Полезность – это мера удовлетворенности экономического агента потреблением хозяйственных благ. Принятие экономических решений не всегда предполагает количественную, числовую соизмеримость преимуществ и недостатков, выгод и издержек: зачастую возможно и достаточно порядковое, качественное сопоставление. Качественная характеристика товаров описывается порядковой функциональной зависимостью, которая ранжирует различные блага по уровню их качества, упорядочивает их с точки зрения качественной значимости для экономических агентов.
Одной из важнейших предпосылок в теории потребительского выбора является непрерывность предпочтений: для любой потребительской корзины \(x\in X\), множества наборов, которые не хуже, чем x, т.е. верхние лебеговские множества \(\left\{ {{\widehat{x}\in X}|{\widehat{x}\succsim x}} \right\}\), и не лучше, чем x, т.е. нижние лебеговские множества \(\left\{ {{\widehat{x}\in X}|{x\succsim\widehat{x}}} \right\}\), предполагаются замкнутыми относительно X. Подмножества действительных чисел являются замкнутыми тогда и только тогда, когда они содержат свои границы.
В теории выбора традиционно вводится предпосылка о (строгой глобальной) ненасыщаемости потребления, согласно которой общая полезность «строго» возрастает при увеличении объемов потребляемых товаров. Здесь имеется в виду, что если для некоторых потребительских корзин \(\widehat{x},\overset{\sim}{x}\in X\subset R_{+ {}^{l}}\) выполнено неравенство \({\widehat{x}}_{h}\leqslant{\overset{\sim}{x}}_{h}\), \({h = 1},\ldots,l\), причем для некоторого индекса \(k\in\{ 1,\ldots,l\}\) неравенство является строгим \(\left( {{\widehat{x}}_{k} \lt {\overset{\sim}{x}}_{k}} \right)\), то для соответствующих им величин полезности справедливо такое же неравенство \(U{\left( \widehat{x} \right) \lt U}\left( \overset{\sim}{x} \right)\).
В противоположность порядковому индикатору предпочтений экономического субъекта количественная функция полезности \(U\) ставит в соответствие различным наборам из l потребляемых товаров, или потребительским корзинам, содержащимся во множестве \(X\subset R_{+ {}^{l}}\), числовую степень значимости этих наборов для потребителя, которая может принимать любые неотрицательные действительные значения \(\).
С формальной точки зрения взаимосвязь между порядковой, ординалистской и количественной, кардиналистской концепциями полезности зафиксирована в теореме Дебре. Теорема Дебре (в слабой форме) утверждает, что если множество X качественно сравнимых наборов благ, которое должно быть замкнутым подмножеством пространства действительных чисел \(R^{l}\), представляет собой отношение полного предпорядка, т.е. удовлетворяет свойствам рациональности (1.1) – (1.2), и в добавление к этому данный индикатор потребительских предпочтений обладает свойствами непрерывности и строгой глобальной ненасыщаемости, то ему соответствует количественная, числовая функция полезности, которая при этом будет непрерывной1 \(\left( {U\in C^{0}} \right)\).
Докажем вначале существование числовой функции полезности, ставящей в соответствие произвольному набору неотрицательных действительных чисел \({\overset{\sim}{x} = (}{\overset{\sim}{x}}_{1},\ldots,{\overset{\sim}{x}}_{l})\) определенное действительное число2 \(U(\overset{\sim}{x})\). Выделим в корзине товаров \(\overset{\sim}{x}\) максимальный \(\left( \overline{x} \right)\) и минимальный \(\left( \underline{x} \right)\) элементы. В силу строгой глобальной ненасыщаемости и транзитивности (1.2) предпочтений векторы, каждая из l координат которых равна \(\overline{x}\) либо \(\underline{x}\), являются соответственно не менее и не более предпочтительными для потребителя, по сравнению с корзиной \(\overset{\sim}{x}\): \((\underset{}{\underbrace{\overline{x},\ldots,\overline{x}}}\underset{l}{)}\succsim({\overset{\sim}{x}}_{1},\ldots,{\overset{\sim}{x}}_{l})\); \((\underset{}{\underbrace{\underline{x},\ldots,\underline{x}}}\underset{l}{)}\precsim({\overset{\sim}{x}}_{1},\ldots,{\overset{\sim}{x}}_{l})\). Покажем теперь, что на отрезке \(\left\lbrack {\overline{x},\underline{x}} \right\rbrack\) существует такое число \(x^{0}\), что l–мерный вектор (\(\underset{l}{\underbrace{x^{0},\ldots,x^{0}}})\) будет эквивалентен, с точки зрения потребителя, корзине \(\overset{\sim}{x}\): \(\left( {x^{0},\ldots,x^{0}} \right)\qquad({\overset{\sim}{x}}_{1},\ldots,{\overset{\sim}{x}}_{l})\). Если \(\overline{x} = \underline{x}\), то отрезок \(\left\lbrack {\overline{x},\underline{x}} \right\rbrack\) вырождается в точку, которая представляет собой искомый товарный набор, эквивалентный \(\overset{\sim}{x}\). Рассмотрим теперь более интересный случай, когда \(\overline{x}\neq\underline{x}\). Каждому числу \(x\) на отрезке \(\left\lbrack {\overline{x},\underline{x}} \right\rbrack\) поставим в соответствие l-мерный вектор, каждая компонента которого равна \(x\): (\(\underset{l}{\underbrace{x,\ldots,x}})\). В силу полноты предпочтений (1.1), данный вектор будет либо не хуже, либо не лучше, чем \(\overset{\sim}{x}\). Сформируем из таких векторов верхнее и нижнее лебеговские множества по отношению к корзине \(\overset{\sim}{x}\). Эти множества будут непустыми, поскольку в них содержатся хотя бы корзины \((\underset{}{\underbrace{\overline{x},\ldots,\overline{x}}}\underset{l}{)}\) и \((\underset{}{\underbrace{\underline{x},\ldots,\underline{x}}}\underset{l}{)}\) соответственно. Поскольку, по предположению о непрерывности предпочтений, данные множества являются замкнутыми, они будут содержать свои границы, в частности, верхнее лебеговское множество – нижнюю границу, а нижнее лебеговское множество – верхнюю границу, которые будут совпадать и представлять собой искомую корзину (\(\underset{l}{\underbrace{x^{0},\ldots,x^{0}}})\), эквивалентную, с точки зрения потребителя, корзине \({\overset{\sim}{x} = (}{\overset{\sim}{x}}_{1},\ldots,{\overset{\sim}{x}}_{l})\).
Положим \(U{\left( \overset{\sim}{x} \right) = x^{0}}\). В силу строгой глобальной ненасыщаемости предпочтений данное значение будет единственным. Покажем, что такое сопоставление функции полезности \(U(x)\) ординалистским отношениям предпочтения потребителя является корректным, т.е. \(U\left( \widehat{x} \right)\geqslant U\left( \check{x} \right)\) тогда и только тогда, когда \(\widehat{x}\succsim\check{x}\).
Действительно, в соответствии с построением функции полезности векторы \((\underset{}{\underbrace{U\left( \widehat{x} \right),\ldots,U\left( \widehat{x} \right)}}\underset{l}{)}\) и \(\widehat{x}\) эквивалентны с точки зрения потребителя. Соответственно, \((\underset{}{\underbrace{U\left( \check{x} \right),\ldots,U\left( \check{x} \right)}}\underset{l}{)}\sim\check{x}\). Если \(U\left( \widehat{x} \right)\geqslant U\left( \check{x} \right)\), то в силу ненасыщаемости предпочтений \(\widehat{x}\succsim\check{x}\). И наоборот, следуя нашей конструкции функции полезности, переходим от отношения предпочтения-безразличия между корзинами \(\widehat{x}\) и \(\check{x}\) \(\left( {\widehat{x}\succsim\check{x}} \right)\) к сопоставлению эквивалентных им корзин \((\underset{}{\underbrace{U\left( \widehat{x} \right),\ldots,U\left( \widehat{x} \right)}}\underset{l}{)}\) и \((\underset{}{\underbrace{U\left( \check{x} \right),\ldots,U\left( \check{x} \right)}}\underset{l}{)}\): \((\underset{}{\underbrace{U\left( \widehat{x} \right),\ldots,U\left( \widehat{x} \right)}}\underset{l}{)}\succsim(\underset{}{\underbrace{U\left( \check{x} \right),\ldots,U\left( \check{x} \right)}}\underset{l}{)}\). В силу ненасыщаемости предпочтений, последнее отношение означает, что \(U\left( \widehat{x} \right)\geqslant U\left( \check{x} \right)\). Таким образом, функция полезности построена корректно.
Наконец, замкнутости всех верхних и нижних лебеговских множеств необходимо и достаточно для того, чтобы действительная функция была непрерывна3. Итак, теорема Дебре (в слабой форме) доказана.
Ординалистский индикатор предпочтений предполагает возможность количественной оценки полезности с точностью до монотонного возрастающего преобразования. Для упрощения формальных выкладок на основе теоремы Дебре в нашем анализе, как правило, порядковая функция потребительских предпочтений будет сводиться к своему числовому представлению, т.е. непрерывной функции полезности. Это позволяет преодолеть качественные различия между теорией потребления, которая является ординалистской, и кардиналисткой теорией производства. Кардиналистские функции полезности и производственные функции обладают аналогичными характеристиками, что дает возможность анализировать их одновременно в одних и тех же терминах.
Теорема Дебре в сильной форме снимает требование ненасыщаемости предпочтений (Debreu G. Theory of value. – N.Y.: Willey; L.: Chapman & Hall, 1959).↩︎
Gravelle H., Rees R. Microeconomics. – 2nd ed. – L., N.Y.: Longman, 1992.↩︎
Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. – М.; Л.: ОГИЗ, 1948.↩︎