Будем анализировать динамические двухфакторные производственные функции \({Y = F}(K,L,t)\), где \(t\) – индикатор времени, или изменений в технологии производства; полагая их дважды непрерывно дифференцируемыми \(\left( {Y\in C^{2}} \right)\). Будем предполагать, что производственная функция в каждый данный момент времени является однородной первой степени. Для такой стационарной во времени функции в определении (1.42) \(\gamma = 1\):
\(F{\left( {\mathit{\lambda K},\mathit{\lambda L}} \right) = \mathit{\lambda F}}\left( {K,L} \right).(1.49)\)
В динамике для такой функции, полагая \(\lambda = \frac{1}{L}\) и обозначая коэффициент фондовооруженности труда \(K/L\) через k, а его производительности \(Y/L\) – через y, можно сделать преобразование
\(y{(t) = \frac{Y}{L} = f}{\left( {\frac{K}{L},1,t} \right) = f}\left( {k,t} \right).(1.50)\)
Если определить также показатели фондоотдачи \(z = \frac{Y}{K}\) и обратной фондовооруженности труда, или «трудообеспеченности капитала», \(l = \frac{L}{K} = \frac{1}{k}\), то аналогично (1.50) в силу однородности первой степени относительно затрат факторов производственной функции (1.49), справедливо следующее представление показателя фондоотдачи:
\(z{(t) = \frac{Y}{K} = g}{\left( {\frac{L}{K},1,t} \right) = g}\left( {l,t} \right).(1.51)\)
Поскольку в соответствии с (1.50) \({Y = \mathit{Lf}}\left( \frac{K}{L} \right)\), производная объема производства по трудозатратам будет выглядеть так:
\({\frac{\partial Y}{\partial L} = f}{\left( \frac{K}{L} \right) + L}{\frac{\partial f\left( \frac{K}{L} \right)}{\partial L} = f}{\left( \frac{K}{L} \right) + L}\frac{\partial f\left( \frac{K}{L} \right)}{\partial\left( \frac{K}{L} \right)}{\frac{\partial\left( \frac{K}{L} \right)}{\partial L} = {\frac{Y}{L} - \frac{\partial f\left( \frac{K}{L} \right)}{\partial\left( \frac{K}{L} \right)}}}\frac{K}{L}.(1.52)\)
Следовательно, \({\frac{\partial f\left( {K/L} \right)}{\partial\left( {K/L} \right)} = {\frac{Y}{K} - \frac{\partial Y}{\partial L}}}\left( \frac{L}{K} \right)\). В силу однородности первой степени производственной функции (1.49) по теореме Эйлера (i) имеем \({Y = \frac{\partial Y}{\partial L}}{L + \frac{\partial Y}{\partial K}}K\), следовательно, в силу предпоследнего равенства:
\({\frac{\partial Y}{\partial K} = {\frac{Y}{K} - \frac{\partial Y}{\partial L}}}{\left( \frac{L}{K} \right) = g}{\left( {l,t} \right) - \frac{\partial Y}{\partial L}}{l = \frac{\partial f\left( {k,t} \right)}{\partial k}}.(1.53)\)
Аналогично (1.52) – (1.53), в силу (1.51)
\({\frac{\partial Y}{\partial K} = g}{\left( \frac{L}{K} \right) + K}{\frac{\partial g\left( {L/K} \right)}{\partial K} = g}{\left( \frac{L}{K} \right) + K}\frac{\partial g\left( {L/K} \right)}{\partial\left( {L/K} \right)}{\frac{\partial\left( {L/K} \right)}{\partial K} = {\frac{Y}{K} - \frac{\partial g\left( {L/K} \right)}{\partial\left( {L/K} \right)}}}\frac{L}{K}\);
а значит,
\({\frac{\partial g\left( {l,t} \right)}{\partial l} = {\frac{Y}{L} - \frac{\partial Y}{\partial K}}}{\left( \frac{K}{L} \right) = f}{\left( {k,t} \right) - \frac{\partial Y}{\partial K}}{k = \frac{\partial Y}{\partial L}}.(1.54)\)
Нейтральные по Дж.Р. Хиксу технологические изменения могут быть представлены в виде факторизации производственной функции:
\({Y = A}(t)F\left( {K,L} \right).(1.55)\)
Данный вид технологических сдвигов имеет место в случае, если предельная норма замещения между трудом и капиталом как функция обратной фондовооруженности труда, является стационарной во времени1: \(\mathit{MRTS}_{\mathit{KL}}{\left( {l,t} \right) = {\overline{\mathit{MRTS}}}_{\mathit{KL}}}(l)\), т.е. \(\frac{\partial}{\partial t}{\left( {\mathit{MRTS}_{\mathit{KL}}\left( {l,t} \right)} \right) = 0}\). Нейтральность по Хиксу можно сформулировать и по-другому: она наблюдается, если предельная норма замещения не зависит от технологического прогресса \(A(t)\).
Рассчитаем предельную норму замещения между факторами производства, используя соотношения (1.53) – (1.54):
\(\mathit{MRTS}_{\mathit{KL}}{\left( {l,t} \right) = \frac{\mathit{MP}_{K}}{\mathit{MP}_{L}} = \frac{{\partial Y}/{\partial K}}{{\partial Y}/{\partial L}} = \frac{{g - \frac{\mathit{dg}}{\mathit{dl}}}l}{\mathit{dg}/\mathit{dl}} = {\frac{g}{\mathit{dg}/\mathit{dl}} - l}}\).
С учетом стационарности предельной нормы замещения между факторами производства получаем дифференциальное уравнение \({{\frac{g}{\mathit{dg}/\mathit{dl}} - l} = {\overline{\mathit{MRTS}}}_{\mathit{KL}}}(l)\), или \({g = \left( {{\overline{\mathit{MRTS}}}_{\mathit{KL}}{(l) + l}} \right)}\frac{\mathit{dg}}{\mathit{dl}}\). Решаем его, разделяя переменные: \({\frac{\mathit{dl}}{{\overline{\mathit{MRTS}}}_{\mathit{KL}}{(l) + l}} = d}\ln|g|\). Интегрируем: \({{\int{d\ln\left| {g(l,t)} \right|}} = \ln}{\left| {g(l,t)} \right| = {{\int\frac{\mathit{dl}}{{\overline{\mathit{MRTS}}}_{\mathit{KL}}{(l) + l}}} + \ln}}A(t)\) и далее потенцируем полученное выражение, снимая модуль и учитывая упущенное при разделении переменных решение \(g = 0\) соответствующим подбором константы A: \(g(l,t{) = A}(t)e^{\int\frac{\mathit{dl}}{{\overline{\mathit{MRTS}}}_{\mathit{KL}}{{(l)} + l}}}\). Полагая \({e^{\int\frac{\mathit{dl}}{{\overline{\mathit{MRTS}}}_{\mathit{KL}}{{(l)} + l}}} = g}(l)\), получаем \({z = g}{\left( {l,t} \right) = A}(t)g(l)\), или \({\frac{Y}{K} = A}(t)g\left( \frac{L}{K} \right)\), откуда следует факторизация нейтральной по Хиксу производственной функции (1.55).
Следуя логике Р.М. Солоу на основе нейтральной по Хиксу производственной функции (1.55) проанализируем вклад различных факторов в повышение объема производства2. Для этого рассчитаем производную выпуска по времени:
\({\frac{\mathit{dY}}{\mathit{dt}} = f}\left( {K,L} \right){\frac{\mathit{dA}}{\mathit{dt}} + A}{\frac{\mathit{df}(K,L)}{\mathit{dt}}} =\)
\( f\left( {K,L} \right){\frac{\mathit{dA}}{\mathit{dt}} + A}{\left( {\frac{\partial f}{\partial K}{\frac{\mathit{dK}}{\mathit{dt}} + \frac{\partial f}{\partial L}}\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}} \right)} = \)
\(f\left( {K,L} \right){\frac{\mathit{dA}}{\mathit{dt}} + \frac{\partial Y}{\partial K}}{\frac{\mathit{dK}}{\mathit{dt}} + \frac{\partial Y}{\partial L}}\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}.\)
Учитывая (1.55), поделим левую часть данной производной на \(Y\), а выражение в правой части – на \(\mathit{Af}\left( {K,L} \right)\). Одновременно домножим и разделим в правой части второе слагаемое на \(K\), а третье – на \(L\):
\({\frac{\mathit{dY}/\mathit{dt}}{Y} = {\frac{\mathit{dA}/\mathit{dt}}{A} + \frac{\partial Y}{\partial K}}}\frac{K}{Y}{\frac{\mathit{dK}/\mathit{dt}}{K} + \frac{\partial Y}{\partial L}}\frac{L}{Y}\frac{\mathit{dL}/\mathit{dt}}{L}.(1.56)\)
Заметим, что в правой части равенства (1.56) во втором и третьем слагаемых присутствуют показатели эластичности валового выпуска по капиталу \(\left( {{\epsilon_{K}^{Y} = \frac{\partial Y}{\partial K}}\frac{K}{Y}} \right)\) и труду \(\left( {{\epsilon_{L}^{Y} = \frac{\partial Y}{\partial L}}\frac{L}{Y}} \right)\) соответственно. Поэтому темп прироста выпуска3 \(\overset{˙}{Y}/Y\) можно переписать в следующем виде:
\({\frac{\overset{˙}{Y}}{Y} = {\frac{\overset{˙}{A}}{A} + \epsilon_{K}^{Y}}}{\frac{\overset{˙}{K}}{K} + \epsilon_{L}^{Y}}\frac{\overset{˙}{L}}{L}.\)
Первая составляющая \((A(t))\) нейтральной по Хиксу производственной функции (1.55) собственно представляет собой функцию технологических сдвигов и генерирует «остаток Солоу» \(\overset{˙}{A}/A\), который характеризует совокупный эффект изменения производительности факторов, не сводимый к сумме темпов прироста фондоотдачи \(\overset{˙}{K}/K\) и производительности труда \(\overset{˙}{L}/L\).
Наряду с нейтральным по Хиксу можно выделить ряд других видов нейтрального технического прогресса. Нейтральный по Солоу, трудоинтенсивный, или фондосберегающий, технический прогресс:
\({Y = F}\left( {L,E(t)K} \right),(1.57)\)
где \(E(t)\) – коэффициент, отражающий технический прогресс, который имеет результатом повышение эффективности, или производительности, капитала, возникает в случае постоянной во времени предельной производительности труда: \(\mathit{MP}_{L}{\left( {f,t} \right) = {\overline{\mathit{MP}}}_{L}}(f)\). Другими словами, предельная производительность труда зависит только от средней.
Используя (1.53) – (1.54), можно записать: \({\frac{\partial g\left( {l,t} \right)}{\partial l} = f}{\left( {k,t} \right) - \frac{\partial f\left( {k,t} \right)}{\partial k}}{k = \frac{\partial Y}{\partial L}}\). Отсюда в силу стационарности предельного продукта труда получаем дифференциальное уравнение \({f - \frac{\mathit{df}}{\mathit{dk}}}{k = {\overline{\mathit{MP}}}_{L}}(f)\). Разделяем переменные \(\frac{dk}{k} = \frac{\mathit{df}}{{f - {\overline{\mathit{MP}}}_{L}}(f)}\) и интегрируем, учитывая, что \({\frac{\mathit{dk}}{k} = \mathit{dln}}|k|\): \({{\int{d\ln|k|}} + \ln}E{(t) = \ln}{|k| + \ln}E{(t) = {\int\frac{\mathit{df}}{{f - {\overline{\mathit{MP}}}_{L}}(f)}}}\). Потенцируя полученное равенство, снимаем модуль с \(k\) и включаем упущенное при разделении переменных решение \(k = 0\) соответствующим подбором константы \(E\): \(E(t){k = e^{\int\frac{\mathit{df}}{{f - {\overline{\mathit{MP}}}_{L}}{(f)}}}}.\) Полагая \({e^{\int\frac{\mathit{df}}{{f - {\overline{\mathit{MP}}}_{L}}{(f)}}} = f^{- 1}}(y)\), получаем соотношение \(E(t){k = f^{- 1}}(y)\), или \({\frac{Y}{L} = f}\left( {E(t)\frac{K}{L}} \right)\), откуда приходим к выражению производственной функции с нейтральным по Солоу техническим прогрессом (1.57).
Нейтральный по Харроду, капиталоинтенсивный, или трудосберегающий, технический прогресс может быть описан производственной функцией:
\({Y = F}\left( {K,E(t)L} \right),(1.58)\)
где \(E(t)\) – коэффициент, отражающий технический прогресс, который имеет результатом повышение эффективности, или производительности, труда. Такой технический прогресс имеет место при стационарной предельной фондоотдаче: \(\mathit{MP}_{K}{\left( {g,t} \right) = {\overline{\mathit{MP}}}_{K}}(g)\). Другими словами, предельная производительность капитала зависит только от средней.
Используя (1.53) – (1.54), можно записать:
\({\frac{\partial f\left( {k,t} \right)}{\partial k} = g}{\left( {l,t} \right) - \frac{\partial g\left( {l,t} \right)}{\partial l}}{l = \frac{\partial Y}{\partial K}}\).
Отсюда в силу стационарности предельной производительности капитала получаем дифференциальное уравнение \({g - \frac{\mathit{dg}}{\mathit{dl}}}{l = {\overline{\mathit{MP}}}_{K}}(g)\). Разделяем переменные \(\frac{dl}{l} = \frac{\mathit{dg}}{{g - {\overline{\mathit{MP}}}_{K}}(g)}\) и интегрируем, учитывая, что \({\frac{\mathit{dl}}{l} = \mathit{dln}}|l|\): \({{\int{d\ln|l|}} + \ln}E{(t) = \ln}{|l| + \ln}E{(t) = {\int\frac{\mathit{dg}}{{g - {\overline{\mathit{MP}}}_{K}}(g)}}}\). Потенцируя полученное равенство, допускаем нулевое и отрицательные значения \(E(t)\): \(E(t){l = e^{\int\frac{\mathit{dg}}{{g - {\overline{\mathit{MP}}}_{K}}{(g)}}}}.\) Полагая \({e^{\int\frac{\mathit{dg}}{{g - {\overline{\mathit{MP}}}_{K}}{(g)}}} = g^{- 1}}(z)\), получаем соотношение \(E(t){l = g^{- 1}}(z)\), или \({\frac{Y}{K} = g}\left( {E(t)\frac{L}{K}} \right)\), откуда приходим к выражению производственной функции с нейтральным по Харроду техническим прогрессом (1.58).
Uzawa H. Neutral inventions and the stability of growth equilibrium // Review of economic studies. 1961. Vol. 28. № 2; Sato R., Beckmann M.J. Neutral inventions and production functions // Review of economic studies. 1968. Vol. 35. № 1.↩︎
Solow R.M. Technical change and the aggregate production function // Review of economics and statistics. 1957. Vol. 39. № 3.↩︎
Здесь и далее переменная с точкой вверху \(\overset{˙}{x}\) обозначает соответствующую производную по времени.↩︎