Характеристики вогнутости и квазивогнутости производственных функций и функций полезности имеют важную экономическую интерпретацию, связанную с эффектами масштаба хозяйственной деятельности. Рассмотрим ее с точки зрения производственных процессов, протекающих на предприятии. Тип отдачи от масштаба производства является фундаментальной характеристикой его технологии.
Положительный эффект масштаба имеет место, когда одинаковое увеличение количества всех используемых факторов производства (в \(\alpha\in R\), \(\alpha \gt 1\), раз) дает рост объема производства в большей пропорции по сравнению с затратами ресурсов (больше, чем в \(\alpha\) раз), то есть, если выполняется неравенство:
\(f{\left( \mathit{\alpha x} \right) \gt \mathit{\alpha f}}(x),\alpha\in R,{\alpha \gt 1},x\in R_{{+ {}^{l}}.(1.37)}\)
Если при увеличении объемов затрачиваемых ресурсов в \(\alpha\in R\), \(\alpha \gt 1\), раз производство возрастет меньше, чем в \(\alpha\) раз, то такая производственная функция характеризуется убывающей отдачей от масштаба:
\(f{\left( \mathit{\alpha x} \right) \lt \mathit{\alpha f}}(x),\alpha\in R,{\alpha \gt 1},x\in R_{{+ {}^{l}}.(1.38)}\)
Если соответствующие неравенства нестрогие, то наблюдается неотрицательный
\(f\left( \mathit{\alpha x} \right)\geqslant\mathit{\alpha f}(x),\alpha\in R,{\alpha \gt 1},x\in R_{{+ {}^{l}}(1.39)}\)
либо, наоборот, неположительный
\(f\left( \mathit{\alpha x} \right)\leqslant\mathit{\alpha f}(x),\alpha\in R,{\alpha \gt 1},x\in R_{{+ {}^{l}}(1.40)}\)
эффект масштаба хозяйственной деятельности.
Для производственной функции свойственна постоянная отдача от масштаба, если увеличение затрат факторов производства в какое-то число раз \(\alpha\in R\), \(\alpha \gt 1\), приведет к росту объема производства в такое же число раз \(\alpha\):
\(f{\left( \mathit{\alpha x} \right) = \mathit{\alpha f}}(x),\alpha\in R,{\alpha \gt 1},x\in R_{{+ {}^{l}}.(1.41)}\)
Коэффициент \(\alpha\) в определении отдачи от масштаба – это интенсивность применения данного производственного процесса1. В частности, если предположить постоянную интенсивность, применения технологического процесса, то для характеристики отдачи от масштаба можно использовать широкий класс однородных производственных функций.
Функция называется однородной степени \(\gamma\), если для нее выполняется равенство:
\(f{\left( {\lambda x_{1},\lambda x_{2}} \right) = \lambda^{\gamma}}f\left( {x_{1},x_{2}} \right),(1.42)\)
где \(\lambda\), \(\gamma\) – положительные вещественные константы2.
Для однородной функции (1.42) будет характерна возрастающая отдача от масштаба при \(\gamma \gt 1\), убывающая отдача – при \(\gamma \lt 1\) и постоянная – при \(\gamma = 1\).
Зачастую положительный эффект масштаба трактуется в расширительном смысле:
\(f{\left( {\alpha x_{1},\ldots,\alpha x_{k - 1},x_{k},\alpha x_{k + 1},\ldots,\alpha x_{l}} \right) = \mathit{\alpha f}}\left( {x_{1},\ldots,x_{l}} \right),\alpha\in R,{\alpha \gt 1},x\in R_{{+ {}^{l}}.(1.43)}\)
Здесь подразумевается, в частности, что наличие постоянного фактора производства может способствовать увеличению его эффективности при увеличении масштаба, поскольку данный, фиксированный фактор хозяйственных затрат будет распределяться на возрастающий объем продукции. Поскольку, в силу предпосылки об эффективности производства
\(f{\left( {\alpha x_{1},\ldots,\alpha x_{k - 1},\alpha x_{k},\alpha x_{k + 1},\ldots,\alpha x_{l}} \right) \gt f}\left( {\alpha x_{1},\ldots,\alpha x_{k - 1},x_{k},\alpha x_{k + 1},\ldots,\alpha x_{l}} \right)\)
из расширительной трактовки (1.43) вытекает возрастающая отдача от масштаба, определенная выше (1.37). Таким образом, расширительная трактовка эффекта масштаба является более сильным требованием в отношении производственной функции, чем базовое определение (1.37).
Экономия на масштабе производства, реализуемая в процессах концентрации и централизации, является одним из важнейших факторов его интенсивного развития за счет повышения эффективности хозяйственной деятельности, более рационального использования ее факторов, совершенствования качественных характеристик ресурсов и технологии предприятия3. Источниками положительного эффекта масштаба в рамках предприятия могут служить4:
- экономия на серийности производства, поскольку изготовление крупных партий изделий оказывается дешевле в силу использования более производительного оборудования, снижения удельных инженерно-конструкторских и управленческих затрат, уменьшения торговых расходов за счет оптовых операций, совершенствования трудовых навыков работников и т.д.;
- снижение объемов вспомогательных операций, связанных с основным производством при росте производственных мощностей: по закону больших чисел количество отказов оборудования становится более точно прогнозируемым и появляется возможность эффективнее спланировать его обслуживание;
- уменьшение логистических затрат: в частности, оптимальное управление складскими запасами предполагает, что их величина должна быть пропорциональной квадратному корню от количества используемого на производстве ресурса5;
- инженерно-экономические свойства различных объемных конструкций в силу того, что затраты на их возведение, как правило, увеличиваются пропорционально площади поверхности сооружения – квадратичным темпом, в то время как отдача от них зачастую зависит от объема, нарастая кубическим темпом; а также целый комплекс других факторов, которые будут рассмотрены ниже.
Трансакционный сектор так же, как и производственный, подвержен экономии от масштаба6. В частности, каждая фирма нуждается в привлечении капитала и финансовых оценках, а значит, в посредниках и консультантах. Экономика в целом выигрывает, если эти функции передаются небольшому числу специализированных институтов7. Чем больший объем трансакций они будут обслуживать, тем ниже окажутся соответствующие средние трансакционные издержки для экономической системы, что служит фактором положительной эффективности масштабов хозяйственной деятельности.
На микроэкономическом уровне экономия от масштабов операций заключается не только в технологическом потенциале предприятия, но и в сокращении накладных расходов по мере его развития (1.43). С ростом масштаба постоянные, не зависящие от объема производства компоненты координационных и мотивационных издержек8 распределяются на все больший объем выпуска, и их средняя величина убывает, что является фактором экономического роста даже в отсутствие технологического прогресса.
Экономия на масштабе в трансакционном секторе, связанная с наличием постоянного фактора в издержках, имеет противоположную направленность по отношению к их вектору. При этом трансакционные издержки, рассматриваемые как обособленная категория, сами по себе могут считаться экстерналиями. Следовательно, перед нами компенсирующее действие положительной экстерналии, которой является эффект от масштаба, и отрицательной экстерналии – трансакционных издержек. Результирующий эффект зависит не только от внешних факторов, но и от соотношения силы синергетического эффекта как показателя эффективности организации и сил “трения”, связанных с взаимодействием членов трудового коллектива друг с другом, а также с контрагентами данного предприятия. На окончательное направление действия внешнего эффекта оказывают влияние производственные отношения, а также качественные особенности спецификации и структуры прав собственности в контексте реализации коллективного потенциала данной организации.
Возрастающая отдача от масштаба – это свойство технологии предприятия напрямую связанное с действием синергетического эффекта, то есть превышением результативности хозяйственной системы – в данной случае фирмы – над суммарной отдачей множества ее составных частей, производственных факторов: ведь увеличение использования всех их вместе дает больший прирост эффективности производства в целом, нежели повышение объемов затрат каждого из них в отдельности (1.37). Поэтому возрастающая отдача от масштаба производства может рассматриваться как проявление некоего дополнительного, неосязаемого фактора производства, представляющего собой своеобразное общественное благо, принадлежащее хозяйственной организации как единому целому. Он воплощает в себе значительную часть нематериальных активов корпорации и приводит к существенному превышению рыночной ценности фирмы над располагаемыми ею материальными ресурсами в стоимостном выражении.
Положительный эффект масштаба можно рассматривать как своего рода внешний эффект по отношению к каждому из внутренних ресурсов, используемых на предприятии. Он достигается за счет того, что производительность “команды” факторов производства, действующих на фирме как единое целое, превышает отдачу от суммы тех же ресурсов, взятых по отдельности. В данной ситуации наблюдается положительная технологическая внутренняя экстерналия, ведь объектом действия данного эффекта являются его эмитенты и он возникает в определенной мере независимо, параллельно по отношению к влиянию внешних для персонала данного предприятия сил, например, отраслевой либо народнохозяйственной конъюнктуры, которые могут являться источниками как внешних затрат, так и внешней экономичности9.
Специализация и сопутствующая ей координация являются важнейшими системообразующими принципами любой организации – внутри-, меж- и надфирменной; как корпоративных, так и рыночных, и народнохозяйственных структур. “На деле организация всегда возникает в результате выделения отдельных видов работ и передачи их особым специализированным единицам”, – обоснованно отмечают М. Месарович, Д. Мако и И. Такахара10. Как справедливо пишет Л. фон Мизес, “общество представляет собой согласованную деятельность, сотрудничество … общество суть разделение и соединение труда”11. Формы реализации этих процессов многообразны. Процессы специализации сопровождаются дифференциацией социальных функций и ролей индивидуумов12. В частности, фундаментальным для процессов воспроизводства человеческого потенциала является гендерное разделение труда13.
Один из фундаментальных постулатов А. Смита гласит, что разделение труда и специализация производственной деятельности являются глубинными движущими силами прогресса экономики. Специализация приводит к росту объема производства Q при имеющемся количестве ресурсов, или к увеличению выпуска продукции в большей пропорции, по отношению к приросту количества используемых ресурсов14, или к положительному эффекту масштабов хозяйственной деятельности (1.37). По-другому этот тезис можно сформулировать следующим образом: специализация производства ведет к повышению производительности труда и капиталоотдачи.
Производительность труда в натуральном выражении – это средний продукт труда \(\left( x_{L} \right)\), т.е. объем выпуска в расчете на единицу затраченного труда \(\mathit{AP}_{L} = \frac{Q}{x_{L}}\). Капиталоотдача в натуральном выражении – это средний продукт капитала \(\left( x_{K} \right)\), или объем выпуска в расчете на единицу основных фондов \(\mathit{AP}_{K} = \frac{Q}{x_{K}}\), где Q=f(xK,xL) – объем производства, достигаемый с помощью данных затрат его факторов.
Действительно, если предположить, что прирост фондо- и трудозатрат происходит в одной и той же пропорции: \(\alpha x_{K}\) и \(\alpha x_{L}\) соответственно, \(\alpha\in R\), \(\alpha \gt 1\), то, поскольку для увеличения значений APK и APL необходимо, чтобы прирост выпуска превышал увеличение затрат факторов, справедливы следующие неравенства:
\({\frac{f\left( {\alpha x_{K},\alpha x_{L}} \right)}{\alpha x_{K}} \gt \frac{f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{x_{K}}},{\frac{f\left( {\alpha x_{K},\alpha x_{L}} \right)}{\alpha x_{L}} \gt \frac{f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{x_{L}}}.\)
а значит, справедливо соотношение (1.37), определяющее положительный эффект масштаба.
Таким образом, cпециализация производства вызывает синергетический эффект, когда совместное использование разных факторов производства дает дополнительный выигрыш по сравнению с раздельной эксплуатацией.
С положительной отдачей от масштабов воспроизводственной деятельности неразрывно связано другое ее свойство: несовершенная делимость хозяйственных операций. Характеристика несовершенной делимости производственных процессов отражает невозможность уменьшения объемов использования высокопродуктивных ресурсов на произвольную величину без потери эффективности:
\(f{\left( \mathit{\lambda x} \right) \lt \mathit{\lambda f}}(x),\lambda\in R,\lambda\in(0,1),x\in R_{{+ {}^{l}}.(1.44)}\)
Совершенная делимость процессов производства будет наблюдаться в противоположной ситуации:
\(f{\left( \mathit{\lambda x} \right) \gt \mathit{\lambda f}}(x),\lambda\in R,\lambda\in(0,1),x\in R_{{+ {}^{l}}.(1.45)}\)
Пограничную ситуацию между совершенной и несовершенной делимостью
\(f{\left( \mathit{\lambda x} \right) = \mathit{\lambda f}}(x),\lambda\in R,\lambda\in(0,1),x\in R_{{+ {}^{l}}.(1.46)}\)
будем называть пропорциональной делимостью хозяйственных операций15.
Несовершенная делимость здесь понимается не в физическом, а в экономическом смысле. Блага, с физической точки зрения, могут быть делимыми, но сокращение количеств данных продуктов либо ресурсов приводит к более существенному понижению экономической эффективности их использования (1.44). В противоположность этому при совершенной делимости отдача от хозяйственных благ падает медленнее объемов их потребления (1.45). В пограничной ситуации между совершенной и несовершенной делимостью производственных процессов наблюдается пропорциональное изменение объемов затрачиваемых ресурсов и выпускаемой с их помощью продукции (1.46).
Из определения (1.44) прямо следует, что несовершенная делимость эквивалентна возрастающей отдаче от масштаба производственной функции16 (1.37). Для того, чтобы это показать, положим \(\alpha = \frac{1}{\lambda}\). Тогда условие несовершенной делимости (1.44) можно переписать следующим образом: \(f{\left( \frac{x}{\alpha} \right) \lt \frac{f(x)}{\alpha}}\), или \(\mathit{\alpha f}{\left( \frac{x}{\alpha} \right) \lt f}(x)\). Перейдем теперь от аргумента x к новой переменной \(\chi = \frac{x}{\alpha}\). Учитывая, что \(\lambda = \frac{1}{\alpha}\) и \(x = \mathit{\alpha\chi}\), получаем неравенство \(\mathit{\alpha f}(\chi{) \lt f}(\mathit{\alpha\chi})\), \(\alpha \gt 1\), характеризующее возрастающую отдачу от масштаба производства (1.37).
Итак, свойство несовершенной делимости означает “обратимость” усиливающего воздействия эффекта масштаба, который должен сохранять силу не только при расширении, но и сокращении производственной деятельности17. В противоположность несовершенной делимости хозяйственных процессов, совершенная (1.45) – эквивалентна убывающей (1.38), а пропорциональная (1.46) – постоянной отдаче от их масштаба18 (1.41).
Подытоживая проведенный выше анализ, можно сделать вывод, что проявлениями положительных синергетических эффектов служат такие эквивалентные понятия, как возрастающая отдача от масштаба воспроизводства (1.37) и несовершенная делимость производственных процессов.
Аналогично, эквивалентны противоположные понятия, как проявления отрицательных синергетических эффектов – убывающая отдача от масштабов воспроизводственных процессов (1.38) и совершенная делимость производственных операций.
Пограничную ситуацию нулевых синергетических эффектов отражают такие эквивалентные понятия, как постоянная отдача от масштаба воспроизводства (1.41) и пропорциональная делимость производственных процессов (1.46).
Еще одно эквивалентное понятие наряду с отдачей от масштаба и делимостью производства – поведение средних издержек как функции объема производства – будет проанализировано ниже, в праграфе 4.2.
Вогнутые функции не обладают свойством возрастающей отдачи от масштаба производства. Рассмотрим двухфакторную производственную функцию, обозначив ее через Q(K,L) и взяв в качестве ее аргументов такие факторы производства, как труд и капитал.Если положить в силу предпосылки об отсутствии «рога изобилия» \(K_{2} = L_{2} = 0\) в (1.12), то получается: \(Q\left( {\lambda K_{1},\lambda L_{1}} \right)\geqslant\mathit{\lambda Q}(K_{1},L_{1}),\lambda\in R,\lambda\in{\lbrack{0,1}\rbrack}\). Это означает, что из вогнутости производственной функции следует совершенная или пропорциональная делимость хозяйственных процессов (1.45)-(1.46), а значит, невозрастающая отдача от масштаба: \(Q(\mathit{\alpha K},\mathit{\alpha L})\leqslant\mathit{\alpha Q}(K,L),\alpha\in R,\alpha\geqslant 1\); т.е. увеличение затрат факторов производства в \(\alpha\) раз не может давать увеличение объема производимой продукции больше, чем в \(\alpha\) раз. Положительный эффект масштаба (1.37), при отсутствии “рога изобилия”, исключает вогнутость производственной функции (1.12).
Если положить в (1.13) \(x_{2} = 0\), тогда, в силу отсутствия “рога изобилия”, \(f{\left( x_{2} \right) = 0}\), и становится очевидным, что из строгой вогнутости производственной функции следует совершенная делимость хозяйственных процессов (1.45), а значит, убывающая отдача от масштаба (1.38).
При этом характеристика строгой вогнутости – которая заключается в том, что на соответствующем диапазоне значений аргумента график функции лежит выше любого отрезка, соединяющего некоторую точку на графике (A) с началом координат – принимает форму убывающей отдачи от масштаба (1.38): график функции правее любой своей точки A лежит ниже произвольной прямой, проходящей через начало координат и данную точку (A) на графике функции (рис. 1.4). Ведь, если последнее утверждение не выполняется, и существует такая комбинация ресурсов \((x_{1})\), лежащая на проекции данного луча на множество затрат факторов хозяйственной деятельности дальше от начала координат, по отношению к проекции точки A, при которой график функции лежит ниже луча 0A, то функция не является строго вогнутой:
\(f{(x) = \mathit{\lambda f}}{\left( x_{1} \right) + \left( {1 - \lambda} \right)}f\left( x_{2} \right),\mathit{где}{x = \lambda}{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2},\lambda\in R,\lambda\in(0,1).(1.47)\)
Здесь x – это точка A, \(x_{2}\) – начало координат. А значит, данная функция не характеризуется убывающей отдачей от масштаба воспроизводства.
При удалении от нуля используемой комбинации факторов хозяйственной деятельности \((\mathit{\lambda x},x,\mathit{\alpha x},{0 \lt \lambda \lt 1},{\alpha \gt 1},\alpha,\lambda\in R)\) вдоль луча, исходящего из начала координат и лежащего в множестве доступных для экономического агента комбинаций факторов хозяйственной деятельности (X), тангенс угла наклона соответствующего ему луча, с которым пересекается график строго вогнутой функции (\(\angle B0D\), \(\angle A0D\), \(\angle C0D\) на рис. 1.4), монотонно убывает19:
\({\frac{f(\mathit{\alpha x})}{\left\| \mathit{\alpha x} \right\|} \lt \frac{\mathit{\alpha f}(x)}{\alpha\left\| x \right\|} = \frac{f(x)}{\left\| x \right\|} \lt \frac{f(\mathit{\lambda x})}{\left\| \mathit{\lambda x} \right\|}},{\alpha \gt 1},{0 \lt \lambda \lt 1},\alpha,\lambda\in R.\)
График строго вогнутой функции становится все более и более “пологим” в смысле угловых коэффициентов всевозможных его секущих прямых линий (\(\mathit{tg}\angle A0D\), \(\mathit{tg}\angle\mathit{CAE}\) на рис. 1.4):
\({\frac{f{\left( \mathit{\alpha x} \right) - f}(x)}{\left\| {\mathit{\alpha x} - x} \right\|} \lt \frac{\mathit{\alpha f}{(x) - f}(x)}{\left\| {\mathit{\alpha x} - x} \right\|} = \frac{\left( {\alpha - 1} \right)f(x)}{\left( {\alpha - 1} \right)\left\| x \right\|} = \frac{f(x)}{\left\| x \right\|}},{\alpha \gt 1},\alpha\in R.(1.48)\)
Строго вогнутая функция растет более низким темпом, нежели однородная (первой степени) функция, для которой характерна постоянная отдача от масштаба:
\({\frac{f\left( \mathit{\alpha x} \right)}{f(x)} \lt \alpha},{\alpha \gt 1},\alpha\in R.\)
То же самое можно сказать и о темпах прироста:
\({\frac{f{\left( \mathit{\alpha x} \right) - f}(x)}{f(x)} \lt {\alpha - 1}},{\alpha \gt 1},\alpha\in R.\)
График функции с постоянной отдачей от масштаба представляет собой коническую поверхность или плоскость (рис. 1.3, 1.9, 1.10), образующими которой являются лучи, исходящие из начала координат и, по экономическому смыслу, лежащие в неотрицательном вещественном ортанте \(R_{+ {}^{3}}\).
В ситуации возрастающей отдачи от масштаба хозяйственных операций и их несовершенной делимости наблюдается противоположная картина по отношению к функциям, обладающей отрицательным эффектом масштаба и совершенной делимостью производственных процессов. В отличие от отрицательного эффекта масштаба, характеристика возрастающей отдачи (1.37) состоит в том, что график функции правее любой своей точки (A) проходит над произвольным лучом, исходящим из начала координат и содержащим точку A (рис. 1.6). Если зафиксировать точку \(\left( {\mathit{\alpha f}(x),\mathit{\alpha x}} \right)\) на луче, проведенном из начала координат и проходящем через точку \(\left( {f(x),x} \right)\), то, в силу определения возрастающей отдачи от масштаба (1.37), точка \(\left( {f\left( \mathit{\alpha x} \right),\mathit{\alpha x}} \right)\) будет расположена выше точки \(\left( {\mathit{\alpha f}(x),\mathit{\alpha x}} \right)\).
Возрастание отдачи от масштаба (1.37) может быть представлено альтернативным, эквивалентным образом. Оно подразумевает, что график производственной функции лежит всюду ниже внутренних точек отрезка, исходящего из начала координат и оканчивающегося на самом графике. Это гарантирует строгую выпуклость производственной функции вдоль каждого луча, содержащего данные отрезки.
Данными характеристиками обладают как строго выпуклые технологии, обязательно обладающие при отсутствии “рога изобилия” возрастающей отдачей от масштаба; так и строго квазивогнутые функции, которым так же может быть присущ положительный эффект масштаба производства.
Квазивогнутость функции означает ее выпуклость вдоль любого луча, исходящего из начала координат, а также в гиперплоскости, параллельной координатной – образованной всеми зависимыми переменными (xj, j=1,..,l). Одновременно возможна – это будет случай убывающей предельной производительности факторов – вогнутость в гиперплоскостях, ортогональных какой-то одной, произвольной, j-й оси аргумента (xj), то есть квазивогнутым функциям может быть присуща убывающая отдача от каждого фактора производства в отдельности. Но, несмотря на убывающую отдачу от отдельных факторов хозяйственной деятельности, их синергия в рамках хозяйственной системы как единого целого способна порождать положительную отдачу от масштаба производства в целом. Примером графика квазивогнутой функции с возрастающей отдачей от масштаба в случае двумерного аргумента20 может служить колоколообразная зависимость с седловой точкой в нуле (рис. 1.6).
Поскольку возрастающая отдача от масштаба производства обязательно предполагает, что луч, проведенный из начала координат, при удалении от нуля до точки пересечения лежит выше него, а после точки пересечения – ниже него, постольку наиболее показательными случаями технологий с глобальным положительным эффектом масштаба могут служить выпуклые функции и строго квазивогнутые зависимости как с убывающей, так и с возрастающей предельной производительностью факторов. Другие виды технологий производства могут обладать характеристикой возрастающей отдачи от масштаба лишь локально и поэтому в такой ситуации могут быть представлены как один из данных трех характерных случаев.
Строго квазивогнутая производственная функция должна быть строго вогнута в любом своем горизонтальном сечении. Другими словами, ее линия уровня должна представлять собой строго выпуклой зависимостью между используемыми факторами производства, например, между количеством задействованных рабочих мест и отработанных человеко-часов труда (рис. 1.3-1.6). Строгая выпуклость гиперповерхностей уровня производственной функции отражает экономический эффект дополнительности факторов производства21, который состоит в том, что комбинирование специализированных ресурсов будет давать больший прирост выпуска продукции, по сравнению с использованием специализированных, но не кооперированных факторов производства22. Кооперация производителей, использующих специализированные ресурсы, позволяет добиться выигрыша в эффективности хозяйствования. Именно кооперативные взаимодействия носителей специализированного человеческого потенциала порождают и опосредуют данный эффект дополнительности факторов производства.
У выпуклой функции, изображенной на рис. 1.2, отсутствует свойство квазивогнутости, потому что не является выпуклой область на плоскости XK0XL, для которой объем выпуска превышает уровень, зафиксированный конкретной изоквантой23 либо равен ему \(\left\{ {{x\in X}|{f(x)\geq q,q\in R}} \right\}\). При этом соответствующие случаю кооперации специализированных производств внутренние точки произвольного отрезка, соединяющего любые две точки, например, (f(x1),x1) и (f(x2),x2) (рис. 1.2), на поверхности выпуклой функции, лежат выше графика функции. Поэтому кооперация оказывается невыгодной. В отличие от квазивогнутой, выпуклая функция не обеспечивает возможность кооперации специализированных производителей, поскольку варианты организации хозяйственной деятельности, соответствующие комбинированному использованию специализированных ресурсов – внутренние точки отрезка, соединяющего точки \((f\left( x_{1} \right),x_{1})\) и \((f\left( x_{2} \right),x_{2})\) – лежат выше ее графика и не достижимы в рамках данной технологии.
Так же, как и квазивогнутые, вогнутые функциональные зависимости допускают возможность кооперирования факторов производства. Однако только квазивогнутые функционалы отражают феномен кооперации специализированных факторов как источник прогресса, поступательного интенсивного, а не затухающего (1.38), свойственного случаю вогнутости, развития субъектов производственных отношений и всего народного хозяйства, когда вовлечение в хозяйственный оборот дополнительных ресурсов дает гораздо больший относительный прирост результативности их использования, эффективности производства в целом (1.37).
Технологическое множество (1.8) квазивогнутой производственной функции, обладающей положительным эффектом масштаба, охватывает то же множество аналогичной вогнутой зависимости, для которой свойственна убывающая отдача от масштаба производства. Последнее является подмножеством, лежит внутри первого. Квазивогнутые отображения являются обобщением вогнутых функций не только в математическом, но и в экономическом смысле, поскольку они допускают возможность не только убывания, но и возрастания отдачи от масштаба производства и потребления.
Пример 1.5. Квазивогнутость производственной функции и эффект масштаба24
Покажем, что функция \(y = \left( {x_{K}x_{L}} \right)^{\frac{3}{4}}\) является строго квазивогнутой при \(x_{K} \gt 0\), \(x_{L} \gt 0\), но при этом не является вогнутой.
Выпишем окаймленную матрицу Гессе для данной технологии:
\(\begin{pmatrix} 0 & {\frac{3}{4}x_{K}^{\frac{- 1}{4}}x_{L}^{\frac{3}{4}}} & {\frac{3}{4}x_{K}^{\frac{3}{4}}x_{L}^{\frac{- 1}{4}}} \\ {\frac{3}{4}x_{K}^{\frac{- 1}{4}}x_{L}^{\frac{3}{4}}} & {\frac{- 3}{16}x_{K}^{\frac{- 5}{4}}x_{L}^{\frac{3}{4}}} & {\frac{9}{16}x_{K}^{\frac{- 1}{4}}x_{L}^{\frac{- 1}{4}}} \\ {\frac{3}{4}x_{K}^{\frac{3}{4}}x_{L}^{\frac{- 1}{4}}} & {\frac{9}{16}x_{K}^{\frac{- 1}{4}}x_{L}^{\frac{- 1}{4}}} & {\frac{- 3}{16}x_{K}^{\frac{3}{4}}x_{L}^{\frac{- 5}{4}}} \\ \end{pmatrix}.\)
Ее определитель положителен:
\(\frac{3}{16}x_{K}^{\frac{- 5}{4}}x_{L}^{\frac{3}{4}}{\left( {\frac{3}{4}x_{K}^{\frac{3}{4}}x_{L}^{\frac{- 1}{4}}} \right)^{2} + 2}\frac{9}{16}x_{K}^{\frac{- 1}{4}}x_{L}^{\frac{- 1}{4}}\frac{3}{4}x_{K}^{\frac{- 1}{4}}x_{L}^{\frac{3}{4}}\frac{3}{4}x_{K}^{\frac{3}{4}}{x_{L}^{\frac{- 1}{4}} + \frac{3}{16}}x_{K}^{\frac{3}{4}}x_{L}^{\frac{- 5}{4}}{\left( {\frac{3}{4}x_{K}^{\frac{- 1}{4}}x_{L}^{\frac{3}{4}}} \right)^{2} \gt 0.}\)
Следовательно, функция \(y = \left( {x_{K}x_{L}} \right)^{\frac{3}{4}}\) является строго квазивогнутой при \(x_{K} \gt 0\), \(x_{L} \gt 0\).
Доказать невогнутость функции \(y = \left( {x_{K}x_{L}} \right)^{\frac{3}{4}}\) можно, рассчитав определитель ее матрицы Гессе
\(\begin{pmatrix} {\frac{- 3}{16}x_{K}^{\frac{- 5}{4}}x_{L}^{\frac{3}{4}}} & {\frac{9}{16}x_{K}^{\frac{- 1}{4}}x_{L}^{\frac{- 1}{4}}} \\ {\frac{9}{16}x_{K}^{\frac{- 1}{4}}x_{L}^{\frac{- 1}{4}}} & {\frac{- 3}{16}x_{K}^{\frac{3}{4}}x_{L}^{\frac{- 5}{4}}} \\ \end{pmatrix}\):
\(\left( {\frac{- 3}{16}x_{K}^{\frac{- 5}{4}}x_{L}^{\frac{3}{4}}} \right){{\left( {\frac{- 3}{16}x_{K}^{\frac{3}{4}}x_{L}^{\frac{- 5}{4}}} \right) - \left( {\frac{9}{16}x_{K}^{\frac{- 1}{4}}x_{L}^{\frac{- 1}{4}}} \right)^{2}} = \frac{- 9}{32}}{\sqrt{x_{K}x_{L}} \lt 0},\)
знак которого свидетельствует о том, что данная матрица не является отрицательно полуопределенной.
Тот факт, что функция \(y = \left( {x_{K}x_{L}} \right)^{\frac{3}{4}}\) – не вогнутая, можно доказать и по-другому, рассуждая «от противного». Предположим, обратное – что данная функция является вогнутой. Тогда, поскольку для нее выполняется условие отсутствия «рога изобилия» (\({y = f}{\left( {x_{K},x_{L}} \right) = 0}\) при \(x = \left( {x_{K},x_{L}} \right) = 0\)), постольку такая технология должна характеризоваться невозрастающей отдачей от масштаба. Однако в нашем случае функция обладает свойством возрастающей отдачи от масштаба:
\(f{\left( {\alpha x_{K},\alpha x_{L}} \right) = \left( {\alpha x_{K}\alpha x_{L}} \right)^{\frac{3}{4}} = \alpha^{\frac{3}{2}}}{\left( {x_{K}x_{L}} \right)^{\frac{3}{4}} \gt \alpha}{\left( {x_{K}x_{L}} \right)^{\frac{3}{4}} = f}\left( {x_{K},x_{L}} \right),\alpha\in R,{\alpha \gt 1}.\)
Следовательно, предположение – не верное, и функция \(y = \left( {x_{K}x_{L}} \right)^{\frac{3}{4}}\) не является вогнутой.
Черемных Ю.Н. Математические модели развития народного хозяйства. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.↩︎
Для однородных дифференцируемых функций справедлива формула Л. Эйлера:
\(\frac{\partial f\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{\partial x_{1}}{x_{1} + \frac{\partial f\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{\partial x_{2}}}{x_{2} = \gamma}f\left( {x_{1},x_{2}} \right).(i)\)
Равенство (i) легко установить дифференцированием по \(\lambda\) левой и правой частей определения однородной степени \(\gamma\) функции (1.42), где роль аргумента играет переменная \(\chi = \left( {\chi_{1},\chi_{2}} \right)\):
\({\frac{\mathit{df}\left( {\lambda\chi_{1},\lambda\chi_{2}} \right)}{\mathit{d\lambda}} = \frac{\partial f\left( {\lambda\chi_{1},\lambda\chi_{2}} \right)}{\partial\lambda\chi_{1}}}{\frac{\mathit{d\lambda}\chi_{1}}{\mathit{d\lambda}} + \frac{\partial f\left( {\lambda\chi_{1},\lambda\chi_{2}} \right)}{\partial\lambda\chi_{2}}}{\frac{\mathit{d\lambda}\chi_{2}}{\mathit{d\lambda}} = \frac{\partial f\left( {\lambda\chi_{1},\lambda\chi_{2}} \right)}{\partial\lambda\chi_{1}}}{\chi_{1} + \frac{\partial f\left( {\lambda\chi_{1},\lambda\chi_{2}} \right)}{\partial\lambda\chi_{2}}}{\chi_{2} = \gamma}\lambda^{\gamma - 1}f\left( {\chi_{1},\chi_{2}} \right),\)
последующим домножением полученного равенства на \(\lambda\), применением к его правой части формулы (1.42) и переходом к новой независимой переменной \(x = \left( {x_{1},x_{2}} \right) = \left( {\lambda\chi_{1},\lambda\chi_{2}} \right) = \mathit{\lambda\chi}\).↩︎
А. Маршалл хорошо понимал, что факторам убывающей отдачи противодействует мощная тенденция, сформулированная им в виде “закона возрастающей отдачи”, который гласит: “Увеличение объема затрат труда и капитала обычно ведет к усовершенствованию организации производства, что повышает эффективность использования труда и капитала.” Важен комментарий, которым классик сопровождает формулировку этого закона: “Вот почему в тех отраслях, которые заняты не в производстве сырого продукта, увеличение объема затрат труда и капитала обычно дает пропорционально более высокую отдачу; кроме того, указанное усовершенствование организации производства ведет к ослаблению или даже преодолению всякого возрастающего сопротивления, которое природа может оказать увеличению количества добываемого сырья [Маршалл А. Принципы политической экономии. – М.: Прогресс, 1983. Т.1, с.404-405].”↩︎
Хэй Д., Моррис Д. Теория организации промышленности. В 2-х т. – СПб.: Экономическая школа, 1999; Haldi J., Whitcomb D. Economies of scale in industrial plants // Journal of political economy. 1967. Vol.75. Part 1. №4.↩︎
Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. – М.: Прогресс, 1965.↩︎
Патинкин Д. Деньги, процент и цены. – М.: Экономика, 2004.↩︎
Хэй Д., Моррис Д. Теория организации промышленности. – СПб.: Экономическая школа, 1999. Т.2.↩︎
Трансакции, как различные типы воспроизводственного взаимодействия между людьми, не сводимы лишь к операциям обмена, к непосредственному отчуждению и присвоению прав собственности. В частности, Дж.Р. Коммонс выделяет три типа трансакций: сделка, посредством которой богатство не создается, а только меняет владельца; управление, с помощью которого осуществляется производство и создается богатство; рационирование, то есть размещение прав среди экономических агентов, например, посредством решений суда [Commons J.R. Institutional economics // American economic review. 1931. Vol.21. №4]. В реальной экономической действительности трансакции всегда выступают в смешанном виде, например, трансакции управления должны быть дополнены трансакциями сделки.
В свете классификации видов трансакций по Дж.Р. Коммонсу, можно выделить рыночные трансакционные издержки по спецификации, отчуждению и присвоению, а также защите прав собственности, возникающие во взаимосвязи между экономическими агентами и внешним для них рынком, с одной стороны, и административно-командные трансакционные издержки, возникающие внутри иерархической структуры управления и не опосредованые товарно-денежными отношениями – с другой.
В традиционном понимании к трансакционным издержкам относятся: информационные затраты – по поиску, сбору, обработке исходных данных, в том числе, по измерению – квантификации информации; получению и анализу выходных данных; хранению, накоплению, передаче, распределению и обмену информацией; кроме того, юридические издержки – по спецификации, отчуждению и присвоению, а также защите прав собственности – возникающие в процессе взаимодействия экономических агентов с внешним для них рынком; и, наконец, административные затраты по управлению и контролю внутри организаций, в частности, по “парированию” альтернативного, или “оппортунистического”, поведения. В перечисленных видах трансакционных издержек можно выделить координационные, сопряженные с детерминирующими характеристиками трансакций, осуществляемых как при помощи рыночного механизма, так и в рамках иерархических структур управления; и мотивационные, связанные с неполнотой и асимметрией информации, а также недостоверностью обязательств – составляющие [Милгром П., Робертс Дж. Экономика, организация и менеджмент. – СПб.: Экономическая школа, 1999. Т.1].
Хотя затраты и по координации, и по мотивации могут возникать внутри структурных единиц либо в рамках всей совокупности производственных отношений, с точки зрения и отдельных их субъектов, и механизмов воспроизводства народного хозяйства, функционирования социально-экономической системы в целом, трансакционные издержки, в собственном смысле, как особая категория, по сути являются внешними эффектами, не учитываемыми в стоимостных показателях, опосредующих товарно-денежные отношения. Ведь, если затраты, связанные с социально-экономическими отношениями, заложены в механизме ценообразования, то они перестают быть трансакционными издержками как таковыми, а становятся просто одним из видов издержек производства или обращения [Чемберлин Э. Теория монополистической конкуренции. – М.: Экономика, 1996]. Аналогом данного рода внешним по отношению к хозяйствующим субъектам явлениям можно считать трение, возникающее между физическими объектами [Корнаи Я. Дефицит. – М.: Наука, 1990; Коуз Р. Фирма, рынок и право. – М.: Дело, 1993].↩︎
Вехи экономической мысли: в 5-ти т. – СПб.: Экономическая школа, 2000-2003; Маршалл А. Принципы экономической науки: в 3-х т. – М.: Прогресс-Универс, 1993; Стиглиц Дж.Ю. Экономика государственного сектора. – М.: Изд-во Моск. ун-та, Инфра-М, 1997.↩︎
Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. – М.: Мир, 1973. С.40.↩︎
Фон Мизес Л. Человеческая деятельность. – М.: Экономика, 2000. С.135.↩︎
Дюркгейм Э. О разделении общественного труда. Метод социологии. – М.: Наука, 1991.↩︎
Беккер Г.С. Человеческое поведение. – М.: Изд-во ГУ ВШЭ, 2003.↩︎
Хэй Д., Моррис Д. Теория организации промышленности. – СПб.: Экономическая школа, 1999. Т.1.↩︎
Если функция является однородной степени γ (iv), то при \(0 \lt \alpha \lt 1\) и \(\gamma \gt 1\) для нее характерна несовершенная делимость производства (1.44); \(\gamma = 1\) при \(0 \lt \alpha \lt 1\) дает пропорциональную делимость (1.46); а в случае \(\gamma \lt 1\), \(0 \lt \alpha \lt 1\) наблюдается совершенная делимость хозяйственных операций (1.45).↩︎
Одним из первых на связь между несовершенной делимостью и увеличением эффективности с ростом масштаба производства обратил внимание Ф.Х. Найт. Справедливо отмечая, что “существуют минимальные пределы делимости важнейших элементов издержек производства” [Knight F.H. The ethics of competition and other essays. – New York; London: Harper \& Brothers, 1935, с.209-210], автор высказал мнение, что если бы количества всех элементов в комбинации факторов производства были безгранично изменчивыми, а продукт – непрерывно делимым, то произвольная комбинация, независимо от размера, была бы эквивалентна по результативности любой другой [Найт Ф.Х. Риск, неопределенность и прибыль. – М.: Дело, 2003]. Связь между несовершенной делимостью производственных процессов и возрастающей отдачей от их масштабов подробно обсуждается в дискуссии вокруг статьи Э.Х. Чемберлина “Пропорциональность, делимость и экономия от масштаба”, в которой приняли участие А.Н. Маклеод и Ф.Х. Хан [Вехи экономической мысли. – СПб.: Экономическая школа, 2000-2003, т.2].↩︎
Феномен несовершенной делимости факторов производства, а значит, и возрастающей отдачи от его масштаба, порождает целое теоретическое направление, занимающееся анализом экономических институтов – совокупности сложившихся норм, правил поведения и взаимодействия экономических агентов, лежащих в основе устоявшихся типов хозяйственной организации – фирм, рынков, гибридных, сетевых образований, которые формируют своеобразную дискретно-атомарную структуру современной экономики. Здесь можно привести справедливое замечание Э.Х. Чемберлина: “Из отсутствия экономии и потерь прямо вытекает (при допущении чистой конкуренции) экономика без фирм. Причина в том, что когда эффективность одинакова при любом объеме производства, размеры фирмы, как и их количество, неопределимы, так что сама идея фирмы теряет какое-либо значение [Вехи экономической мысли. – СПб.: Экономическая школа, 2000-2003, т.2, с.243].”↩︎
Традиционно под несовершенной и совершенной делимостью производства понимаются аналогичные (1.44) и (1.45) нестрогие неравенства – соответственно \(f\left( \mathit{\lambda x} \right)\leqslant\mathit{\lambda f}(x)\) и \(f\left( \mathit{\lambda x} \right)\geqslant\mathit{\lambda f}(x)\), где \(\lambda\in R\), \(\lambda\in(0,1)\), \(x\in R_{+ {}^{l}}\). Очевидно, что они будут эквивалентны понятиям неубывающей (1.39) и невозрастающей (1.40) отдачи от масштабов производства.↩︎
В метрическом пространстве, в частности, действительных чисел норма вектора, заданного координатами точки x – это его длина, то есть расстояние от данной точки до начала координат: \({\left\| x \right\| = \rho}(x,0)\).↩︎
Вехи экономической мысли. – СПб.: Экономическая школа, 2000-2003, т.4.↩︎
Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. – М.: Мир, 1972.↩︎
Как справедливо пишет Ю.М. Лотман, “целостная структура ориентирована на усредненность и выживание” [Лотман Ю.М. Семиосфера. – СПб.: Искусство-СПБ, 2000, с.144].↩︎
Эта область на рис. 1.2 заштрихована. Она невыпукла, поскольку отрезок, соединяющий, например, точки x1 и x2 этой области, не принадлежит ей целиком.↩︎
Антипина О.Н., Вереникин А.О. Микроэкономика продвинутого уровня: учебное пособие. – М.: Экономический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2019. М.: Проспект, 2020.↩︎