E\) выражение расходов покупателя:

\(E\equiv{\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}x_{j}}}.(2.3)\)

Граница финансового условия (2.2), на которой расходы покупателя совпадают с его доходом:

\({{\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}x_{j}}} = M},(2.4)\)

в трехмерном пространстве, т.е. в случае двухпродуктовых корзин товаров \(({l = 2})\), представляет собой вертикальную плоскость (рис. 2.1).

Рисунок 2.1. Бюджетное ограничение потребителя

Действительно, выражение (2.4) в трехмерном пространстве означает пересечение плоскости расходов (2.3) и горизонтальной плоскости фиксированного дохода \(E = M\). Расходы покупателя (2.3) являются однородными первой степени (1.42) по ценам потребляемых продуктов. При увеличении цен в \(\alpha\) раз плоскость расходов поворачивается вверх вокруг прямой, проходящей через начало координат. При этом для каждой данной комбинации потребляемых благ в \(\alpha\) раз возрастает величина расходов по отношению к их первоначальной величине, равной доходу \(M\):

\({{\sum\limits_{j = 1}^{l = 2}{\left( {\alpha p_{j}} \right)x_{j}}} = \alpha}{{\sum\limits_{j = 1}^{l = 2}{p_{j}x_{j}}} = \alpha}E{\left( {p_{1},p_{2}} \right) = \mathit{\alpha M}}.(2.5)\)

Это значит, что теперь граница финансового условия (2.4) будет соответствовать пересечению новой плоскости расходов с горизонтальной плоскостью, проведенной на уровне \(\mathit{\alpha M}\). Очевидно, что прямая, по которой пересекутся эти плоскости, будет соответствовать тому же множеству товарных наборов, что и предыдущая линия пересечения плоскости расходов (2.3) и горизонтальной плоскости фиксированного дохода \(M\). Обе эти прямые проецируются на одну и ту же линию на горизонтальной координатной плоскости \(X\)₁0\(X\)₂, т.е. лежат в одной и той же вертикальной плоскости. Варьируя масштабирующий множитель \(\alpha\in R_{+}\) в соотношении (2.5), получим бесконечное множество линий пересечения плоскостей расходов с произвольным наклоном и горизонтальных плоскостей дохода \(\mathit{\alpha M}\), которое образует вертикальную плоскость – границу бюджетного ограничения (2.2) в трехмерном пространстве (рис. 2.1).

Покажем, что множество физически и экономически доступных для потребителя корзин товаров, которое мы обозначим через \(S\equiv{}\), является замкнутым и ограниченным, следовательно, компактным. Потребительское множество \(X\) представляет собой неотрицательный ортант \(R_{l}^{+}\). Следовательно, оно замкнуто. Ограничение по доходу (2.2) представляет собой полупространство, включающее границу – гиперплоскость (2.4). Поэтому оно является замкнутым множеством. Поскольку \(S\) является пересечением замкнутого множества физически доступных для потребителя корзин товаров \(X\) и замкнутого экономического, или бюджетного, ограничения (2.2), постольку допустимое потребительское множество \(S\) само является замкнутым.

Покажем ограниченность множества \(S\). Каждый вектор \(x\) из \(S\) должен удовлетворять бюджетному ограничению (2.2). Выделим из всей потребительской корзины товар под номером \(h\). Тогда неравенство (2.2) переписывается в следующем виде: \(p_{h}x_{h}\leq{M - {\sum\limits_{{k = 1},k\neq h}^{l}{p_{k}x_{k}}}}\). Его можно ослабить: поскольку \(x_{k}\geq 0\), постольку можно заменить все \(x_{k}\) нулями: \(p_{h}x_{h}\leq M\), или \(x_{h}\leq\frac{M}{p_{h}}\). Деление здесь на \(p_{h}\) было возможным, и при этом сохранился знак неравенства, поскольку мы исключаем из рассмотрения свободные блага (2.1).

Ценовое множество \(P\), по предположению, является ограниченным снизу (2.1). Заменим в последнем неравенстве \(p_{h}\) на его нижнюю границу \(\underline{p}\): \(x_{h}\leq\frac{M}{\underline{p}}.\)

Число \(\frac{M}{\underline{p}}\) является верхней границей множества \(X\) для данного потребителя, поскольку любой его элемент по крайней мере не больше, чем \(\frac{M}{\underline{p}}\). Кроме того, \(x_{h}\geqslant 0\). В итоге получаем двойное неравенство \(0\leq x_{h}\leq\frac{M}{\underline{p}}\), в котором \(M\) и \(\underline{p}\) – это абсолютные, не зависящие от \(h\) константы. Выбор элемента \(x_{h}\) был произвольным, и полученное неравенство справедливо для любого \(h\). Итак, множество \(S\) ограничено: для него существуют нижняя и верхняя границы.

Таким образом, допустимое потребительское множество \(S\) замкнуто и ограничено, а значит, компактно.

Кроме того, допустимое для потребителя множество \(S\) является выпуклым. Некоторое множество называется выпуклым, если любой вектор \(x\), лежащий на отрезке, соединяющем произвольные векторы \(x_{1}\) и \(x_{2}\) из этого множества, \({x = \alpha}{x_{1} + (}{1 - \alpha})x_{2}\), \(\alpha\in{\lbrack{0,1}\rbrack}\), также принадлежит данному множеству. Потребительское множество \(X\) является выпуклым как неотрицательный ортант действительных чисел.

Действительно, если взять два товарных набора \(\widehat{x}\geq 0\), \(\check{x}\geq 0\), т.е. векторы с неотрицательными координатами \({\widehat{x}}_{h}\geq 0\), \({\check{x}}_{h}\geq 0\), \({h = 1},\ldots,l\), то любая корзина товаров, расположенная на соединяющем их отрезке, также будет иметь неотрицательные координаты: \({x_{h} = \lambda}{{\widehat{x}}_{h} + (}{1 - \lambda}){\check{x}}_{h}\geq 0\), \({h = 1},\ldots,l\), ведь \(\lambda\geq 0\) и \({1 - \lambda}\geq 0\).

Бюджетное ограничение (2.2) является полупространством, ограниченным гиперплоскостью \({\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}x_{h}}} = M\), а значит, оно также выпуклое множество. Действительно, если взять два товарных набора \(\check{x}\) и \(\widehat{x}\), удовлетворяющих бюджетному ограничению: \({\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}{\check{x}}_{h}}}\leq M\), \({\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}{\widehat{x}}_{h}}}\leq M\), то любая корзина товаров, расположенная на соединяющем их отрезке: \({x = \lambda}{\check{x} + (}{1 - \lambda})\widehat{x}\), что подразумевает выполнение покоординатных равенств \({x_{h} = \lambda}{{\check{x}}_{h} + (}{1 - \lambda}){\widehat{x}}_{h}\), \({h = 1},\ldots,l\), будет принадлежать бюджетному полупространству

\({{\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}x_{h}}} = {\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}\left( {\lambda{{\check{x}}_{h} + \left( {1 - \lambda} \right)}{\widehat{x}}_{h}} \right)}} = \lambda}{{\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}{\check{x}}_{h}}} + \left( {1 - \lambda} \right)}{\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}{\widehat{x}}_{h}}}\leqslant{\mathit{\lambda M} + \left( {1 - \lambda} \right)}{M = M}.\)

Таким образом, множество \(S\) как пересечение выпуклых множеств – бюджетного ограничения (2.2) и потребительского множества \(X\) – само является выпуклым.

Потребительский выбор представляет собой максимизацию полезности в условиях ограниченных денежных ресурсов:

\(\begin{matrix} {\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}{U\left( {x_{1},x_{2}} \right)}:} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}\leq M,x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0.} \\ \end{matrix}(2.6)\)

Докажем, что в силу непрерывности функции полезности и компактности допустимого по физическим и экономическим соображениям для потребителя множества \(S\) решение данной задачи связанной максимизации полезности – оптимальный потребительский набор \(x\) – существует. По доказанному, допустимое множество \(S\) в данной задаче потребительского выбора – компакт. Поэтому по теореме Вейерштрасса¹ непрерывная (по предположению) функция полезности \(U:x\longmapsto U(x)\), \(x\in S\) достигает максимума на допустимом множестве \(S\). Таким образом, задача связанной максимизации полезности имеет решение, т.е. оптимальный потребительский набор \(x\) существует.

Рис. 2.2 и 2.3 иллюстрируют соответственно в пространстве и на плоскости решение задачи потребительского выбора (I.1). E – это точка в трехмерном пространстве, соответствующая максимальному уровню полезности при выполнении бюджетного ограничения, который достигается при выборе оптимальной корзины товаров \(\left( {x_{1}^{},x_{2}^{}} \right)\). E_\(x\) – это проекция точки E на плоскость \(X\)₁0\(X\)₂.

Решение задачи связанной максимизации полезности – оптимальный потребительский набор \(x^{} = \left\{ x_{h}^{} \right\}_{h = 1}^{l}\) – обладает таким свойством, что бюджетное ограничение на нем выполняется в виде равенства (2.4): \({\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}x_{h}^{}}} = M.\)

Покажем это, пользуясь методом доказательства от противного. Предположим, что данное утверждение неверно: \({\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}x_{h}^{}}} \lt M\). Поскольку вся совокупность потребительских корзин совпадает с множеством неотрицательных действительных чисел, она не ограничена сверху, т.е. для каждого индивидуума потенциально физически доступны произвольно большие объемы потребительских товаров; в этом случае найдется потребительский вектор \(\overset{\sim}{x} = \left\{ {\overset{\sim}{x}}_{h} \right\}_{h = 1}^{l}\), такой, что \({{\overset{\sim}{x}}_{h} = x_{h}^{}},{h = \left\{ {1,\ldots,l} \right\}},h\neq k;{{\overset{\sim}{x}}_{k} = {x_{k}^{} + \varepsilon}},{\varepsilon \gt 0},k\in\left\{ {1,\ldots,l} \right\}\) и \({\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}{\overset{\sim}{x}}_{h}}}\leq M\), поскольку линейная функция, в данном случае \(\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}x_{h}^{}}\), является непрерывной². В теории традиционно предполагается, что потребление индивидуума обладает свойством ненасыщаемости. Другими словами, вектор \(\overset{\sim}{x}\), содержащий каждого товара не меньше, а k-го товара – больше, чем набор \(x^{}\), должен быть более предпочтителен для потребителя: \(U{\left( \overset{\sim}{x} \right) \gt U}\left( x^{} \right)\). Значит, потребительский набор \(x^{}\), лежащий во внутренности бюджетного ограничения, не является оптимальным. Полученное противоречие показывает, что выдвинутая гипотеза неверна, и бюджетное ограничение при решении задачи связанной максимизации полезности выполняется как равенство (2.4).

Жесткость бюджетного ограничения можно доказать также, используя аппарат маржинального анализа.

В случае дифференцируемости функции полезности для решения задачи (2.6) следует составить функцию Лагранжа:

\({L = \lambda_{0}}U{\left( {x_{1},x_{2}} \right) - \lambda_{1}}\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right),(2.7)\)

где \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1}} \right)\) – вектор множителей Лагранжа³. Здесь мы предполагаем существование внутреннего оптимума, т.е. нежесткость ограничений по неотрицательности объемов потребляемых благ: \({x_{1} \gt 0},{x_{2} \gt 0}.\)

Необходимыми для достижения экстремума являются условия:

стационарности данной функции по объемам потребления товаров:

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda_{0}{\mathit{MU}_{1} = \lambda_{1}}p_{1},} \\ {\lambda_{0}{\mathit{MU}_{2} = \lambda_{1}}p_{2};} \\ \end{matrix} \right.\)

дополняющей нежесткости:

\(\lambda_{1}{\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right) = 0},p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}\leq M;\)

а также неотрицательности множителей Лагранжа:

\(\lambda_{0}\geq 0,\lambda_{1}\geq 0.\)

При этом вектор множителей Лагранжа должен быть ненулевым.

С одной стороны, предположив, что \(\lambda_{1} = 0\), при предпосылке о ненасыщаемости потребления (1.2) из условий стационарности функции Лагранжа по количествам товаров в силу того, что предметом анализа выступают экономические блага \(({p_{i} \gt 0})\), получаем, что и \(\lambda_{0} = 0\), чего во внутреннем оптимуме не может быть, поскольку по необходимому условию экстремума вектор множителей Лагранжа является ненулевым. Тогда из условия дополняющей нежесткости следует, что бюджетное ограничение в точке оптимума выполняется в виде равенства (2.4), т.е. является активным⁴.

С другой стороны, из условий стационарности функции Лагранжа по объемам экономических \(({p_{i} \gt 0})\) благ с учетом ненасыщаемости потребления (1.2) при \(\lambda_{0} = 0\) оказывается и \(\lambda_{1} = 0\), чего во внутреннем оптимуме не может быть, поскольку по необходимому условию экстремума вектор множителей Лагранжа является ненулевым. Таким образом, \(\lambda_{0}\neq 0\), и без ограничения общности его можно положить равным единице, или, что эквивалентно, поделить на него функцию (2.7), пронормировав тем самым вектор множителей Лагранжа⁵:

\({L = U}{\left( {x_{1},x_{2}} \right) - \lambda}\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right),(2.8)\)

где \(\lambda = \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{0}}\), причем, по доказанному, \(\lambda \gt 0\).

Тогда необходимыми для максимизации полезности с учетом жесткого бюджетного ограничения (2.4) будут являться следующие условия стационарности функции Лагранжа по объемам потребления благ:

\(\left\{ \begin{matrix} {{\mathit{MU}_{1} = \lambda}p_{1},} \\ {{\mathit{MU}_{2} = \lambda}p_{2}.} \\ \end{matrix} \right.(2.9)\)

Разделив в системе (2.9) первое равенство на второе, получаем, что потребитель оптимизирует свое поведение, когда отношение предельных полезностей товаров равняется отношению цен. Таким образом, с учетом выражения для предельной нормы замещения товаров (1.6) можно выписать обобщающее условие максимизации индивидуальной полезности⁶:

\({\mathit{MRS}_{12} = \left. \frac{- {dx_{2}}}{dx_{1}} \right|_{U = \mathit{const}} = \frac{\mathit{MU}_{1}}{\mathit{MU}_{2}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}}.(2.10)\)

Абсолютное значение углового коэффициента бюджетного ограничения – отношение цен \(\left( {p_{1}/p_{2}} \right)\) – характеризует предельную норму замещения благ в обмене. Тангенс угла наклона касательной к кривой безразличия по модулю – это предельная норма замещения благ в потреблении. Она равна отношению предельных полезностей благ (1.6). Равенство предельных норм замещения в потреблении и обмене, когда отношения предельных полезностей товаров равняется отношению их цен (2.10), с учетом жесткого бюджетного ограничения (2.4) означает касание бюджетного ограничения и кривой безразличия в точке оптимума потребителя (рис. 2.3).

Если предположить строгую квазивогнутость функции полезности, то решение задачи условной максимизации полезности, т.е. оптимальный потребительский набор \(x\), является единственным. Будем доказывать единственность оптимального потребительского набора от противного. Пусть найдется другой, не равный полученной нами потребительской корзине \(x\) набор благ \(x'\), который также является решением данной задачи. По доказанному, допустимое множество \(S\) является выпуклым. Поэтому весь интервал, соединяющий точки \(x\) и \(x'\) и состоящий из точек вида \({\mathit{\alpha x} + (}{1 - \alpha})x'\), \(\alpha\in(0,1)\), содержится в \(S\). Поскольку функция полезности является строго квазивогнутой, постольку \(U{\left( {{\mathit{\alpha x} + \left( {1 - \alpha} \right)}x^{'}} \right) \gt U}{(x) = U}(x^{'})\). Но данное неравенство противоречит условию, гласящему, что \(x\) и \(x'\) – решения задачи связанной максимизации полезности, т.е. оптимальные потребительские наборы. Полученное противоречие показывает, что гипотеза о неединственности оптимального потребительского набора является ложной. Следовательно, оптимальный потребительский набор \(x\) является единственным решением данной задачи.

Итак, доказав единственность оптимального потребительского набора, мы показали, что локальный максимум в задаче связанной максимизации полезности совпадает с глобальным.

Если функция полезности не является строго квазивогнутой, то возможна неединственность оптимального потребительского набора. На линии уровня нестрого квазивогнутой функции полезности могут существовать прямые участки. Касание бюджетного ограничения с таким участком будет давать множественность оптимального потребительского набора товаров (рис. 2.4).

Решение задачи потребительского выбора может быть неединственным также в случае невыпуклости бюджетного ограничения, в частности, в случае снижения цены при достижении определенного, порогового уровня продаж (рис. 2.5).

Пример неединственности оптимальной корзины товаров при нестрогой квазивогнутости функции полезности дает потребительский выбор между товарами-субститутами, когда индивидуальные предпочтения имеют вид (1.31). Для линейной функции полезности угловой коэффициент касательной к кривой безразличия по модулю равен отношению констант \(\alpha\) и \(\beta\) (1.32). Возможны три случая, в каждом из которых будет свой объем спроса на продукты.

Случай 1. Если \(\frac{\alpha}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{p_{2}},\) или же, другими словами, \(\frac{p_{2}}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{\alpha},\) то угловой коэффициент кривой безразличия по абсолютному значению меньше углового коэффициента бюджетного ограничения, поэтому наблюдается угловое равновесие. В этом случае \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = \frac{M}{p_{2}}\) (рис. 2.6).

Случай 2. При \(\frac{\alpha}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{p_{2}}\), т.е. \(\frac{p_{2}}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{\alpha}\), угловой коэффициент кривой безразличия по абсолютному значению больше углового коэффициента бюджетного ограничения, поэтому также наблюдается угловое равновесие. При этом \(x_{1} = \frac{M}{p_{1}}\), \(x_{2} = 0\) (рис. 2.7).

Случай 3. Если \(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p_{1}}{p_{2}}\), или же, в другой записи, \(\frac{p_{2}}{\beta} = \frac{p_{1}}{\alpha}\), то угловой коэффициент кривой безразличия совпадает по абсолютному значению с угловым коэффициентом бюджетного ограничения, поэтому наблюдается неединственность равновесия (рис. 2.8), когда точки оптимума «заметают» все бюджетное ограничение.

Очевидно, что при анализе потребительского выбора между совершенными субститутами предпосылка о наличии внутреннего оптимума в общем случае является нерелевантной. Поэтому оптимизационная задача (2.6), соответствующая взаимозаменяемым благам

\(\begin{matrix} {\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}{U = \underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}}\left( {\alpha{x_{1} + \beta}x_{2}} \right):} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}\leq M,x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0.} \\ \end{matrix}(2.11)\)

требует отдельного, более детального анализа⁷.

Перепишем задачи в канонической постановке, когда целевая функция минимизируется:

\(\begin{matrix} {\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\min}}{{{( - U})} = \underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\min}}}\left( {{- \alpha}{x_{1} - \beta}x_{2}} \right):} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}\leq M,x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0.} \\ \end{matrix}(2.12)\)

Функция Лагранжа будет выглядеть так:

\({L = {- \lambda_{0}}}{\left( {\alpha{x_{1} + \beta}x_{2}} \right) + \lambda_{1}}{\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right) - \lambda_{2}}{x_{1} - \lambda_{3}}x_{2}.(2.13)\)

Необходимые условия связанного минимума в задаче (2.12), или условного максимума полезности (2.11), включают:

– стационарность функции Лагранжа (2.13) по искомым переменным – объемам потребления товаров:

\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = {- \lambda_{0}}}{\alpha + \lambda_{1}}{{p_{1} - \lambda_{2}} = 0},} \\ {{\frac{\partial L}{\partial x_{2}} = {- \lambda_{0}}}{\beta + \lambda_{1}}{{p_{2} - \lambda_{3}} = 0};} \\ \end{matrix} \right.(2.14)\)

– условия дополняющей нежесткости:

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda_{1}{\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right) = 0},} \\ {\lambda_{2}{x_{1} = 0},} \\ {\lambda_{3}{x_{2} = 0};} \\ \end{matrix} \right.(2.15)\)

– неотрицательность множителей Лагранжа: \(\lambda_{i}\geq 0,{i = 0,1,2,3};\) причем вектор множителей Лагранжа должен быть ненулевым: \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}} \right)\neq 0.\)

Пусть \(\lambda_{0} = 0\), тогда в силу (2.14):

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda_{1}{p_{1} = \lambda_{2}},} \\ {\lambda_{1}{p_{2} = \lambda_{3}};} \\ \end{matrix} \right.\)

а значит, по условиям дополняющей нежесткости (2.15):

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda_{1}{\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right) = 0},} \\ {\lambda_{1}p_{1}{x_{1} = 0},} \\ {\lambda_{1}p_{2}{x_{2} = 0};} \\ \end{matrix} \right.\)

или

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda_{1}{\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right) = 0},} \\ {\lambda_{1}{\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}} \right) = 0.}} \\ \end{matrix} \right.\)

Если \(\lambda_{1} = 0\), то и \(\lambda_{2} = \lambda_{3} = \lambda_{0} = 0\), чего не может.

Если же

\(\left\{ \begin{matrix} {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{{x_{2} - M} = 0},} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = 0},} \\ \end{matrix} \right.\)

то \(M = 0\), чего также не может быть \(({M = 0}).\)

Следовательно, \(\lambda_{0}\neq 0\), и без ограничения общности можно положить \(\lambda_{0} = 1\). Тогда (2.14) принимает вид:

\(\left\{ \begin{matrix} {{{- \alpha} + \lambda_{1}}{{p_{1} - \lambda_{2}} = 0},} \\ {{{- \beta} + \lambda_{1}}{{p_{2} - \lambda_{3}} = 0.}} \\ \end{matrix} \right.(2.16)\)

Пусть \(\lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = 0\); тогда \(\alpha = \beta = 0\), что невозможно по условиям задачи. Если \(\lambda_{1} = \lambda_{2} = 0\), \(\lambda_{3} \gt 0\), то \(x_{2} = 0\) и \(\alpha = 0\), чего не может быть. При \(\lambda_{1} = \lambda_{3} = 0\), \(\lambda_{2} \gt 0\), оказывается, что \(x_{1} = 0\) и \(\beta = 0\), что также исключается. В случае \(\lambda_{1} = 0\), \(\lambda_{2} \gt 0\), \(\lambda_{3} \gt 0\), система (2.16) вырождается:

\(\left\{ \begin{matrix} {{\lambda_{2} = {- \alpha}},} \\ {{\lambda_{3} = {- \beta}}.} \\ \end{matrix} \right.\)

Но это подразумевает \(\lambda_{2}\geq 0\) и \(\lambda_{3}\geq 0\), что противоречит гипотезе, высказанной выше. Таким образом, рассуждения, проделанные выше, показывают, что \(\lambda_{1} \gt 0.\)

Случай положительности всех множителей Лагранжа (\(\lambda_{1} \gt 0\), \(\lambda_{2} \gt 0\), \(\lambda_{3} \gt 0\)) приводит к противоречию:

\(\left\{ \begin{matrix} {{x_{1} = x_{2} = 0},} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = M};} \\ \end{matrix} \right.\)

и тем самым исключается.

Предположим, что \(\lambda_{1} \gt 0\), \(\lambda_{2} = \lambda_{3} = 0\). Тогда:

\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p_{1}}{p_{2}}},} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = M},x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0.} \\ \end{matrix} \right.\)

Следовательно, если угловые коэффициенты линии безразличия и бюджетного ограничения совпадают по абсолютному значению, например, при \(p_{2} = p_{2}^{1}\), как показано на рис. 2.8, то наблюдается неединственность равновесия. В этом случае величины спроса на \(x\)₁ и \(x\)₂ задаются уравнением бюджетного ограничения. При этом \(x\)₂ может принимать любые значения между 0 и \(\frac{M}{p_{2}^{1}}\), тогда как \({x_{1} = {\frac{M}{p_{1}} - \frac{p_{2}^{1}}{p_{1}}}}x_{2}\) (случай 3).

В случае, когда \(\lambda_{1} \gt 0\), \(\lambda_{2} = 0\), \(\lambda_{3} \gt 0\), из условий дополняющей нежесткости (2.15) следует \(x_{2} = 0\) и выполнение в виде равенства бюджетного ограничения, а значит, \(x_{1} = \frac{M}{p_{1}}\) (случай 2). Возникает краевой оптимум, когда угловой коэффициент линии безразличия по абсолютному значению больше тангенса угла наклона бюджетного ограничения \(\left( {\frac{\alpha}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{p_{2}}} \right.\), или \(\left. {\frac{p_{2}}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{\alpha}} \right)\). Например, при \(p_{2} = p_{2}^{2}\) это будет точка \(E_1\) (рис. 2.7).

Если \(\lambda_{1} \gt 0\), \(\lambda_{2} \gt 0\), \(\lambda_{3} = 0\), то из условий дополняющей нежесткости (2.15) получается, что \(x_{1} = 0\), и, поскольку в данном случае бюджетное ограничение становится равенством, \(x_{2} = \frac{M}{p_{2}}\) (случай 1). Наблюдается краевой оптимум, когда угловой коэффициент линии безразличия по абсолютному значению меньше тангенса угла наклона бюджетного ограничения \(\left( {\frac{\alpha}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{p_{2}}} \right.\), или \(\left. {\frac{p_{2}}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{\alpha}} \right)\). Например, при \(p_{2} = p_{2}^{3}\) это будет точка \(E_2\) (рис. 2.6).

Вариациями решения задачи (2.6) потребительского выбора по параметрам цен и дохода являются функции спроса на товары по Маршаллу:

\({x_{j}^{m} = x_{j}}\left( {p_{1},p_{2},M} \right),{j = 1},2.(2.17)\)

Получение функций спроса (в узком смысле) и Энгеля как зависимостей оптимальной корзины товаров соответственно от цен и дохода покупателя может быть проиллюстрировано с помощью графиков «цена–потребление» (рис. 2.9) и «доход–потребление» (рис. 2.10).

Рис. 2.9 объединяет иллюстрации выведения функции спроса на некоторое благо (в данном случае – №2) и построение зависимости спроса на другой товар (в данном случае – №1) как функции дополняющего блага. Здесь для удобства иллюстрации зависимости индивидуального спроса на оба блага одновременно от цены второго товара (как и на рис. 2.10) график потребительского выбора симметрично отражен относительно вертикальной оси (второго блага), т.е. объемы потребления первого товара возрастают влево от начала координат. При снижении цены второго товара бюджетное ограничение поворачивается против часовой стрелки на рис. 1.25 из положения 1 в положение 2 вокруг точки пересечения с осью первого блага. Вариация цены приводит к перемещению оптимальной потребительской корзины товаров из точки \(E_1\) в точку \(E_2\). Совокупность всех таких оптимальных наборов в координатах потребляемых благ (\(x_{1}\) и \(x_{2}\)), соответствующих всевозможным уровням цены второго блага при фиксированной цене первого задает линию «цена–потребление». В координатах цены \(p_{2}\) и объема потребления товара \(x_{2}\) с ней сопряжен график функции спроса на второе благо, который образуют всевозможные сочетания между величиной спроса, зафиксированной кривой «цена-потребление», и соответствующим ей уровнем рыночной цены на данный товар. Построенная таким образом на смежном, по отношению к линии «цена-потребление», графике кривая индивидуального маршаллианского спроса, как правило, отражает действие т.н. «закона спроса» – убывающую зависимость объема потребление товара от уровня рыночной цены, когда потребитель покупает большее количество товара по низкой цене и меньшее количество товара по высокой цене при прочих равных условиях.

Биссектриса вспомогательного правого нижнего квадранта в верхней части рис. 2.9 призвана показать, что одно и то же изменение цены второго блага служит аргументом в функции спроса и на данный, и на другой товар. При снижении цены второго товара спрос и на данное благо, и на первый товар снижается, т.е. эти блага являются взаимодополняющими в потреблении. Если рассматривать спрос на первый товар как зависимость от его цены, то в координатах «\(p_{1}\)–\(x_{1}\)» цена второго блага является фактором сдвига графика спроса на первый товар. При неизменной цене первого блага объемы его потребления растут со снижением цены товара-комплемента, а значит, график спроса сдвигается дальше от начала координат. На рис. 2.9 система координат «p–\(x\)₁», в которой отображается спрос на первый товар, транспонирована, т.е. ось цены направлена вниз, а ось количества товара – влево, а значит, соответствующий сдвиг линии спроса происходит в направлении влево-вниз.

Рисунок 2.9. Графики “цена-потребление” и функции спроса по Маршаллу

Вариация, в частности увеличение, дохода потребителя, или пропорциональное изменение цен всех товаров, отражается на графике в виде параллельного сдвига бюджетного ограничения. Например, чем больше доход потребителя, тем выше и правее располагается его бюджетная линия. При увеличении дохода потребителя она сдвигается в положение 2 и занимает положение, параллельное первоначальному (под номером 1 на рис. 2.10). Это приводит к изменению оптимальной потребительской корзины товаров (из точки \(E_1\) в точку \(E_2\)). Множество соответствующих оптимальных наборов в координатах потребляемых благ \((x_{1}\) и \(x_{2})\) задает линию «доход–потребление». В координатах дохода \(M\) и объема потребления товара ей соответствует график функции Энгеля.

Вид кривой «доход-потребление» позволяет сделать важные выводы относительно категории товаров, входящих в потребительский набор. Если потребитель считает товар нормальным, то с ростом дохода будет увеличиваться величина его индивидуального спроса на этот товар. Поэтому линия “доход-потребление” при наличии двух нормальных товаров в потребительской корзине представляет собой возрастающую зависимость между объемами потребления данных благ (рис. 2.10). Для удобства иллюстрации зависимости индивидуального спроса от дохода для обоих благ одновременно на рис. 2.10 график потребительского выбора симметрично отражен относительно вертикальной оси (второго товара), т.е. объемы потребления первого блага возрастают влево от начала координат. Линия, проведенная под углом в 45° в правом-нижнем, вспомогательном квадранте на рис. 2.10, позволяет использовать одну и ту же вариацию дохода в качестве аргумента функций Энгеля двух товаров. Функции Энгеля отражают возрастающую зависимость спроса от дохода, если товары являются нормальными.

Рисунок 2.10. Графики «доход–потребление» и функции Энгеля

Возможна классификация товаров на нормальные и худшие в зависимости от того, возрастает или убывает на них спрос с увеличением дохода потребителя. Товар называется нормальным, если спрос на него растет с увеличением доходов покупателей. Товар называется инфериорным, или худшим, если спрос на него снижается с ростом доходов потребителей.

В частности, линия «доход–потребление» направлена вверх-вправо, если оба товара являются нормальными. Если один из товаров в потребительской корзине является инфериорным (второй при этом обязательно должен быть нормальным), то линия “доход-потребление” будет отражать убывающую зависимость оптимального количества худшего блага от нормального при изменении дохода покупателя. При этом функция Энгеля для инфериорного товара представляет собой убывающую зависимость спроса на данное благо от дохода потребителя

Функции условного спроса по Маршаллу являются однородными нулевой степени по ценам и доходу потребителя:

\(x_{j}{\left( {\alpha p_{1},\alpha p_{2},\mathit{\alpha M}} \right) = x_{j}}{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = x_{j}^{m}},{j = \left\{ {1,2} \right\}}.(2.18)\)

Действительно, в силу однородности первой степени расходов потребителя (2.5), изменение цен на товары в одной и той же пропорции (в \(\alpha\) раз) вызывает равнопропорциональное изменение расходов, а значит, и дохода потребителя, оставляя, тем самым, его бюджетное ограничение без изменения. Следовательно, и решение задачи максимизации полезности, т.е. значение функции условного спроса по Маршаллу, сохранится неизменным.

Доказав единственность решения задачи потребительского выбора (2.6) при строгой квазивогнутости функции полезности, мы, тем самым, обосновали существование функции спроса по Маршаллу, поскольку в результате решения задачи условной оптимизации (2.6) каждому значению параметров – цен и располагаемого дохода \(\left( {p_{1},p_{2},M} \right)\) – ставится в соответствие своя, особая корзина товаров \(\left( {x_{1},x_{2}} \right).\)

Примеры функций маршаллианского спроса дают неоклассические предпочтения. Например, задача потребительского выбора (2.6) при функции полезности Стоуна-Джери (1.25) будет выглядеть так⁸:

\(\begin{matrix} {\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}\left( {\left( {x_{1} - a} \right)^{c}\left( {x_{2} - b} \right)^{d}} \right):} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = M}.} \\ \end{matrix}\)

Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи:

\({L = \left( {x_{1} - a} \right)^{c}}{\left( {x_{2} - b} \right)^{d} - \lambda}\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right)\).

Условия равенства нулю частных производных лагранжиана по переменным \(x_{1},x_{2}\) с учетом выражения для функции полезности (1.25) можно записать так:

\({\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = c}\left( {x_{1} - a} \right)^{c - 1}\bullet{\left( {x_{2} - b} \right)^{d} - \lambda}{p_{1} = {\frac{c\left( {x_{1} - a} \right)^{c}\bullet\left( {x_{2} - b} \right)^{d}}{x_{1} - a} - \lambda}}{p_{1} = {\frac{\mathit{cU}\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{x_{1} - a} - \lambda}}{p_{1} = 0},\)

\({\frac{\partial L}{\partial x_{2}} = d}\left( {x_{1} - a} \right)^{c}\bullet{\left( {x_{2} - b} \right)^{d - 1} - \lambda}{p_{2} = {\frac{d\left( {x_{1} - a} \right)^{c}\bullet\left( {x_{2} - b} \right)^{d}}{x_{2} - b} - \lambda}}{p_{2} = {\frac{dU\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{x_{2} - b} - \lambda}}{p_{2} = 0.}\)

Получаем следующие выражения для оптимальных объемов потребления товаров:

\({x_{1} = {a + \frac{\mathit{cU}\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{\lambda p_{1}}}},{x_{2} = {b + \frac{\mathit{dU}\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{\lambda p_{2}}}}.\)

Домножим левые и правые части последних двух равенств на цены, соответственно, первого и второго товаров и сложим почленно полученные соотношения:

\({M = p_{1}}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = p_{1}}{a + p_{2}}{b + \frac{({c + d})U\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{\lambda}}.\)

Выражая отношение \({U\left( {x_{1},x_{2}} \right)}/\lambda\) и подставляя его в предпоследние два равенства, приходим к искомым функциям спроса по Маршаллу для предпочтений Стоуна – Джери:

\({x_{1}^{m} = {a + \frac{c\left( {{M - p_{1}}{a - p_{2}}b} \right)}{({c + d})p_{1}}}},{x_{2}^{m} = {b + \frac{d\left( {{M - p_{1}}{a - p_{2}}b} \right)}{({c + d})p_{2}}}}.(2.19)\)

Доход и цена комплементарного товара здесь представляют собой неценовые факторы спроса.

Частным случаем функций спроса (2.19) при \(a = b = 0\) являются зависимости, соответствующие предпочтениям Кобба – Дугласа (1.26):

\({x_{1}^{m} = \frac{\mathit{cM}}{({c + d})p_{1}}},{x_{2}^{m} = \frac{\mathit{dM}}{\left( {c + d} \right)p_{2}}}.(2.20)\)

В частности, для функции полезности \(U = \sqrt{x_{1}x_{2}}\) функции маршаллианского спроса будут иметь вид:

\({x_{1}^{m} = \frac{M}{2p_{1}}},{x_{2}^{m} = \frac{M}{2p_{2}}}.(2.21)\)

Можно отметить, что реализация механизма потребительского выбора применительно к предпочтениям Кобба-Дугласа имеет своим результатом фиксированные доли расходов на каждое из благ: \(p_{1}{x_{1} = \frac{c}{({c + d})}}M,p_{2}{x_{2} = \frac{d}{\left( {c + d} \right)}}M\), что позволяет адекватно охарактеризовать потребление агрегированных групп товаров (продуктов питания, одежды, жилья, бытовой техники и т.д.).

Обратим внимание на то, что в функциях спроса на каждое из данных благ отсутствует зависимость от цены другого товара. Таким образом, предпочтения Кобба-Дугласа (1.26) описывают потребление так называемых «независимых» товаров. Линия “цена-потребление” на первый и второй товар при функции полезности Кобба-Дугласа в координатах \(X\)₂0\(X\)₁ будет представлять собой, соответственно, горизонтальную либо вертикальную прямую линию, проведенную на уровне потребления другого блага (рис. 2.11).

Рисунок 2.11. Графики «цена–потребление» и спроса по Маршаллу для функции полезности Кобба–Дугласа

Линия «доход-потребление» выводится лишь на основе эквимаржинального условия без привлечения бюджетного ограничения, поскольку вдоль данной линии доход потребителя является произвольной величиной: \({x_{2} = \frac{dp_{1}}{cp_{2}}}x_{1}\). Функции Энгеля, как зависимости объемов потребления товаров от дохода потребителя, заложены в функциях маршаллианского спроса (2.20). При предпочтениях Кобба-Дугласа (1.26), характеризующих потребление нормальных благ, объемы товаров – это линейные возрастающие функции дохода потребителя. Очевидно, что графики функций Энгеля в данном случае представляют собой прямые линии, исходящие из начала координат (рис. 2.12).

Рисунок 2.12. Графики «доход–потребление» и функции Энгеля для предпочтений Кобба–Дугласа

Как было показано выше, предпочтения Кобба-Дугласа являются частным случаем функции полезности CES (1.13), которая дает еще один пример широко используемых в экономической науке функций маршаллианского спроса. Выведем для данных предпочтений (1.13) при \(a = b = \gamma = 1.\) Задача максимизации полезности данного типа при бюджетном ограничении (2.6) будет иметь вид:

\(\begin{matrix} {\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1}{\varphi}}:} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = M}.} \\ \end{matrix}\)

Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи⁹:

\({L = {\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1}{\varphi}} + \lambda}}\left( {{M - p_{1}}{x_{1} - p_{2}}x_{2}} \right).\)

Необходимые условия максимизации данной функции полезности при бюджетном ограничении (2.9) имеют вид:

\({\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = \frac{1}{\varphi}}\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1 - \varphi}{\varphi}}\bullet\varphi{x_{1}^{\varphi - 1} - \lambda}{p_{1} = 0},\)

\({\frac{\partial L}{\partial x_{2}} = \frac{1}{\varphi}}\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1 - \varphi}{\varphi}}\bullet\varphi{x_{2}^{\varphi - 1} - \lambda}{p_{2} = 0};\)

или

\(\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1 - \varphi}{\varphi}}{x_{1}^{\varphi - 1} = \lambda}p_{1},\)

\(\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1 - \varphi}{\varphi}}{x_{2}^{\varphi - 1} = \lambda}p_{2}.\)

С учетом выражения функции полезности условия оптимальности по \(x_{1}\) и \(x_{2}\) можно переписать так:

\({x_{1} = \left( {\lambda p_{1}} \right)^{\frac{1}{\varphi - 1}}}{\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1}{\varphi}} = U}\bullet\lambda^{\frac{1}{\varphi - 1}}p_{1}^{\frac{1}{\varphi - 1}},\)

\({x_{2} = \left( {\lambda p_{2}} \right)^{\frac{1}{\varphi - 1}}}{\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1}{\varphi}} = U}\bullet\lambda^{\frac{1}{\varphi - 1}}p_{2}^{\frac{1}{\varphi - 1}}.\)

Домножая на цену и суммируя по всем товарам, с учетом жесткости бюджетного ограничения (2.4) получаем выражение:

\(p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = U}\bullet\lambda^{\frac{1}{\varphi - 1}}{\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right) = M},\)

т.е.

\(U\bullet{\lambda^{\frac{1}{\varphi - 1}} = \frac{M}{\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)}}.\)

Подставляя в условия оптимальности по \(x_{1}\) и \(x_{2}\), получаем функции спроса по Маршаллу:

\({x_{1}^{m} = \frac{M}{p_{1}^{\frac{1}{1 - \varphi}}\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)}},{x_{2}^{m} = \frac{M}{p_{2}^{\frac{1}{1 - \varphi}}\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)}}.(2.22)\)

Данную функцию маршаллианского спроса можно переписать, используя показатель эластичности замещения между продуктами \(\delta = \frac{1}{1 - \varphi}:\)

\({x_{1}^{m} = \frac{M}{p_{1}^{\delta}\left( {p_{1}^{1 - \delta} + p_{2}^{1 - \delta}} \right)}},{x_{2}^{m} = \frac{M}{p_{2}^{\delta}\left( {p_{1}^{1 - \delta} + p_{2}^{1 - \delta}} \right)}}.\)

Как было показано выше, в случае выбора между товарами – совершенными субститутами (1.31), когда предпочтения являются нестрого квазивогнутыми, возможна неединственность решения задачи связанной максимизации полезности, а значит, спрос по Маршаллу не будет представлять собой функциональную зависимость. Обратимся к трем случаям потребительского оптимума для совершенных субститутов. В первом случае, при \(\frac{p_{2}}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{\alpha}\), \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = \frac{M}{p_{2}}\) (рис. 2.6). Во втором случае, при \(\frac{p_{2}}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{\alpha}\), \(x_{1} = \frac{M}{p_{1}}\), \(x_{2} = 0\) (рис. 2.7). Наконец, в третьем случае, при \(\frac{p_{2}}{\beta} = \frac{p_{1}}{\alpha}\), величины спроса на \(x\)₁ и \(x\)₂ задаются уравнением бюджетного ограничения (1.16). \(x_{1}\) может принимать любые значения между 0 и \(\frac{M}{p_{1}}\), тогда как \({x_{2} = {\frac{M}{p_{2}} - \frac{p_{1}}{p_{2}}}}x_{1}\).

Итак, для линейной функции полезности наблюдается не функция, а отношение, или точечно-множественное отображение спроса по Маршаллу (рис. 2.13):

\({x_{1}^{m} = t}\frac{M}{p_{1}},{x_{2}^{m} = \left( {1 - t} \right)}\frac{M}{p_{2}},\mathit{где}\left\lbrack \begin{matrix} {{t = 1}\mathit{при}{\frac{p_{2}}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{\alpha}},} \\ {{t = 0}\mathit{при}{\frac{p_{1}}{\alpha} \gt \frac{p_{2}}{\beta}},} \\ {t\in\lbrack 0,1\rbrack\mathit{при}{\frac{p_{2}}{\beta} = \frac{p_{1}}{\alpha}}.} \\ \end{matrix} \right.(2.23)\)

Рисунок 2.13. График «цена–потребление» и спрос для совершенных субститутов

Каждому из трех случаев оптимума для совершенных субститутов будет соответствовать свой график «доход – потребление». Если \(\frac{\alpha}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{p_{2}}\) (например, при \(p_{2} = p_{2}^{3}\) на рис. 2.14), то линия «доход – потребление» совпадает с осью 0\(x\)₂. Если \(\frac{\alpha}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{p_{2}}\) (например, при \(p_{2} = p_{2}^{2}\)), то линия «доход – потребление» – это ось 0\(x\)₁. Если же \(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p_{1}}{p_{2}}\) (например, при \(p_{2} = p_{2}^{1}\)), то, поскольку \(x_{1}\) и \(x_{2}\) могут быть любыми числами от 0 соответственно до \(\frac{M}{p_{1}}\) и \(\frac{M}{p_{2}}\), линия «доход – потребление» «заметает» весь неотрицательный ортант \(x\)₁0\(x\)₂.

На основе зависимостей «доход – потребление» получим графики Энгеля, в частности, для второго из товаров – совершенных субститутов. Если \(\frac{\alpha}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{p_{2}}\) (например, при \(p_{2} = p_{2}^{3}\) на рис. 2.14), линия Энгеля для второго товара представляет собой исходящий из начала координат луч \(x_{2} = \frac{M}{p_{2}}\). Если \(\frac{\alpha}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{p_{2}}\) (например, при \(p_{2} = p_{2}^{2}\)), то линия Энгеля – это горизонтальная ось 0\(M\). Если же \(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p_{1}}{p_{2}}\) (например, при \(p_{2} = p_{2}^{1}\)), то, поскольку \(x_{2}\) – это произвольное число от 0 до \(\frac{M}{p_{2}}\), график Энгеля – это сегмент положительного ортанта, ограниченный лучом \(x_{2} = \frac{M}{p_{2}}\) и координатной осью 0\(M\).

Рисунок 2.14. Графики «доход–потребление» и функции Энгеля для совершенных субститутов

Нефункциональный характер спроса по Маршаллу может возникать также по причине жесткости ограничений по неотрицательности объемов потребления товаров. Примером здесь могут служить квазилинейные предпочтения (1.15). Рассчитаем предельную норму замещения между товарами:

\({\mathit{MRS}_{12} = \frac{\mathit{MU}_{1}}{\mathit{MU}_{2}} = \frac{f^{'}\left( x_{1} \right)}{k} = \varphi}{\left( x_{1} \right) = \frac{p_{1}}{p_{2}}}.(2.24)\)

В данной ситуации оптимальный объем потребления первого товара при наличии внутреннего оптимума может быть определен без учета величины дохода, только лишь на основе выражения для предельной нормы замещения:

\({x_{1}^{} = \varphi^{- 1}}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}} \right).(2.25)\)

Рис. 2.15 иллюстрирует оптимальный объем первого товара, соответствующий точкам \(E_1\), \(E_2\), E₃ и не зависящий от уровня дохода индивидуума. Величина дохода при этом имеет значение при определении объема потребления второго блага:

\({x_{2}^{} = {\frac{M}{p_{2}} - \frac{p_{1}}{p_{2}}}}{x_{1}^{} = {\frac{M}{p_{2}} - \frac{p_{1}}{p_{2}}}}\varphi^{- 1}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}} \right).(2.26)\)

При квазилинейных предпочтениях возможно также существование краевых оптимумов. Если \({\mathit{MRS}_{12} = \varphi}{\left( x_{1} \right) \lt \frac{p_{1}}{p_{2}}}\), то \(x_{1}^{} = 0\), и весь доход потребителя расходуется только на потребление второго товара (точка E₄ на рис. 2.15). Наоборот, в ситуации, когда \({\mathit{MRS}_{12} = \varphi}{\left( x_{1} \right) \gt \frac{p_{1}}{p_{2}}}\), или, что эквивалентно, \(\varphi^{- 1}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}} \right)\geq\frac{M}{p_{1}}\), индивидуум полностью откажется от потребления второго блага \(\left( {x_{2}^{} = 0} \right)\) и направит весь свой доход на покупку первого товара: \(x_{1}^{} = \frac{M}{p_{1}}\) (точка E₅ на рис. 2.15).

Рисунок 2.15. Внутренние и краевые оптимумы при квазилинейных предпочтениях

Таким образом, спрос по Маршаллу при квазилинейных предпочтениях (1.15) имеет вид (рис. 2.16-2.17):

\({x_{1}^{m} = \left\lbrack \begin{matrix} {0\mathit{при}\varphi{\left( x_{1} \right) \lt \frac{p_{1}}{p_{2}}},} \\ {\varphi^{- 1}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}} \right),} \\ {\frac{M}{p_{1}}\mathit{при}\varphi{\left( x_{1} \right) \gt \frac{p_{1}}{p_{2}}};} \\ \end{matrix} \right.}{x_{2}^{m} = \left\lbrack \begin{matrix} {\frac{M}{p_{2}}\mathit{при}\varphi{\left( x_{1} \right) \lt \frac{p_{1}}{p_{2}}},} \\ {{\frac{M}{p_{2}} - \frac{p_{1}}{p_{2}}}\varphi^{- 1}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}} \right),} \\ {0\mathit{при}\varphi{\left( x_{1} \right) \gt \frac{p_{1}}{p_{2}}}.} \\ \end{matrix} \right.}(2.27)\)

Рисунок 2.16. Графики «цена-потребление» и спроса на первый товар при квазилинейных предпочтениях

Рисунок 2.17. Графики «цена-потребление» и спроса на второй товар при квазилинейных предпочтениях

Например, если предпочтения потребителя описываются квазилинейной функцией полезности: \(U = {\sqrt{x_{1}} + x_{2}}\), то эквимаржинальное условие (2.24) будет выглядеть так:

\({\mathit{MRS}_{12} = \frac{1}{2\sqrt{x_{1}}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}},\)

т.е.

\({x_{1} = \left( \frac{p_{2}}{2p_{1}} \right)^{2}}.\)

Следовательно, \({\lim\limits_{p_{1}\rightarrow\infty}x_{1}} = 0\), а значит, для данной функции полезности в выражениях функций спроса (2.27) возможны только случаи \(\varphi\left( x_{1} \right)\geq\frac{p_{1}}{p_{2}}\).

Очевидно, что при \(\varphi{\left( x_{1} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x_{1}}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}}\), когда потребитель будет покупать некоторое количество второго блага, т.е. в соответствии с (2.26) \(x_{2} = {\frac{M}{p_{2}} - \frac{p_{2}}{4p_{1}}} \gt 0\), выполняется неравенство \(p_{1} \gt \frac{p_{2}^{2}}{4M}\). В противном случае, при \(p_{2}\geq 2\sqrt{Mp_{1}}\), потребитель отказывается от покупок второго товара \(\left( {x_{2} = 0} \right)\), и весь доход будет израсходован на покупку первого товара: \(x_{1} = \frac{M}{p_{1}}\).

Таким образом, функции спроса по Маршаллу (2.27) для данной квазилинейной функции полезности принимают вид (рис. 2.18):

\({x_{1}^{m} = \left\lbrack \begin{matrix} {\left( \frac{p_{2}}{2p_{1}} \right)^{2}\mathit{при}{p_{1} \gt \frac{p_{2}^{2}}{4M}},} \\ {\frac{M}{p_{1}}\mathit{при}p_{1}\leq\frac{p_{2}^{2}}{4M};} \\ \end{matrix} \right.}{x_{2}^{m} = \left\lbrack \begin{matrix} {{\frac{M}{p_{2}} - \frac{p_{2}}{4p_{1}}}\mathit{при}{p_{2} \lt 2}\sqrt{Mp_{1}},} \\ {0\mathit{при}p_{2}\geq 2\sqrt{Mp_{1}}.} \\ \end{matrix} \right.}(2.28)\)

Рисунок 2.18. Графики маршаллианского спроса для квазилинейных предпочтений: пример

Поскольку в ситуации внутреннего оптимума функция спроса на первый товар может быть получена без учета бюджетного ограничения, только лишь на основе выражения для предельной нормы замещения (2.24), а значит, доход Мне будет присутствовать в числе параметров соответствующей функции спроса по Маршаллу (2.25), постольку данное благо является нейтральным. При этом график «доход-потребление» и график функции Энгеля для первого блага будут представлять собой вертикальные прямые линии (рис. 2.19). В такой ситуации в силу (1.31) второе благо будет нормальным, а график соответствующей функции Энгеля будет прямолинейным.

Рис. 2.19, построенный для случая \(\varphi\left( x_{1} \right)\geq\frac{p_{1}}{p_{2}}\), демонстрирует возможное наличие краевого оптимума при \(M\leq p_{1}\varphi^{- 1}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}} \right)\). Например, если предпочтения потребителя описываются квазилинейной функцией полезности \(U = {\sqrt{x_{1}} + x_{2}}\), то функции спроса по Маршаллу имеют вид (2.28), и краевой оптимум будет иметь место при \(M\leq\frac{p_{2}^{2}}{4p_{1}}\).

Рисунок 2.19. Графики «доход-потребление» и функций Энгеля при квазилинейных предпочтениях \(\left( \varphi\left( x_{1} \right)\geq\frac{p_{1}}{p_{2}} \right) \)

Строгая квазивогнутость – это достаточное условие единственности оптимальной потребительской корзины и непрерывности функции спроса по Маршаллу, но это свойство не является необходимым условием данных свойств решения задачи потребительского выбора (2.6). Иллюстрацией этого может служить случай оптимального набора товаров-комплементов, когда линии безразличия представляют собой прямые углы, что соответствует нестого квазивогнутой функции полезности с фиксированными пропорциями (1.28). В силу недифференцируемости леонтьевских предпочтений вдоль луча, по которому пересекаются плоскости, образующие поверхность полезности (рис. 1.8), для комплементарных товаров эквимаржинальный принцип (2.10) оказывается неприменимым. В данном случае оптимальная корзина товаров всегда соответствует вершине угла линии безразличия: \(x_{2} = \frac{\beta x_{1}}{\alpha}\). Данный луч – это график «цена–потребление» и одновременно «доход–потребление».

Значит, \(M = \frac{x_{1}\left( {\alpha{p_{1} + \beta}p_{2}} \right)}{\alpha}\), откуда получаем искомые функции спроса по Маршаллу на первый и второй товары:

\({x_{1}^{m} = \frac{\mathit{\alpha M}}{\alpha{p_{1} + \beta}p_{2}}},{x_{2}^{m} = \frac{\mathit{\beta M}}{\alpha{p_{1} + \beta}p_{2}}}.(2.29)\)

Важной характеристикой функции (маршаллианского) спроса является его (прямая) ценовая эластичность – показатель интенсивности реакции величины спроса на данное благо в ответ на изменение его цены, который может быть посчитан, в том числе, как отношение дифференциала логарифма объема спроса \(\left( {d\ln{x_{i} = \frac{dx_{i}}{x_{i}}}} \right)\) к дифференциалу логарифма цены \(\left( {d\ln{p_{i} = \frac{dp_{i}}{p_{i}}}} \right):\)

\({E_{p_{i}}^{d_{i}} = \frac{\mathit{dx}_{i}}{dp_{i}}}{\frac{p_{i}}{x_{i}} = {\frac{dx_{i}}{x_{i}}/\frac{dp_{i}}{p_{i}}} = \frac{d\ln x_{i}}{d\ln p_{i}}}.\)

Наряду с ценой, существуют и другие факторы, влияющие на спрос потребителя на то или иное благо. Важное значение при этом имеет эластичность спроса по доходу – показатель, характеризующий процентное изменение величины спроса на некоторое благо по отношению к изменению величины дохода потребителя, измеренному в процентах:

\({E_{M}^{d_{i}} = \frac{\mathit{dx}_{i}}{dM}}\bullet\frac{M}{x_{i}}.\)

Соотношение между эластичностями спроса по доходу для различных товаров, входящих в потребительскую корзину отражено в законе Энгеля. Сформулируем и докажем этот закон, предварительно проведя некоторые формальные преобразования бюджетного ограничения потребителя. Прежде всего отметим, что полный дифференциал дохода и расходов потребителя имеет вид: \({\mathit{dM} = p_{1}}{\mathit{dx}_{1} + p_{2}}\mathit{dx}_{2}.\)

Полная производная бюджетного ограничения по величине дохода будет единичной:

\({\frac{\mathit{dM}}{\mathit{dM}} = p_{1}}{\frac{\mathit{dx}_{1}}{\mathit{dM}} + p_{2}}{\frac{\mathit{dx}_{2}}{\mathit{dM}} = 1.}\)

Разделив и домножив каждое слагаемое в середине данного равенства на объем потребления соответствующего товара, а также на величину дохода индивида:

\(\frac{p_{1}x_{1}}{M}{\frac{M\mathit{dx}_{1}}{x_{1}\mathit{dM}} + \frac{p_{2}x_{2}}{M}}{\frac{M\mathit{dx}_{2}}{x_{2}\mathit{dM}} = 1},\)

получаем закон Энгеля, который утверждает, что сумма по всем товарам эластичностей спроса по доходу потребителя, взвешенных по долям расходов \(\left( {\rho_{i} = \frac{p_{i}x_{i}}{M}} \right)\) на соответствующий товар \(({i = 1},2)\), равна единице:

\(\rho_{1}{E_{M}^{d_{1}} + \rho_{2}}{E_{M}^{d_{2}} = 1.}\)

Для нормальных благ эластичность спроса по доходу является величиной положительной, а для инфериорных – отрицательной. Из закона Энгеля вытекает, что если один из товаров в потребительской корзине является инфериорным, то другой обязательно представляет собой нормальное благо.

Закон Энгеля легко распространяется на случай произвольного количества \((n)\) товаров в потребительской корзине:

\({\sum\limits_{i = 1}^{n}{\rho_{i}E_{M}^{d_{i}}}} = 1.\)

Из бюджетного ограничения потребителя вытекает важное соотношение между прямыми и перекрестными ценовыми эластичностями спроса, которое носит название закона Курно¹⁰. Рассчитав производную бюджетного ограничения по цене одного из благ:

\({x_{i} + p_{i}}{\frac{\mathit{dx}_{i}}{dp_{i}} + p_{j}}{\frac{\mathit{dx}_{j}}{dp_{i}} = \frac{\mathit{dM}}{dp_{i}} = 0};i,{j = 1,2};j\neq i;\)

затем умножив данное выражение почленно на дробь \(\frac{p_{i}}{M}\) и, кроме того, домножив и разделив второе слагаемое в левой части на \(x_{i}\), а третье слагаемое – на \(x_{j}\):

\({\frac{x_{i}p_{i}}{M} + \frac{p_{i}x_{i}}{M}}\frac{\mathit{dx}_{i}}{dp_{i}}{\frac{p_{i}}{x_{i}} + \frac{p_{j}x_{j}}{M}}\frac{\mathit{dx}_{j}}{dp_{i}}{\frac{p_{i}}{x_{j}} = 0};i,{j = 1,2};j\neq i;\)

получаем закон Курно¹¹:

\(\rho_{i}{E_{p_{i}}^{d_{i}} + \rho_{j}}{E_{p_{i}}^{d_{j}} = {- \rho_{i}}};i,{j = 1,2};j\neq i;\)

где \({E_{p_{i}}^{d_{i}} = \frac{\mathit{dx}_{i}}{dp_{i}}}\frac{p_{i}}{x_{i}}\) – прямая эластичность спроса на i-е благо по его цене, \({E_{p_{i}}^{d_{j}} = \frac{\mathit{dx}_{j}}{dp_{i}}}\frac{p_{i}}{x_{j}}\) – перекрестная эластичность спроса на j-е благо по цене i-го товара, \(\rho_{i}\) и \(\rho_{j}\) – доли соответственно i-го и j-го блага в структуре расходов потребителя при изменившихся ценах.

При произвольном количестве \((n)\) товаров, являющихся предметом потребительского выбора, закон Курно утверждает, что сумма произведений доли \(i\)-го блага в расходах покупателя на эластичность спроса на это благо по его цене и долей остальных товаров на перекрестные эластичности спроса на них по цене \(i\)-го блага равна доле данного, \(i\)-го блага, взятой со знаком минус:

\(\rho_{i}{{E_{p_{i}}^{d_{i}} + {\sum\limits_{{j = 1},j\neq i}^{n}{\rho_{j}E_{p_{i}}^{d_{j}}}}} = {- \rho_{i}}}.\)

Также можно сформулировать соотношение, связывающее между собой показатели эластичности спроса – по цене (прямой и перекрестной) и по доходу потребителя.

В силу однородности нулевой степени (1.41) к спросу по Маршаллу применима теорема Эйлера об однородных функциях¹²:

\(\frac{\partial x_{i}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial p_{1}}{p_{1} + \frac{\partial x_{i}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial p_{2}}}{p_{2} + \frac{\partial x_{i}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial M}}{M = 0},{i = 1},2.\)

Поделив данное выражение почленно на \(x_{i}\), получаем, что сумма всех эластичностей спроса на данный, i-й товар – по цене (прямой и перекрестной), а также по доходу – равна нулю:

\({{E_{p_{i}}^{d_{i}} + E_{p_{j}}^{d_{i}} + E_{M}^{d_{i}}} = 0};i,{j = 1,2},i\neq j.\)

Данное утверждение легко распространяется на случай произвольного количества \((n)\) товаров в потребительской корзине:

\({{E_{M}^{d_{i}} + {\sum\limits_{j = 1}^{n}E_{p_{j}}^{d_{i}}}} = 0},{i = 1},\ldots,n.\)

Если функция полезности является непрерывной и строго квазивогнутой, то функция спроса \({x^{m} = x^{}}(p,M)\), дающая оптимальный набор \(x\) при различных уровнях цен \(p\) и дохода потребителя \(M\), непрерывна по векторному аргументу \(p\) и по скалярному аргументу \(M\). Пусть \({x = x^{}}(p,M)\) – оптимальный потребительский набор. Для доказательства устойчивости решения задачи (2.6) потребительского выбора, рассмотрим последовательность \({x_{t} = x^{}}(p_{t},M_{t})\), соответствующую последовательности векторов \(p_{t}\), сходящейся к \(p\) при \(t\rightarrow\infty\), и последовательности скаляров \(M_{t}\), сходящейся к \(M\) при \(t\rightarrow\infty\). Сходимость векторов \(p_{t}\) в пределе \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}p_{t}} = p\) покоординатная: \({p_{t} = \left\{ p_{th} \right\}}_{h = 1}^{l}\), \({p = \left\{ p_{h} \right\}}_{h = 1}^{l}\); т.е. \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}p_{\mathit{th}}} = p_{h}\), \({h = 1},\ldots,l\). Предел \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}M_{t}} = M\) – скалярный.

Важно, что последовательность \(x_{t}\) ограничена. Покажем это. Рассмотрим предел последовательности разностей \(p_{t}{x_{t} - M_{t}}\) при \(t\rightarrow\infty\). В силу сделанных выше предположений о существовании соответствующих пределов, справедливо соотношение:

\({{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left( {p_{t}{x_{t} - M_{t}}} \right)} = {{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left( {p_{t}x_{t}} \right)} - {\lim\limits_{t\rightarrow\infty}M_{t}}} = {{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left( {\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{\mathit{th}}x_{\mathit{th}}}} \right)} - M} = {{\sum\limits_{h = 1}^{l}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left( {p_{\mathit{th}}x_{\mathit{th}}} \right)}} - M} = {{\sum\limits_{h = 1}^{l}{\left( {\lim\limits_{t\rightarrow\infty}p_{\mathit{th}}} \right)\left( {\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{\mathit{th}}} \right)}} - M} = {{\sum\limits_{h = 1}^{l}\left( {p_{h}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{\mathit{th}}}} \right)} - M}}\leq 0.\)

Итак, вектор \(x\)_t в пределе должен удовлетворять бюджетному ограничению, которое в покоординатном виде записывается как неравенство:

\({\sum\limits_{h = 1}^{l}\left( {p_{h}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{\mathit{th}}}} \right)}\leq M.\)

Выделим из всей потребительской корзины товар под номером \(h\):

\(p_{h}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{th}}\leq{M - {\sum\limits_{k\neq h}{p_{k}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{tk}}}}}.\)

Данное неравенство можно ослабить. Все \(x_{tk}\geq 0\), значит, также неотрицательны их пределы, которые, как будет видно из дальнейшего конечны: \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{\mathit{tk}}}\geq 0\). Поэтому \(\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{\mathit{tk}}\) в последнем неравенстве можно заменить нулями. Тогда справедливо неравенство \(p_{h}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{th}}\leq M\), из которого получаем:

\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{th}}\leq\frac{M}{p_{h}}.\)

Деление на \(p_{h}\) здесь было возможным и при этом сохранился знак неравенства, поскольку \(p_{h}\), как цена экономического блага, является положительным числом.

Поскольку ценовое множество \(P\), по предположению, является ограниченным снизу, у него найдется нижняя граница \(\underline{p}\). Заменим в последнем неравенстве p_\(h\) на \(\underline{p}\). Тогда это неравенство принимает следующий вид: \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{th}}\leq\frac{M}{\underline{p}}\). Кроме того, \(x_{th}\geq 0\). Поэтому так же неотрицателен его предел, который, как будет видно из дальнейшего, конечен: \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{th}}\geq 0\). Получаем двойное неравенство:

\(0\leq{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{th}}\leq\frac{M}{\underline{p}},\)

в котором \(M\) и \(\underline{p}\) – это абсолютные, не зависящие от t и \(h\) константы. Выбор элемента \(x_{th}\) был произвольным, и данное неравенство справедливо для любого \(h\). Поэтому последовательность \(x_{t}\) ограничена.

По теореме Больцано–Вейерштрасса¹³, из каждой ограниченной последовательности действительных чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Следовательно, последовательность \(x_{t}\) содержит сходящуюся подпоследовательность \(\left\{ x_{t_{k}} \right\}\), \(k\in N\), где каждый член последовательности \(x_{t_{k}}\) является вектором.

Обозначим множество частичных пределов, или точек сгущения, последовательности \(x_{t}\) через \(z^{}\), т.е. \({z^{} = \{}z_{k}\}\), где \(z_{k} = {\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{t_{k}}}\), \(k\in N\); причем \(z_{k}\) – это покоординатный предел: \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{t_{k}}} = \left\{ {\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x_{t_{k}h}} \right\}_{h = 1}^{l}\).

Покажем, что любой вектор \(z_{k}\) из \(z^{}\) совпадает с \(x\). Рассмотрим предел разности между скалярным произведением \(p_{t_{k}}x_{t_{k}}\) и членами соответствующей последовательности \(M_{t_{k}}\). Используя свойства предела, в силу предположений о сходимости последовательностей цен и дохода можно провести следующую цепочку преобразований:

\({{\lim\limits_{t_{k}\rightarrow\infty}\left( {p_{t_{k}}{x_{t_{k}} - M_{t_{k}}}} \right)} = {{\sum\limits_{h = 1}^{l}{\lim\limits_{t_{k}\rightarrow\infty}\left( {p_{t_{k}h}x_{t_{k}h}} \right)}} - M} = {{\sum\limits_{h = 1}^{l}{\left( {\lim\limits_{t_{k}\rightarrow\infty}p_{t_{k}h}} \right)\left( {\lim\limits_{t_{k}\rightarrow\infty}x_{t_{k}h}} \right)}} - M} = {{\sum\limits_{h = 1}^{l}\left( {p_{h}{\lim\limits_{t_{k}\rightarrow\infty}x_{t_{k}h}}} \right)} - M} = {{\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}z_{\mathit{kh}}}} - M}}\leq 0.\)

Таким образом, векторы \(x\) и \(z_{k}\) принадлежат одному и тому же множеству \(S\): \({\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}x_{h}}}\leq M\), \(x_{h}\in R\) и \({\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}z_{\mathit{kh}}}}\leq M\), \(z_{\mathit{kh}}\in R\). В соответствии с утверждением о единственности оптимального потребительского набора получаем равенство векторов: \(x = z_{k}\). Поскольку все частичные пределы \(z_{k}\) последовательности \(x_{t}\) совпадают с \(x\), вся последовательность \(x_{t}\) сходится к \(x\). Это обеспечивает непрерывность функции спроса по Маршаллу, т.е. непрерывную зависимость оптимального набора товаров от параметров задачи (2.6) .

Приведем иллюстрацию разрывности функции спроса в случае, если функция полезности \(U:R_{{+ {}^{2}}\rightarrow R_{+}}\) не является квазивогнутой. В таком случае при бесконечно малом изменении цены товара (в частности снижении \(p_{2}\)), что отразится на графике поворотом бюджетного ограничения вокруг точки пересечения с осью координат, соответствующей данному благу (из положения 1 в положение 2), точка касания бюджетного ограничения и кривой безразличия может измениться скачком (от \(\left( {x_{1}^{1},x_{2}^{1}} \right)\) до \(\left( {x_{1}^{2},x_{2}^{2}} \right)\)), поскольку множество \(\{ x\in X\left| {U(x)\geq t} \right.,t\in R\}\) не является выпуклым (рис. 2.21).

Рисунок 2.21. Разрывность функции спроса в случае, если функция полезности не является квазивогнутой

Такой же скачок может наблюдаться и при малых вариациях дохода потребителя \(M\), что графически будет выглядеть как параллельный сдвиг бюджетной прямой (рис. 2.22). Следовательно, функция спроса по Маршаллу будет иметь разрыв. Она не будет принадлежать классу \(C^{0}\) непрерывных функций, что требуется при доказательстве существования общего экономического равновесия.

Рисунок 2.22. Разрывность функции Энгеля в случае, если функция полезности не является квазивогнутой

Примером разрывности функций спроса (в узком смысле) и Энгеля при отсутствии квазивогнутости функции полезности могут служить предпочтения следующего вида¹⁴:

\({U = {\sqrt{x_{1}} + x_{2}^{\frac{3}{2}}}},(2.30)\)

для которых нарушается предпосылка (2.6) об убывании предельной полезности второго блага, а первое благо в определенном диапазоне соотношения цен и дохода потребителя является инфериорным.

Рассмотрим вид соответствующих кривых безразличия (рис. 2.23):

\({x_{2} = \left( {U - \sqrt{x_{1}}} \right)^{2/3}}.\)

Они представляют собой убывающие зависимости между объемами потребления второго и первого товаров \(x_{2}\left( x_{1} \right)\):

\(\frac{dx_{2}}{dx_{1}} = \frac{- 1}{3\sqrt{x_{1}}\sqrt[3]{U - \sqrt{x_{1}}}} \lt 0.\)

Отметим, что \({\lim\limits_{x_{1}\rightarrow 0}{\frac{dx_{2}}{dx_{1}} = {- \infty}}}.\)

Кроме того, учитывая, что \({U - \sqrt{x_{1}}} = x_{2}^{3/2}\), можно сделать вывод:

\({\frac{d^{2}x_{2}}{dx_{1}^{2}} = {\frac{1}{6x_{1}^{\frac{3}{2}}\left( {U - \sqrt{x_{1}}} \right)^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{18x_{1}\left( {U - \sqrt{x_{1}}} \right)^{\frac{4}{3}}}} = \frac{{U - 4}\sqrt{x_{1}}}{18x_{1}^{\frac{3}{2}}\left( {U - \sqrt{x_{1}}} \right)^{\frac{4}{3}}}}\leq 0\mathit{при}x_{2}\leq\sqrt[3]{\frac{x_{1}}{9}}(2.31)\)

и, наоборот,

\({\frac{d^{2}x_{2}}{dx_{1}^{2}} \gt 0}\mathit{при}{x_{2} \gt \sqrt[3]{\frac{x_{1}}{9}}}.(2.32)\)

Таким образом, анализирумая функция полезности описывает невыпуклые предпочтения: линия \(x_{2} = \sqrt[3]{\frac{x_{1}}{9}}\) представляет собой геометрическое место точек перегиба кривых безразличия (рис. 2.23).

Из эквимаржинального принципа следует

\({\frac{\mathit{MU}_{1}}{\mathit{MU}_{2}} = \frac{1}{3\sqrt{x_{1}x_{2}}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}},\)

\(т.е.{x_{2} = \frac{p_{2}^{2}}{9p_{1}^{2}x_{1}}}.\)

Подставляя данное соотношение в бюджетное ограничение \({M = p_{1}}{{x_{1} + \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}^{2}x_{1}}} \gt 0}\) и решая соответствующее квадратное уравнение \(p_{1}{x_{1}^{2} - M}{{x_{1} + \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}^{2}}} = 0}\), получаем, что, при условии

\(\frac{M^{2}}{4}\geq\frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}},\mathit{или}\frac{3M}{2}\geq\sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}},(2.33)\)

объемы потребления товаров могут составлять:

\({x_{1}^{1} = {\frac{M}{{2p}_{1}} - \sqrt{\frac{M^{2}}{4p_{1}^{2}} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}^{3}}}}},{x_{2}^{1} = {\frac{M}{2p_{2}} + \sqrt{\frac{M^{2}}{4p_{2}^{2}} - \frac{p_{2}}{9p_{1}}}}}\)

(точка \(E_1\) на рис. 2.23) либо:

\({x_{1}^{2} = {\frac{M}{2p_{1}} + \sqrt{\frac{M^{2}}{4p_{1}^{2}} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}^{3}}}}},{x_{2}^{2} = {\frac{M}{2p_{2}} - \sqrt{\frac{M^{2}}{4p_{2}^{2}} - \frac{p_{2}}{9p_{1}}}}}\)

(точка \(E_2\) на рис. 2.23).

В точке \(E_1\) выполняется неравенство (2.32):

\({x_{1} \lt 9}{x_{2}^{3} = 9}{\left( \frac{p_{2}^{2}}{9p_{1}^{2}x_{1}} \right)^{3} = \frac{p_{2}^{6}}{81p_{1}^{6}x_{1}^{3}}},\mathit{или}{x_{1}^{4} \lt \frac{1}{81}}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}} \right)^{6},\)

т.е.

\({x_{1} = {\frac{M}{{2p}_{1}} - \sqrt{\frac{M^{2}}{4p_{1}^{2}} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}^{3}}}} \lt \frac{1}{3}}\sqrt{\left( \frac{p_{2}}{p_{1}} \right)^{3}}.\)

Справедливость неравенства \({\frac{M}{2} - \frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}} \lt \sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}}\), эквивалентного предыдущему, устанавливается возведением его левой и правой частей в квадрат и применением неравенства (2.33).

В точке \(E_2\) выполняется неравенство (2.31) \({x_{1} \gt 9}{x_{2}^{3} = 9}{\left( \frac{p_{2}^{2}}{9p_{1}^{2}x_{1}} \right)^{3} = \frac{p_{2}^{6}}{81p_{1}^{6}x_{1}^{3}}}\), или \({x_{1} = {\frac{M}{{2p}_{1}} + \sqrt{\frac{M^{2}}{4p_{1}^{2}} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}^{3}}}} \gt \frac{1}{3}}\sqrt{\left( \frac{p_{2}}{p_{1}} \right)^{3}}\), которое справедливо, поскольку, в силу неравенства (2.33), \(\frac{1}{3}{{\sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}} - \frac{M}{2}} \lt 0 \lt \sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}}\).

Таким образом, точка \(E_1\) соответствует выпуклому, а \(E_2\) – вогнутому сегменту кривой безразличия, а значит, точкой максимума полезности является лишь \(E_1\). Кривая безразличия, проходящая через точку \(E_2\), будет соответствовать более низкому уровню полезности (рис. 2.23):

\({{{U_{1} = \left( {\frac{M}{2p_{1}} - \sqrt{\frac{M^{2}}{4p_{1}^{2}} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}^{3}}}} \right)}^{\frac{1}{2}} + \left( {\frac{M}{2p_{2}} + \sqrt{\frac{M^{2}}{4p_{2}^{2}} - \frac{p_{2}}{9p_{1}}}} \right)^{\frac{3}{2}}} \gt {\left( {\frac{M}{2p_{1}} + \sqrt{\frac{M^{2}}{4p_{1}^{2}} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}^{3}}}} \right)^{\frac{1}{2}} + \left( {\frac{M}{2p_{2}} - \sqrt{\frac{M^{2}}{4p_{2}^{2}} - \frac{p_{2}}{9p_{1}}}} \right)^{\frac{3}{2}}} = U_{2}},\)

или

\(\sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}}\left( {\sqrt{\frac{M}{2} + \sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} - \sqrt{\frac{M}{2} - \sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}}} \right)\leq{\left( {\frac{M}{2} + \sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} \right)^{\frac{3}{2}} - \left( {\frac{M}{2} - \sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} \right)^{\frac{3}{2}}}.\)

Действительно, домножая левую и правую части последнего соотношения на \(\sqrt{\frac{M}{2} - \sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}}\), можно привести его к неравенству:

\(\left( {\frac{M}{2} - \sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} \right)\left( {\frac{M}{2} - \sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}} - \sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} \right)\leq\frac{1}{3}\sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}}\left( {\frac{M}{2} - \sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}} + \sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} \right).\)

Очевидно, что второй сомножитель в левой части неравенства меньше выражения в скобках в правой части. Чтобы установить справедливость данного неравенства, остается убедиться в том, что

\({\frac{M}{2} - \sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}}\leq\frac{1}{3}\sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}},т.е.{\frac{M}{2} - \frac{1}{3}}\sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}}\leq\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}.\)

Это легко сделать, возводя в квадрат левую и правую части последнего неравенства и после элементарных преобразований применяя соотношение (2.33).

Если бюджетное ограничение станет достаточно пологим, то может возникнуть краевое решение E₃, когда потребитель откажется от второго товара (рис. 2.23). В этом случае весь доход будет потрачен на потребление первого товара \(\left( {x_{1}^{3} = \frac{M}{p_{1}}} \right)\), и возникнет неравенство относительно соответствующих значений функции полезности

\({U_{3} = \sqrt{\frac{M}{p_{1}}} \gt {\left( {\frac{M}{2p_{1}} - \sqrt{\frac{M^{2}}{4p_{1}^{2}} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}^{3}}}} \right)^{\frac{1}{2}} + \left( {\frac{M}{2p_{2}} + \sqrt{\frac{M^{2}}{4p_{2}^{2}} - \frac{p_{2}}{9p_{1}}}} \right)^{\frac{3}{2}}} = U_{1}},\)

которое эквивалентно следующему, полученному домножением его левой и правой частей на \(\sqrt{p_{1}}\sqrt{\frac{M}{2} + \sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}}\):

\({\sqrt{{\frac{M^{2}}{2} + M}\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} \gt \frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}} + \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}^{3}}}}{\left( {\frac{M}{2} + \sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} \right)^{2} = \frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}} + \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}^{3}}}}{\left( {{\frac{M^{2}}{2} + M}{\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} \right) = \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}^{3}}}}{\left( {{\frac{M^{2}}{2} + M}\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} \right) + \frac{2}{9}}\sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}},\)

т.е.

\({\left( {{\frac{M^{2}}{2} + M}\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} \right) - \sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}}}{\sqrt{{\frac{M^{2}}{2} + M}\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} + \frac{2}{9}}{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}} \lt 0.}\)

Выделяя полный квадрат

\({\left( {{\sqrt{{\frac{M^{2}}{2} + M}\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} - \frac{1}{2}}\sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}}} \right)^{2} \lt \frac{1}{36}}\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}},\)

извлекая корень из левой и правой частей неравенства, после очевидных преобразований получаем: \({\sqrt{{\frac{M^{2}}{2} + M}\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} \lt \frac{2}{3}}\sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}}\), а значит,

\({\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}} \lt \frac{4}{9}}{\frac{p_{2}^{3}}{Mp_{1}} - \frac{M}{2}}.\)

Возводя в квадрат левую и правую части \({{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}} \lt {\frac{16p_{2}^{6}}{81M^{2}p_{1}^{2}} - \frac{4p_{2}^{3}}{9p_{1}} + \frac{M^{2}}{4}}},\) приходим к неравенству \({M^{2} \lt \frac{16}{27}}\frac{p_{2}^{3}}{p_{1}}\), которое эквивалентно ограничению на уровень цены \({p_{1} \lt \frac{16}{27}}\frac{p_{2}^{3}}{M^{2}}\).

Таким образом, анализируемая функция полезности генерирует разрывные функции спроса:

\(x_{1} = \left\{ \begin{matrix} {\frac{M}{p_{1}}\mathit{при}{p_{1} \lt \frac{16}{27}}\frac{p_{2}^{3}}{M^{2}},} \\ {{\frac{M}{{2p}_{1}} - \sqrt{\frac{M^{2}}{4p_{1}^{2}} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}^{3}}}}\mathit{ при }p_{1}\geq\frac{16}{27}\frac{p_{2}^{3}}{M^{2}};} \\ \end{matrix} \right.\)

\(x_{2} = \left\{ \begin{matrix} {{\frac{M}{2p_{2}} + \sqrt{\frac{M^{2}}{4p_{2}^{2}} - \frac{p_{2}}{9p_{1}}}}\mathit{при}p_{2}\leq 3\sqrt[3]{\frac{p_{1}M^{2}}{16}},} \\ {0\mathit{ при }{p_{2} \gt 3}\sqrt[3]{\frac{p_{1}M^{2}}{16}}.} \\ \end{matrix} \right.\)

Данные функции спроса на первый и второй товары терпят разрыв на границе двух своих участков – соответственно при \({p_{1} = \frac{16}{27}}\frac{p_{2}^{3}}{M^{2}}\) и \({p_{2} = 3}\sqrt[3]{\frac{p_{1}M^{2}}{16}}\). А именно, \({x_{1} = \frac{27}{64}}\frac{M^{3}}{p_{2}^{3}}\) при \({p_{1} = \frac{16}{27}}\frac{p_{2}^{3}}{M^{2}}\), в то время как \(\lim\limits_{p_{1}\rightarrow\frac{16}{27}{\frac{p_{2}^{3}}{M^{2}} -}{x_{1} = \frac{27}{16}}\frac{M^{3}}{p_{2}^{3}}.}{}\)

Из двух соответствующих сегментов будет состоять и график «цена – потребление» для первого товара¹⁵: он будет представлять собой участок многочлена третьей степени \({x_{1} = {\frac{9M^{2}x_{2}}{p_{2}^{2}} - \frac{18Mx_{2}^{2}}{p_{2}} + 9}}{x_{2}^{3} = 9}x_{2}\left( {x_{2} - \frac{M}{p_{2}}} \right)^{2}\) при \(x_{1}\leq\frac{27}{64}\frac{M^{3}}{p_{2}^{3}}\) и горизонтальную прямую \(x_{2} = 0\) при \({x_{1} \gt \frac{27}{16}}\frac{M^{3}}{p_{2}^{3}}\) (рис. 2.23).

Рисунок 2.23. Графики «цена – потребление» и спроса на худшее благо: пример

Аналогично ведет себя и спрос на второе благо (рис. 2.24):

\(x_{2} = \sqrt[3]{\frac{M}{4p_{1}}}\) при \({p_{2} = 3}\sqrt[3]{\frac{p_{1}M^{2}}{16}}\); тогда как \(\lim\limits_{p_{2}\rightarrow 3{\sqrt[3]{\frac{p_{1}M^{2}}{16}} -}{x_{2} = 0.}}\)

Рисунок 2.24. График спроса на второе, нормальное благо: пример

Разрывной будет и функция Энгеля, в частности, на первое благо, характеризуемая той же зависимостью, что и функция спроса.

Действительно, \({x_{1} = \frac{1}{3\sqrt{3}}}\sqrt{\left( \frac{p_{2}}{p_{1}} \right)^{3}}\) при \({M = \frac{4}{3}}\sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{3p_{1}}}\), в то время как

\(\lim\limits_{M\rightarrow\frac{4}{3}{\sqrt{\frac{p_{2}^{3}}{3p_{1}}} -}{x_{1} = \frac{4}{3\sqrt{3}}}\sqrt{{(\frac{p_{2}}{p_{1}})}^{3}}}.\)

Рисунок 2.25. Кривая Энгеля для худшего блага: пример

Поскольку \(\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}} \lt \frac{M}{2}\), постольку на втором из участков спроса первый товар будет худшим (рис. 2.25):

\({\frac{\partial x_{1}}{\partial M} = {\frac{1}{2p_{1}} - \frac{M}{4p_{1}\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}}} \lt 0},\)

но не товаром Гиффена:

\(\frac{\partial x_{1}}{\partial p_{1}} = \frac{{\frac{M^{2}}{2} - \frac{p_{2}^{3}}{3p_{1}} - M}\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}}{2p_{1}^{2}\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} \lt 0.\)

Действительно, если предположить обратное, а именно \({{\frac{M^{2}}{2} - \frac{p_{2}^{3}}{3p_{1}}} \gt M}\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}\), что, в свою очередь, будет означать \(\frac{M^{2}}{2} \gt \frac{p_{2}^{3}}{3p_{1}}\), то возведение первого неравенства в квадрат после приведения подобных членов даст неравенство \(\frac{M^{2}}{2} \lt \frac{p_{2}^{3}}{4p_{1}}\), которое противоречит второму.

Строгая выпуклость кривой Энгеля на анализируемом участке (рис. 2.25) легко проверяется расчетом второй производной

\(\frac{\partial^{2}x_{1}}{\partial M^{2}} = \frac{- {4{\left( {\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}} \right) - M^{2}}}}{p_{1}\left( {\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}} \right)\sqrt{\frac{M^{2}}{4} - \frac{p_{2}^{3}}{9p_{1}}}} \gt 0.\)

Используя правило Лопиталя, убеждаемся в том, что:

\({{\lim\limits_{M\rightarrow\infty}x_{1}} = {\lim\limits_{M\rightarrow\infty}{\frac{M}{2p_{1}}\left( {1 - \sqrt{1 - \frac{4p_{2}^{3}}{9M^{2}p_{1}}}} \right)}} = {- {\lim\limits_{M\rightarrow\infty}\left( \frac{2p_{2}^{3}}{M^{3}p_{1}^{2}\sqrt{1 - \frac{4p_{2}^{3}}{9M^{2}p_{1}}}} \right)}} = 0}.\)

Подстановка в целевую функцию полезности функций маршаллианского спроса, выведенных в результате решения прямой задачи потребительского выбора, позволяет получить так называемую неявную (или косвенную) функцию полезности¹⁶ – функциональную зависимость максимального значения полезности от цен товаров и дохода потребителя:

\(V{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = U}\left( {x_{1}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right),x_{2}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)} \right).(2.34)\)

Приведем примеры косвенных функций полезности. Для предпочтений Стоуна-Джери (1.25), когда спрос по Маршаллу представлен выражениями (2.19), неявная функция полезности будет иметь вид:

\(V{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = \left( \frac{{M - p_{1}}{a - p_{2}}b}{c + d} \right)^{c + d}}\left( \frac{c}{p_{1}} \right)^{c}\left( \frac{d}{p_{2}} \right)^{d}.(2.35)\)

Ее частным случаем, относящимся к предпочтениям Кобба – Дугласа (1.26) и соответствующему маршаллианскому спросу (2.20), будет косвенная функций полезности вида¹⁷:

\(V{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = \left( \frac{M}{c + d} \right)^{c + d}}\left( \frac{c}{p_{1}} \right)^{c}\left( \frac{d}{p_{2}} \right)^{d}.(2.36)\)

Например, для функции полезности \(U = \sqrt{x_{1}x_{2}}\) она принимает вид:

\(V{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = \frac{M}{2\sqrt{p_{1}p_{2}}}}.(2.37)\)

Для линейной функции полезности, характеризующей выбор между товарами субститутами (1.31), спрос по Маршаллу характеризуется выражением (2.23), а значит, косвенная полезность будет такой:

\(V{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = \mathit{\alpha t}}{\frac{M}{p_{1}} + \beta}\left( {1 - t} \right){\frac{M}{p_{2}} = M}\left( {t{\frac{\alpha}{p_{1}} + \left( {1 - t} \right)}\frac{\beta}{p_{2}}} \right),\mathit{где}\left\lbrack \begin{matrix} {{t = 1}\mathit{при}{\frac{p_{2}}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{\alpha}},} \\ {{t = 0}\mathit{при}{\frac{p_{1}}{\alpha} \gt \frac{p_{2}}{\beta}},} \\ {t\in\lbrack 0,1\rbrack\mathit{при}{\frac{p_{2}}{\beta} = \frac{p_{1}}{\alpha}};} \\ \end{matrix} \right.\)

или

\(V{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = \left\{ \begin{matrix} {M\frac{\alpha}{p_{1}},\mathit{если}{\frac{\alpha}{p_{1}} \gt \frac{\beta}{p_{2}}},} \\ {M\frac{\beta}{p_{2}},\mathit{если}{\frac{\beta}{p_{2}} \gt \frac{\alpha}{p_{1}}},} \\ {M{\frac{\alpha}{p_{1}} = M}\frac{\beta}{p_{2}},\mathit{если}{\frac{\alpha}{p_{1}} = \frac{\beta}{p_{2}}}.} \\ \end{matrix} \right.}(2.38)\)

Данную совокупность соотношений можно записать в компактной форме:

\(V{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = M}\bullet\mathit{\max}\left\{ {\frac{\alpha}{p_{1}},\frac{\beta}{p_{2}}} \right\}.(2.39)\)

При наличии совершенно комплементарных благ, задающих леонтьевские предпочтения (1.28) и соответствующие функции маршаллианского спроса (2.29), неявная функция полезности принимает следующий вид:

\(V{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = \frac{M}{\alpha{p_{1} + \beta}p_{2}}}.(2.40)\)

Для функции полезности CES (1.13) функции спроса по Маршаллу (2.22) генерируют следующую косвенную функцию полезности:

\(V{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = \frac{M\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)^{\frac{1}{\varphi}}}{\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)} = M}\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)^{\frac{1 - \varphi}{\varphi}}.(2.41)\)

Для того, чтобы сформулировать экономический смысл множителя Лагранжа в задаче максимизации полезности при бюджетном ограничении потребителя (2.6), воспользуемся теоремой об огибающей¹⁸, которая утверждает в данном случае, что полная производная (неявной) функции полезности по величине дохода, рассчитанная на оптимальной корзине товаров \(\left( {x_{1},x_{2}} \right) = \left( {x_{1}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right),x_{2}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)} \right)\), равна частной производной по доходу функции Лагранжа (2.8):

\({\frac{\mathit{dU}\left( {x_{1}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right),x_{2}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)} \right)}{dM} = \frac{\partial V\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial M} = \frac{\partial L}{\partial M} = \lambda}.\)

Таким образом, по экономическому смыслу множитель Лагранжа в задаче максимизации полезности при ограничении по доходу (2.6) представляет собой предельную полезность денег:

\({\lambda = \frac{\partial V}{\partial M}}.(2.42)\)

Исходя из определения косвенной функции полезности и опираясь на экономический смысл множителя Лагранжа (2.42) в задаче связанной максимизации полезности (2.6), можно сделать вывод о том, что при локальной ненасыщаемости потребления (1.2), когда \(\lambda \gt 0\), неявная полезность является возрастающей функцией дохода: \(\frac{\partial V}{\partial M} \gt 0\) (рис. 1.57). Если же предпосылка о локальной ненасыщаемости не выполняется, то \(\lambda = 0\), и значение косвенной функции полезности не зависит от дохода: \(\frac{\partial V}{\partial M} = 0\). В общем случае можно сказать, что неявная полезности является неубывающей функцией дохода: \(\frac{\partial V\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial M}\geq 0\).

Неявная функция полезности является однородной нулевой степени по ценам и доходу. Действительно, по построению косвенной полезности (2.34), учитывая однородность нулевой степени функций маршаллианского спроса (2.18), для любого \(\alpha \gt 0\) имеем:

\(V{\left( {\alpha p_{1},\alpha p_{2},\alpha M} \right) = U}{\left( {x_{1}^{m}\left( {\alpha p_{1},\alpha p_{2},\alpha M} \right),x_{2}^{m}\left( {\alpha p_{1},\alpha p_{2},\alpha M} \right)} \right) = U}{\left( {x_{1}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right),x_{2}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)} \right) = V}\left( {p_{1},p_{2},M} \right).\)

Для функций спроса по Маршаллу (2.17) и соответствующей косвенной функции полезности (2.34) справедливо тождество Роя:

\(x_{i}^{m}{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = \frac{- \frac{\partial V\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial p_{i}}}{\frac{\partial V\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial M}}},{i = 1,2.}(2.43)\)

При выводе тождества Роя вновь воспользуемся теоремой об огибающей, утверждающей в данном случае, что полная производная функции полезности по цене каждого из товаров, рассчитанная на оптимальной корзине товаров \(\left( {x_{1},x_{2}} \right) = \left( {x_{1}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right),x_{2}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)} \right)\), равна частной производной по данной цене функции Лагранжа (2.8):

\({\frac{\mathit{dU}\left( {x_{1}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right),x_{2}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right)} \right)}{dp_{i}} = \frac{\partial V\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial L}{\partial p_{i}} = {- \lambda}}x_{i}^{m}\left( {p_{1},p_{2},M} \right),{i = 1,2}.(2.44)\)

Учитывая экономический смысл множителя Лагранжа, который в задаче связанной максимизации полезности (2.6) представляет собой предельную полезность денег (2.42), приходим к тождеству Роя (2.43).

Зная косвенную функцию полезности (2.34), с помощью тождества Роя (2.43) можно восстановить обычную функцию полезности потребителя (1.1).

Выпишем в качестве примера тождество Роя для функции полезности Кобба–Дугласа \(U = \sqrt{x_{1}x_{2}}\), когда функции маршаллианского спроса имеют вид (2.21). При этом косвенная функция полезности будет выглядеть так:

\({V = \frac{M}{2\sqrt{p_{1}p_{2}}}}.\)

Вычисление величины множителя Лагранжа

\(\lambda = \frac{1}{2\sqrt{p_{1}p_{2}}}\)

подтверждает тождество Роя для первого товара:

\({\frac{\partial V}{\partial p_{1}} = \frac{- M}{4\sqrt{p_{1}^{3}p_{2}}} = {- x_{1}}}\frac{\partial V}{\partial M}.\)

И наоборот, используя тождество Роя (2.43) для данной косвенной полезности, можно получить функции маршаллианского спроса соответственно на первое и второе благо:

\(x_{1}^{m}{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = \frac{- \frac{\mathit{dV}}{dp_{1}}}{\frac{\mathit{dV}}{\mathit{dM}}} = \frac{\frac{1}{4}p_{1}^{\frac{- 3}{2}}p_{2}^{\frac{- 1}{2}}M}{\frac{1}{2\sqrt{p_{1}p_{2}}}} = \frac{M}{2p_{1}}}.\)

\(x_{2}^{m}{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = \frac{- \frac{\mathit{dV}}{dp_{2}}}{\frac{\mathit{dV}}{\mathit{dM}}} = \frac{\frac{1}{4}p_{1}^{\frac{- 1}{2}}p_{2}^{\frac{- 3}{2}}M}{\frac{1}{2\sqrt{p_{1}p_{2}}}} = \frac{M}{2p_{2}}}.\)

Преобразуя косвенную функцию полезности и учитывая спрос по Маршаллу на первое и второе благо, можно восстановить исходную функцию полезности:

\({V = \frac{M}{2\sqrt{p_{1}p_{2}}} = \left( \frac{M}{2p_{1}} \right)^{\frac{1}{2}}}{\left( \frac{M}{2p_{2}} \right)^{\frac{1}{2}} = x_{1}^{\frac{1}{2}}}{x_{2}^{\frac{1}{2}} = U}.\)

Поскольку множитель Лагранжа является неотрицательной величиной, и значение маршаллианской функции спроса – оптимальный объем потребления блага – так же больше либо равно нулю, постольку на основании соотношения (2.44) можно утверждать, что неявная функция полезности – это невозрастающая зависимость от цен товаров:

\(\frac{\partial V\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial p_{i}}\leq 0,{i = 1,2.}(2.45)\)

При этом в ситуации внутреннего оптимума \(\left( {x_{i}^{m}{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) \gt 0}} \right)\) при ненасыщаемости потребления косвенная полезность представляет собой убывающую функцию цен:

\({\frac{\partial V\left( {p_{1},p_{2},M} \right)}{\partial p_{i}} \lt 0},{i = 1,2.}(2.46)\)

Графически неявная функция полезности может быть представлена с помощью ценовых кривых безразличия, каждая из которых показывает все комбинации цен при \(V{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = \mathit{const}}\). При этом, чем ближе к началу координат располагается ценовая кривая безразличия, тем большему значению неявной функции полезности она соответствует (рис. 2.26).

Рисунок 2.26. Неявная функция полезности: ценовые кривые безразличия

---

1. Зорич В.А. Математический анализ. – 2-е изд. – М.: ФАЗИС, 1997, ч.1.↩︎

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 6-е изд. – М.: Наука, 1989.↩︎

3. С формальной точки зрения здесь следует ввести дополнительно множитель Лагранжа \(\lambda_{0}\) при целевой функции полезности, чтобы учесть возможность ее незначимости, а значит, отсутствия решения задачи (2.6), когда \(\lambda_{0}\) оказывается нулевым (см. по этому поводу, в частности: Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. 2-е изд. – М.: МЦНМО, 2006).↩︎

4. В качестве обобщения модели потребительского выбора (2.6) может служить задача условной оптимизации некоторой целевой функции векторного аргумента \(x = \left\{ x_{l} \right\}_{l = 1}^{h}\) в условии жестких ограничений при наличии вектора параметров \(\alpha = \left\{ \alpha_{k} \right\}_{k = 1}^{m}\):

   \(\begin{matrix} {\underset{x}{\mathit{\min}}{f(x,\alpha)}:} \\ {g_{i}{\left( {x(\alpha),\alpha} \right) = 0},{i = 1},\ldots,n.} \\ \end{matrix}(\mathit{ii})\)

   Решая ее, составляем функцию Лагранжа:

   \({L = f}{\left( {x,\alpha} \right) + {\sum\limits_{i = 1}^{n}{\lambda_{i}g_{i}\left( {x(\alpha),\alpha} \right)}}}.(\mathit{iii})\)

   Здесь множитель Лагранжа \(\lambda_{0}\) при целевой функции полагается равным единице. Равенство нулю ее частных производных

   \({{\frac{\partial f}{\partial x_{l}} + {\sum\limits_{i = 1}^{n}{\lambda_{i}\frac{\partial g_{i}}{\partial x_{l}}}}} = 0}(\mathit{iv})\)

   будет представлять собой необходимое условие экстремума в задаче (ii). В задаче типа (2.6) ищется максимум целевой функции полезности \(f{(x) = U}(x)\), т.е. минимизируется данная функция с обратным знаком; ограничением является равенство расходов фиксированному доходу потребителя \(g{\left( {x(\alpha),\alpha} \right) = {{\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}x_{j}}} - M} = 0}\), соответственно вектор параметров состоит из цен и дохода \(\alpha = \left( {\left\{ p_{j} \right\}_{j = 1}^{l},M} \right)\). Поэтому необходимые условия максимума (iv) принимают вид: \({\mathit{MU}_{j} = \lambda}p_{j}\), откуда получаем второй закон Госсена, обобщенный на случай произвольного количества товаров \(({j = 1},\ldots,l)\):

   \({\frac{\mathit{MU}_{j}}{p_{j}} = \lambda}.\)↩︎

5. В задачах потребительского выбора (в частности, в задаче связанной максимизации полезности (2.6) ) градиенты целевой функции (полезности – вектор предельных полезностей) и ограничения (в данном случае – бюджетного – вектор цен) являются линейно зависимыми. Множитель Лагранжа \(\lambda\) при этом выступает коэффициентом пропрциональности.↩︎

6. Наряду с проблемами, связанными с измеримостью категории полезности, аргументом в пользу перехода от кардиналистской к ординалисткой концепции полезности является инвариантность решения задачи потребительского выбора относительно возрастающей трансформации функции полезности.↩︎

7. См.: Антипина О.Н., Вереникин А.О. Микроэкономика продвинутого уровня. Учебное пособие. 2-е изд. М.: Кнорус, 2021. С. 36-39.↩︎

8. Рассмотрим функцию полезности Стоуна–Джери в случае потребительской корзины, состоящей из n товаров:

   \(U{(x) = {\prod\limits_{i = 1}^{n}\left( {x_{i} - a_{i}} \right)^{\alpha_{i}}}}.(\mathit{vi})\)

   Частным случаем предпочтений Стоуна–Джери является функция полезности Кобба–Дугласа, когда все \(a_{j}\) равны нулю:

   \(U{(x) = {\prod\limits_{i = 1}^{n}x_{i}^{\alpha_{i}}}}.(\mathit{vii})\)

   Выведем функции спроса по Маршаллу, соответствующие данным функциям потребительских предпочтений (ср.: Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – 3-е изд. – М.: Дело и Сервис, 2001; Samuelson P.A. The collected scientific papers: in 2 vol. – 6^th pr. – Cambridge (Mass.); L.: MIT press, 1985.).

   Задача максимизации функции полезности Стоуна-Джери (vi) при бюджетном ограничении будет иметь вид:

   \(\begin{matrix} {{\prod\limits_{i = 1}^{n}\left( {x_{i} - a_{i}} \right)^{\alpha_{i}}}\rightarrow\mathit{\max}:} \\ {{\sum\limits_{i = 1}^{n}{p_{i}x_{i}}}\leq M.} \\ \end{matrix}\)

   Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи:

   \({L = \lambda_{0}}{{\prod\limits_{i = 1}^{n}\left( {x_{i} - a_{i}} \right)^{\alpha_{i}}} + \lambda_{1}}\left( {M - {\sum\limits_{i = 1}^{n}{p_{i}x_{i}}}} \right).\)

   Необходимые условия максимизации полезности при бюджетном ограничении с учетом неотрицательности множителя Лагранжа \(\lambda_{0}\) имеют вид:

   \({\frac{\partial L}{\partial x_{i}} = \lambda_{0}}\alpha_{i}\left( {x_{i} - a_{i}} \right)^{\alpha_{j} - 1}{{\prod\limits_{{j = 1},j\neq i}^{n}\left( {x_{j} - a_{j}} \right)^{\alpha_{j}}} - \lambda_{1}}{p_{i} = {\frac{\lambda_{0}\alpha_{i}{\prod\limits_{j = 1}^{n}\left( {x_{j} - a_{j}} \right)^{\alpha_{j}}}}{x_{i} - a_{i}} - \lambda_{1}}}{p_{i} = 0},{i = 1},\ldots,n;\)

   \(\lambda_{1}{\left( {M - {\sum\limits_{i = 1}^{n}{p_{i}x_{i}}}} \right) = 0},{\sum\limits_{i = 1}^{n}{p_{i}x_{i}}}\leq M,\lambda_{1}\geq 0.\)

   Если \(\lambda_{1} = 0\), то из условия оптимальности по \(x_{i}\) и \(\lambda_{0} = 0\), чего не может быть.

   Следовательно, \(\lambda_{1}\neq 0,\) и бюджетное ограничение – жесткое: \({{\sum\limits_{i = 1}^{n}{p_{i}x_{i}}} = M}.\)

   Если \(\lambda_{0} = 0\), то \(\lambda_{1} = 0\), чего не может быть. Пусть \(\lambda_{0} = 1.\)

   Тогда условия равенства нулю частных производных функции Лагранжа по переменным \(x_{i},{i = 1},\ldots,n,\) (2.9) при данной функции полезности (vi) принимают вид:

   \({\frac{\alpha_{i}{\prod\limits_{j = 1}^{n}\left( {x_{j} - a_{j}} \right)^{\alpha_{j}}}}{x_{i} - a_{i}} - \lambda_{1}}{p_{i} = {\frac{\alpha_{i}U}{x_{i} - a_{i}} - \lambda_{1}}}{p_{i} = 0},{i = 1},\ldots,n.\)

   Получаем следующее выражение для оптимальных объемов потребления товаров:

   \({x_{i} = {a_{i} + \frac{\alpha_{i}U}{\lambda_{1}p_{i}}}},{i = 1},\ldots,n.\)

   Домножим левую и правую части данного выражения на \(p_{i}\) и просуммируем по i, учитывая, что в точке оптимума бюджетное ограничение выполняется в виде равенства:

   \({{\sum\limits_{i = 1}^{n}{p_{i}x_{i}}} = {{\sum\limits_{i = 1}^{n}{p_{i}a_{i}}} + \frac{U}{\lambda_{1}}}}{{\sum\limits_{i = 1}^{n}\alpha_{i}} = M}.\)

   Выражая отсюда отношение \(U/\lambda_{1}\) и подставляя его в предыдущее соотношение, задающее оптимальный объем потребления i-го блага, приходим к искомым функциям спроса по Маршаллу для функции полезности Стоуна–Джери:

   \({x_{i}^{m} = {a_{i} + \frac{\alpha_{i}}{p_{i}}}}\frac{\left( {M - {\sum\limits_{j = 1}^{n}{p_{j}a_{j}}}} \right)}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}},{i = 1},\ldots,n.(\mathit{viii})\)

   Частным случаем функций спроса (viii) является спрос по Маршаллу для функции полезности Кобба–Дугласа (vii):

   \({x_{i}^{m} = \frac{\alpha_{i}M}{p_{j}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}},{i = 1},\ldots,n.(\mathit{ix})\)

   Полученные зависимости являются очевидным обобщением маршаллианских функций спроса (2.19)-(2.20), выведенных применительно к случаю двухпродукторых потребительских корзин.↩︎

9. В силу неоклассического характера функции полезности сразу полагаем здесь множитель Лагранжа при целевой функции равным единице.↩︎

10. Антуан Огюстен Курно (1801-1877) – французский экономист.↩︎

11. Nicholson W. Microeconomic theory: basic principles and extensions. – Mason: South-Western, 2005.↩︎

12. См. сноску выше.↩︎

13. Зорич В.А. Математический анализ. – 2-е изд. – М.: ФАЗИС, 1997, ч.1.↩︎

14. Еще одной иллюстрацией разрывности функции спроса по Маршаллу при отсутствии квазивогнутости предпочтений может служить пример спроса на товар Гиффена как вариации решения задачи связанной максимизации полезности (2.6), приводимый в главе 3 ниже.↩︎

15. Линия «цена – потребление» для первого товара получается исключением его цены с помощью эквимаржинального условия \(p_{1} = \frac{p_{2}}{3\sqrt{x_{1}x_{2}}}\) из бюджетного ограничения: \({M = p_{2}}\left( {\frac{1}{3}{\sqrt{\frac{x_{1}}{x_{2}}} + x_{2}}} \right)\).↩︎

16. Автор идеи – французский экономист Рене Франсуа Жозеф Рой (1894-1977). См.: Roy R. De l'utilité: Contribution à la théorie des choix. – Paris: Hermann, 1942.↩︎

17. Подставляя функции спроса по Маршаллу (viii) в функцию полезности Стоуна-Джери при n-продуктовой потребительской корзине (vi), получаем косвенную функцию полезности:

    \(V{\left( {p_{1},\ldots,p_{n},M} \right) = {\prod\limits_{i = 1}^{n}\left( {x_{i}^{m} - a_{i}} \right)^{\alpha_{i}}} = {\prod\limits_{i = 1}^{n}\left( {\frac{\alpha_{i}}{p_{i}}\frac{\left( {M - {\sum\limits_{j = 1}^{n}{p_{j}a_{j}}}} \right)}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}} \right)^{\alpha_{i}}} = \left( \frac{\left( {M - {\sum\limits_{j = 1}^{n}{p_{j}a_{j}}}} \right)}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}} \right)^{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}{\prod\limits_{i = 1}^{n}\left( \frac{\alpha_{i}}{p_{i}} \right)^{\alpha_{i}}}.(x)\)

    Соответственно, функция косвенной полезности для случая предпочтений Кобба-Дугласа (vii) будет иметь вид:

    \(V{\left( {p_{1},\ldots,p_{n},M} \right) = \left( \frac{M}{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}} \right)^{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_{j}}}{\prod\limits_{i = 1}^{n}\left( \frac{\alpha_{i}}{p_{i}} \right)^{\alpha_{i}}}.(\mathit{xi})\)↩︎

18. Теорема об огибающей (ср.: Gravelle H., Rees R. Microeconomics. – 2^nd ed. – L., N.Y.: Longman, 1992) применительно к общей задаче условной оптимизации (ii) утверждает, что в оптимальной точке \(\left( {x^{},\lambda^{}} \right)\) полная производная целевой функции по параметру \(\alpha_{k}\) равна частной производной соответствующей функции Лагранжа (iii):

    \({\frac{df^{}}{d\alpha_{k}} = \frac{\partial L^{}}{\partial\alpha_{k}} = {\frac{\partial f^{}}{\partial\alpha_{k}} + {\sum\limits_{i = 1}^{n}{\lambda_{i}^{}\frac{\partial g_{i}}{\partial\alpha_{k}}}}}}.(\mathit{xii})\)

    Действительно, выпишем полную производную по параметру \(\alpha_{k}\) целевой функции и ограничений задачи (ii):

    \({\frac{\mathit{df}(x,\alpha)}{d\alpha_{k}} = {\frac{\partial f(x,\alpha)}{\partial\alpha_{k}} + {\sum\limits_{l = 1}^{h}{\frac{\partial f(x,\alpha)}{\partial x_{l}}\frac{dx_{l}}{d\alpha_{k}}}}}},(\mathit{xiii})\)

    \({\frac{dg_{i}(x,\alpha)}{d\alpha_{k}} = {\frac{\partial g_{i}(x,\alpha)}{\partial\alpha_{k}} + {\sum\limits_{l = 1}^{h}{\frac{\partial g_{i}(x,\alpha)}{\partial x_{l}}\frac{dx_{l}}{d\alpha_{k}}}}} = 0},{i = 1},\ldots,n.\)

    Умножая последнее равенство при каждом i на \(\lambda_{i}^{}\) и складывая их по всем \({i = 1},\ldots,n\), получаем нулевую сумму:

    \({{\sum\limits_{i = 1}^{n}{\lambda_{i}^{}\frac{\partial g_{i}\left( {x,\alpha} \right)}{\partial\alpha_{k}}}} + {\sum\limits_{i = 1}^{n}{\lambda_{i}^{}{\sum\limits_{l = 1}^{h}{\frac{\partial g_{i}\left( {x,\alpha} \right)}{\partial x_{l}}\frac{dx_{l}}{d\alpha_{k}}}}}}} = {{\sum\limits_{i = 1}^{n}{\lambda_{i}^{}\frac{\partial g_{i}(x,\alpha)}{\partial\alpha_{k}}}} + {\sum\limits_{l = 1}^{h}{\sum\limits_{i = 1}^{n}{\lambda_{i}^{}\frac{\partial g_{i}(x,\alpha)}{\partial x_{l}}\frac{dx_{l}}{d\alpha_{k}}}}}} = 0.\)

    Прибавляя к правой части (xiii) предыдущее равенство:

    \(\frac{\mathit{df}(x,\alpha)}{d\alpha_{k}} = {\frac{\partial f(x,\alpha)}{\partial\alpha_{k}} + {\sum\limits_{i = 1}^{n}{\lambda_{i}^{}\frac{\partial g_{i}(x,\alpha)}{\partial\alpha_{k}}}} + {\sum\limits_{l = 1}^{h}{{\left( \frac{\partial f}{\partial x_{l}} \right. + \left. {\sum\limits_{i = 1}^{n}{\lambda_{i}\frac{\partial g_{i}}{\partial x_{l}}}} \right)}\frac{dx_{l}}{d\alpha_{k}}}}}\)

    и учитывая, что в силу (iv) в точке оптимума \(\left( {x^{},\lambda^{}} \right)\) выражение в скобках равно нулю, получаем теорему об огибающей (xii).↩︎