1.4. Характеристики функций полезности и производственных функций в статике

Как и ранее, будет обозначать через \(x\) набор из \(l\) продуктов или ресурсов, приобретаемый и используемый некоторым потребителем или производителем: \({x = \left\{ x_{h} \right\}}_{h = 1}^{l}\). Производственная функция показывает максимально доступные объемы выпуска продукции предприятием при различных комбинациях используемых факторов производства. Производственная функция действует и принимает значения в области неотрицательных действительных чисел \(\left(Q: {R}_{+}^{l} → {R}_{+}\right)\).

Традиционно предполагается, что производственная функция \(Q:R_{{+ {}^{l}}\rightarrow R_{+}}\) обладает рядом фундаментальных характеристик. Во-первых, стандартной предпосылкой является определенная гладкость производственной функции, как минимум ее принадлежность классу непрерывных функций \(\left( {Q\in C^{0}} \right)\).

От производственной функции может требоваться и бóльшая степень гладкости, зачастую дважды (непрерывная) дифференцируемость \(\left( {Q\in C^{2}} \right)\). При этом первые частные производные технологии по объему используемых средств производства и рабочей силы называются соответственно предельными продуктами труда \(\left( {\mathit{MP}_{L} = \frac{\partial f(K,L)}{\partial L}} \right)\) и капитала \(\left( {\mathit{MP}_{K} = \frac{\partial f(K,L)}{\partial K}} \right)\).

Следующим важным предположением относительно технологии является эффективность производства: производственная функция является «строго возрастающей» на X. Здесь имеется в виду, что если для некоторых производственных наборов \(\widehat{x},\overset{\sim}{x}\in X\subset R_{+ {}^{l}}\) выполнено неравенство \({\widehat{x}}_{h}\leqslant{\overset{\sim}{x}}_{h}\), \({h = 1},\ldots,l\), причем для некоторого индекса \(k\in\{ 1,\ldots,l\}\) неравенство является строгим \(\left( {{\widehat{x}}_{k} \lt {\overset{\sim}{x}}_{k}} \right)\), то для соответствующих им объемов производства справедливо такое же неравенство \(Q{\left( \widehat{x} \right) \lt Q}\left( \overset{\sim}{x} \right)\). Когда технология производства обладает достаточной степенью гладкости, осуществление экономического анализа в области эффективного производства предполагает, что предельные продукты факторов производства положительны: \({\mathit{MP}_{K} \gt 0},{\mathit{MP}_{L} \gt 0}\).

Третьей фундаментальной предпосылкой служит так называемое отсутствие «рога изобилия»: если производитель не использует ресурсов \(({x_{h} = 0},{h = 1},\ldots,l)\), то он не выпускает никакой продукции: \(Q(x{) = 0}\).

Введем несколько понятий из выпуклого анализа, используемой при аналитической и графической характеристике хозяйственной деятельности. В пространстве \(R\times X\) множество

\(\mathit{gr}\equiv\left\{ {{\left( {\eta,x} \right)\in R\times X}|{{\eta = f}(x)}} \right\}(1.6)\)

называется графиком функции \(f:X\rightarrow R\).

Соответственно, множество

\(\mathit{epigr}\equiv\left\{ {{\left( {\eta,x} \right)\in R\times X}|{\eta\geq f(x)}} \right\}(1.7)\)

называется надграфиком,
а множество

\(\mathit{opigr}\equiv\left\{ {{\left( {q,x} \right)\in R\times X}|{f(x)\geq q}} \right\}(1.8)\)

– подграфиком, или технологическим множеством, данной функции. Технологическое множество – это совокупность допустимых технологических способов организации производства данной продукции.

Здесь X – подмножество пространства действительных чисел произвольного конечного числа измерений. Для целей нашего исследования требуется рассматривать l-мерное пространство вещественных чисел, причем достаточно ограничиться анализом его неотрицательного ортанта \(R_{+ {}^{l}}\).

Из приведенных выше определений видно, что график функции принадлежит как ее надграфику, так и подграфику.

Функция \(f:X\rightarrow R\) называется выпуклой, если ее надграфик (1.7) – это выпуклое множество. При этом множество X называется выпуклым, если для произвольных векторов \(x_{1}\), \(x_{2}\) из X любой вектор x, лежащий на соединяющем их отрезке, так же принадлежит этому множеству: из того, что \(x_{1},x_{2}\in X\), следует, что \(x\in X\), где \({x = \lambda}{x_{1} + (}{1 - \lambda})x_{2}\), \(\lambda\in R\), \(\lambda\in{\lbrack 0,1\rbrack}\). Таким образом, функция \(f:X\rightarrow R\) является выпуклой, если при произвольном выборе двух точек \((\eta_{1},x_{1}),(\eta_{2},x_{2})\in R\times X\) таких, что \(\eta_{1}\geq f(x_{1})\), \(\eta_{2}\geq f(x_{2})\), для любой точки соединяющего их отрезка \({\left( {\eta,x} \right) = (}\lambda{\eta_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}\eta_{2},\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2})\), \(\lambda\in R\), \(\lambda\in{\lbrack 0,1\rbrack}\), будет выполнено неравенство \(\eta\geq f(x)\), т.е.

\(f\left( {\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}} \right)\leq\lambda{\eta_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}\eta_{2}.(1.9)\)

Покажем, что необходимым и достаточным условием выпуклости функции \(f:X\rightarrow R\) является выполнение неравенства Йенсена:

\(f\left( {\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}} \right)\leq\mathit{\lambda f}(x_{1}{) + \left( {1 - \lambda} \right)}f(x_{2});x_{1},x_{2}\in X,\lambda\in R,\lambda\in\lbrack 0,1\rbrack.(1.10)\)

Возьмем две точки \((\eta_{1},x_{1}),(\eta_{2},x_{2})\) на графике функции: \({\eta_{1} = f}(x_{1})\), \({\eta_{2} = f}(x_{2})\). Поскольку надграфик (1.7) – это выпуклое множество, то есть выполняется соотношение (1.9), где \(\lambda\in R\), \(\lambda\in{\lbrack 0,1\rbrack}\), для них верно неравенство Йенсена (1.10).

Выберем теперь две точки \((\eta_{1},x_{1}),(\eta_{2},x_{2})\), принадлежащие надграфику функции: \(\eta_{1}\geq f(x_{1})\), \(\eta_{2}\geq f(x_{2})\). Возьмем \(\lambda\in R,0\leq\lambda\leq 1\), то есть \({1 - \lambda}\geq 0\). Тогда \(\mathit{\lambda f}(x_{1})\leq\lambda\eta_{1}\), \(\left( {1 - \lambda} \right)f\left( x_{2} \right)\leq({1 - \lambda})\eta_{2}\), а значит, \(\mathit{\lambda f}{\left( x_{1} \right) + \left( {1 - \lambda} \right)}f\left( x_{2} \right)\leq\lambda{\eta_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}\eta_{2}\). Следовательно, в силу неравенства Йенсена (1.10), имеем \(f\left( {\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}} \right)\leq\lambda{\eta_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}\eta_{2}\), то есть точка \((\lambda{\eta_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}\eta_{2},\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2})\), \(\lambda\in R\), \(\lambda\in{\lbrack 0,1\rbrack}\), принадлежит надграфику функции, который, тем самым, представляет собой выпуклое множество.

Функция \(f:X\rightarrow R\) называется строго выпуклой (рис. 1.2), если она является выпуклой и при этом для любых двух точек \((\eta_{1},x_{1}),(\eta_{2},x_{2})\), принадлежащих графику функции (1.6), никакая внутренняя точка соединяющего их отрезка \({\left( {\eta,x} \right) = (}\lambda{\eta_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}\eta_{2},\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2})\), \(\lambda\in R\), \(\lambda\in(0,1)\), уже не принадлежит графику функции (7.3.1).

Поскольку строго выпуклая функция обязательно является выпуклой, для нее выполняется неравенство Йенсена (1.10). При этом в силу того, что никакая внутренняя точка \((\eta,x)\) отрезка, соединяющего произвольные две точки \((\eta_{1},x_{1}),(\eta_{2},x_{2})\), лежащие на графике функции (\({\eta_{1} = f}(x_{1})\), \({\eta_{2} = f}(x_{2})\)), не принадлежит графику, неравенство (1.9) при \(\lambda\in(0,1)\) не может выполняться как равенство, а значит, для строго выпуклой функции верно строгое неравенство Йенсена:

\(f{\left( {\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}} \right) \lt \mathit{\lambda f}}(x_{1}{) + \left( {1 - \lambda} \right)}f(x_{2});x_{1},x_{2}\in X,\lambda\in R,\lambda\in(0,1).(1.11)\)

Рисунок 1.2. Строго выпуклая производственная функция

Функция \(f:X\rightarrow R\) называется вогнутой (рис. 1.3), если противоположная ей по знаку функция \({( - f}:X\rightarrow R)\) является выпуклой. Вогнутость функции \(f:X\rightarrow R\) имеет место в случае выпуклости надграфика (1.7) обратной к ней по знаку зависимости \({( - f}:X\rightarrow R)\), то есть выпуклыми должны быть множества \(\left\{ {{(\eta,x)\in R\times X}|{{- f}{(x) \lt \eta}}} \right\}\), или \(\left\{ {{(\eta,x)\in R\times X}|{{{- \eta} \lt f}(x)}} \right\}\). Поскольку \(\eta\) – произвольное действительное число, знак минус перед ним в левой части последнего неравенства не играет существенной роли. Переобозначив \(q = {- \eta}\), можно сформулировать условие вогнутости функции как выпуклость ее технологического множества (1.8).

Вогнутая функция \(f:X\rightarrow R\) характеризуется соотношением, противоположным неравенству Йенсена (1.10):

\(f\left( {\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}} \right)\geq\mathit{\lambda f}(x_{1}{) + \left( {1 - \lambda} \right)}f(x_{2});x_{1},x_{2}\in X,\lambda\in R,\lambda\in\lbrack 0,1\rbrack.(1.12)\)

Рисунок 1.3. Вогнутая производственная функция

На рис. 1.3 также представлена проекция линии уровня производственной функции на плоскость X_K0X_L – ее изокванта, т.е. геометрическое место различных комбинаций ресурсов, использование которых обеспечивает одинаковый объем производства \(\left\{ {{x\in X}|{f{(x) = q},q\in R}} \right\}\).

Функция \(f:X\rightarrow R\) называется строго вогнутой, если противоположная ей по знаку функция \({( - f}:X\rightarrow R)\) является строго выпуклой. Для функциональной зависимости \(f:X\rightarrow R\), обладающей свойством строгой вогнутости, будет справедливо соотношение, противоположное строгому неравенству Йенсена (1.11):

\(f{\left( {\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}} \right) \gt \mathit{\lambda f}}(x_{1}{) + \left( {1 - \lambda} \right)}f(x_{2});x_{1},x_{2}\in X,\lambda\in R,\lambda\in(0,1).(1.13)\)

График строго вогнутой производственной функции (либо функции полезности) имеет вид «горки» (рис. 1.4).

Рисунок 1.4. Строго вогнутая производственная функция

На рис. 1.5 показан случай нарушения вогнутости: отрезки, соединяющие соответственно точки A₁ и B₁, A₂ и B₂, не принадлежат подграфику функции.

Рисунок 1.5. Отсутствие вогнутости производственной функции

В случае если производственная функция \(f:R_{{+ {}^{2}}\rightarrow R_{+}}\) дважды непрерывно дифференцируема \(\), необходимое и достаточное условие ее строгой вогнутости будет заключаться в том, что при любых \(\xi_{K}\), \(\xi_{L}\) и допустимых \(x_{K}\), \(x_{L}\) соответствующая квадратичная форма отрицательна:

\(\frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{K}^{2}}{\xi_{K}^{2} + 2}\frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}\partial x_{K}}\xi_{L}{\xi_{K} + \frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}^{2}}}{\xi_{L}^{2} \lt 0.}(1.14)\)

Здесь использована принадлежность производственной функции классу гладкости C², то есть непрерывность ее вторых частных производных, значения которых, в силу теоремы Юнга, не зависят от порядка дифференцирования¹.

По критерию Сильвестра, квадратичная форма является отрицательно определенной (1.14) тогда и только тогда, когда

\({\frac{\partial^{2}f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{K}^{2}} \lt 0},\frac{\partial^{2}f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{K}^{2}}\bullet{\frac{\partial^{2}f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{L}^{2}} \gt \left( \frac{\partial^{2}f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{L}\partial x_{K}} \right)^{2}};(1.15)\)

то есть если при возрастании порядка главный минор матрицы вторых частных производных

\(\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{K}^{2}} & \frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{K}\partial x_{L}} \\ \frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}\partial x_{K}} & \frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}^{2}} \\ \end{pmatrix}\)

меняет значение с отрицательного на положительное.

Функция \(f:X\rightarrow R\), где \(X\) – это выпуклое множество, называется квазивыпуклой, если ее нижние лебеговские, или просто лебеговские, множества \(\left\{ {{x\in X}|{f(x)\leq\eta,\eta\in R}} \right\}\) являются выпуклыми.

Аналогично соотношению между выпуклыми и вогнутыми зависимостями, функция \(f:X\rightarrow R\), где \(X\) – это выпуклое множество, называется квазивогнутой, если выпуклыми являются ее верхние лебеговские множества² \(\left\{ {{x\in X}|{f(x)\geq q,q\in R}} \right\}.\)

Другими словами, функция \(f:X\rightarrow R\), где в нашем случае \(X\) – выпуклое подмножество \(R_{+ {}^{l}}\), является квазивогнутой, если для любых двух точек \(x_{1},x_{2}\in X\) таких, что \(f(x_{1})\geq q\), \(f(x_{2})\geq q\) при произвольном \(q\in R\) для любой точки соединяющего их отрезка \({x = \lambda}{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}\) выполняется неравенство \(f(x)\geq q\), то есть

\(f\left( {\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}} \right)\geq q,\lambda\in R,\lambda\in\lbrack 0,1\rbrack.(1.16)\)

Пусть для определенности \(f{\left( x_{1} \right) = q_{1}}\), \(f{\left( x_{2} \right) = q_{2}}\), причем \(q_{2}\geq q_{1}\). Значит, \(f(x_{1})\geq q_{1}\) и \(f(x_{2})\geq q_{1}\). По определению квазивогнутости \(f(x)\), должно выполняться неравенство \(f\left( {\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}} \right)\geq{q_{1} = \mathit{\min}}\left\{ {f\left( x_{1} \right),f\left( x_{2} \right)} \right\}.\) Следовательно, определение квазивогнутой функции можно дать еще и следующим образом. Функция \(f:X\rightarrow R\), где \(X\) – это выпуклое множество, является квазивогнутой, если для любых двух точек \(x_{1},x_{2}\in X\) будет справедливо неравенство

\(f\left( {\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}} \right)\geq\mathit{\min}\left\{ {f\left( x_{1} \right),f\left( x_{2} \right)} \right\},\lambda\in R,\lambda\in\lbrack 0,1\rbrack.(1.17)\)

Функция \(f:X\rightarrow R\), где \(X\) – это выпуклое множество, называется строго квазивогнутой, если она является квазивогнутой и для любых двух различных \((x_{1}\neq x_{2})\) точек \((q,x_{1})\) и \((q,x_{2})\), принадлежащих графику функции \((f{\left( x_{1} \right) = f}{\left( x_{2} \right) = q})\), никакая внутренняя точка соединяющего их отрезка \({\left( {q,x} \right) = (}q,\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2})\), \(\lambda\in R\), \(\lambda\in(0,1)\), не принадлежит графику функции (1.6). Другими словами, функция \(f:X\rightarrow R\), где \(X\subset R^{l}\) является выпуклым множеством, называется строго квазивогнутой, если множество \(\left\{ {{x\in X}|{f(x)\geqslant t,t\in R}} \right\}\) является выпуклым и его граница – кривая безразличия либо изокванта³ \(\left\{ {{x\in X}|{f{(x) = q},q\in R}} \right\}\) – не содержит прямых сегментов.

Покажем, что для строго квазивогнутой функции неравенства (1.16)-(1.17), где \(\lambda\in(0,1)\), обязательно будут строгими. Пусть, \(f{\left( x_{1} \right) = f}{\left( x_{2} \right) = q}\). Предположим, что утверждение неверно – соответствующие неравенства (1.16)-(1.17) выполняются в виде равенств: \(f{\left( {\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}} \right) = q = \mathit{\min}}\left\{ {f\left( x_{1} \right),f\left( x_{2} \right)} \right\}.\)

Это означает, что точка \((q,x)\), где \({x = \lambda}{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2},\lambda\in R\), \(\lambda\in(0,1)\) – внутренняя точка отрезка, соединяющего точки \(x_{1}\) и \(x_{2}\), принадлежит графику функции (1.6), чего не может быть по определению строгой квазивогнутости.

Таким образом, функция \(f:X\rightarrow R\), где в рамках нашего анализа X – выпуклое подмножество \(R_{+ {}^{l}}\), является строго квазивогнутой, если для любых двух различных точек \(x_{1}\neq x_{2}\in X\) таких, что \(f\left( x_{1} \right)\geq q\), \(f\left( x_{2} \right)\geq q\) при произвольном \(q\in R\) для любой внутренней точки соединяющего их отрезка \({x = \lambda}{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}\) выполняется неравенство \(f{(x) \gt q}\), то есть

\(f{\left( {\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}} \right) \gt q},\lambda\in R,\lambda\in(0,1).(1.18)\)

Другими словами, функция \(f:X\rightarrow R\), где X – это выпуклое множество, является строго квазивогнутой, если для любых двух различных точек \(x_{1}\neq x_{2}\in X\) будет справедливо неравенство:

\(f{\left( {\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}} \right) \gt \mathit{\min}}\left\{ {f\left( x_{1} \right),f\left( x_{2} \right)} \right\},\lambda\in R,\lambda\in(0,1).\)

Вогнутые функции обязательно одновременно обладают характеристикой квазивогнутости. Чтобы показать это, возьмем \(x_{1},x_{2}\in R_{+ {}^{l}}\) и \(q\in R\), такие, что \(f\left( x_{1} \right)\geqslant q\), \(f\left( x_{2} \right)\geqslant q\). Тогда из неравенства, противоположного неравенству Йенсена (1.10), для вогнутой функции имеем: \(f{\left( {\lambda{x_{1} + \left( {1 - \lambda} \right)}x_{2}} \right) \gt {\mathit{\lambda q} + \left( {1 - \lambda} \right)}}{q = q}\), \(\lambda\in R\), \(\lambda\in{\lbrack 0,1\rbrack}\). Следовательно, \(f:X\rightarrow R\) является квазивогнутой. Очевидно, что аналогичные рассуждения справедливы для случая строгой вогнутости и строгой квазивогнутости, когда соответствующие неравенства (1.13) и (1.18) являются строгими, а \(\lambda\in(0,1)\).

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: квазивогнутая функция не обязана быть вогнутой. Пример графика квазивогнутой функции, которая при этом не является вогнутой, приведен на рис. 1.6.

Рисунок 1.6. Строго квазивогнутая, но невогнутая производственная функция

Итак, квазивогнутой является функция, у которой подграфик (технологическое множество) является выпуклым в любом своем горизонтальном сечении. Другими словами, квазивогнутой является функция, вогнутая в любом своем горизонтальном сечении. Следовательно, Функция является квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее второй дифференциал неположителен вдоль произвольной линии уровня:

\(\left\{ \begin{matrix} {d^{2}{y = \frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{K}^{2}}}d{x_{K}^{2} + 2}\frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}\partial x_{K}}\mathit{dx}_{L}d{x_{K} + \frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}^{2}}}dx_{L}^{2}\leq 0;} \\ {{\mathit{dy} = \frac{\partial f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{K}}}d{x_{K} + \frac{\partial f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}}}{\mathit{dx}_{L} = 0}\Leftrightarrow{\mathit{dx}_{L} = \frac{- \mathit{MP}_{K}}{\mathit{MP}_{L}}}dx_{K}.} \\ \end{matrix} \right.\)

Из данной системы вытекает следующее неравенство:

\(\left( \frac{\left( \frac{\partial f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{L}} \right)^{2}{\frac{\partial^{2}f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{K}^{2}} - 2}\frac{\partial f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{K}}\frac{\partial f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{L}}{\frac{\partial^{2}f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{K}\partial x_{L}} + \left( \frac{\partial f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{K}} \right)^{2}}\frac{\partial^{2}f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{L}^{2}}}{\left( \frac{\partial f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{L}} \right)^{2}} \right)dx_{K}^{2}\leq 0.\)

Выражение в числителе дроби в левой части неравенства выше представляет собой определитель окаймленной матрицы Гессе со знаком «–»:

\(\begin{pmatrix} 0 & \frac{\partial f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{K}} & \frac{\partial f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}} \\ \frac{\partial f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{K}} & \frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{K}^{2}} & \frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{K}\partial x_{L}} \\ \frac{\partial f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}} & \frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}\partial x_{K}} & \frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}^{2}} \\ \end{pmatrix}(1.19)\)

Таким образом, функция является квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее окаймленный гессиан неотрицателен.

Строго квазивогнутой является функция, у которой подграфик (технологическое множество) является выпуклым в любом своем горизонтальном сечении и у которой на изоквантах (кривых безразличия) нет прямых участков. Другими словами, функция является строго квазивогнутой, если она строго вогнута в любом своем горизонтальном сечении. Следовательно, функция является строго квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее второй дифференциал отрицателен вдоль произвольной линии уровня:

\(\left\{ \begin{matrix} {d^{2}{y = \frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{K}^{2}}}d{x_{K}^{2} + 2}\frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}\partial x_{K}}\mathit{dx}_{L}d{x_{K} + \frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}^{2}}}d{x_{L}^{2} \lt 0};} \\ {{\mathit{dy} = \frac{\partial f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{K}}}d{x_{K} + \frac{\partial f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}}}{\mathit{dx}_{L} = 0}\Leftrightarrow{\mathit{dx}_{L} = \frac{- \mathit{MP}_{K}}{\mathit{MP}_{L}}}dx_{K}.} \\ \end{matrix} \right.\)

Из данной системы вытекает следующее неравенство:

\(\left( \frac{\left( \frac{\partial f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{L}} \right)^{2}{\frac{\partial^{2}f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{K}^{2}} - 2}\frac{\partial f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{K}}\frac{\partial f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{L}}{\frac{\partial^{2}f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{K}\partial x_{L}} + \left( \frac{\partial f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{K}} \right)^{2}}\frac{\partial^{2}f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{L}^{2}}}{\left( \frac{\partial f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{L}} \right)^{2}} \right)d{x_{K}^{2} \lt 0.}\)

Поскольку выражение в числителе дроби в левой части неравенства выше представляет собой определитель окаймленной матрицы Гессе со знаком «–» (1.19), постольку функция является строго квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее окаймленный гессиан положителен.

Строгая квазивогнутость функции будет, в частности, иметь место, если допустить, принадлежность исследуемой зависимости \(f:R_{{+ {}^{2}}\rightarrow R_{+}}\) классу дважды непрерывно дифференцируемых функций \(\), а также наложить ограничения на знак частных производных:

\({\frac{\partial f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{K}} \gt 0},{\frac{\partial f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{L}} \gt 0};(1.20)\)

\({\frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{K}^{2}} \lt 0},{\frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}^{2}} \lt 0.}(1.21)\)

\({\frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{K}\partial x_{L}} \gt 0},{\frac{\partial^{2}f(x_{K},x_{L})}{\partial x_{L}\partial x_{K}} \gt 0.}(1.22)\)

Данные свойства имеют важную экономическую интерпретацию. Свойство (1.20) – положительность предельных продуктов капитала и труда – подразумевает эффективность производства в том смысле, который был сформулирован выше. Свойство (1.21) – это закон убывающей предельной производительности факторов производства. Свойство (1.22) предполагает их взаимодополняемость в том смысле, что предельный продукт каждого из факторов производства будет возрастать при увеличении затрат другого фактора.

При заданном значении функции \(({f = \mathit{const}})\) ее дифференциал

\(\mathit{df}{\left( {x_{K},x_{L}} \right) = \frac{\partial f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{K}}}d{x_{K} + \frac{\partial f\left( {x_{K},x_{L}} \right)}{\partial x_{L}}}dx_{L}\)

равен нулю \((d{f = 0})\), поэтому вдоль линии уровня выполняется равенство:

\({\mathit{MR}TS}_{\mathit{KL}}\equiv{\left. \frac{- {dx_{L}}}{dx_{K}} \right|_{f = \mathit{const}} = \frac{{\partial f}/{\partial x_{K}}}{{\partial f}/{\partial x_{L}}} = \frac{\mathit{MP}_{K}}{\mathit{MP}_{L}}}.(1.23)\)

Предельная норма технологического замещения положительна \(\mathit{MRTS}_{\mathit{KL}} \gt 0\), поскольку первые частные производные функции – предельные продукты капитала и труда – положительны (1.20).

Продифференцируем \({\mathit{MR}TS}_{\mathit{KL}}\) (1.23), учитывая равенство в условии (1.22) вторых смешанных частных производных, в силу теоремы Юнга, а также свойства (1.20)-(1.21):

\({\left. {\frac{d}{dx_{K}}\left( \frac{dx_{L}}{dx_{K}} \right)} \right|_{f = \mathit{const}} = \frac{- {\left( \frac{\partial f}{\partial x_{L}} \right)^{2}{\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{K}^{2}} - 2}\frac{\partial f}{\partial x_{K}}\frac{\partial f}{\partial x_{L}}{\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{K}\partial x_{L}} + \left( \frac{\partial f}{\partial x_{K}} \right)^{2}}\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{L}^{2}}}}{\left( \frac{\partial f}{\partial x_{L}} \right)^{3}} \gt 0.}(1.24)\)

Положительность производной \(\mathit{MRTS}_{\mathit{KL}}\) в соотношении (1.24) гарантирует строгую выпуклость линии уровня, которая вместе с убыванием линии уровня в силу предпосылки (1.20) обеспечивает строгую квазивогнутость функции.

В силу того, что квадратичная форма (1.14) отрицательна при любых \(\xi_{K}\) и \(\xi_{L}\), для строго вогнутой функции всегда будет справедливо неравенство (1.24), где в качестве \(\xi_{K}\) можно взять \({\partial f}/{\partial x_{L}}\), а в качестве \(\xi_{L}\) – рассматривать \(\left( {{- {\partial f}}/{\partial x_{K}}} \right)\). Знак перед удвоенным произведением \(\xi_{K}\), \(\xi_{L}\) и \({\partial^{2}f}/{\partial x_{K}\partial x_{L}}\) не играет принципиальной роли в силу произвольного значения \(\xi_{K}\) и \(\xi_{L}\), что и было использовано при выборе \(\xi_{L} = \frac{- {\partial f}}{\partial x_{K}}\), который позволяет компенсировать соответствующие формальные различия в знаках суммирования в квадратичной форме (1.14) и в числителе (1.24). Это свидетельствует о том, что для любой строго вогнутой функции автоматически выполняется принципиальная для определения строгой квазивогнутой зависимости (в классе гладкости C²) характеристика, которая заключается в убывании (1.24) предельной нормы замещения (1.23).

Тем не менее, условий (1.20)-(1.22) будет еще недостаточно, чтобы гарантировать положительность определителя матрицы вторых частных производных – гессиана – а значит, строгую вогнутость функции (1.15). Строгая вогнутость является более сильным, ограничительным предположением относительно характеристик технологии производства и потребления, нежели строгая квазивогнутость.

С экономической точки зрения строго квазивогнутую зависимость, изображенную на рис. 1.6, можно трактовать не только как производственную функцию, но и как функцию полезности \({U = f}\left( {x_{1},x_{2}} \right)\). На рис. 1.7 в трехмерном пространстве потребительского выбора изображена типичная поверхность полезности, на которой находятся линии ее фиксированного уровня \(({U = \overline{U} = \mathit{const}})\). Проекция линии уровня поверхности полезности на координатную плоскость X₁0X₂ – это кривая безразличия, т.е. геометрическое место точек, соответствующих различным комбинациям товаров, использование которых в потреблении дает одинаковый уровень полезности экономического агента: \(\left\{ {{x\in X}|{f{(x) = \overline{U}},\overline{U}\in R}} \right\}\).

Вследствие предположения о ненасыщении кривая безразличия, расположенная дальше от нуля (в положительном ортанте), соответствует более высокому уровню потребительского удовлетворения. Поэтому на рис. 1.8 корзины, эквивалентные A, с точки зрения данного потребителя, располагаются либо во II, либо в IV квадрантах. Следовательно, кривая безразличия – это убывающая зависимость объемов потребления одного из товаров \(x_{2}\) от количества потребляемого другого блага \(x_{1}\).

В силу предпосылок о транзитивности и ненасыщаемости предпочтений кривые безразличия не могут пересекаться. Действительно, предположим обратное, что две кривые безразличия пересекаются в некоторой точке \(\overset{\sim}{x} = \left( {{\overset{\sim}{x}}_{1},{\overset{\sim}{x}}_{2}} \right)\). Пусть при \(x_{1} \gt {\overset{\sim}{x}}_{1}\) первая кривая безразличия лежит ниже второй. Зафиксируем наборы A и B соответственно на первой и второй кривых безразличия таким образом, чтобы они содержали одинаковое количество первого товара: \({\widehat{x}}_{1} \gt {\overset{\sim}{x}}_{1}\). Из предположения о ненасыщении следует, что \(U{(B) \gt U}(A)\). С другой стороны, наборы \(\overset{\sim}{x}\) и A лежат на первой кривой безразличия, значит, \(U{\left( \overset{\sim}{x} \right) = U}(A)\). Аналогично \(U{\left( \overset{\sim}{x} \right) = U}(B)\). Следовательно, в силу транзитивности предпочтений (2.2) \(U{(A) = U}(B)\). Возникшее противоречие с полученным выше неравенством \((U{(B) \gt U}(A)\)) завершает доказательство.

В теории потребительского выбора, как и в теории производства, часто предполагается достаточно высокая степень гладкости – непрерывная дифференцируемость – функции полезности \(U:R_{{+ {}^{l}}\rightarrow R_{+}}\), т.е. ее принадлежность классу дважды непрерывно дифференцируемых функций \(\left( {U\in C^{2}} \right)\). При этом для неоклассических функций полезности \(U:R_{{+ {}^{2}}\rightarrow R_{+}}\) (см. пример 1.2) традиционно принимаются рассмотренные выше предположения (1.20)-(1.22), гарантирующие строгую квазивогнутость анализируемых зависимостей и имеющие важную экономическую интерпретацию.

В частности, в силу предпосылки о строгой глобальной ненасыщаемости потребления, если функция полезности является дифференцируемой, то предельная полезность как изменение общей полезности при увеличении объемов потребления одного из товаров на бесконечно малую величину должна быть положительной (1.20):

\({\mathit{MU}_{1} = \frac{\partial U\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{\partial x_{1}} \gt 0},{\mathit{MU}_{2} = \frac{\partial U\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{\partial x_{2}} \gt 0}.\)

Первый из активно используемых в теории потребительского выбора законов Госсена утверждает, что потребление каждой дополнительной единицы блага (как в единичный момент потребления, так и при последовательных его актах) должно приносить все меньший прирост полезности для экономического агента. По-другому это утверждение называется законом убывающей предельной полезности (1.21):

\({\frac{\partial^{2}U\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{\partial x_{1}^{2}} \lt 0},{\frac{\partial^{2}U\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{\partial x_{2}^{2}} \lt 0.}\)

В основу принципа убывающей предельной полезности исходно был положен психофизиологический закон Вебера–Фехнера, который гласит, что «по мере увеличения силы действия раздражителя ее изменения должны нарастать при условии, что вызываемые ими приросты интенсивности реакции организма сохраняются на заданном уровне»⁴. Из данного закона следует, что при постоянной силе действия раздражителя его приросты будут приводить к снижению интенсивности ответной реакции организма. Это утверждение можно рассматривать в качестве психофизиологического основания закона убывающей предельной полезности потребления какого-либо блага.

Отметим, что по закону Вебера-Фехнера в сильной форме, “изменения интенсивности ответной реакции организма должны быть пропорциональны относительным приростам силы действия раздражителя”, другими словами, \(\mathit{d\gamma} = \frac{\mathit{kd\beta}}{\beta}\), где \(\beta \gt 0\) – сила действия раздражителя, а \(\gamma\) – сила ответной реакции организма. Решая данное дифференциальное уравнение, получаем, что \({\gamma = k}\ln{\beta + c}\), где константу \({c = {- k}}\ln b\) можно определить по начальному условию \(\gamma(b{) = 0}\). Здесь \(b\) – это такое действие раздражителя \(\gamma\), которое не вызывает никакой ответной реакции организма. Таким образом, \({\gamma = k}\left( {\ln{\beta - \ln}b} \right)\), т.е. в соответствии с законом Вебера–Фехнера в сильной форме ответная реакция организма линейно зависит от логарифма силы действия раздражителя⁵.

Неоклассическим предпосылкам (1.20) – (1.22) соответствует, например, функция потребительских предпочтений Стоуна–Джери⁶:

\(U{\left( {x_{1},x_{2}} \right) = \left( {x_{1} - a} \right)^{c}}\left( {x_{2} - b} \right)^{d},x_{1}\geq a,x_{2}\geq b,(1.25)\)

где \({a \gt 0},\) \({b \gt 0},\) \(c \gt 0\) и \(d \gt 0\) – некоторые постоянные коэффициенты.

Предпочтения Стоуна-Джери (1.25), предполагающие наличие прожиточный минимума \(\left( {a,b} \right)\), представляют собой обобщение функции полезности Кобба-Дугласа⁷, для которой \(a = b = 0\):

\(U{(x) = x_{1}^{c}}x_{2}^{d}.(1.26)\)

По определению полный дифференциал полезности, рассчитанный вдоль кривой безразличия, равен нулю:

\(\mathit{dU}{\left( {x_{1},x_{2}} \right) = \frac{\partial U}{\partial x_{1}}}d{x_{1} + \frac{\partial U}{\partial x_{2}}}d{x_{2} = 0.}\)

Следовательно, предельная норма замещения \(\left( \mathit{MRS}_{12} \right)\), представляющая собой отношение изменения потребляемого количества одного товара к бесконечно малому изменению количества другого при постоянном уровне полезности, т.е. отношение дифференциалов объемов потребления товаров, рассчитанных вдоль кривой безразличия, взятое со знаком минус, равна обратному отношению предельных полезностей:

\(\mathit{MRS}_{12}\equiv{\left. \frac{- {dx_{2}}}{dx_{1}} \right|_{U = \mathit{const}} = \frac{\mathit{MU}_{1}}{\mathit{MU}_{2}}}.(1.27)\)

Она положительна, поскольку первые частные производные функции полезности в силу предположения о строгой глобальной ненасыщаемости потребления положительны. Поэтому линии уровня функции полезности убывают на \(R_{+ {}^{2}}\). Кроме того, учитывая свойства (1.21) – (1.22), примененные к функции полезности, получаем выражение для второй производной объема потребления второго блага по количеству первого вдоль кривой безразличия:

\(\left. {\frac{d}{dx_{1}}\left( \frac{dx_{2}}{dx_{1}} \right)} \right|_{U = \mathit{const}} = \frac{- {\frac{\partial U}{\partial x_{2}}{\left( {{\frac{\partial^{2}U}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}U}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\bullet\frac{dx_{2}}{dx_{1}}} \right) - \frac{\partial U}{\partial x_{1}}}\left( {{\frac{\partial^{2}U}{\partial x_{1}\partial x_{2}} + \frac{\partial^{2}U}{\partial x_{2}^{2}}}\bullet\frac{dx_{2}}{dx_{1}}} \right)}}{\left( \frac{\partial U}{\partial x_{2}} \right)^{2}} = \frac{- {\left( \frac{\partial U}{\partial x_{2}} \right)^{2}{\frac{\partial^{2}U}{\partial x_{1}^{2}} - 2}\frac{\partial U}{\partial x_{1}}\frac{\partial U}{\partial x_{2}}{\frac{\partial^{2}U}{\partial x_{1}\partial x_{2}} + \left( \frac{\partial U}{\partial x_{1}} \right)^{2}}\frac{\partial^{2}U}{\partial x_{2}^{2}}}}{\left( \frac{\partial U}{\partial x_{2}} \right)^{3}} \gt 0.\)

Данное соотношение вместе с убыванием кривых безразличия обеспечивает строгую квазивогнутость функции полезности.

Пример 1.3. Недифференцируемость функции полезности и технологии производства

Если функция полезности не является дважды непрерывно дифференцируемой, а принадлежит лишь классу непрерывных функций \(\left( {U\in C^{0}} \right)\), то ее графиком может служить, например, трехмерный угол, образованный двумя плоскостями (рис. 1.9). Аналитический вид подобной, леонтьевской функции полезности, описывающей потребление совершенно комплементарных товаров, которые не могут быть использованы порознь и дополняют друг друга с точки зрения данного потребителя, таков:

\({U = \mathit{\min}}{\left\{ {\frac{x_{1}}{\alpha},\frac{x_{2}}{\beta}} \right\} = \left\lbrack \begin{matrix} {\frac{x_{1}}{\alpha},\mathit{если}\frac{x_{1}}{\alpha}\leqslant\frac{x_{2}}{\beta};} \\ {\frac{x_{2}}{\beta},\mathit{если}{\frac{x_{2}}{\beta} \lt \frac{x_{1}}{\alpha}};} \\ \end{matrix} \right.}(1.28)\)

где \(\alpha, \beta\)  – произвольные вещественные константы.

Рисунок 1.9. Непрерывная, но недифференцируемая леонтьевская функция полезности

Линии безразличия для совершенных комплементов имеют вид прямых углов (рис. 1.9, 1.10) с вершинами в точках, характеризующихся равенством \(\frac{x_{1}}{\alpha} = \frac{x_{2}}{\beta}\), или:

\({x_{2} = \frac{\beta x_{1}}{\alpha}}.(1.29)\)

Леонтьевская функция полезность является недифференцируемой вдоль луча (1.29). Отметим, что свойство ненасыщаемости потребления здесь выполняется, и чем дальше линия безразличия расположена от начала координат, тем более высокому уровню полезности она соответствует (\(U_{3} \gt U_{2} \gt U_{1}\) на рис. 1.10).

Рисунок 1.10. Карта безразличия для совершенных комплементов

Аналогично, примером недифференцируемой производственной функции может служить леонтьевская технология, описывающая использование совершенно комплементарных ресурсов, которые не могут применяться порознь и дополняют друг друга в рамках данного производственного процесса:

\({Q = \mathit{\min}}\left\{ {\frac{x_{1}}{\alpha},\frac{x_{2}}{\beta}} \right\},(1.30)\)

где коэффициенты \(\alpha\) и \(\beta\) – произвольные вещественные константы – характеризуют пропорции использования факторов производства в технологическом процессе. Подобная функция принадлежит лишь классу непрерывных функций \(\left( {Q\in C^{0}} \right)\). График двухфакторной леонтьевской производственной функции – это замкнутый выпуклый трехгранный конус в неотрицательном ортанте \(R_{+ {}^{3}}\) с вершиной в начале координат, натянутый на координатные орты и некоторый вектор на прямой \(\frac{x_{1}}{\alpha} = \frac{x_{2}}{\beta}\) (ср. рис. 1.9).

Пример 1.4. Функция полезности с постоянной предельной полезностью товаров

Для некоторых функций полезности могут не выполняться и другие предпосылки из перечисленных выше. В частности, в случае линейной функции полезности:

\({U = \alpha}{x_{1} + \beta}x_{2},(1.31)\)

где \(\alpha,\beta\) – произвольные вещественные константы (рис. 1.11), не действует первый закон Госсена (1.7).

Рисунок 1.11. Линейная функция полезности

Линии безразличия в случае совершенных субститутов являются прямыми, угловой коэффициент которых (предельная норма замещения) в каждой точке представляет собой постоянную величину (рис. 1.12):

\({\mathit{MRS}_{12} = \left. \frac{- {dx_{2}}}{dx_{1}} \right|_{U = \mathit{const}} = \frac{\mathit{MU}_{1}}{\mathit{MU}_{2}} = \frac{\alpha}{\beta}}.(1.32)\)

При этом действует свойство ненасыщаемости потребления, поэтому линия безразличия, более удаленная от начала координат, соответствует более высокому уровню полезности (\(U_{3} \gt U_{2} \gt U_{1}\) на рис. 1.12).

Рисунок 1.12. Карта безразличия для совершенных субститутов

Важной характеристикой потребительских предпочтений является эластичность замещения между продуктами, которая показывает, насколько в процентном выражении изменяется соотношения между объемами их потребления при изменении предельной нормы замещения на один процент:

\({\delta = \frac{d\left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)}{d\mathit{MRS}_{12}}}\frac{\mathit{MRS}_{12}}{\left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)}.\)

Графически соотношение между объемами потребляемых продуктов характеризуется тангенсом угла наклона луча, исходящего из начала координат и проведенного через данную точку пространства потребительских благ, которая будет располагаться на некоторой кривой безразличия. Соответственно, эластичности замещения показывает, насколько в относительном, процентном выражении должен измениться угловой коэффициент данного луча при его повороте, вызванном перемещением в новую точку на той же кривой безразличия, соответствующей единичному относительному, процентному изменению предельной нормы замещения, т.е. тангенса угла наклона касательной к данной кривой безразличия (рис. 1.13).

Рисунок 1.13. Составляющие показателя эластичности замещения

Важную роль в микроэкономическом анализе играет функция полезности с постоянной эластичностью замещения между продуктами (CES⁸). Постоянство эластичности замещения задает дифференциальное уравнение:

\(\frac{d\left( {x_{2}/x_{1}} \right)}{\left( {x_{2}/x_{1}} \right)}{\frac{\left( {{dx_{2}}/{dx_{1}}} \right)}{d\left( {{dx_{2}}/{dx_{1}}} \right)} = \frac{d\ln\left| {x_{2}/x_{1}} \right|}{d\ln\left| {{dx_{2}}/{dx_{1}}} \right|} = \delta},\)

или

\(d\ln{\left| \frac{x_{2}}{x_{1}} \right| = \mathit{\delta d}}\ln\left| \frac{dx_{2}}{dx_{1}} \right|.\)

Интегрируя его: \({{\int{d\ln\left| \frac{x_{2}}{x_{1}} \right|}} = \delta}{{\int{d\ln\left| \frac{dx_{2}}{dx_{1}} \right|}} + \delta}\ln c\), или \(\ln{\left| \frac{x_{2}}{x_{1}} \right| = \delta}\ln{\left| \frac{dx_{2}}{dx_{1}} \right| + \delta}\ln c\), получаем новое уравнение⁹ \({\left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)^{1/\delta} = c}\left( \frac{dx_{2}}{dx_{1}} \right).\) Разделяем в нем переменные: \({\frac{dx_{1}}{dx_{1}^{1/\delta}} = c}\left( \frac{dx_{2}}{x_{2}^{1/\delta}} \right)\), или \(d{x_{1}^{{({\delta - 1})}/\delta} = \mathit{cd}}x_{2}^{{({\delta - 1})}/\delta}.\) Интегрируя, получаем выражение кривой безразличия:

\({x_{1}^{\frac{\delta - 1}{\delta}} = c}{x_{2}^{\frac{\delta - 1}{\delta}} + c_{1}}.(1.33)\)

Полагая \(c = \frac{- \beta}{\alpha}\), \({c_{1} = \frac{1}{\alpha}}\left( \frac{U}{a} \right)^{1/\nu}\), \(\nu = \frac{\gamma}{\rho}\), \(\varphi = \frac{\delta - 1}{\delta}\), приходим к функции полезности CES:

\(U{\left( {x_{1},x_{2}} \right) = a}\left( {\alpha{x_{1}^{\varphi} + \beta}x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{\gamma}{\varphi}},\varphi\leq 1,\varphi\neq 0.(1.34)\)

Здесь \(\gamma \gt 0\) – это степень однородности функции¹⁰. Очевидно, что эластичность замещения между продуктами для данной функции полезности составит: \(\delta = \frac{1}{1 - \varphi}\).

Пронормируем коэффициенты \(\alpha\) и \(\beta\) таким образом, чтобы они в сумме давали единицу, т.е. \(\beta = {1 - \alpha}\). Покажем, что функция полезности CES является обобщением функций Кобба–Дугласа и Леонтьева, которые представляют собой ее предельные случаи. Для этого прологарифмируем функцию CES:

\(\ln U{\left( {x_{1},x_{2}} \right) = \ln}{a + \frac{\gamma}{\varphi}}\ln\left( {\alpha{x_{1}^{\varphi} + (}{1 - \alpha})x_{2}^{\varphi}} \right).(1.35)\)

Устремив \(\varphi\) к нулю, при раскрытии возникающей неопределенности вида \(0/0\) применяем правило Лопиталя:

\({{\lim\limits_{\varphi\rightarrow 0}{\ln U\left( {x_{1},x_{2}} \right)}} = \ln}{{a + {\lim\limits_{\varphi\rightarrow 0}\frac{\gamma\left( {\alpha x_{1}^{\varphi}\ln{x_{1} + (}{1 - \alpha})x_{2}^{\varphi}\ln x_{2}} \right)}{\left( {\alpha{x_{1}^{\varphi} + (}{1 - \alpha})x_{2}^{\varphi}} \right)}}} = \ln}{a + \gamma}\left( {\alpha\ln{x_{1} + (}{1 - \alpha})\ln x_{2}} \right).\)

Потенцируя полученное соотношение, получаем функцию полезности Кобба–Дугласа:

\(U{\left( {x_{1},x_{2}} \right) = a}x_{1}^{\mathit{\gamma\alpha}}x_{2}^{\gamma({1 - \alpha})}.\)

Допустим теперь, что \({x_{1} = \mathit{\min}}⁡(x_{1},x_{2})\), и устремим \(\varphi\) в выражении (1.35) к ∞. При раскрытии возникающей неопределенности вида \(\infty/\infty\) вновь воспользуемся правилом Лопиталя:

\({{\lim\limits_{\varphi{\rightarrow - \infty}}{\ln U\left( {x_{1},x_{2}} \right)}} = \ln}{{a + {\lim\limits_{\varphi{\rightarrow - \infty}}\frac{\gamma\left( {\alpha x_{1}^{\varphi}\ln{x_{1} + (}{1 - \alpha})x_{2}^{\varphi}\ln x_{2}} \right)}{\left( {\alpha{x_{1}^{\varphi} + (}{1 - \alpha})x_{2}^{\varphi}} \right)}}} = \ln}{{a + {\lim\limits_{\varphi{\rightarrow - \infty}}\frac{\gamma\left( {\alpha\ln{x_{1} + (}{1 - \alpha})\left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)^{\varphi}\ln x_{2}} \right)}{\left( {{\alpha + (}{1 - \alpha})\left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)^{\varphi}} \right)}}} = \ln}{a + \gamma}\ln x_{1}.\)

Потенцируя полученное выражение, при \(\gamma = 1\) приходим к леонтьевским предпочтениям, отражающим потребление совершенно комплементарных благ:

\(U{\left( {x_{1},x_{2}} \right) = a}\bullet\mathit{\min}\left( {x_{1},x_{2}} \right).\)

Обратим внимание на то, что при \(\varphi = \gamma = 1\) функция CES (1.34) превращается в линейную функцию полезности (1.8), характеризующую потребление совершенных субститутов.

Из выражения кривой безразличия (1.33) видно, что, поскольку \({x_{1} = \left( {\frac{- \beta}{\alpha}{x_{2}^{\varphi} + c_{1}}} \right)}^{1/\varphi}\), \(x_{2} = \left( {\frac{- \beta}{\alpha}{x_{1}^{\varphi} + \frac{\alpha}{\beta}}c_{1}} \right)^{1/\varphi}\), при \(\rho \gt 0\) кривые безразличия имеют асимптоты: \({\lim\limits_{x_{2}{\rightarrow + \infty}}x_{1}} = c_{1}^{1/\varphi}\), \({\lim\limits_{x_{1}{\rightarrow + \infty}}x_{2}} = \left( {\frac{\alpha}{\beta}c_{1}} \right)^{1/\varphi}\) (рис. 1.14).

Рисунок 1.14. Карта безразличия функции полезности CES

Аналогично теории потребления, важным показателем технологии является эластичность замещения факторов производства  процентное изменение фондовооруженности труда, т.е. объема капитала (основных фондов) в расчете на одного работника (человеко-час отработанного времени), возникающее при изменении предельной нормы технологического замещения труда капиталом на один процент:

\({\delta = \frac{d\left( \frac{K}{L} \right)}{d\mathit{MRTS}_{\mathit{KL}}}}\frac{\mathit{MRTS}_{\mathit{KL}}}{\left( \frac{K}{L} \right)}.\)

В микроэкономическом анализе широко используется производственная функция с постоянной эластичностью замещения факторов (CES)¹¹, аналогичная той, которая была выведена при анализе потребительских предпочтений (1.34): \(Y{\left( {K,L} \right) = a}\left( {\alpha{L^{- \rho} + \beta}K^{- \rho}} \right)^{\frac{- \gamma}{\rho}},\rho{\geqslant - 1},\rho\neq 0,\) где \(\gamma \gt 0\) – степень однородности функции, которая отражает эффект масштаба хозяйственной деятельности. Аналогично выкладкам, проведенным при анализе потребительских предпочтений выше, можно показать, что производственная функция CES является обобщением функций Кобба–Дугласа и Леонтьева, которые представляют собой ее предельные случаи, а также линейной технологии.

Часто в экономической теории используется квазилинейная функция полезности:

\({U = f}{\left( x_{1} \right) + k}x_{2},f^{'}{\left( x_{1} \right) \gt 0},f^{''}{\left( x_{1} \right) \lt 0};(1.36)\)

карта кривых безразличия для которой представлена на рис. 1.15. В силу ненасыщаемости потребления кривые безразличия, расположенные дальше от начала координат здесь соответствуют более высокому уровню полезности (\(U_{3} \gt U_{2} \gt U_{1}\)).

Линейная зависимость полезности (1.36) от объема потребления второго блага позволяет интерпретировать его как некоторое композитное благо – расходы на все остальные товары, за исключением данного, первого блага. Поэтому квазилинейные предпочтения позволяют достаточно просто и наглядно описать выбор между одним из товаров и всеми остальными благами в потребительской корзине. Кроме того, как будет показано ниже, квазилинейные предпочтения имеют важные особенности с точки зрения различных подходов к оценке благосостояния потребителей, что обусловливает широкие возможности их использования при анализе контрактного процесса.

Рисунок 1.15. Квазилинейные предпочтения

---

1. Зорич В.А. Математический анализ. – 2-е изд. – М.: ФАЗИС, 1997, ч.1.↩︎

2. Отметим, что функция \(f\) является квазивогнутой, если противоположная по знаку к ней функция \(- f\) является квазивыпуклой.↩︎

3. Изокванта (кривая безразличия) представляет собой пересечение нижнего и верхнего лебеговских множеств производственной функции (функции полезности).↩︎

4. Fechner G.Th. Elemente der Psychophysik. – Leipzig: Breitkopf und Härtel, 1860. T.1.↩︎

5. Fechner G.Th. Elemente der Psychophysik. – Leipzig: Breitkopf und Härtel, 1860. T.1.↩︎

6. Geary R.C. A note on «a constant-utility index of the cost of living» // Review of economic studies. 1949-1950. Vol. 18. Part 1. № 45; Stone R. Linear expenditure systems and demand analysis // Economic journal. 1954. Vol. 64. № 255; Stone R. Quantity and price indexes in national accounts. – Paris: OEEC, 1956.↩︎

7. Cobb C.W., Douglas P.H. A theory of production // American economic review. 1928. Vol. 18. № 3.↩︎

8. Аббревиатура английского словосочетания constant elasticity of substitution.↩︎

9. Допуская нулевое и отрицательные значения константы c, избавляемся от модуля и возвращаем утерянное ранее при делении на \(x_{2}/x_{1}\) и \({dx_{2}}/{dx_{1}}\) решение.↩︎

10. Определение функции однородной степени \(\gamma\) приводится в приложении 1.↩︎

11. Arrow K.J., Chenery H.B., Minhas B.S., Solow R.M. Capital-labor substitution and economic efficiency // Review of economics and statistics. 1961. Vol. 43. № 3.↩︎